精品解析：山东省德州市某中学2026-2027学年高二上学期9月份教学质量检测数学试题

高二9月份教学质量检测数学题 （试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 长方体三个面的面积分别是，则长方体的体积等于（ ） A. 6 B. C. D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】首先设长方体的边长分别为，根据题意得到，再计算体积即可. 【详解】设长方体的边长分别为，有题知： . . 故选：B 【点睛】本题主要考查长方体的侧面积和体积，属于简单题. 2. 如图，在斜三棱柱中，，，则点在底面上的射影必在（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 内部 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，得到平面平面，从而得到点在底面上的射影的位置. 【详解】连接，如图所示. ∵， ∴. ∵，，平面， ∴平面. 又平面， ∴平面平面. 又∵平面平面， ∴点在底面上的射影必在直线上. 故选：C. 3. 已知四棱锥底面为正方形，平面，则（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 【答案】B 【解析】 【分析】推导出，可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；利用反证法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，则， 因为四边形为正方形，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，则，故为锐角，A错； 对于B选项，因为平面，平面，则，B对； 对于C选项，若平面，且平面，则、平行或重合， 矛盾，假设不成立，C错； 对于D选项，若平面，则与平面无公共点， 这与平面矛盾，假设不成立，D错. 故选：B. 4. 已知直线l、m、n与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】画出正方体，在正方体中进行判断. 【详解】如图所示的正方体， A选项，平面平面，，平面，但和不平行，所以A选项错误； B选项，平面，，但和平面不平行，所以B选项错误； C选项，，，但和不平行，所以C选项错误； D选项，平面，平面，平面平面，所以D选项正确. 5. 已知一个直三棱柱的高为1，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则该三棱柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原底面平面图，然后由直三棱柱的表面积公式可解. 【详解】由斜二测画法还原底面平面图如图所示， 其中，所以， 所以此直三棱柱的底面积为，高为1， 故直三棱柱表面积为. 故选：C 6. 如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将三棱锥的侧面沿着剪开，得到，即，即可得到答案. 【详解】将三棱锥的侧面沿着剪开，如图所示： 因为的周长的最小值为， 所以当四点共线时，的周长最小，即， 又因为，所以，即， 又因为三棱锥是正三棱锥， 所以，即侧棱SA，SC的夹角为. 故选：A 7. 圆锥中，S为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，底面圆O半径为，侧面展开图面积为，底面圆周上有两动点A，B，则面积的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥母线长为，由侧面展开图面积为求得，再作出圆锥的轴截面，由时，的面积最大求解. 【详解】设圆锥母线长为，底面圆O半径为，侧面展开图面积为， 所以，解得， 作出圆锥的轴截面，如图所示： 则，因为底面圆周上有两动点A，B， 当时，则面积最大，最大值为. 8. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，此时三棱锥体积也最大，利用圆锥体积公式求解判断B；用极限的思想求出的范围，再利用，求得的范围判断C；利用图形展开及两点之间线段最短判断D. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积，A错误； 对于B，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为，B错误； 对于C，在中，，又，则， 当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值， 又与不重合，则，又，得，C错误； 对于D，由，得，又， 则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，，如图知， 由， 得， 所以，D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如下图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理逐项验证即可. 【详解】对于A，如下图，连接，则， 又平面，则平面，所以不平行平面，故A不正确； 对于B，因为，平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，如下图，取中点，连接， 由正方体得，又， 所以六点共面，故C不正确； 对于D，如下图，连接交于，连接， 在正方体中，由于四边形为正方形，所以为中点，又为中点，所以， 平面，平面，所以平面，故D正确. 故选：BD. 10. 如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则（ ） A. 该水杯侧面积为 B. 该水杯里牛奶的体积为 C. 放入的椰果半径为 D. 该水杯外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆台的侧面积公式即可求解A，根据圆台的体积公式即可求解B，结合球的体积即可求解C,利用勾股定理求解半径，即可根据表面积公式求解D. 【详解】由题意可知圆台的上底面圆半径为，下底面圆半径，圆台的高， 设圆台的母线为，则， 故圆台的侧面积为，故A错误， 牛奶面所在的圆的半径为， 故水杯中牛奶的体积为，故B正确， 水杯的体积为, 故37个小球的体积为， 设小球的半径为，进而,解得，故C正确， 设水杯的外接球的球心到上底面的距离为,则，解得， 故外接球的半径为，故其表面积为，故D正确， 故选：BCD 11. 如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有（） A. 若P是上任一点，则平面 B. 四棱锥的外接球体积为 C. 异面直线与的夹角的正弦值为 D. 三棱锥与三棱锥体积相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，A选项利用面面平行证线面平行；B选项由正方体外接球球心到各顶点距离相等求半径，再用球体积公式；C选项用空间向量夹角公式求异面直线夹角正弦；D选项利用等体积法计算两个锥体体积，判断是否相等即可. 【详解】已知为正方体， 故以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 又正方体棱长为，则 A选项：由正方体性质可得：， 又平面，平面，故平面， 同理：，平面，平面，故平面， 又，平面， 所以平面平面， 点在上，而在平面内，所以在平面内， 因为两平面平行，所以平面，A选项正确； B选项：四棱锥的五个顶点都是正方体的顶点， 因此它们都在正方体的外接球上， 正方体外接球半径： 故该四棱锥的外接球体积B选项正确； C选项： 设异面直线与所成角为， 则， 则，C选项错误； D选项：由题可知， 则底面面积：， 顶点到底面的距离为棱长，故， 计算的体积： 底面中，，，且，故， 由正方体性质可知：平面平面， 且平面平面，两平面交线为， 点到该平面的距离等于在正方形中到对角线的距离， 在等腰直角三角形中，，斜边， 所以到的距离， 因此，所以，D选项正确. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱台的体积为28，其中，则三棱锥的体积为________． 【答案】8 【解析】 【分析】设正四棱台的高为，上底面的面积为，根据正棱台的体积公式列方程求出，进而可求得三棱锥的体积． 【详解】如图，设正四棱台的高为，上底面的面积为， 因为，所以下底面的面积为， 所以正四棱台的体积，解得， 所以三棱锥的体积． 13. 已知点，，，在半径为的同一球面上，且，，则三棱锥体积的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三棱锥外接球的性质及三棱锥体积公式可得解. 【详解】 如图所示，设的外接圆圆心为，三棱锥的外接球球心为， 由，， 则， 即， 且， 所以外接圆半径为， 则， 所以当点在的延长线上时，三棱锥的体积最大， 此时三棱锥的高为， 即三棱锥体积， 故答案为：. 14. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定截面的位置和特征，然后根据已知条件中的线段和角的关系求截面的周长即可. 【详解】在正方体中，取的中点,的中点为,连接， 由是的中点，得，则四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ， 所以所求截面的周长是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． （1）当为的中点时，求证：平面 （2）当平面 ，求的值，并说明理由． 【答案】（1） 取中点为，连接 ， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； （2），理由： 连接 ，相交于，连接， 面，面面 面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接 ，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且，. （1）求证：平面平面； （2）求点A到平面的距离. 【答案】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，， 侧面是等边三角形，且，，且， 底面是正方形，在中，. ，为直角三角形且. ，平面， 又平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证明平面，接着证明平面平面. （2）利用等体积法，转换三棱锥顶点，求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图所示，连接. 由，，. 三角形为直角三角形，且. ， 由底面是正方形，. 设点A到平面的距离为，,. ，，. 17. 如图，在三棱柱中，，分别是棱，上一点，且，. （1）证明：直线，，交于同一点； （2）记三棱台的体积为，多面体的体积为，求的值. 【答案】（1）因为，，所以，所以，. 因为，，所以，，则直线与相交. 设直线与的交点为，如图. 因为点在直线上，且平面，所以平面. 因为点在直线上，且平面，所以平面. 因为平面平面，所以点在直线上， 即直线，，交于点. （2） 【解析】 【分析】（1）利用三棱柱的结构特征判定两条直线共面且相交，再结合平面的基本公理证明交点在第三条直线上，即可完成三线共点的推导. （2）先通过相似三角形的性质求得棱台小底面的面积，代入棱台体积公式计算，再通过三棱柱总体积减去得到，最终化简得到体积比值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积. 因为，所以，且， 所以的面积， 则三棱台的体积. 故. 18. 在如图所示的几何体中，底面是正方形，四边形是直角梯形，，且四边形底面分别为的中点，. （1）求证：平面平面； （2）求多面体的体积. 【答案】（1） 分别为的中点，. 又∵四边形是正方形，，. 平面平面， 平面平面. 又平面， ∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）可证明，，再利用面面平行的判定定理可证平面平面. （2）可证平面，平面，故可求多面体的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是直角梯形，，. 又∵平面底面，平面平面平面， 平面，是四棱锥的高， . ∵四边形是正方形，. 平面平面，. 又平面， 平面，即是三棱锥的高， ， ∴多面体的体积. 19. 高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 的高 是正四棱锥. 的高 的4倍. （1）若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； （2）若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 【答案】（1）（i）312；（ii）； （2），. 【解析】 【分析】（1）（i）利用棱锥、棱柱的体积公式计算即得；（ii）求出棱锥的斜高，再利用侧面积. （2），求出棱柱的底面边长，再把棱柱侧面积表示为，再求出函数最大值即可. 【小问1详解】 （i）由，得，又， 因此正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积， 所以模型有体积. （ii）取的中点，连接，由，得， 所以正四棱锥的侧面积. 【小问2详解】 设，正四棱柱的侧面积为， 则， 于是 ，而， 因此当，即时，， 所以当时，下部分正四棱柱的侧面积最大，最大面积是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二9月份教学质量检测数学题 （试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 长方体三个面的面积分别是，则长方体的体积等于（ ） A. 6 B. C. D. 36 2. 如图，在斜三棱柱中，，，则点在底面上的射影必在（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 内部 3. 已知四棱锥底面为正方形，平面，则（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 4. 已知直线l、m、n与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知一个直三棱柱的高为1，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则该三棱柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 圆锥中，S为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，底面圆O半径为，侧面展开图面积为，底面圆周上有两动点A，B，则面积的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 8. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如下图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则（ ） A. 该水杯侧面积为 B. 该水杯里牛奶的体积为 C. 放入的椰果半径为 D. 该水杯外接球的表面积为 11. 如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有（） A. 若P是上任一点，则平面 B. 四棱锥的外接球体积为 C. 异面直线与的夹角的正弦值为 D. 三棱锥与三棱锥体积相等 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱台的体积为28，其中，则三棱锥的体积为________． 13. 已知点，，，在半径为的同一球面上，且，，则三棱锥体积的最大值为________． 14. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． （1）当为的中点时，求证：平面 （2）当平面 ，求的值，并说明理由． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且，. （1）求证：平面平面； （2）求点A到平面的距离. 17. 如图，在三棱柱中，，分别是棱，上一点，且，. （1）证明：直线，，交于同一点； （2）记三棱台的体积为，多面体的体积为，求的值. 18. 在如图所示的几何体中，底面是正方形，四边形是直角梯形，，且四边形底面分别为的中点，. （1）求证：平面平面； （2）求多面体的体积. 19. 高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 的高 是正四棱锥. 的高 的4倍. （1）若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； （2）若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $