山东泰安市新泰市第一中学北校2026-2027学年高二上学期第一次阶段性考试数学试题

高二上学期第一次阶段性考试数学试题 2026年10月 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D．3 3．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 4．已知空间中、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 5．已知,则函数y＝＋的最小值为（　　） A. ＋ B.2 C. 4 D.3＋ 6．在正方体中，点O为线段的中点，点P在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知，分别是圆台的上、下底面圆半径，且，，，若异面直线，所成的角为，则的可能取值为（   ） A． B． C． D． 8．设m∈R，动直线l1：x＋my－1＝0过定点A，动直线l2：mx－y－2m＋＝0过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为（ ） A．2＋2 B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分。） 9．已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则直线关于直线对称的直线方程为 10．在直二面角中，，，，点M，N分别在线段和上移动，且，则（   ） A．直线与所成的角为 B． C．当时，的长最小，且最小值为 D．当的长最小时，点D到平面的距离为 11．空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为．根据上面的材料，以下选项说法正确的是（   ） A．若过点的平面方程为，则 B．若平面的方程为，平面的方程为，则这两平面夹角的正弦值为 C．若平面的方程为，则点在平面内的射影的坐标为 D．若平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，，则直线l与平面的夹角的余弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．原点O(0,0)关于直线8x+6y=25的对称点的坐标为 . 13．在空间直角坐标系中，已知，，，若直线的一个方向向量为，则的面积为_________． 14．已知直线l经过点（－2，3），且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15（13分）在中，已知，，点为边的中点． (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 16（15分）如图，正四面体的棱长为1，若E，F分别在棱，上，且，．设，，． (1)试用、、表示，并求的长度； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 17（15分）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，且，，，F，G分别为线段，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 18（17分）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点B的坐标； (3)求的平分线所在直线的方程． 19（17分）如图，平行六面体的底面是菱形，，，． (1)当，，时，求的长； (2)当，平面时， ①求的长； ②当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围 高二上学期第一次阶段性考试数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D C A C A BCD BC 题号 11 答案 AC 5． C解析：因为y＝f（x）＝＋＝＋，则f（x）可看作x轴上一点P（x，0）到点A（－2，－2）与点B（2，2）的距离之和，即｜PA｜＋｜PB｜，则可知当A，P，B三点共线时，｜PA｜＋｜PB｜取得最小值，即（｜PA｜＋｜PB｜）min＝｜AB｜＝＝4.故选C 6．A【详解】设正方体的棱长为2，以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设， 则，，，设平面的一个法向量为， 得到，令，解得，可得为平面的一个法向量， 则直线OP与平面所成的角的正弦值如下， 得到，由，可得， 所以. 7．C【详解】因为，，，异面直线所成的角为， 所以或，所以 ．当时，， 当时，．综上，或，由于选项中只有， 8． A解析：直线l1：x＋my－1＝0过定点A（1，0），直线l2：mx－y－2m＋＝0即m（x－2）＝y－，可得过定点B（2，），由于1·m＋m·（－1）＝0，得l1与l2始终垂直，又P是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝4.由a2＋b2≥2ab，可得2（a2＋b2）≥（a＋b）2，那么2（｜PA｜2＋｜PB｜2）≥（｜PA｜＋｜PB｜）2，即有｜PA｜＋｜PB｜≤2，当且仅当｜PA｜＝｜PB｜＝时，上式取得等号，∴△PAB周长的最大值为2＋2. 10．BC【详解】在直二面角中，，， ，，两两垂直，以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，故，， 对于A，设直线与所成的角为，且，则，，故A错误； 对于B，，，，， ，，， 又，，，故B正确； 对于C，，， 由二次函数性质得当时，取得最小值，即取得最小值， 得到，故C正确； 对于D，当时，，得到，， 设平面的法向量为，则，令，解得，则， ，点D到平面的距离，故D错误． 11．AC【详解】对于A，把点代入，得，解得，故A正确； 对于B，因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为， 又平面的方程为，所以平面的一个法向量为， 所以，则这两平面夹角的正弦值为，所以B错误； 对于C，因为平面的方程为，所以平面的一个法向量．设 点在平面内的射影为，则，且， 于是有，解得，所以，故C正确； 对于D，因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为； 因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为，设直线l的方向向量为，则有取，则，，则，又因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为，设直线l与平面的夹角为，则，所以，故D错误． 12．(4,3) 13． 14．x＋2＝0或5x＋12y－26＝0. 15．(1) (2)或 【详解】（1）因为，点为边的中点，所以有可得， 又因为，所以，因为是边上的高，所以有，即，解得，所以高所在直线的方程为，即． （2）由（1）知， ①当所求直线过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为； ②当所求直线不过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为． 综上，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． 16．(1)，EF的长度为 (2) 【详解】（1）易知， 所以．由题意得，， 可得，故EF的长度为． （2）由（1）知，，又， 所以， 又易知，， 设异面直线PF与BE所成的角为，则， 即异面直线PF与BE所成的角的余弦值为． 17．(1)证明：因为四边形为矩形，所以，连接，在中，，，，所以，所以， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以，所以，两两垂直． 以为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知，，，，所以． 易得为平面的一个法向量，因为，所以， 又平面，所以∥平面． (2) （【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，设平面的法向量为， 则令，得，即． 又平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为， 则，即平面与平面夹角的余弦值为． 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为，斜率为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 因此边所在直线的方程为，即． （2）设点的坐标为，因为边上的高所在直线方程为，所以， 又因为点是边的中点，根据中点坐标公式，可得的坐标为， 由边所在直线的方程为，所以，即， 由，解得，所以点的坐标为． （3）由（2）可得点的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的平分线所在的直线斜率为，其中任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为，则， 所以，即或， 化简得或，又因为，，所以， 所以结合图形可知的平分线所在直线的方程为． 19．(1) (2)①1 ； ② 【详解】（1）如图，连接BD，， 设，，，由题易得，， 依题意，，，， 而．所以 ，即． （2）①由（1）知，令，因为， 所以，，， 易知，，， 因为平面，平面，所以，， 即． 整理得，而，解得，所以的长为1． ②当时，由①得，， ，则，， ，而为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则 ， 而，即，则， ，即， 所以直线与平面所成的角的正弦值的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $