山东泰安市新泰第一中学（老校：新泰中学）2026-2027学年高二上学期第一次诊断测试数学试题

2026-2027学年高二数学上学期第一次检测答案 一、选择题：1-4ACAB 5-8DBAD 二、选择题：9.ACD 10.AB 11.AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.y=x或x+2y-3=0或x-2y+1=0 25 13.4 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分) 解：(1)设D(:2),因为ABCD是平行四边形，所以AB=DC, 由A(-1,l,),B(0,2.C(-21,3),得B=(1,0),DC=(-2-x1-,3-2), -2-x=1「x=-3 1-y=1→y=0 所以 3-z=0 2=3,故D(-3,03) …6分 【小问2详解】由题可得CA=(亿0，-2)，CB=(2,1-2) 所以C网-+0+(-2y=5.C=22+P+(-2y-3 …8分 CA.CB=6=25 所以 s,c)=c5x35 …10分 x(Ci.c8)e[o.,所usn(Ca--csCc西=有 …12分 △的我5-C@国ma网-5x答 …13分 16.(1)由题意得 征=瓜+号4G=4+c=+8+号0 4E-44+4B+AD …4分 (2)由(1)得 -双+}丽+}而+孤丽+孤而丽而 273√5 44,所以线段AE的长为 …9分 正而-(+号西+号00-) =4而-瓜6+号而而}丽+号0}0孤 =而-4孤-+号而-0 ,所以异面直线AE与BD所成的角为90°.…15分 17.1)定点（-2，) 1+2k (2)解由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为k,在y轴上的截距为1+2k, (1+2k≤-2 k 要使直线不经过第四象限，则必须有1+2k≥1 ,解得k>0: 当k=0时，直线为y=1,符合题意，故k的取值范围是[0，+∞) …9分 (3)解由题意可知k≠0，再由1的方程， 1+2k<0 k B(0,1+2k) 依题意得1+2k>0 ,解得k>0, 5-}o4om-224-}02-g4小ex2-4 k=1 “=”成立的条件是k>0且k,即2， Sm=4,此时直线1的方程为x-2y+4=0 …15分 18.【详解】1)因为△PAB是等腰三角形，P=PB,E是AB的中点，所以PE⊥AB. 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PEC平面PAB, 所以PE⊥平面ABCD 因为CDC平面ABCD,所以PE⊥CD. …5分 (2)过点E作直线EF∥AD,交DC于点F. 因为AD∥BC,AD⊥AB,所以EF⊥AB,BC⊥AB 又因为PE⊥平面ABCD,所以PE⊥EF,PE⊥AB, 故如图建立空间直角坐标系E-2, 则P(0,0,2).C(21,0).D(1,-1,0).A(0,-1,0) 所以DC=(12,0),DP=(-1,12) n.DC=0 x+2y=0 设平面PCD的法向量i=(xy2),则iDP=0,即-x+y+2z=0, 令y=-2,则x=4,z=3,于是i=(4,-2,3).平面4CD的法向量m=(00,) 元m。3l3√29 3V29 所以 0s伍，m创同阿29x129,因此，领=商角P-CD-4的余弦位为29.1分 (3)不存在，理由如下：假设线段AP上存在点Q,使得B0∥平面PCD, 则设A0=元AP,元∈[0，] 因为P(0,0,2),A(0,-1,0,B(01,0)】 所以B0=B1+A0=(0,-2,0)+(0,12)=(0,元-2,2) 因为B0∥平面PCD,所以万1B0,故元-B0=0,即2(2-2)+61=0,17分 解得入=-1，与2c[0,1矛盾，所以假设不成立. 因此线段AP上不存在点O,使得BQ∥平面PCD. 19.【详解】(1)取AD的中点G,连接BG,FG, :AB=BD,G为AD的中点，.BG⊥AD, 又AD⊥DC,∴BG∥CD.又BGt平面ECD,CDC平面ECD,∴.BG∥平面ECD. :F为AE的中点，.FG∥ED.又FG丈平面ECD,EDC平面ECD,FG∥平面ECD, 又BG∩FG=G,BG,FGC平面BFG,∴.平面BFG∥平面ECD, 又BFC平面BFG,∴.BF∥平面ECD」 …7分 (2)EA⊥ED,由(I)知FG∥ED,.FG⊥AE, 又EB=AB,F为AE的中点，∴BF⊥AE, 又BF∩FG=F,BF,FGC平面BFG,AE⊥平面BFG, 又BGC平面BFG,.BG⊥AE, 又BG⊥AD,AD∩AE=A,AD,AEC平面EAD,BG⊥平面EAD, 又BGC平面ABCD,“.平面EAD⊥平面ABCD,连接EG, B :EA=ED,G为AD的中点，.EG⊥AD, 又平面EAD∩平面ABCD=AD,EGC平面EAD, ∴.EG⊥平面ABCD,BGC平面ABCD,∴.EG⊥BG, 以G为坐标原点，GB,GD,GE所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∠EBG是EB与平面ABCD所成的角，即∠EBG=30°， 2 6nan.0a号-号a994ad EB= …………10分 设平面ABE的法向量为%=(，M,) %·B= 2年、 20 则( 29+ 20 令=1，相巧-3，) …12分 设平面DBE的法向量为，=(，2,2)】 %·i=V6 、 260 22=0 则( DE=-2 少+ 2 令5=，得乃-，) …14分 设二面角A-EB-D的平面角为B, n'n 1 1 .cos=cosn,n n n2 V7x77 ,……l6分 4V5 所以，即二面角的正弦值为7 …17分 2025级高二上学期数学第一次诊断性检测 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 2．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（ ） A．5 B．-5 C．-3 D．-17 3．在四面体中，设，，，点M为的中点，，则（ ） A． B． C． D． 4．在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A． B． C．或 D．或 6．设点，，直线l过点且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 7．我们给出定义：在空间直角坐标系中，若平面经过点，向量，为平面的一个法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为．已知平面的方程为，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，，M，N分别是，的中点，设点P是线段上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为 B．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C．已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D．以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形 10．已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 11．在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则平面 B．若，则 C．若，则P到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．经过点且在x轴的截距的绝对值是y轴上截距的绝对值两倍的直线方程_____________________． 13．如图，二面角等于，A，B是棱l上两点，，分别在半平面，内，，，且，则的长等于_______________． 14．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点E，F分别为，的中点，点T为内的一个动点（包括边界），平面，则点T的轨迹的长度为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知空间中三点，，． （1）若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标； （2）求的面积． 16．（15分）在平行六面体中，，，，E为与的交点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长； （3）求异面直线与所成的角． 17．已知直线． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，E是的中点． （1）求证：； （2）若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值； （3）在的条件下，线段上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（2024•江西宜春•模拟预测）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，F为的中点． （1）证明：平面； （2）若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $2025级高二上学期数学第一次诊断答题卡 姓 名： 班级 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写 清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 贴条形码区 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔 卓 州 答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超 缺考 出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上 此栏考生禁填 答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][BJ[C][D] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 数阙 二 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[AJ[B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 12 14 器 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 数学第2页（共6页） 请在各题日的答题区城内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效+ 16.(15分) D A C 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超田黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 数学第4页（共6页） 18.(17分) 、B 数学第5页（共6页） 19.(17分) 请本久顺日的竺斯区城内作竺切中哩色析形h辉阻定区域的答案无效！ E D B B 图1 图2 数学第6页（共6页）