精品解析：陕西宝鸡市第一中学高新校区2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026—2027学年度第一学期第一次学情调研测试（卷） 九年级数学 （时间120分钟，试题分值120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，计30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程，即可一一判定． 【详解】解：、为是一元二次方程，故此选项符合题意； 、是分式方程，故此选项不符合题意； 、为二元二次方程，故此选项不符合题意； 、当时，方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由对角线互相平分判定四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理确定需添加对角线相等的条件． 【详解】解：∵四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又∵对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴要使它变为矩形，观察各选项可以能添加的条件只有． 3. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（ ） A. 70° B. 80° C. 110° D. 120° 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质以及四边形内角和求解即可． 【详解】∵ 四边形 ABCD∽ 四边形 EFGH，∠A=80°，∠C=90°，∠F=70° ， ∴∠E=∠A=80°，∠G=∠C=90° ∴∠H=360°−∠E−∠F−∠G=360°−80°−70°−90°=120° 故选D 【点睛】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 4. 用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答即可． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：D． 5. 如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD = 90°，若矩形ABCD的周长为30 cm，则AB的长为（ 　 ） A. 5 cm B. 10 cm C. 15 cm D. 7.5 cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题运用矩形的性质通过周长的计算方法求出矩形的边长． 【详解】解：矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°， 根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA=OD，∠DAO=45°， 所以∠BOA=∠BAO=45°，即BC=2AB，由矩形ABCD的周长为30cm得到， 30=2AB+2×2AB， 解得AB=5cm． 故选A． 6. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ） A. B. 2 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x的值准确代入方程进行计算．根据一元二次方程的解即可求出m的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， 解得． 故选：C． 7. 关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 10或12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 8. 如图，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得平行于住房墙的一条边的长为，结合题意即可得解． 【详解】解：由题意可得：平行于住房墙的一条边的长为， ∵， ∴★表示的代数式为， 故选：C． 9. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先证四边形ABCD是菱形，再运用勾股定理求得BO，最后由菱形的面积公式可求解． 【详解】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O， ∵两条纸条宽度相同， ∴AE＝AF． ∵AB//CD，AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE． 又∵AE＝AF． ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD， ∴BO＝＝＝2， ∴BD＝4， ∴四边形ABCD的面积＝＝4． 故选A． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定、菱形的面积，证得四边形ABCD为菱形以及菱形的面积为菱形对角线积的一半是解答本题的关键． 10. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，证明△AEG≌△MDG，得到AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，根据三角形中位线定理得到GH＝FM，由勾股定理求出FM即可得到GH． 【详解】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°， ∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG， ∵G为DE的中点， ∴GE＝GD， ∴△AEG≌△MDG（AAS）， ∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD， ∴CM＝CD＝2， ∵点H为AF的中点， ∴GH＝FM， ∵F为BC的中点， ∴CF＝BC＝2， ∴FM＝， ∴GH＝FM＝， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，正确作出辅助线，证出AG＝MG是解决问题的关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据且，此方程是一元二次方程，求得m值． 【详解】由题意得：且 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查和一元二次方程的定义，熟练掌握各自的定义是解题的关键．需要特别注意． 12. 若线段、、、是成比例线段，且，，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知四条线段按顺序成比例，根据成比例线段定义列比例式求出的厘米数，再转换单位为米即可得到结果． 【详解】解：∵、、、是成比例线段 ∴ ∵，， 代入得 解得 ∵ ∴． 13. 若，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据等比性质得到，，，即可得到答案． 【详解】解：， ，，， ， ， ， 故答案为：5． 14. 如图，菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2时，则菱形的边长为____cm． 【答案】13 【解析】 【分析】连接BD、AC、EF，BD与AC交于点O，由题意易得B、E、F、D在同一条直线上，则有，，，，，然后根据菱形和正方形的面积及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接BD、AC、EF，BD与AC交于点O，如图所示： ∵四边形是菱形、四边形是正方形， ∴点B、E、F、D在同一条直线上， ∴，，，，， ∵菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2， ∴，， ∴，， ∴，， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得cm， 故答案为13． 【点睛】本题主要考查菱形与正方形的性质，熟练掌握菱形与正方形的性质是解题的关键． 15. 如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得BF垂直平分AG，再根据,求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE的长 【详解】解：在正方形中，∠BAD=∠D =， ∴∠BAM+∠FAM= 在Rt中， ∵由折叠的性质可得 ∴AB=BG，∠FBA=∠FBG ∴BF垂直平分AG， ∴AM=MG，∠AMB= ∴∠BAM+∠ABM= ∴∠ABM=∠FAM ∴ ∴ ，∴ ∴AM=, ∴AG= ∴GE=13- 【点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键 三．解答题（共10小题，计75分，解答应写出过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 ， ， 解得． 17. 已知、、是的三边长，且． （1）求的值． （2）若的周长为，求各边的长． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，比例的应用等知识，设，从而用表示出是解题的关键． （1）设，从而用表示出，再代入化简即可得解； （2）根据的周长为，即，从而将（1）中的结论代入求出t即可得解． 【小问1详解】 解：设， ，，， 代入，得； 【小问2详解】 由题意知，， 则， 解得， ，，． 18. 如图，在中，，，是边的中点，的周长是18，则的长是? 【答案】13 【解析】 【分析】考查了直角三角形斜边上的中线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等量代换进行解答是解决问题的关键． 【详解】解：∵，是边的中点， ∴， ∵，的周长是， ∴，则， ∴． 19. 如图，在中，，，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）8 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，则，再结合，故，最后结合两组角对应相等的三角形是相似三角形，即可作答． （2）根据相似三角形的性质列式，再代入数值计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 20. 已知关于x的一元二次方程有两不相等的实数根． ①求m的取值范围． ②设x1，x2是方程的两根且，求m的值． 【答案】①，②m的值为． 【解析】 【分析】①根据“关于x的一元二次方程有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的不等式，解之即可． ②根据“x1，x2是方程的两根且”，结合根与系数的关系，列出关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案． 【详解】解：①根据题意得： ， 解得：， ②根据题意得： ，， ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴m的值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：①正确掌握判别式公式，②正确掌握根与系数的关系． 21. 某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． （1）每轮平均1人会传染多少人？ （2）若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【答案】（1）每轮平均1人会传染8人 （2）三轮传染后，患病的人数会超过700 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 【小问1详解】 解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）． 故每轮平均1人会传染8人． 【小问2详解】 解：三轮传染后的人数为． ， ∴三轮传染后，患病的人数会超过700． 22. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，． 求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD， 又∵ BE=DF ∴ OB-BE=OD-DF 即OE=OF ∵OE=OA ∴OA=OC=OE=OF且AC=EF 又∵AC⊥EF ∴ 四边形DEBF是正方形． 【解析】 【分析】菱形的两条对角线相互垂直且平分，再根据两条对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形即可证明四边形AECF是正方形． 【详解】略 【点睛】此题考查了菱形的性质和正方形的判定，解题的关键是掌握上述知识． 23. 如图，的对角线交于点O，过点D作于E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，试求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）先证得是等腰直角三角形，可得，在中，由勾股定理可得，再由直角三角形的性质，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 24. 智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1） （2）404元 【解析】 【分析】（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，由题意得 解得： 即或 （不合题意，舍去） 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元． 25. 如图，是四边形的对角线，边在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为，连接、． （1）如图1，四边形是正方形时，作，垂足为O，连接、．判断、之间的数量关系和位置关系，并证明； （2）如图2，四边形是菱形时，设，点O在上，且．判断与的数量关系，写出推理过程，并用含有的代数式表示； （3）在（2）的条件下，若，，当四边形是菱形时（如图3），请直接写出线段平移的距离为　　　　． 【答案】（1） ，． 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ； （2） ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，证出，则可得出结论； （2）证明，得出，，则可得出结论； （3）过点作于点，于点，则四边形是矩形，得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点作于点，于点，则四边形是矩形， ， 由题意知四边形和四边形是菱形， ，，， ， ， 设， ，， ， ， ， ， 线段平移的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，平移的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期第一次学情调研测试（卷） 九年级数学 （时间120分钟，试题分值120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，计30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（ ） A. 70° B. 80° C. 110° D. 120° 4. 用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD = 90°，若矩形ABCD的周长为30 cm，则AB的长为（ 　 ） A. 5 cm B. 10 cm C. 15 cm D. 7.5 cm 6. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ） A. B. 2 C. 5 D. 6 7. 关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 10或12 8. 如图，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　） A. B. C. D. 5 10. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二．填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则_____． 12. 若线段、、、是成比例线段，且，，，则的值为________． 13. 若，则__________． 14. 如图，菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2时，则菱形的边长为____cm． 15. 如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________． 三．解答题（共10小题，计75分，解答应写出过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知、、是的三边长，且． （1）求的值． （2）若的周长为，求各边的长． 18. 如图，在中，，，是边的中点，的周长是18，则的长是? 19. 如图，在中，，，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 已知关于x的一元二次方程有两不相等的实数根． ①求m的取值范围． ②设x1，x2是方程的两根且，求m的值． 21. 某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． （1）每轮平均1人会传染多少人？ （2）若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 22. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，． 求证：四边形是正方形． 23. 如图，的对角线交于点O，过点D作于E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，试求的长． 24. 智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 25. 如图，是四边形的对角线，边在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为，连接、． （1）如图1，四边形是正方形时，作，垂足为O，连接、．判断、之间的数量关系和位置关系，并证明； （2）如图2，四边形是菱形时，设，点O在上，且．判断与的数量关系，写出推理过程，并用含有的代数式表示； （3）在（2）的条件下，若，，当四边形是菱形时（如图3），请直接写出线段平移的距离为　　　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $