学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷·提升卷（人教A版，范围：选择性必修第一册第一章～第三章）

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知向量，向量，若，则实数（   ） A．10 B．4 C． D． 2．（热点）经过点和点的直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 3．已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 5．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（热点）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．若直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两条直线：与，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若直线的一个方向向量为，则 D．当时，始终不过第四象限 10．已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，已知正方体的棱长为2，点，在正方体的面内（包括边界），若，，则下述结论正确的是（   ） A．二面角的平面角的正切值为2 B． C．点的轨迹长度为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若向量，，则___________. 13．若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为___________. 14．已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知顶点、、． (1)求边所在的直线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 16．（15分） 已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线方程． (2)若圆与圆相交于，两点，求直线的方程以及公共弦的长． 17．（15分） 已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过右焦点F且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△OAB的面积. 18．（17分） 如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，分别连接、就得到了一个空间五面体（如图2）. (1)若是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面； (2)若图2中的，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为?若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 19．（17分） 已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) G D A G E B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D A D D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABC BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．46 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由、，可得直线的斜率为， 所以边所在的直线的方程为，即；（5分） （2）当直线过坐标原点时，其斜率为，方程为.此时，直线的纵截距和横截距均为零，符合题意；（7分） 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为，所以在圆外； 当切线斜率存在时，设切线，即， 所以，解得，即切线方程为；（2分） 当切线斜率不存在时，切线方程为，且，故满足条件， 综上所述，切线方程为或.（5分） （2）， 将的方程相减可得，即，（8分） 所以直线的方程为； 因为的圆心为，半径为， 所以.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由长轴长得，离心率，得，（2分） 则， 故椭圆标准方程为.（5分） （2）右焦点，直线的斜率为，方程为. 联立，消去得，，（8分） 设，，则，. . 的面积.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）证明：取中点，连接，， 由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点， 所以且，所以且， 则四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面；（3分） （2）因为在图1中，，且，， 在图2中上述关系依然成立， 以为坐标原点，，分别为轴，轴正向， 垂直平面向上方向为轴，建立空间直角坐标系，（5分） 则，，， ，，，所以， 又因为，平面，所以， 所以，，， 设平面的一个法向量， 则，则有， 取， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为；（8分） （3）存在. 假设存在满足条件的点， 设，所以， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 所以，取， 由（2）知平面的一个法向量， 则，（13分） 又平面与平面所成的二面角的余弦值为， 则，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以当与点重合时，满足题意， 即在棱上存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为.（3分） （2）①证明：如图，设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以，（5分） 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点；（8分） ②， 由①得，解得，（13分） 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知向量，向量，若，则实数（   ） A．10 B．4 C． D． 2．（热点）经过点和点的直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 3．已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 5．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（热点）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．若直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两条直线：与，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若直线的一个方向向量为，则 D．当时，始终不过第四象限 10．已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，已知正方体的棱长为2，点，在正方体的面内（包括边界），若，，则下述结论正确的是（   ） A．二面角的平面角的正切值为2 B． C．点的轨迹长度为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若向量，，则___________. 13．若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为___________. 14．已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知顶点、、． (1)求边所在的直线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 16．（15分） 已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线方程． (2)若圆与圆相交于，两点，求直线的方程以及公共弦的长． 17．（15分） 已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过右焦点F且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△OAB的面积. 18．（17分） 如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，分别连接、就得到了一个空间五面体（如图2）. (1)若是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面； (2)若图2中的，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为?若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 19．（17分） 已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知向量，向量，若，则实数（   ） A．10 B．4 C． D． 1．【答案】B 【解析】因为，，， 所以，解得. 故选：B. 2．（热点）经过点和点的直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 2．【答案】C 【解析】由题知直线斜率存在，且， 设直线倾斜角为， 则，． 故选：C． 3．已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．【答案】D 【解析】由方程表示的曲线是椭圆， 则且， 故选：D. 4．已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 4．【答案】A 【解析】由题意可知，若，，，四点共面，则，， 即， 所以， 又，所以，，， 可得，即，所以. 故选：A. 5．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为， 所以，解得，即所求圆的圆心坐标为， 故圆关于直线对称的圆的方程为. 故选：D. 6．（热点）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．【答案】D 【解析】由为圆的直径，且点在该圆上，则， 设，，由题意不妨设在第一象限，则， 由，则，化简可得， 所以离心率. 故选：D. 7．若直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．【答案】C 【解析】由题意，直线l的方程可化为， 所以直线l恒过定点， ，可化为（）其表示以为圆心，半径为2的圆上半部分， 如图，当l与该曲线相切时，点到直线的距离，解得. 设，则. 由图可得，若要使直线l与曲线有两个交点，则. 故选：C. 8．在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．【答案】A 【解析】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系. 则平面的一个法向量为， 设正三棱柱中，，则，， 所以， 所以, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两条直线：与，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若直线的一个方向向量为，则 D．当时，始终不过第四象限 9．【答案】AD 【解析】对于A，直线，由得，始终过定点，A正确； 对于B，当时，直线与直线重合，B错误； 对于C，由选项得直线的斜率，显然， 而，则有， 此时，斜率为，两直线斜率乘积不为， 直线与直线不垂直，C错误； 对于D，当时，， 因为，，所以直线经过第一、二、三象限， 可得始终不过第四象限，D正确． 故选：AD. 10．已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．【答案】ABC 【解析】设，， 因为，直线的斜率为，则设直线的方程为， 联立方程，消去y得，解得或， 又因为点在第一象限，则，即， 因为，即，故正确； 因为，所以，故B正确； 且，故C正确； 因为， 且直线的方程为，即为， 原点到直线的距离为， 所以，故D错误. 故选：ABC. 11．如图，已知正方体的棱长为2，点，在正方体的面内（包括边界），若，，则下述结论正确的是（   ） A．二面角的平面角的正切值为2 B． C．点的轨迹长度为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 11．【答案】BD 【解析】对于A：连接相交于，连接, 由于，且，故， 因此为二面角的平面角， 故，故A错误； 对于C：在正方体中， 平面，平面， 所以，故，则有， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 所以轨迹长为，故C错误； 对于B：在正方体中，平面平面，且两平面交线为, 平面，故平面， 因为，则平面，故在上， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为点的轨迹是线段，所以可设，， 则， ， 则,,， 所以,,，， 故， 进而可得，故，故B正确； 对于D：，，， 设平面的一个法向量为， 则有，即，令，则，， 故平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 则， 当时，有最大值， 故与平面所成角的正弦值的最大值，故D正确． 故选：BD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若向量，，则___________. 12．【答案】46 【解析】由，， 则，， 所以. 故答案为：46. 13．若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为___________. 13．【答案】 【解析】易知，设椭圆中心为， 不妨设坐标分别为，则有： . 两式作差可得：， 的中点为， . 即， 解得. 故可设直线的点斜式：， 整理得直线的方程为：. 故答案为：. 14．已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是___________. 14．【答案】 【解析】易知圆的圆心为，半径为3， 且圆上恰有两个点到直线的距离为1， 所以到直线的距离满足， 由，得， 因为，所以正数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知顶点、、． (1)求边所在的直线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 15．（13分） 【解析】（1）由、，可得直线的斜率为， 所以边所在的直线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，其斜率为，方程为.此时，直线的纵截距和横截距均为零，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 16．（15分） 已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线方程． (2)若圆与圆相交于，两点，求直线的方程以及公共弦的长． 16．（15分） 【解析】（1）因为，所以在圆外； 当切线斜率存在时，设切线，即， 所以，解得，即切线方程为； 当切线斜率不存在时，切线方程为，且，故满足条件， 综上所述，切线方程为或. （2）， 将的方程相减可得，即， 所以直线的方程为； 因为的圆心为，半径为， 所以. 17．（15分） 已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过右焦点F且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△OAB的面积. 17．（15分） 【解析】（1）由长轴长得，离心率，得， 则， 故椭圆标准方程为. （2）右焦点，直线的斜率为，方程为. 联立，消去得，， 设，，则，. . 的面积. 18．（17分） 如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，分别连接、就得到了一个空间五面体（如图2）. (1)若是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面； (2)若图2中的，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为?若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 18．（17分） 【解析】（1）证明：取中点，连接，， 由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点， 所以且，所以且， 则四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在图1中，，且，， 在图2中上述关系依然成立， 以为坐标原点，，分别为轴，轴正向， 垂直平面向上方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ，，，所以， 又因为，平面，所以， 所以，，， 设平面的一个法向量， 则，则有， 取， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）存在. 假设存在满足条件的点， 设，所以， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 所以，取， 由（2）知平面的一个法向量， 则， 又平面与平面所成的二面角的余弦值为， 则，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以当与点重合时，满足题意， 即在棱上存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为. 19．（17分） 已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 19．（17分） 【解析】（1）由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为. （2）①证明：如图，设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $