专题10 圆锥曲线切线问题与阿基米德三角形6大题型（期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题10 圆锥曲线切线问题与阿基米德三角形 基础·固本强基 题型1 椭圆双曲线的切线 提升·进阶突破 题型2 圆锥曲线的光学性质 题型3 抛物线的焦点弦性质（难点） 题型4 阿基米德三角形（重难点） 拔高·压轴破难 题型5 蒙日圆（难点） 题型6 彭塞列闭合定理（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 椭圆双曲线的切线 【方法总结】 1、椭圆的切线方程 ①对于过椭圆上一点P的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 焦点在轴上；焦点在轴上 ②过椭圆外一点，做椭圆的两条切线，则切点弦方程为焦点在轴上；焦点在轴上 ③椭圆 与直线 相切的条件是 2、双曲线的切线方程 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为． 若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 1．（25-26高三·全国·二轮复习）已知椭圆，直线是平面上一动点，若由向椭圆引两条切线，且与的夹角为钝角，则动点到直线的距离的取值范围是_______________． 【答案】. 【分析】由题意知，为椭圆外部及其蒙日圆内部的阴影区域（不包括边界），求出椭圆的蒙日圆方程，结合点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】若由向椭圆引两条切线，且与的夹角为钝角， 那么为椭圆外部及其蒙日圆内部的阴影区域（不包括边界）， 如图所示， 的蒙日圆方程为， 圆心到的距离为， 故点到直线的距离的取值范围是． 故答案为： 2．（2026高三·全国·专题练习）已知分别为椭圆的左、右顶点，过直线上任一点作的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为_____． 【答案】6 【分析】设，由二级结论易知切点弦的方程为，联立方程组，表示出四边形的面积结合韦达定理即可求解． 【详解】如图，取上任意一点，则直线的方程为，    由消去整理得关于的方程， 所以． 由题意知， 所以． 设，则 ， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，有最小值，即有最大值，为36． 即当时，四边形的面积最大，最大面积为6． 3．（26-27高二上·河南·期中）如果两个椭圆的长轴长之比等于短轴长之比，那么称这两个椭圆为相似椭圆，并将长轴长之比称为相似比.已知两个相似椭圆：和：（）的相似比为，为上一动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，，直线的斜率和直线的斜率均存在且均不为，则直线的斜率与直线的斜率之积为___________. 【答案】/ 【分析】通过相似椭圆的定义与椭圆方程求出：，再设出直线的方程，与椭圆联立，根据相切得到，同理得到，可知，是方程的两根，根据韦达定理即可求出. 【详解】由题意可知，，解得，，则， 设，则，化简得， 设直线的方程为，即， 代入整理得， 则， 整理得， 设直线的斜率为，同理得， 所以，是方程的两根， . 4．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）（多选）已知椭圆，点在的第一象限部分上．在点处的切线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，为坐标原点，则（    ） A．切线的方程为 B． C． D．当时，直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】先求出椭圆的切线方程判断A；结合直线与坐标轴交点、距离公式，利用基本不等式求解范围判断BC，利用最值取等号及两点斜率公式求解判断D. 【详解】先证明，已知椭圆及上面一点，则曲线在点处的切线方程为. 当时，切线的斜率存在，设切线方程为. 代入椭圆的方程得. 由， 得. 又点在椭圆上，所以，从而， 所以，即，所以， 所以所求切线方程，即. 另外当时，切线方程为也满足上式. 综上，以椭圆上一点为切点的切线方程为. 对于选项A：椭圆在点处的切线方程为，正确； 对于选项B：令切线方程中得，令得， 故，由基本不等式，， 即，当且仅当时等号成立，故，最小值为4，错误； 对于选项C：，即，当且仅当时等号成立，正确； 对于选项D：当时，由选项C可知，切线的斜率为，D正确. 5．（2026·山西忻州·模拟预测）（多选）椭圆：上有一点位于第一象限．过作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，．若，其中为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．满足条件的点有且仅有2个 B．的两个可能值之和为5 C．切线的斜率一定小于 D．两条可能切线的斜率之积为 【答案】ABD 【分析】对A，联立点满足的切线面积条件与椭圆方程，得到的一元二次方程，求解判断；对B：将结合变形，利用韦达定理计算两个的和判断；对C，推导出切线斜率，代入两个计算判断；对D，利用选项C计算所得斜率，乘积判断. 【详解】对于A：设点，，由题可知切线存在斜率，设切线方程为， 则由得， ，整理得， 又由点在椭圆上可得，所以， 所以， 所以过的切线方程为，即， 切线交轴正半轴于，交轴正半轴， 由 可得，则， 因为点在椭圆上，满足，代入得，即， 解得，，故对应两个第一象限的点，A正确； 对于B：，由选项A可知满足条件的点有两个，设其横坐标的平方分别为， 则是关于的方程的两根，由韦达定理得，设两点为， 则，B正确； 对于C：切线斜率 ，代入 得 ： 当 ，，当 ，，斜率不都小于，C错误； 对于D：，D正确. 提升·进阶突破 题型2 圆锥曲线的光学性质 【方法总结】 1、椭圆的光学性质 （1）从椭圆的一个焦点发出的光线, 被椭圆反射后,必定经过另一个焦点; （2）椭圆在点 处的切线为 , 直线 交直线 于点 , 则 平分 , 由角平分线性质定理, . 2、 双曲线的光学性质 （1）从双曲线一个焦点发出的光线, 被双曲线反射后, 反射光线的反向延长线交于另一个焦点; （2）双曲线在点 处的切线 与直线 相交于点 , 则 平分 , 由角平分线性质定理, 1．（25-26高二下·贵州·阶段检测）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，从点发出的光线经过图2中的点反射后，分别经过点，且，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，设，由双曲线定义，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理得，即可求出离心率. 【详解】由题意可知，延长则必过点，如图所示： 因为，设，则，， 由双曲线定义可得，， 由可得， 在中，由余弦定理可得， 即，化简可得， 在中，由余弦定理可得， 即，化简可得， 所以，故. 2．（25-26高二上·云南昆明·期末）抛物线光学几何性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．如图，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，两次反射后从点射出，根据光路可逆原理，光线从点到点经过的总路程是（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【分析】由抛物线方程，结合抛物线的定义求解即可. 【详解】由抛物线的方程可得，焦点， 由抛物线的性质可知经过焦点, 设，两点的横坐标分别为，，如图， 则 . 故选：C. 3．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）（多选）抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用了这个光学性质.如图，某探照灯的轴截面是抛物线的一部分，其方程为，焦点为，光线从点出发，经抛物线反射，反射光线所在直线为，，若，则所在直线的方程为，为抛物线上的动点.下列选项正确的是（ ） A．抛物线的方程为 B．若直线过点，且倾斜角为，且，则的值为3 C．若直线过点，，则的面积为 D．若，当取得最大值时，的值为 【答案】ABD 【分析】根据点在抛物线上计算得出判断A，应用焦半径公式计算判断B，联立方程组得出韦达定理计算面积判断C，两点间距离公式结合焦半径公式计算应用基本不等式计算判断D. 【详解】对于A，因为，所在直线的方程为，所以，， 所以，所以，解得或， 因为，所以，即抛物线的方程为，故A正确. 对于B，抛物线的焦点坐标为，直线的倾斜角为，所以直线的方程为. 设直线与抛物线的交点为，， 联立直线与抛物线的方程，消去并整理，得，解得，， ，，，所以的值为3，故B正确. 对于C，由题意不妨设，，如图所示， ，所以，. 设直线的方程为， 由消去得. 所以，所以，，所以，故C错误. 对于D，由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，由为抛物线上一点，可得， 因为，所以， 所以， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 此时取得最大值，所以，故D正确. 故选：ABD. 4．（25-26高二上·山东聊城·期末）椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，即椭圆上任意点的切线与两焦半径所成的夹角相等.椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点且垂直的直线交椭圆的长轴于点.若，则的值为__________． 【答案】3 【分析】由题意可得法线是的角平分线，由角平分线定理可得，设点的横坐标为，由条件可得和的关系，由，结合椭圆方程，可得，结合焦半径公式即可解得的值，则有的值，进而可求的值. 【详解】由题意可得焦点，法线是的角平分线， 设点在第一象限，因为点在椭圆上，则有， 由角平分线定理可得， 设点的横坐标为，则有，， 则，即， 由可得，整理得， 联立，得， 又，则， 联立，整理得，代入， 整理得，解得或（舍）， 则，则.    故答案为：3. 5．（2026·河北邢台·三模）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上顶点为，为上一点，在点处的切线为，过点 且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，若的面积，到的距离之和为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，分别过作直线的垂线，再由到的距离之和为，求得，设，则，求得，得到，在中，利用余弦定理，化简求得，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】因为 ，可得， 如图所示，分别过作直线的垂线，垂足分别为， 则， 又因为到的距离之和为，所以，则， 设，则， 所以， 则， 可得，所以，则， 由余弦定理得， 所以，即，可得， 所以椭圆的离心率为. 题型3 抛物线的焦点弦性质 【方法总结】 切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 1．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点.点在上的射影为，点为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条 B．以为直径的圆与相切 C．设，则 D．若，则的面积为 【答案】ACD 【分析】选项A：分斜率存在、不存在两类，用判别式求切线，统计满足条件的直线数量.选项B：用抛物线定义+梯形中位线，判断圆与准线相切，否定与相切.选项C：定义转化，由两点间线段最短得最小值.选项D：设直线并联立抛物线，用韦达定理、弦长公式、点线距离求面积. 【详解】对于A，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线必有； 当直线斜率存在时，可设直线方程为， 当直线与抛物线有且仅有一个公共点， 联立整理可得，所以； 解得，所以切线方程为， 综上可知，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，即A正确； 对于B，如下图所示： 设点在上的射影为，取的中点为，的中点为，    由抛物线定义可知， 在梯形中，有， 所以以为直径的圆与准线相切，切点为，可得B错误； 对于C，易知，由抛物线定义可知， 所以， 当三点共线时，有最小值为，所以，即C正确； 对于D，设的方程为，联立整理可得， 可得，可得， 因此， 又可得，解得； 易知到直线的距离为， 所以的面积为，即D正确. 故选：ACD 2．（25-26高二上·山西运城·期末）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影分别为，准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的方程为： B．以为直径的圆与准线相切 C．设，则 D． 【答案】BCD 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线的方程为并于抛物线联立，利用韦达定理由可得，可判断A错误，由抛物线定义以及焦点弦公式可证明B正确，再由三点共线可得，即可知C正确，由以及韦达定理计算可得D正确. 【详解】易知抛物线的焦点，准线方程为， 设直线的方程为，，如下图 对于A，联立，整理可得， 所以， 由抛物线定义可得， 解得，所以直线的方程为或，即A错误； 对于B，设的中点为， 易知，则，即； 所以到准线距离为，而， 即的中点到准线距离等于，所以以为直径的圆与准线相切，即B正确； 对于C，由可得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 又可得，因此，即C正确； 对于D，易知，即，又可得， 因此，即D正确. 故选：BCD 3．（2026·河北张家口·三模）（多选）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点（A在第一象限），与l交于点M，过点A，B分别作l的垂线，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A．若（O为原点），则 B．以线段MF为直径的圆恒过l与x轴的交点 C．若，则直线AB的斜率为 D．原点O到直线的距离与到直线AB的距离之比为定值 【答案】BC 【分析】对于选项A，由题得，则，由抛物线的定义得，因为，求出点A的坐标，再表示出即可判断； 对于选项B, 设准线l与x轴的交点为D，则，所以点D在以线段MF为直径的圆上, 故B正确；对于选项C，D，假设直线AB的方程为，通过联立方程，利用韦达定理求解. 【详解】对于选项A，由题得，则， 由抛物线的定义得， 因为，所以，则， 所以，所以，故A错误； 对于选项B，设准线l与x轴的交点为D，则， 所以点D在以线段MF为直径的圆上，故B正确； 对于选项C，由题意知直线AB的斜率存在且不为0， 设直线， 由，可得，且， 设，，则，则， 联立，得， 则，， 所以，解得，则， 所以，解得，故C正确； 对于选项D，原点O到直线的距离为， 到直线的距离为， 则比值为，不是定值，故D错误. 4．（2026·河南·三模）（多选）已知抛物线，过抛物线C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，则（   ） A． B．以线段AB为直径的圆与直线相切 C． D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】利用焦点弦公式，易知直线垂直于轴时，弦最短即可判断选项；分别求出半径与圆心到直线的距离即可判断选项；联立方程，结合韦达定理，表示出化简判断选项；利用圆的弦长公式，将转化为关于的表达式，构造函数，利用导数分析单调性，结合的条件，即可求出的取值范围. 【详解】解：由题意知，焦点为，准线方程为，焦点到准线的距离为， 设过焦点F的直线l的方程为，A，B两点坐标分别为，. 选项，由抛物线焦点弦的性质可得，焦点弦长， 当直线垂直于轴时，弦长最短，此时，所以， 当直线斜率存在时，，因此，正确； 选项，设中点坐标为，则圆的半径， 又，所以中点到准线的距离， 则圆心到准线的距离等于半径，所以圆与直线相切，正确； 选项，由抛物线的定义可得，， 联立，代入化简得，，则，， 又，， 所以， 错误； 选项，由圆的弦长，表示圆心到轴的距离，则， 因为，， 所以，则， 令，则，设， 则， 又因为，所以，所以在上单调递减， 因此当时，取最大值为，即的最大值为， 所以的最大值为， 又当时，，所以，即， 因此，的取值范围是，正确. 5．（2026·山东淄博·二模）（多选）已知抛物线C：的焦点在直线l：上，直线l与抛物线交于两点，点在第一象限，过分别作准线的垂线，垂足分别是，则下列说法中正确的是（    ） A．以线段为直径的圆与y轴相切 B．的最小值为 C． D．若向量，则 【答案】BCD 【分析】对于A，先求出的值再用两点坐标表示出焦点弦的长，确定圆心表示出圆心到y轴的距离即可判断； 对于B，直线与抛物线联立方程组消元写出两根之和两根之积，利用焦半径结合基本不等式即可求最小值； 对于C，先写出具体点的坐标结合两点间距离公式及即可求最值； 对于D，根据向量关系即可求的值再求面积即可. 【详解】抛物线C：的焦点坐标为， 又因为焦点在直线l：上，代入得，即， 所以抛物线方程为，焦点，准线为. 设根据抛物线的定义可知，故半径为， 以线段为直径的圆的圆心坐标为，圆心到y轴的距离为，故A错误； 联立消元得：，故， 由抛物线的定义可知， 由抛物线的方程可知，即，因为点在第一象限所以， 所以由基本不等式可知， 当且仅当即时取等号，故B正确； ,则，， 所以 ，故C正确； 若向量，则，故， 又因为解得易知点在第四象限， 所以，，所以，故D正确. 题型4 阿基米德三角形 【方法总结】 阿基米德三角形指圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。 阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时） 性质1： 性质2：轴； 性质3： 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）（多选）已知抛物线，点在其准线上运动，过作抛物线的两条切线，切点分别为，，且直线过焦点，则下列说法正确的有（   ） A．的最小值为 B．为定值 C．若为弦的中点，且与不重合，则轴 D．若直线的斜率为1，则的面积为 【答案】BCD 【分析】设出点的坐标及直线的方程和切线方程，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理和基本不等式可判断A；设过的抛物线的切线方程为，利用判别式为零可以确定B；证明与中点的纵坐标相等可得C；由弦长公式和三角形的面积公式可得D. 【详解】如图，抛物线的焦点为，准线的方程为. 设，，点（因为在准线上，所以横坐标为）， 由题意知. 选项A：由抛物线的定义知，，. 设直线的方程为（可为0，避免斜率为0）， 代入得， 由韦达定理知，，所以. 所以， 结合，得. 根据基本不等式得，（当且仅当，即时取等号），故，A错误. 选项B：设过的抛物线的切线方程为（为切线斜率，且），与联立，消去得：. 因为直线与抛物线相切，所以判别式，即， 化简得.设切线，的斜率分别为，， 则，是二次方程的两根. 由韦达定理知，两根之积，即（定值），B正确. 选项C：要证明轴，需证明与中点的纵坐标相等，步骤如下： ①关联切线斜率与切点：对切点，将代入切线方程，得； ②代入切线斜率的方程：因为是的根， 代入化简得（去分母后可得，结合化简得，亦即）， 同理，对得； ③两式相减推导斜率关系（因为与不重合，所以直线的斜率存在）：，整理得直线的斜率； ④用中点表示的斜率：因为是的中点，所以，结合，得； ⑤等价推导纵坐标相等：由，得，故轴，C正确. 选项D：若直线的斜率为1，则直线的方程为（即）， 代入得. 由韦达定理知，，. 根据弦长公式得，. 由选项C知，故， 所以点到直线的距离. 所以的面积，D正确. 故选：BCD. 2．（25-26高二上·安徽·期末）（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，点，则（   ） A．直线的斜率为 B．的最小值为10 C．若，则 D．过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线过点 【答案】ABD 【分析】对于A，设直线的方程为，联立方程，结合抛物线的定义把解出即可；对于B，过点分别作抛物线准线的垂线，通过抛物线的定义把线段进行转换即可；对于C，将代入，求解即可得到；对于D，设，的方程为，联立抛物线得到直线的方程，再将代入即可求出. 【详解】由题得，可设直线的方程为， 联立，得， 设，则， 则，解得，故A正确， 过点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为， 则，故B正确， 由题意不妨设点分别在第一象限和第二象限，则， 将代入，解得， 则，故C错误， 设，的方程为， 由，得， ， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得， 由，解得， 故直线的方程为，即； 同理可得，直线的方程为； 将代入直线中，， 即， 可看作方程的两个根，， 由，，故直线的方程为，故D正确. 故选：ABD. 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选）如图，抛物线E：，过点P向抛物线E作两条切线，，切点分别为A，B．切线，分别交x轴于C，D．设，则下列说法正确的有（    ） A．过点A的切线方程为 B．当点P在准线上时，的最小值为8 C．当点P在准线上时， D．对任意点P均有 【答案】ABD 【分析】对于A：抛物线E：，可化简为，求导得，结合可得过点A的切线方程；对于B：假设点，可得直线方程，再与抛物线联立，可得，，代入表达式中可得解；对于C：由B可知，再计算，得到求解；对于D：用坐标表示向量，利用数量积公式可得，即. 【详解】对于A：抛物线E：，可化简为，求导得. 所以过点A的切线： ，即.故A正确；                           对于B：设， 切线：过点P，所以， 同理可得，∴直线方程为：， 联立，∴，∴，， ∴，∴， ∴ ，故选项B正确； 对于C：由B知， 所以， ， 则，又有 ，则，故C错； 对于D：， 则 所以 同理可得，所以，即 所以，D正确. 4．（25-26高三上·重庆·阶段检测）（多选）已知抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法中正确的有（    ） A．点F 的坐标为 B．若点A在第一象限， 且， 则直线AB 的斜率为 C． D．过点作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，若点T为C的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】求出焦点坐标判断A；设出直线方程，与抛物线方程联立，利用，结合抛物线定义及数量积的坐标表示求解判断BC；求出直线的方程，并求出点到直线的最大距离即可判断D. 【详解】对于A，抛物线C：的焦点，A正确； 直线不垂直于轴，设其方程为，由消去得， 设，则，，， 对于B，由，得，即，则， 因此，解得，由，得，而， 则，，因此直线的斜率，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，设点，抛物线在点处的切线方程为， 由消去得，即，则， 因此抛物线在点处的切线方程为，同理抛物线在点处的切线方程为， 而这两条切线的交点为，则，即点的坐标均满足方程， 由消去得，解得，， 依题意，抛物线在点处的切线与直线平行， 设抛物线在点处的切线方程为，由消去得， 则，解得，此时，，即点， 点到直线距离的最大值为， 因此面积的最大值为，D正确. 故选：ABD 5．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点和，抛物线在，两点处的切线交于点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】求出焦点为及，由过点的直线与抛物线交于不同的两点和得到存在斜率，设过点的直线的方程为，，直线代入，整理得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到，求出，，，利用公式求出，利用导数的几何意义求出抛物线设在点处的斜率为，利用点斜式求出抛物线设在点处的切线方程为，同理得到抛物线设在点处的切线方程，这两条切线联立方程组求出交点得到点的坐标，利用两点间距离公式求出，计算，利用基本不等式求出最小值. 【详解】的焦点为，，， 过点的直线与抛物线交于不同的两点和，存在斜率， 设过点的直线的方程为，， 代入，得到，整理得到， 则，， ， ， ，，， ， 变形为，， 抛物线设在点处的斜率为， 则抛物线设在点处的切线方程为：， 即， 同理可得抛物线设在点处的切线方程为：， 将代入， 得到， 解得， 将代入， 解得， 将代入 得到， 将代入， 得到， 则， ， ， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值为. 故答案为：. 拔高·压轴破难 题型5 蒙日圆 【方法总结】蒙日圆是圆锥曲线的几何性质之一，其核心特征是：‌圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，切线交点的轨迹构成一个圆‌。以下是具体性质和结论： 1、椭圆的蒙日圆： 2、双曲线的蒙日圆： 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）（多选）加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆：相切，则下列说法正确的是（     ）    A．椭圆的左焦点为 B．椭圆的蒙日圆方程为 C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为14 【答案】BD 【分析】A.由 三者的关系求解；B. 由蒙日圆公式可得；C.由正方形的对角线等于圆的直径求解；D. 由基本不等式求解. 【详解】A. ，椭圆焦点坐标 ，左焦点为 ，A 错误； B.由蒙日圆公式，蒙日圆方程为，B 正确； C.正方形四个顶点在圆 上，圆半径 ，对角线长 ， 设正方形边长为 ，对角线 ，，C 错误； D.设长方形长、宽分别为 ，由圆内接矩形，由均值不等式，当且仅当 时取等，面积最大值为 14，D 正确. 2．（25-26高二上·山东济南·期中）法国著名的数学家蒙日首先发现，椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，A，B为上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，则的焦距的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的焦距的范围. 【详解】由题意知，圆为椭圆的“蒙日圆”， 如图，A，B为上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角， 则点在圆外，又动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，得，所以， 则，即， 则的焦距的取值范围为． 故选：A 3．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）（多选）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．椭圆的离心率为，则的范围为 D． 【答案】ABD 【分析】由题意可知点在椭圆的外部，可判断A；由直线与蒙日圆有2个交点及直线与椭圆没有交点，求出的范围，即可判断B；结合B及离心率的定义，可判断C；由直线与圆相交的弦长公式可得,利用转化思想及函数的单调性，求出其范围后，即可判断D. 【详解】由过直线上任一点可作椭圆的两条切线， 可知点在椭圆的外部， 所以，A项正确； 椭圆（）对应的蒙日圆方程为， 由已知可得圆与直线有2个交点， 设圆心到直线的距离为， 则，则. 由题意可知直线与椭圆没有交点， 将与联立， 得没有实根， 所以，则有， 综上，B项正确； ， 由B知， 则，C项错误； 线段为蒙日圆的一条弦， 则， 所以, 令， 则, 易知单调递增， 所以，D项正确. 4．（25-26高三上·安徽宿州·期末）（多选）在椭圆（双曲线）中，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，这个圆被称为该椭圆（双曲线）的蒙日圆.已知双曲线的蒙日圆方程为为坐标原点，点在双曲线上，与双曲线的蒙日圆交于点，则（    ） A．若点的坐标为，且的蒙日圆的半径为1，则的方程为 B．若点的坐标为，则的蒙日圆面积最大值为 C．的最小值为 D．若为的中点，则的离心率的最大值为 【答案】ACD 【分析】对A，根据题意建立的方程组求解；对B，由，可得，利用基本不等式求出得解；对C，由结合得解；对D，根据题意，结合C选项可得，化简结合离心率公式求解. 【详解】对于A，若点在上，则有，又因为，联立解 得，故A正确； 对于B，由 ， 当且仅当等号成立，所以的蒙日圆的面积，故B错误； 对于C，由，当且仅当为双曲线的左，右顶点时取到等号，故C正确； 对于D，若为线段的中点，此时，由C选项的结论可得，， 解得，又，所以，故，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是结合C选项得到，进而得到的不等关系得解. 题型6 彭塞列闭合定理 【方法总结】若一个三角形的三边都与某圆锥曲线（如圆）相切，则其三个顶点必落在另一条圆锥曲线上（如抛物线）；反之，抛物线上三点构成的三角形若两边为切线，则第三边也与该曲线相切。 1、切线与弦的转化：遇到抛物线上两点连线与某圆相切、且另两条切线也与该圆相切的问题，直接利用“三边均与圆相切”的三角形性质，将条件转化为切线长相等或角度关系。 2、设点与切线方程：设抛物线上两点坐标，写出切线方程，利用圆心到切线距离等于半径建立等式，再证明第三边也满足相切条件。 3、韦达定理与斜率关系：通过联立切线方程与抛物线方程，利用韦达定理得到切点坐标关系，再结合圆的性质推导。 注意：彭赛列定理是几何背景，解题时仍需回归解析几何的基本方法（设点、联立、判别式、距离公式），不宜直接套用定理结论，除非题目明确要求证明该性质。 1．（2026高三下·全国·专题练习）过抛物线上的点作圆的两条切线PA、PB，与抛物线E分别交于A、B两点（如图），则直线AB的方程为_______． 【答案】 【分析】设过点的圆的切线斜率，利用切线的距离性质得到斜率满足的二次方程及韦达定理关系，联立切线与抛物线得到、横坐标与斜率的关系，再结合抛物线上两点所在直线的规律推导得到直线的方程 【详解】设过点的切线方程为，整理得， 圆：的圆心，半径，则 ，整理得， 设两条切线斜率为，由韦达定理得， 切线与抛物线联立得， 已知一个根为（对应点），由韦达定理得另一根， 同理，且，， 所以， 所以直线的方程为，即， 整理得，又，所以， 即. 2．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知为抛物线上一点，过点作圆的两条切线分别交抛物线于、，设切点为、.若，则的所有可能取值的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，可得出抛物线的方程，设点、，分析可知，且这两条切线的斜率都存在，设直线、的斜率分别为、，设过点且斜率存在与圆相切的直线的方程为，利用直线与圆的位置关系，结合韦达定理、斜率公式可得出关于实数的二次方程，结合韦达定理求解即可. 【详解】将点的坐标代入抛物线方程得，解得，故抛物线的方程为， 圆的圆心为，半径为，不妨设点、， 由切线长定理可得，因为，则，故， 过点且与圆相切的一条切线与轴垂直时， 不妨设这条直线为，则直线的方程为，则，解得或， 当时，不妨设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 又因为， 解得，则， 此时， 易知、关于轴对称，则，不符合题意， 同理可知，当时，，不符合题意； 所以直线、的斜率都存在，设这两直线的斜率分别为、， 设过点且斜率存在与圆相切的直线的方程为， 即， 圆心到直线的距离为， 整理可得， 由题意可知、为关于的二次方程的两根， 所以①，②， 因为，同理可得， 又因为， 由圆的几何性质可知平分，因为，则， 且，所以，所以， 由②①得，即， 整理可得，故所有的取值之和为， 故选：D. 3．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）（多选）已知直线交抛物线于P，Q两点，且，A，B，C是抛物线E上三点，直线AB，AC与圆相切于D，G两点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线E的方程为 B．直线BC与圆M相切 C．的最大值为1 D．过点A的直线与圆M交于T，H两点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A项，利用，所以求解；对于B项，设，则，所以直线．同理可得，直线，直线．再由直线与圆相切求解；对于C，设，则进行求解；对于D项，由切割线定理，得进行求解． 【详解】对于A：在中，当时，， 因为，所以， 所以，所以，故A正确； 对于B：设，则， 所以直线． 同理可得，直线， 直线． 因为直线AB，AC与圆M相切， 所以圆心M与AB，AC的距离， 所以， 所以为方程的两根， 所以， 所以圆心M与BC的距离， 所以直线BC与圆M相切，故B正确； 对于C：设，则． 又因为，所以． 又因为， 当且仅当时取等号，所以，故C错误； 对于D：由切割线定理，得， 当且仅当时取等号，故D正确． 故选ABD． 4．（2026·贵州贵阳·模拟预测）（多选）已知直线交抛物线于P，Q两点，且（为坐标原点），A，B，C是抛物线上三点，直线AB，AC与圆相切于D，G两点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．AM的取值范围是 C．的最大值为 D．直线BC与圆相切 【答案】ACD 【分析】对于A项，利用，所以求解；对于B项，设，则结合二次函数的性质求解即可；对于C，设，则进行求解；对于D项，设，则，所以直线，同理可得，直线，直线；再由直线与圆相切求解. 【详解】对于A：在中，当时，， 因为，所以，解得，所以，故A正确； 对于B：设，则，所以，所以B错误； 对于C：设，则， 则.由B项已得， 当时取等，故，故C正确； 对于D，如图，设，则， 所以直线：， 化简得直线方程：，同理可得直线， 直线. 因为直线AB，AC与圆相切，所以圆心与AB，AC的距离， 化简得， 即为方程的两根，故， 因为圆心与BC的距离， 所以直线BC与圆相切，故D正确，    故选：ACD. 5．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知圆和抛物线，F为C的焦点，点是抛物线上的动点，当时，，过动点P作圆E的两条切线，切点分别为M、N． (1)求抛物线的标准方程； (2)当时，求的最小值． (3)设直线PM、PN分别交C于另两点A、B，是否存在实数，使得当点P在C上运动时，直线AB总与圆E相切？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由点是抛物线C上的动点，当时，，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）当时，求得圆的圆心为，半径为，过点作圆的切线，切点为，得到，在直角中，得到，结合倍角公式和二次函数的性质，即可求解； （3）假设存在实数满足题设中的条件，当点与坐标原点重合时，设切线的斜率分别为，求得，得到的方程为，求得，结合直线与圆的位关系的判定方法，即可得证. 【详解】（1）由抛物线的焦点坐标为， 因为点是抛物线C上的动点，当时，， 可得，即，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）当时，圆的方程为，可得圆的圆心为，半径为， 因为点是抛物线上的动点，可得， 过点作圆的切线，切点为， 则，其中为切线与的夹角， 在直角中，可得， 所以， 又由， 当时，， 所以的最小值为. （3）假设存在实数满足题设中的条件， 当点与坐标原点重合时，设切线的斜率分别为， 则圆心到直线的距离为，可得， 将代入抛物线，可得， 则直线的方程为， 由直线与圆相切，可得， 联立方程组，解得（负值舍去）； 下面证明：当时，对于抛物线上任意一点，直线与圆相切， 设点， 则直线的方程为， 即， 同理可得，直线的方程为， 所以直线的方程为， 因为直线与圆相切，则， 即， 同理可得，直线与圆相切，可得， 则为方程的两个不等的实数根， 则， 点到直线的距离为， 所以直线与圆相切， 综上可得，存在，使得当点在曲线上运动时，直线与圆相切. $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10圆锥曲线切线问题与阿基米德三角形 题型图谱导航总览 基础固本强基 题型1椭圆双曲线的切线 题型2圆锥曲线的光学性质 提升进阶突破 题型3抛物线的焦点弦性质（难点） 题型4阿基米德三角形（重难点） 题型5蒙日圆（难点） 拔高压轴破难 题型6彭塞列闭合定理（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1椭圆双曲线的切线 【方法总结】 1、椭圆的切线方程 ①对于过椭圆上一点P(xo,yo)的切线方程，只需将椭圆方程中x换为Xox,y换为yoy可得 焦点在X轴上 a2 1,焦点在y桶上 Xox yoy yXox=1 a2 b2 ②过椭圆外一点P(x,yo,做椭圆的两条切线，则切点弦方程为焦点在X轴上 Xox yoy =1;焦点在y yoy Xox_ 轴上 a b3>1 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③椭圆 方=1(a>b>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A?a2+Bb2=c 2、双曲线的切线方程 被X,一在双迪线。。上：过点M作双曲线的骏方程为为力 M(X,y,在双曲线Y二=1外，则点M对应切点弦方程为Xx.y 若 ab2 0262=1 1. (25-26高三全国二轮复习)已知椭圆C: +。=,直线1：x+y=6N2,M是平面上一动点，若由 M 向椭圆引两条切线 ,山，且与的夹角为纯角，则动点M到直线'的距离的取值范围是 2。(2026高三全国专题练习)已知人B分别为椭圆C:+号 4+3=1的左、右顶点，过直线：x=4上任一 点作C的两条切线，切点分别为Q,R,则四边形ABR面积的最大值为一 3.(26-27高二上河南期中)如果两个椭圆的长轴长之比等于短轴长之比，那么称这两个椭圆为相似椭 x x2y2 圆，并将长轴长之比称为相似比已知两个相似椭圆C:2+少=1和C,:京+京=1（a>b>1)的相似 2 比为2，A为C上一动点，过A作椭圆C的两条切线，切点分别为B,D,直线AB的斜率和直线AD 的斜率均存在且均不为0，则直线AB的斜率与直线AD的斜率之积为 4.(2627高三上河北商水阶段检测)《多选)已知椭圆C:苦+y-1,点P,)在c的第一象限部 4 分上.C在点P处的切线分别与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点，O为坐标原点，则() A.切线AB的方程为￥+=1 B.040B≥4V2 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.AB≥3 D.当AB=3时，直线R的斜率为-Y2 AB .x2 5。(2026山西忻州模拟预测)（多选）椭圆E:4+少=1上有一点p位于第一象限.过p作椭圆E的 切线，该切线与严轴、'轴正半轴分别交于M,N. SAOMN=4」 .若 ，其中为坐标原点，则下列说法正确 的是() A.满足条件的点P有且仅有2个 B.lopp 的两个可能值之和为5 C.切线的斜率一定小于-1 D.两条可能切线的斜率之积为4 提升进阶突破 题型2圆锥曲线的光学性质 【方法总结】 山、椭圆的光学性质 (1)从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点； (2)椭圆在点P处的切线为L,直线PQ⊥1交直线F1F2于点Q,则PQ平分∠FPF2,由角 平分线性质定理， PFQF PF2QF2 2、 双曲线的光学性质 (1)从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点； 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)双曲线在点P处的切线/与直线FF,相交于点Q,则PQ平分∠F1PF2,由角平分线性质 定理， PF QF PF2QF2 1. (25-26高二下·贵州阶段检测)如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过 .x2y2 双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点，若双曲线B:。厅-1(a>0,b>0)的左、 ，月，从点发出的光线经过图2中的点4，“反射后，分别经过点，且 F 4,B C,D 右焦点分别为 cs∠BAC=号4=2A,则双曲线E的离心率为() 图1 图2 V37 V37 A.2 B.3 C.3 D.2 2.(25-26高二上·云南昆明期末)抛物线光学几何性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴 方向射出。如图，已知抛物线C:少=8x,一条光线经过点 (9,y) 与x轴平行射到抛物线C上，两次 反射后从点 N(7, 射出，根据光路可逆原理，光线从点M到点V经过的总路程是() 4/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.18 B.19 C.20 D.21 3.(25-26高二上贵州黔东南~阶段检测)（多选）抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经 抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴探照灯就是利用了这个光学性质如图，某探照灯的轴截 面是抛物线C的一部分，其方程为广=2m(p>0 ,焦点为F,光线从点F出发，经抛物线反射，反射光 线所在直线为MN,∠Mx<0,若FM=2,则MN所在直线的方程为=5，A为揽物线C上的动点 下列选项正确的是() A抛物线C的方程为广=2x AF B.若直线AB过点F,且倾斜角为60°，且AF>BF,则BF的值为3 V2 C.若直线4B过点F’AF=3,则。4OB的面积为2 。方品限花太时烟的为 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高二上山东聊城期末)椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后， x 反射光线过椭圆的另一个焦点，即椭圆上任意点的切线与两焦半径所成的夹角相等椭圆4+少=1的左、 F:E: 右焦点分别为 为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点P,过点P且垂直'的直线交椭圆的长轴 PF 于点M若|PMFM引，则PE的值为 5.(2026河北邢台·三模)椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反 光线经过椭圆的另二个焦点已知椭圆2：之+京(a>6>0)的左、右焦点分别为R,E,左、右顶 别为 4,上顶点为N,P为P上一点，0在点P处的切线为，过点P且与垂直的直线与椭圆的长 轴交于点M,且RPM=∠PM,若△4N4的面积S44=PSPS,4,4到的距离之和为9，则 的离心率为() 1 3 V15 3 A.4 B.3, C.4 题型3抛物线的焦点弦性质 【方法总结】 切线方程和切点弦方程 抛物线y=2pr(p>0)的切线方程为%y=p(r+),,%)为切点 彻点弦方程为y=x+),点)在抛物线外 已知A)、B()是过抛物线y=2pr(P>0)焦点F的弦，M是AB的中点，I是抛物线的准线， MN⊥I,N为垂足， 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)以AB为直径的圆必与准线I相切，以AF（或BF)为直径的圆与y轴相切； (2)FN⊥AB,FC⊥FD X1X2= (3) 4：2=-p2 (4)设BD⊥1，D为垂足，则A、O、D三点在一条直线上 C:y2=4x 1.(25-26高二上·山东潍坊阶段检测)（多选）已知抛物线 的焦点为F,准线为，过点F的 直线与抛物线交于P(,）,(,)两点点P在'上的射影为乃，点0为坐标原点，则下列说法正确的 是() A.过点M(01)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条 B.以PQ为直径的圆与x=0相切 c.设M(o,,则PM+PA25 D.若PO=8,则△0P0的面积为22 C:y=4 2.(25-26高二上山西运城期末)（多选）已知抛物线 4“的焦点为F,准线为，过点F的直线 C P,2 P,O 1 与抛物线交于两点，点在上的射影分别为 几，2，准线'与”辅的交点为E,则下列说法正确 的是() A若Pg=8 则直线P9的方程为：y=x- B.以PQ为直径的圆与准线I相切 c.设o,）,则PM+Prl22 D.REHOE-EFP 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C:y2=2px(p>0) 3.(2026河北张家口·三模)（多选）已知抛物线 的焦点为F,准线为1，过点F的直 A,则 线与C交于A,B两点(A在第一象限)，与I交于点M,过点A,B分别作I的垂线，垂足为， 下列说法正确的是() A.者H=3Om0为原点)，则m=号 B.以线段MF为直径的圆恒过I与x轴的交点 C.若4M=2BM,则直线AB的斜率为25 AB D.原点O到直线的距离与到直线AB的距离之比为定值 C:y2=8x 4.(2026河南·三模)（多选）已知抛物线 ,过抛物线C的焦点F的直线I与C交于A,B两点， 若以线段AB为直径的圆与y轴交于D,E两点，则() A.AB≥8 B.以线段AB为直径的圆与直线x=-2相切 1 DE 0. C.n F=1 D.AB的取值范围是2 5.(2026山东淄博二模)（多选）包知抛物线C:广=2mp>0 的焦点尸在直线，x=m+1 上，直 线I与抛物线交于A,B两点，点A在第一象限，过A,B分别作准线的垂线，垂足分别是D,H,则下列说法 中正确的是() A.以线段AB为直径的圆与y轴相切 B.2AF例+|BF 的最小值为3+2V2 C.|DFHF≥8 D若向金价=2万，则5w39 2 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型4阿基米德三角形 【方法总结】 郁阿基米德三角形指圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。 阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时） 性质1：MF⊥AB;MA⊥MB; 性质2：MN/x轴： 性质3：S△ABw最小值为p2 C:y=4x 1.(25-26高二上河南南阳阶段检测)（多选）已知抛物线 ,点P在其准线上运动，过P作抛 物线的两条切线，切点分别为A,B,且直线AB过焦点F,则下列说法正确的有() 21AF+BF 2W2+2 的最小值为 kAkB为定值 B C.若N为弦AB的中点，且N与F不重合，则PNx轴 8v2 D.若直线1B的斜率为1，则△PMB的面积为 2.(25-26高二上·安徽期末)（多选)己知抛物 C:=4y的焦点为F,过点F的直线'与抛物线C交 于M,N两点，且 MN=6P(2,9),0(n,-l ,点 ,则() A。直线，的斜率为士5 Γ2 B.PM+M的最小值为10 MF=3+2 C.若MF>NF,则NF 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.过点作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB过点F x2=4y 3.(2026安徽合肥模拟预测)（多选）如图，抛物线E: ,过点P向抛物线五作两条切线PA PB,切点分别为A,B.切线PA,PB分别交x轴于C,D.设A(, ’,则下列说法正确的有() VA A.过点A的切线方程为x=2(+) B.当点P在准线上时， PAPBI 的最小值为8 PC AB =2 PB CD C.当点P在准线上时， D.对任意点P均有∠AFP=∠BFP y2=4x 4,(25-26高三上重庆·阶段检测)，（多选）已知抛物线C: 的焦点为F,经过点F的直线交抛物 线C于A,B两点，则下列说法中正确的有() A.点F的坐标为L,0) B.若点A在第一象限，且M=2B 则直线AB的斜率为22 C O4-OB=0 D.过点H(-2,)作抛物线C的两条切线，切点分别为M,N,若点T为C的曲线段MON上任意一点， 7 则ATMN面积的最大值为4 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26高二上浙江杭州期末)己知F为抛物 C:=Ay 的焦点，过点F的直线与抛物线C交于不 32 PF+ 同的两点A和B,抛物线C在A,B两点处的切线交于点P,则 AB的最小值为 拔高压轴破难 题型5蒙日圆 【方法总结】蒙日圆是圆锥曲线的几何性质之一，其核心特征是：圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切 线，切线交点的轨迹构成一个圆。以下是具体性质和结论： 1、 椭圆的蒙日圆：x2+y2=a2+b2 2、双曲线的蒙日圆：x2+y2=a2-b2 1. (25-26高二上·云南文山阶段检测)（多选）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的数学家，他在研 究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个 x2.y2 圆被称为“蒙日圆”（如图所示）·当椭圆方程为京+不=1(a>b>0)时，蒙日圆方程为x2+y=a+b2. 已知长方形的四边均与稀圆M:+相切，则下列说法正确的是（> A.椭圆M的左焦点为-2,0) B.椭圆M的蒙日圆方程为r+少=7 C.若G为正方形，则G的边长为25 D.长方形G的面积的最大值为14 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2,y2 2.（25-26高二上山东济南期中)法国著名的数学家蒙日首先发现，椭圆。+尔=1@>b>0)的两条相 x2+y2=a2+b2 互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为 已知椭圆 B三+兰-1的东点在x#上4，B为g上任应两点，动点p在直线x-5-8=0上者∠AB证为饭角， m 2 则E的焦距的取值范围为() A.(0,4v5 B.(0,2V5 c.(2V2,4) D.(V2,2) 3.(25-26高三下·辽宁·阶段检测)（多选)蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆 京+尔=1(a>6>0)的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为 R+y=a+点E,E为椭圆C:+yIa>的两焦点，过直线-y+4=0上狂一点p可作圆。 A,B , RA⊥RB,PA⊥PB 的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得 ，则下列说法正确的是 () A.IPEl+IPEl>2a B.3<a2<15 28 C.椭圆的离心率为e'则e的范围为3'g 415-V15 0. 4.(25-26高三上·安徽宿州期末)（多选）在椭圆（双曲线）中，任意两条相互垂直的切线的交点都在 同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，这个圆被称为该椭圆（双曲线）的蒙日圆·已知双曲线 C22 京存=1(@>b>0)的蒙日圆方程为r+y=a2-,0为坐标原点，点p在双曲线c上，O与双曲线 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 的蒙日圆交于点，则() x2 y2 =1 A.若点p的坐标为(3,2)，且c的蒙日圆的半径为1，则c的方程为3-2 B.若点P的坐标为B2 则C的蒙日圆面积最大值为2元 c.P9的最小值为a-va-b 7 D.若g为Op的中点，则c的离心率的最大值为2 题型6彭塞列闭合定理 【方法总结】若一个三角形的三边都与某圆锥曲线（如圆）相切，则其三个顶点必落在另一条圆锥曲线上 (如抛物线)；反之，抛物线上三点构成的三角形若两边为切线，则第三边也与该曲线相切。 1、 切线与弦的转化：遇到抛物线上两点连线与某圆相切、且另两条切线也与该圆相切的问题，直接利用 “三边均与圆相切”的三角形性质，将条件转化为切线长相等或角度关系。 2、 设点与切线方程：设抛物线上两点坐标，写出切线方程，利用圆心到切线距离等于半径建立等式，再 证明第三边也满足相切条件。 3、韦达定理与斜率关系：通过联立切线方程与抛物线方程，利用韦达定理得到切点坐标关系，再结合圆！ 的性质推导。 注意：彭赛列定理是几何背景，解题时仍需回归解析几何的基本方法（设点、联立、判别式、距离公 式)，不宜直接套用定理结论，除非题目明确要求证明该性质。 1.(2026商三下全国专题练习)过抛物线E:y=上的点P收24作圆Cr+0-2 的两条切线 PA、PB,与抛物线E分别交于A、B两点（如图），则直线AB的方程为 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26高=上江苏阶段检测)已知P5,10)为抛物线广=2(p>0)上一点，过点P作圆 E:(x-a2+y2=1 的两条切线分别交抛物线于C、D,设切点为A、B.若AB1CD,则a的所有可能取值 的和为() 10 11 A.2 B.3 C.4 D.2 :x=1 3.(25-26高三上四川绵阳阶段检测)（多选）已知直线 E:y=2pp>0)于P,Q两 交抛物 点，且OP100,4,B,C是物线B上三点，直线4,4C与 M:x-2+少=引相切于D,G两点， 则下列说法正确的是() y=x A.抛物线E的方程为 B.直线BC与圆M相切 MD.MG 的最大值为1 3 D.过点A的直线与圆M交于T,H两点，则|ATAH的最小值为4 :x=1 4.(2026贵州贵阳模拟预测)（多选）已知直线 交抛物 E:y=2p>0于P,0两点，且 0P1000为坐标原点)，4，B,c是抛物线E上三点，直线4，AC与圆M:(-2少+广=相切于 D,G两点，则下列说法正确的是() 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.抛物线B的方程为广=x B.AM的取值范围是N2,o) 1 C,MD.MG的最大值为7 D.直线BC与圆M相切 5.(25-26高三下重庆北倍开学考试)已知园E:(x-+y=4(a>0)和抛物线C:广=2p(p>0),F P(xo,yo 为C的焦点，点 是抛物线C上的动点，当6-%≠0时，PF=5,过动点P作圆E的两条切线， 切点分别为M、N (1)求抛物线C的标准方程； (2)当a=4时，求cos∠MPN的最小值. (3)设直线PM、PN分别交C于另两点A、B,是否存在实数a,使得当点P在C上运动时，直线AB总与圆 E相切？若存在，请求出a的值：若不存在，请说明理由. 15/15