精品解析：河北省 区张家口市第七中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学月考 2025.12 本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程），进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意 ； C、∵，∴的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、是一元二次方程，故该选项符合题意 ； 故选：D 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A. sinA＝ B. tanA＝ C. cosA＝ D. tanB＝ 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝＝＝3， ∴sinA＝，故选项A错误； tanA＝，故选项B错误； cosA＝，故选项C正确； tanB＝，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键． 3. 反比例函数 的图象不经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的函数值．通过代入每个点的x坐标到函数中，计算对应的y值，若与点的y坐标不匹配，则该点不在图象上． 【详解】解：∵ 反比例函数为 ， 当时，，所以经过，A选项不合题意． 当，，所以经过，B选项不合题意． 当，，所以不经过，C选项符合题意． 当，，所以经过，D选项不合题意． 故选：C． 4. 下列几何体都是由5个棱长为1的正方体组成的，从左面看它们的形状图，其中与其他三个不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体，找到从物体的左面看得到的图形是关键．找到从左面看得到的图形，再比较即可． 【详解】解：A、从左面看得到的图形为， B、从左面看得到的图形为， C、从左面看得到的图形为， D、从左面看得到的图形为， 可以看出只有选项B从左面看得到的图形与其他选项从左面看得到的图形不同， 故选：B． 5. 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ） A. 0 B. 0或﹣1 C. 1 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】直接把x＝0代入进而方程，再结合a+1≠0，进而得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0， ∴a2+a＝0，且a+1≠0， 则a的值为：a＝0． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零． 6. 两张等宽的纸条按照如图方式交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，下列结论错误的是（ ） A. 四边形菱形 B. C. AC⊥BD D. 四边形面积 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形判定和性质，面积法等知识，掌握菱形的性质是解题的关键． 两张等宽的纸条的宽为h，根据题意可得，，从而得到四边形是平行四边形，再由，可得，进而得到四边形是菱形，然后根据菱形的性质和面积公式即可判断． 【详解】解：设两张等宽的纸条的宽为h， 纸条的对边平行， ，， ∴四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是菱形， ， A选项说法正确，故该选项不符合题意； B选项说法正确，故该选项不符合题意； 菱形的对角线垂直且互相平分， ， 选项C正确，故该选项不符合题意； 、是菱形的对角线， 四边形ABCD面积， D选项说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连接，交线段于点P．若要使点P把线段分成的两条线段，则（ ） A. 只有方法1对 B. 只有方法2对 C. 方法1，2都对 D. 方法1，2都错 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：方法，连接，， 由网格可知，，， ∴， ∴； 方法，连接，， 由网格可知，，， ∴， ∴； 综上可知：方法，都对， 故选：． 8. 如图，在⊙O中，，则下列结论正确的是( ) A. AB>2CD B. AB＝2CD C. AB<2CD D. 以上都不正确 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：首先取的中点E，连接AE，BE，由在⊙O中， =2，可证得==，即可得AE=BE=CD，然后由三角形的三边关系，求得答案． 解：取的中点E，连接AE，BE， ∵在⊙O中，=2， ∴==， ∴AE=BE=CD， ∵在△ABE中，AE+BE＞AB， ∴2CD＞AB． 故选C． 9. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设与墙垂直一边长为，则与墙平行的一边长为， 根据题意得：． 故选：A． 10. 抛物线的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．抛物线的对称轴可通过求其与x轴交点坐标，再求出这两个交点坐标的中点得到对称轴，即可作答． 【详解】解：∵， ∴令时，则， 解得， 即抛物线与x轴的交点坐标分别是， 则对称轴为直线， 故选：B． 11. 关于x的一元二次方程中，，则该方程根的情况正确的是（ ） A. 无实数根 B. 有两个负实数根 C. 两根之和为 D. 两根之积为6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系．先计算判别式判断根的情况，再根据根与系数的关系求两根之和与积，最后判断根的符号． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴ 判别式， ∴ 方程有两个不相等的实数根，故A错误． 设两根为， 则，， ， ， ∴ C 正确，D 错误． ∵ ， ∴ 两根符号相反，不可能均为负，故 B 错误． 故选： C． 12. 如图，已知为等腰直角三角形，，以点为圆心，为半径作圆，点为上一动点，连接，并绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角的余角相等求出，然后证明全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，旋转角为， ， ， 在和中， ， ， ， 在等腰中，， ， 当点在线段时，有最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的认识，三角形的三边关系，作辅助线构造成全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分；共12分） 13. 若一个数的平方等于这个数的3倍，则这个数为_______ ． 【答案】3或0 【解析】 【详解】设这个数是x,=3x =3x 14. 如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 _____cm的地方． 【答案】60 【解析】 【分析】先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算． 【详解】解：如图，AB=20cm，OF=15cm，CD=5cm， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴△OAB∽△ODC， ∴，即， 解得OE=60cm． 答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方． 故答案为：60． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 15. 如图，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，经过_______秒后，点P在⊙O上． 【答案】2或． 【解析】 【详解】设x秒后点P在圆O上， ∵原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动， ∴当第一次点P在圆上时， （2+1）x=7﹣1=6 解得：x=2； 当第二次点P在圆上时， （2+1）x=7+1=8 解得：x= 答案为：2或. 16. 如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值． 【详解】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为， 此时点横坐标为，则， 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，， 由于此时点横坐标最大， 故点的横坐标最大值为． 故答案为：． 三、解答题（共8个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，先化简各个特殊角的三角函数值，再运算加减法即可作答． 【详解】解： ． 18. 为参加学校举办的冬季运动会，九年级一班的嘉嘉、淇淇两名同学练习百米赛跑．操场上从内道到外道，分别标有四个跑道，他们抽签占跑道． （1）若嘉嘉抽到2道，则淇淇抽到3道的概率是______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求嘉嘉、淇淇两名同学在相邻跑道的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单概率计算，利用树状图或列表法求概率． （1）根据题意列式即可求出； （2）先根据等可能性列表，即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：∵操场上从内道到外道，分别标有四个跑道，他们抽签占跑道， 又∵嘉嘉抽到2道， ∴还有3条可选择， ∴设淇淇抽到3道为事件A， 即； 【小问2详解】 解：∵抽到的跑道等可能性，如下表所示： 淇淇 嘉嘉 1 2 3 4 1 （2，1） （2，1） （4，1） 2 （1，2） （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） ， 通过列表法可知：共有12种等可能性，符合题意可能性有6种， ∴设嘉嘉、淇淇两名同学在相邻跑道为事件B， ． 19. 习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：用配方法解方程： 解：.....第一步 .....第二步 .....第三步 .....第四步 习题2：求二次函数：图象的顶点坐标 解：.....第一步 .....第二步 .....第三步 ∴抛物线的顶点坐标为.....第四步 （1）习题1的解答过程从第 步开始错误，习题2的解答过程从第 步开始错误； （2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】（1）二、一 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，把二次函数的一般式化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，认真分析题干解题过程，再进行作答即可； （2）理解题意，可以运用配方法进行修改习题1；或者结合二次函数的一般式化为顶点式的解题方法进行作答即可； 【小问1详解】 解：观察题干的计算过程，得习题1的解答过程从第二步开始错误，方程两边没有同时加上， 观察题干的计算过程，得习题2的解答过程从第一步开始错误，等式的左边不变，等式的右边除以，导致出现错误； 【小问2详解】 解：习题1：， ∴， ∴ 则， ∴， 则， ∴ ； 习题2：， 则， ∴， ， ， ∴抛物线的顶点坐标为． 20. 某气球内充满了一定质量的气体， 当温度不变时，气球内气体的气压(千帕)是气球的体积 (立方米)的反比例函数，其图像如图所示．(千帕是一种压强单位) （1）求这个函数的解析式； （2）当气球的体积为立方米时，气球内的气压是多少千帕? （3）当气球内的气压大于千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，求气球的体积应控制的范围． 【答案】（1） （2）80 （3）气球体积应控制的范围为立方米 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确建立函数关系式并会运用函数关系式是解题的关键． （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）将代入（1）中的函数式求p即可； （3）将代入（1）中的函数式求V即可解答． 【小问1详解】 解：设这个函数的解析式，则有：，解得：， ∴这个函数的解析式． 【小问2详解】 解：当时，千帕， 所以气球内的气压是80千帕． 【小问3详解】 解：根据题意，当时，为安全范围， ∴， 解得，， 故为了安全起见，气球的体积应控制的范围为立方米． 21. 在数学活动课上，老师带领学生去测量某建筑物的高度．如图，在C处用高1米的测倾器测得建筑物顶部A的仰角为，向建筑物的方向前进20米到达D处，在D处测得建筑物顶部A的仰角为，此时与建筑物的距离（的长）是12米，经计算得知建筑物的高约为17米． （1）求线段的长度和的值； （2）求的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理． （1）在中，利用勾股定理即可求得，在中，利用三角函数的定义即可求得； （2）作于点，在中，利用勾股定理求得，利用等积法求得，再利用三角函数的定义即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得四边形，都是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， 在中，； 【小问2详解】 解：作于点， 在中，， ∵，即， ∴， ∴． 22. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=． （1）求半径OD； （2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 【答案】10（小时）． 【解析】 【分析】根据三角函数可得到OD的值；再根据勾股定理求得OE的值，此时再求所需的时间就变得容易了． 【详解】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24， ∴ED=CD=12， 在Rt△DOE中， ∵sin∠DOE=， ∴OD=13（m）； （2）OE==5， ∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）． 考点：1、垂径定理的应用；2、勾股定理 23. 如图斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B 处喷出的水流恰好落在 A 处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系， 得到点 ， 点．已知喷水管及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ． （1）求该抛物线解析式，并写出y的最大值； （2）若， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点，当 时，求两棵树间的水平距离． 【答案】（1），最大值为 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数应用，待定系数法求函数解析式，函数的最大值，二次函数与一元二次方程的关系，理解二次函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式，根据顶点式求函数的最大值； 由，列方程求出点N，E的横坐标，进而求出两棵树间的距离． （2）先求直线的解析式，设点，根据结合， 为两棵等高小树列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线解析式为， ， 当时，的最大值为； 【小问2详解】 点,点轴上， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 故直线的解析式为， 轴， 设点， , ， 解得， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点， ， ， 两棵树间的水平距离为米． 24. 在中，，，点D为边上一动点， 且，交边于点F． 探究： 如图1，若且．求证∶， 并求的长． 延伸： 如图2，若， E为上一点， 且． （1）琪琪经过研究发现：“当点 D 在 边上运动时，的长度不变，是个定值．”你认为琪琪的结论是否正确，如果正确，请求出这个定值；如不正确，说明理由． （2）若，直接写出的值． 【答案】探究：见解析，；延伸：（1）；（2） 【解析】 【分析】探究：根据，可证，，得出，证明得，勾股定理求出，进而可求出的长； 延伸：（1）先求出，从而可证，在中求出，从而可得，所以长为定值； （2）由得，再证明，可证，可得，求出的长，然后根据勾股定理求出的长，进而得到，即可求出． 【详解】探究：， ． ， ． ， ， ， ； 延伸：（1）， ． 又， ， ， ， 为等腰直角三角形， ∴，， ， ． （2）由（1）知，， ． ，， ． ， ， ． ，，则 （负值舍去）， ． 由勾股定理得：， ∴， ， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握三角形全等和相似的判定与性质是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学月考 2025.12 本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A. sinA＝ B. tanA＝ C. cosA＝ D. tanB＝ 3. 反比例函数 的图象不经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 下列几何体都是由5个棱长为1的正方体组成的，从左面看它们的形状图，其中与其他三个不同的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ） A. 0 B. 0或﹣1 C. 1 D. ﹣1 6. 两张等宽的纸条按照如图方式交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，下列结论错误的是（ ） A. 四边形是菱形 B. C AC⊥BD D. 四边形面积 7. 如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连接，交线段于点P．若要使点P把线段分成的两条线段，则（ ） A. 只有方法1对 B. 只有方法2对 C. 方法1，2都对 D. 方法1，2都错 8. 如图，在⊙O中，，则下列结论正确的是( ) A. AB>2CD B. AB＝2CD C. AB<2CD D. 以上都不正确 9. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 11. 关于x的一元二次方程中，，则该方程根的情况正确的是（ ） A. 无实数根 B. 有两个负实数根 C. 两根之和为 D. 两根之积为6 12. 如图，已知为等腰直角三角形，，以点为圆心，为半径作圆，点为上一动点，连接，并绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分；共12分） 13. 若一个数的平方等于这个数的3倍，则这个数为_______ ． 14. 如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 _____cm的地方． 15. 如图，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，经过_______秒后，点P在⊙O上． 16. 如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为_______． 三、解答题（共8个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 为参加学校举办的冬季运动会，九年级一班的嘉嘉、淇淇两名同学练习百米赛跑．操场上从内道到外道，分别标有四个跑道，他们抽签占跑道． （1）若嘉嘉抽到2道，则淇淇抽到3道的概率是______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求嘉嘉、淇淇两名同学在相邻跑道的概率． 19. 习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：用配方法解方程： 解：....第一步 .....第二步 .....第三步 .....第四步 习题2：求二次函数：图象的顶点坐标 解：....第一步 .....第二步 .....第三步 ∴抛物线的顶点坐标为.....第四步 （1）习题1解答过程从第 步开始错误，习题2的解答过程从第 步开始错误； （2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 20. 某气球内充满了一定质量的气体， 当温度不变时，气球内气体的气压(千帕)是气球的体积 (立方米)的反比例函数，其图像如图所示．(千帕是一种压强单位) （1）求这个函数的解析式； （2）当气球的体积为立方米时，气球内的气压是多少千帕? （3）当气球内的气压大于千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，求气球的体积应控制的范围． 21. 在数学活动课上，老师带领学生去测量某建筑物的高度．如图，在C处用高1米的测倾器测得建筑物顶部A的仰角为，向建筑物的方向前进20米到达D处，在D处测得建筑物顶部A的仰角为，此时与建筑物的距离（的长）是12米，经计算得知建筑物的高约为17米． （1）求线段的长度和的值； （2）求的值． 22. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=． （1）求半径OD； （2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 23. 如图斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B 处喷出水流恰好落在 A 处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系， 得到点 ， 点．已知喷水管及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ． （1）求该抛物线解析式，并写出y的最大值； （2）若， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点，当 时，求两棵树间的水平距离． 24. 在中，，，点D为边上一动点， 且，交边于点F． 探究： 如图1，若且．求证∶， 并求的长． 延伸： 如图2，若， E为上一点， 且． （1）琪琪经过研究发现：“当点 D 在 边上运动时，的长度不变，是个定值．”你认为琪琪的结论是否正确，如果正确，请求出这个定值；如不正确，说明理由． （2）若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $