专题04 一元二次方程的实际应用（期中专项训练）九年级数学上学期新教材华东师大版

专题04 一元二次方程的实际应用 基础·固本强基 题型1 传播问题（重点） 题型2 增长率问题（重点） 题型3 古代问题（重点） 提升·进阶突破 题型4 数字问题（重点） 题型5 握手、循环赛问题（重点） 拔高·压轴破难 题型6 与图形有关的问题（难点） 题型7 营销问题（难点） 题型8 动态几何问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 传播问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有121台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，则第一轮共感染台，第二轮共感染台，根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得： ， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南周口·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键； 本题属于传播问题，依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有人感染可得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染增加了个人患了流感，第一轮后共有个人患了流感； 第二轮传染后增加了个人患了流感，第二轮传染后共有个人患了流感，可得方程； 解得：，或（舍去） 第三轮传染后增加了人，此时共有人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D． 3．（25-26九年级上·江西·期中）化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 4．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区某中学九年级某班有1名同学患了流感，由于没有及时隔离，流感在校内传播．已知经过两轮传染后，全校共有81人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人． (1)用含x的代数式表示：第一轮传染后患病人数为 人，第二轮传染后患病人数为 人； (2)根据题意列出关于x的方程，并求出每轮传染中平均一个人传染的人数； (3)若不加以控制，照此传播速度，第三轮传染后全校患流感的总人数是多少？ 【答案】(1)； (2)8个人 (3)729人 【分析】（1）根据每轮传染中平均一个人传染x个人，列出代数式即可； （2）根据经过两轮传染后，全校共有81人患了流感，列出方程进行求解即可； （3）根据（2）中结果，进行求解即可. 【详解】（1）解：第一轮传染后患病人数为人， 第二轮传染后患病人数为人． （2）解：依题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 故． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （3）解：第三轮传染后患病总人数为（人）， 答：第三轮传染后全校患流感的总人数为729人． 5．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 题型2 增长率问题（共5小题） 6．（25-26九年级上·陕西西安·期中）为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每次降价的百分率为，根据题意建立方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为． 7．（2026·四川泸州·模拟预测）近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2023年出口量为120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“增长后出口量=初始出口量×（1+年平均增长率）的增长年数次方”列方程，从2023年到2025年间隔2年，即可得出对应方程． 【详解】∵年平均增长率为x，从2023年到2025年共经过2年，初始出口量为2023年的120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆， ∴可列方程为：． 8．（25-26九年级上·广东茂名·期中）2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是25万件，3月份的销售量是36万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率是，根据题意列出方程，即可解答； （2）设售价应降低元，根据利润单件利润销售量的关系列出方程，即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 根据题意，得， 整理得：， 解得，， ∵尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 9．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）某中学团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心捐款活动．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1440元． (1)求这两天收到捐款的平均增长率． (2)按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？ 【答案】(1) (2)1728元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意把不合题意的解舍去． （1）设捐款的增长率为x，则第三天的捐款数量为元，根据第三天的捐款数量为1440元建立方程求出其解即可． （2）根据（1）求出的增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设捐款增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）． 答：捐款的平均增长率为． （2）根据题意得：（元）． 答：第四天初三年级能收到的捐款是元． 10．（25-26九年级上·广东梅州·期中）据统计，年“五一”假期梅州客天下景区接待游客约万人次．依托“潮动五一非遗嘉年华”“仙侠夜演出”等特色文旅活动，景区吸引力持续增强，年“五一”假期接待游客量达约万人次．景区周边某客家围龙屋改造的精品民宿有间客房供游客入住，主打客家文化体验，当每间客房每天定价为元时可全部住满；每间客房每天定价每增加元，就会有一间客房空闲．若客房有游客居住，民宿需对每间入住客房每天支出元的清洁、客家娘酒欢迎礼等配套费用． (1)求年“五一”到年“五一”假期梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率； (2)为让更多游客感受围龙屋魅力，尽可能降低住宿单价，房价应该定为多少元时，民宿当天的利润为元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率为，根据年“五一”到年“五一”假期的游客人数，列出一元二次方程，解之取正值即可； （2）设房价定为元时，根据宾馆当天的利润为元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为，依题意有，       解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； （2）设房价定为元时，店家才能实现每天利润元，依题意有： ，          解得，，           住宿单价需尽可能低， ， ， 答：房价应该定为元时，民宿当天的利润为元． 题型3 古代问题（共5小题） 11．（25-26九年级上·河北保定·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据题意，每株椽的价钱为文，少拿一株后剩余株，运费为文，运费等于一株椽的价钱，由此列出方程． 【详解】解：∵每株椽的价钱为文，少拿一株后，运费为文，且运费等于一株椽的价钱， ∴， 两边乘以得：， 即选项B正确． 故选：B． 12．（25-26九年级上·河北唐山·期中）《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．这批椽的总运费为24文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系列方程求解，再判断各选项． 【详解】解：设这批椽的数量为株，一株椽的价钱为p文， ∵少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴， 又∵这批椽的价钱为216文， ∴， 将p代入得：，即， 解方程：，， 解得或（舍去）， ∴， ， 总运费为文， ∴A、C、D正确，B错误． 故选：B． 13．（25-26九年级上·全国·阶段检测）《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 15．（24-25九年级上·江西九江·期中）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程：____________．（结果化为一般式） 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程、勾股定理的应用，由题意得出，，，则，求出，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，，， ∴， ∵甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 整理得：， 故答案为：． 提升·进阶突破 题型4 数字问题（共5小题） 16．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．根据题意分别表示出最小数与最大数，进而利用最大数与最小数的积为128得出等式求出答案． 【详解】解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：， 根据题意得：， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得出方程，即可求解． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得 故选：D． 18．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）两个连续的偶数乘积为168，设较小的偶数为，可得方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据“两个连续的偶数乘积为168”列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为， 由题意得：， 故答案为：． 19．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据方程的特点选择合适的求解方法．根据题意列出方程，解方程后根据正数条件确定解． 【详解】解：由题意，得． 整理得． 解得． 因为是正数， 所以． 故答案为：． 20．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第n行有n个点． (1)请你直接回答15是三角点阵中前几行的点数和？ (2)你能发现78是前几行的点数的和吗？用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案．但是这样寻找答案需要花费较多时间．你能用一元二次方程解决这个问题吗？（提示： ） 【答案】(1) 是三角点阵中前行的点数和 (2) 是三角点阵中前行的点数和 【分析】本题考查一元二次方程的应用，图形变化的规律，能根据所给图形，用含的代数式表示出前行点数和是解题的关键． （1）依次求出前几行点数的和，根据发现的规律即可解决问题． （2）由（1）的发现即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，第一行点的个数为：； 前两行点数和是：； 前三行点数和是：； … 所以前行的点数和是 当时， 解得或（舍去）， ∴15 是三角点阵中前行的点数和． （2）解：依题意，， 解得：或（舍去） ∴ 是三角点阵中前行的点数和． 题型5 握手、循环赛问题（共5小题） 21．（25-26九年级上·四川广安·期中）毕业前夕，班主任王老师让每一名同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条祝福短信，这个班级的学生总人数是 名． 【答案】30 【分析】设班级学生总人数为x名，则每名同学发送条短信，总短信数为，解一元二次方程即可． 【详解】解：设班级学生总人数为x名，则每名同学需发送条祝福短信，根据题意，得， 解得． 由于x表示人数，不符合题意，舍去． 则这个班级的学生总人数是名． 22．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ 【答案】有5人参加聚会． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设有x人参加聚会，利用，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 【详解】解：设有x人参加聚会，根据题意， 化简得， 即． 解得或（舍去）． 答：有5人参加聚会． 23．（25-26九年级上·湖南永州·期中）湘超足球比赛正火热进行中，在常规赛中，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，则有_____个球队参加比赛． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，单循环赛制中，设有个球队参加比赛，比赛总场次为，设其等于，解方程即可． 【详解】解：设有个球队参加比赛，比赛总场次为， 根据题意可得：， 整理可得：， 因式分解得：， 解得：或(不符合题意，舍去)， 有个足球队参加比赛． 故答案为：14． 24．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）林老师计划在毕业典礼上，他赠送给每位同学一张签名卡，每位同学间也互赠一张签名卡．林老师发现在不失误的情况下，为了使签名卡恰好用完，他需购买2704张签名卡，设班级有x名学生，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握利用等量关系建立一元二次方程，林老师赠送每位同学一张签名卡，共x张；每位同学间互赠签名卡，即每个同学赠送其他个同学各一张卡，共张。总签名卡数为2704，再列出方程即可． 【详解】解：∵ 林老师赠送签名卡数量为x， 同学间互赠签名卡数量共张， 总签名卡数为2704， ∴． 故选：A． 25．（25-26九年级上·云南昭通·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【答案】共有6个队参赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】解：设共有个队参赛， 由题意可得，， 解得：（不符合题意舍去）， 答：共有6个队参赛. 拔高·压轴破难 题型6 与图形有关的问题（共5小题） 26．（25-26九年级上·广东江门·期中）用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程与实际问题，题目中存在的等量关系为长方形菜园平行于墙的边长长方形菜园垂直于墙的边长． 【详解】根据题意可知，长方形菜园平行于墙的边长为，即，可得 整理，得 故答案为： 27．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图所示，一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙，墙长为，另外三边用长的建筑材料围成． (1)设鸡舍与墙垂直的一边长为，则______ （用含x的式子表示）． (2)当x为多少时，鸡舍面积为？ 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了列代数式，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设鸡舍与墙垂直的一边长为，根据鸡舍的一边靠墙，墙长为，另外三边用长的建筑材料围成，可用含x的式子表示出； （2）根据鸡舍面积为，列出一元二次方程求解，再验根即可． 【详解】（1）解：设鸡舍与墙垂直的一边长为， 因为鸡舍的一边靠墙，另外三边用长的建筑材料围成， 所以平行于墙的一边的长为， 故答案为：； （2）解：根据鸡舍面积为， 可得， 解得：，， 当时，（舍去）， 当时，，符合题意， 答：当时，鸡舍面积为． 28．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果围成的面积为150平方米的小花园，求的长． (3)当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)的长为 (3)当为时，小花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，关键是根据函数的性质求最值． （1）首先根据矩形的性质，由花园的边长为，可得，然后根据矩形面积即可求得与之间的函数关系式，又由墙长，即可求得自变量的的范围； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）将利用配方法转化为顶点式，结合自变量的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴花园的面积为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴与之间的函数关系式为： ； （2）解：根据题意得，， 解得或（不合题意，舍去）， 答：的长为； （3）解：∵，， ∴当时，有最大值，最大值为200． 答：当为时，小花园的面积最大，最大面积是． 29．（25-26九年级上·广东佛山·期中）项目化学习 项目主题 劳动基地换新计划 项目背景 学校计划对劳动基地进行整修，综合实践活动小组以设计“劳动基地换新计划”为主题开展一次项目学习． 信息获取与问题解决 信息1：如图①，原劳动基地形状为矩形，，， 问题1：活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ 信息2：学校准备扩建基地，如图②，在、上进行扩建，扩建后的新劳动基地仍为矩形若的最大长度为32m，的最大长度为． 问题2：当时，新劳动基地的面积可以为吗？若存在，请求出和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】问题1：小路宽度应为； 问题2：当时，新劳动基地的面积不可以为，理由如下： 假设新劳动基地的面积可以为， 设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即当时，新劳动基地的面积不可以为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 问题1：设小路宽度应为，依题意列出方程，解得（不符合题意，舍去），即可解答． 问题2：根据新劳动基地的面积为，列出关于y的一元二次方程，解之得出y的值，即可解决问题． 【详解】解：问题1：设小路宽度应为，依题意，得 ， 即， 解得（不符合题意，舍去）． 答：小路宽度应为． 问题2：略 30．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 【答案】8米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是正确列出方程．本题可以利用平移的思想得到一个邻边长为和的长方形，列出方程求解即可． 【详解】解：设车道的宽度为 依题意得： 解得： 经检验不符合题意，舍去 答：停车场内车道的宽度为8米． 题型7 营销问题（共5小题） 31．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区某特产店销售潮式饼食礼盒，当每盒的利润为12元时，每天可售出30盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出5盒．要使每天的利润达到400元，设每盒降价x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】降价后每盒利润为元，每天销量为盒，即可建立方程． 【详解】解：由题意得，降价后每盒利润为元，每天销量为盒， ∴可得． 32．（25-26九年级上·江苏南通·期中）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． (1)降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ (3)每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【答案】(1)， (2)每件T恤衫应降价15元 (3)每件应降价10元 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程或函数表达式是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． （3）设利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销量建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，降价后的每件T恤衫的利润为元，平均每天可多售出件； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：， 解得：或， ∵为了尽快减少库存、增加盈利， ∴； 答：每件T恤衫应降价15元． （3）解：设利润为元，由题意得，， ∵， ∴当时，使每天获得的利润最大， ∴每件应降价10元． 33．（25-26九年级上·全国·期中）某网店销售一种小商品，成本为每件20元，销售大数据分析表明：当每件商品的售价为30元时，平均月销售量240件；若每件商品的售价上涨1元，则月销售量就减少10件．设每件商品的售价为x元，月销售利润为w元． (1)若月销售利润2640元，求x的值； (2)月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 【答案】(1)x的值为32或 (2)月销售利润存在最大值，这个最大值为2890元，此时x的值为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用． （1）根据题意列出函数关系式，令，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 当时，， 整理得， 解得，， 答：x的值为32或42． （2）， ， 当时，w取得最大值，最大值为2890， 答：月销售利润存在最大值，这个最大值为2890元，此时x的值为37． 34．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）科技园区内一家企业为迎合市场需求，在8月份投入资金30万元，10月份投入资金36.3万元用来研发具有独特交互功能的智能摆件． (1)求该企业这两个月投入资金的月均增长率； (2)已知该企业制作一个智能摆件的成本为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件．当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件，当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的售价． 【答案】(1)10% (2)75元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用－增长率问题和利润问题，增长率问题：初始量为，终止量为，平均增长率为，则经过两次增长的等量关系为；利润问题：总利润＝单件利润×数量．熟练掌握根据等量关系建立一元二次方程是解题的关键． （1）初始量8月份为30万元，终止量10月份为36.3万元，设平均增长率为，根据增长率问题的等量关系建立一元二次方程即可求解． （2）可设智能摆件售价为元，则单件利润为元，每天销售量为，根据总利润＝单件利润×数量列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设该企业这两个月投入资金的月均增长率为， 由题意得：， 解得，（舍去）， 答：该企业这两个月投入资金的月均增长率为10%． （2）解：设智能摆件售价为元， 由题意得：， 解得，， ∵优惠力度要最大， ∴． 答：智能摆件售价为75元． 35．（25-26九年级上·广东广州·期中）商店销售某种商品进价每千克20元，现在的售价为30元/千克，每天可卖100千克，现准备对价格进行调整，由实际销售经验可知，售价每涨1元销售量要少卖10千克；且物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元． (1)若商店某天的利润为750元，求售价为多少元？ (2)求该商店每天销售这种商品的最大利润． 【答案】(1)商品售价为35元时，商店某天的利润为750元； (2)该商店每天销售这种商品的最大利润为960元 【分析】考查了二次函数的应用，解题的关键是了解利润和售价、销售量之间的关系，难度中等． （1）根据题意列出一元二次方程求解后即可确定正确的答案； （2）列出有关利润的二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：设商品售价为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得，， ， ， ， 答：商品售价为35元时，商店某天的利润为750元； （2）解：该商店每天销售这种商品的利润为元， 根据题意得： ， ， 时，随的增大而减小， ， 当时，取得最大值，最大值为960， 答：该商店每天销售这种商品的最大利润为960元． 题型8 动态几何问题（共5小题） 36．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）易得，得到为等腰三角形时，为等边三角形，进而得到，列出方程进行求解即可； （2）易得的面积是面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴， 由题意，， ∴， ∴，解得； （2）解：存在； 作，则， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴， 解得或； 综上：或． 37．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，当运动到点为止． (1)经过几秒钟，？ (2)经过几秒钟，的面积等于？ 【答案】(1)3秒钟 (2)2秒钟或4秒钟 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确表示出线段和的长是解题的关键． （1）设时间为t秒，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据的面积等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：设时间为t秒，则 ∴， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：经过3秒钟，． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：经过2秒钟或4秒钟，的面积等于． 38．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 39．（25-26九年级上·宁夏中卫·期中）如图，在中，，，，点从点开始，沿边以的速度向点运动；点从点开始，沿边以的速度向点运动，当点运动到点时，运动停止，如果分别从两点同时出发．设动点运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形； (2)几秒后的面积等于？ (3)几秒后以为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)秒或秒 【分析】（）由题意得，，，再根据等腰三角形的定义列出方程即可求解； （）根据三角形的面积列出方程解答即可求解； （）分和两种情况，利用相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的应用，相似三角形的性质，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴当为等腰三角形时，， 即， 解得， 答：当时，为等腰三角形； （2）解：当的面积等于时，， 即， 整理得，， 解得， 答：秒或秒后，的面积等于； （3）解：①若，则， 即， 解得； ②若，则， 即， 解得； 综上，秒或秒后以为顶点的三角形与相似． 40．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，点P由点A出发沿的方向向点B匀速运动，速度为，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，速度，连接，设运动的时间为，其中． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)求几秒时与相似； (3)求几秒时的面积为． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)秒 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用勾股定理求得，即可解答； （2）分两种情况讨论，当时和当时两种情况，分别列方程解答即可； （3）过点P作于点D，求得，利用三角形面积公式列方程即可解答． 【详解】（1）解：根据勾股定理可得， ，， 故答案为：； （2）解：， 与相似，分两种情况讨论： ①当时，即 解得：； ②当时，即 解得：； 故或秒时，与相似； （3）解：如图，过点P作于点D， ，即 ， 解得： 因此秒时的面积为． $专题04 一元二次方程的实际应用 基础·固本强基 题型1 传播问题（重点） 题型2 增长率问题（重点） 题型3 古代问题（重点） 提升·进阶突破 题型4 数字问题（重点） 题型5 握手、循环赛问题（重点） 拔高·压轴破难 题型6 与图形有关的问题（难点） 题型7 营销问题（难点） 题型8 动态几何问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 传播问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有121台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南周口·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 3．（25-26九年级上·江西·期中）化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 4．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区某中学九年级某班有1名同学患了流感，由于没有及时隔离，流感在校内传播．已知经过两轮传染后，全校共有81人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人． (1)用含x的代数式表示：第一轮传染后患病人数为 人，第二轮传染后患病人数为 人； (2)根据题意列出关于x的方程，并求出每轮传染中平均一个人传染的人数； (3)若不加以控制，照此传播速度，第三轮传染后全校患流感的总人数是多少？ 5．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 题型2 增长率问题（共5小题） 6．（25-26九年级上·陕西西安·期中）为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·四川泸州·模拟预测）近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2023年出口量为120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·广东茂名·期中）2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是25万件，3月份的销售量是36万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 9．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）某中学团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心捐款活动．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1440元． (1)求这两天收到捐款的平均增长率． (2)按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？ 10．（25-26九年级上·广东梅州·期中）据统计，年“五一”假期梅州客天下景区接待游客约万人次．依托“潮动五一非遗嘉年华”“仙侠夜演出”等特色文旅活动，景区吸引力持续增强，年“五一”假期接待游客量达约万人次．景区周边某客家围龙屋改造的精品民宿有间客房供游客入住，主打客家文化体验，当每间客房每天定价为元时可全部住满；每间客房每天定价每增加元，就会有一间客房空闲．若客房有游客居住，民宿需对每间入住客房每天支出元的清洁、客家娘酒欢迎礼等配套费用． (1)求年“五一”到年“五一”假期梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率； (2)为让更多游客感受围龙屋魅力，尽可能降低住宿单价，房价应该定为多少元时，民宿当天的利润为元？ 题型3 古代问题（共5小题） 11．（25-26九年级上·河北保定·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·河北唐山·期中）《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．这批椽的总运费为24文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 13．（25-26九年级上·全国·阶段检测）《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·江西九江·期中）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程：____________．（结果化为一般式） 提升·进阶突破 题型4 数字问题（共5小题） 16．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为______． 17．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）两个连续的偶数乘积为168，设较小的偶数为，可得方程为___________． 19．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 20．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第n行有n个点． (1)请你直接回答15是三角点阵中前几行的点数和？ (2)你能发现78是前几行的点数的和吗？用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案．但是这样寻找答案需要花费较多时间．你能用一元二次方程解决这个问题吗？（提示： ） 题型5 握手、循环赛问题（共5小题） 21．（25-26九年级上·四川广安·期中）毕业前夕，班主任王老师让每一名同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条祝福短信，这个班级的学生总人数是 名． 22．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ 23．（25-26九年级上·湖南永州·期中）湘超足球比赛正火热进行中，在常规赛中，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，则有_____个球队参加比赛． 24．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）林老师计划在毕业典礼上，他赠送给每位同学一张签名卡，每位同学间也互赠一张签名卡．林老师发现在不失误的情况下，为了使签名卡恰好用完，他需购买2704张签名卡，设班级有x名学生，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 25．（25-26九年级上·云南昭通·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 拔高·压轴破难 题型6 与图形有关的问题（共5小题） 26．（25-26九年级上·广东江门·期中）用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 27．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图所示，一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙，墙长为，另外三边用长的建筑材料围成． (1)设鸡舍与墙垂直的一边长为，则______ （用含x的式子表示）． (2)当x为多少时，鸡舍面积为？ 28．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果围成的面积为150平方米的小花园，求的长． (3)当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 29．（25-26九年级上·广东佛山·期中）项目化学习 项目主题 劳动基地换新计划 项目背景 学校计划对劳动基地进行整修，综合实践活动小组以设计“劳动基地换新计划”为主题开展一次项目学习． 信息获取与问题解决 信息1：如图①，原劳动基地形状为矩形，，， 问题1：活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ 信息2：学校准备扩建基地，如图②，在、上进行扩建，扩建后的新劳动基地仍为矩形若的最大长度为32m，的最大长度为． 问题2：当时，新劳动基地的面积可以为吗？若存在，请求出和的长度；若不存在，请说明理由． 30．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 题型7 营销问题（共5小题） 31．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区某特产店销售潮式饼食礼盒，当每盒的利润为12元时，每天可售出30盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出5盒．要使每天的利润达到400元，设每盒降价x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·江苏南通·期中）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． (1)降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ (3)每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 33．（25-26九年级上·全国·期中）某网店销售一种小商品，成本为每件20元，销售大数据分析表明：当每件商品的售价为30元时，平均月销售量240件；若每件商品的售价上涨1元，则月销售量就减少10件．设每件商品的售价为x元，月销售利润为w元． (1)若月销售利润2640元，求x的值； (2)月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 34．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）科技园区内一家企业为迎合市场需求，在8月份投入资金30万元，10月份投入资金36.3万元用来研发具有独特交互功能的智能摆件． (1)求该企业这两个月投入资金的月均增长率； (2)已知该企业制作一个智能摆件的成本为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件．当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件，当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的售价． 35．（25-26九年级上·广东广州·期中）商店销售某种商品进价每千克20元，现在的售价为30元/千克，每天可卖100千克，现准备对价格进行调整，由实际销售经验可知，售价每涨1元销售量要少卖10千克；且物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元． (1)若商店某天的利润为750元，求售价为多少元？ (2)求该商店每天销售这种商品的最大利润． 题型8 动态几何问题（共5小题） 36．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 37．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，当运动到点为止． (1)经过几秒钟，？ (2)经过几秒钟，的面积等于？ 38．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 39．（25-26九年级上·宁夏中卫·期中）如图，在中，，，，点从点开始，沿边以的速度向点运动；点从点开始，沿边以的速度向点运动，当点运动到点时，运动停止，如果分别从两点同时出发．设动点运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形； (2)几秒后的面积等于？ (3)几秒后以为顶点的三角形与相似？ 40．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，点P由点A出发沿的方向向点B匀速运动，速度为，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，速度，连接，设运动的时间为，其中． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)求几秒时与相似； (3)求几秒时的面积为． $