专题03 一元二次方程的解法（期中专项训练）九年级数学上学期新教材华东师大版

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03一元二次方程的解法 题型图谱导航总览 题型1一元二次方程的定义（高频） 基础固本强基 题型2由一元二次方程的定义求参数（重点） 题型3由一元二次方程的解求参数（重点） 题型4配方法解一元二次方程（重点） 提升·进阶突破 题型5因式分解法解一元二次方程（重点） 题型6根据判别式判断一元二次方程根的情况（重点） 题型7与解一元二次方程有关的新定义问题（难点） 拔高·压轴破难 题型8换元法解一元二次方程（重点） 题型9一元二次方程根与系数的关系（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1一元二次方程的定义（共5小题) 1.(25-26九年级上广东汕头·期中)下列方程中，是一元二次方程的是（) A.2x+3=0 B.x2+1=2 C.x2+y-1=0 D.x2+3x-7=0 2.(25-26九年级上·宁夏银川期中)下列各方程中一定是关于x的一元二次方程的是() 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3x2=4x+3 B.ax2-8=0 C.x+y2=0 D.3xy+6=5xy 3.(25-26九年级上广东江门期中)下列方程中，属于关于x的一元二次方程的是() A.x2+1=3 B.2x2-5x+1=0 C.x2-2xy+y2=0 D.x×2-4=x-22 4.(25-26九年级上·贵州遵义·期中)下列方程中，是关于x的一元二次方程的是() A.3x-1=0 B.ax2+bx+c=0 C.3x2+1=0 D.x2+1=0 5.(25-26九年级上·贵州遵义·期中)用公式法解x+3x-1=0时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次 为() A.-1,3,-1 B.1,-3,-1 C.-1,-3,-1 D.1,3,-1 题型2由一元二次方程的定义求参数（共5小题） 6.(24-25九年级上湖南邵阳期中)关于x的方程m-2xm+2+x-2=0是一元二次方程，则m= 7.(25-26九年级上：全国期中)已知m-1x1+4x+2=-0是关于x的一元二次方程，则m的值为一 8.(2425八年级下-山东烟台期中)已知关于x的方程m2-5x2+m-5x+2=0 (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？ 9.(25-26九年级上云南怒江期中)已知关于×的方程m2-9x2+(m-3)x+7=0 (1)当m=-5时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. (2)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ 10.(25-26九年级上·河南开封期中)若关于X的方程a+1x2+2x-1=0是一元二次方程，则a的取值范 围是 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3由一元二次方程的解求参数（共5小题） 11.（24-25八年级下·浙江舟山期中)若关于x的一元二次方程（m+1)x2+x+m2-1=0有一个根为0， 则m的值是一· 12.(24-25八年级下.浙江台州期中)关于X的一元二次方程2kx2-k2x=0的一个解为1，则k= 13.(24-25八年级下·浙江温州·期中)若x=m是关于x的方程x2+X-4=0的一个根，则m2+m+2026的 值是() A.2026 B.2028 C.2030 D.2031 14.(24-25八年级下·山东烟台期中)若x=a是方程x2-x-2025=0的根，则代数式2a2-2a-2025的值 为() A.0 B.2023 C.2024 D.2025 15.(25-26九年级上·河北邢台期中)若关于x的方程3x2-19x+k=0的一个根是1，则另一个根为 () A. B. 19 2 3 c. 3 D,19 提升进阶突破 题型4配方法解一元二次方程（共5小题） 16.(25-26九年级上·广东湛江期中)解方程：x2-4x-3=0: 17.(25-26九年级上·广东中山·期末)用配方法解方程x2+6x-8=0时，配方结果正确的是() A.(x+32=17 B.x-32=17 C.x-62=44 D.x+32=1 18.(25-26九年级上·青海西宁.期中)解方程： (四2x2+4x+10公式法) (2②x2+6X=5(配方法) 19.(25-26九年级上·河南平顶山期中)解下列方程： 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (0×-8x+7=0 (配方法) (②)x2-5x+6=0 （公式法) 20.（25-26九年级上·四川成都·期中)解下列一元二次方程. (四g(x-2}-121=0 (②x2-4x=1 3)(x-3}2-5x-3=0 (4)3x2-2x-1=0. 题型5因式分解法解一元二次方程（共5小题） 21.(24-25八年级下·重庆·期中)解下列方程： (0x2-2x=-3 (22x×2+3x-7=0 22.(25-26九年级上.宁夏固原·期中)已知关于x的一元二次方程x2-5x+6=0的两根分别是直角三角形 的两直角边，则这个直角三角形的面积为() A.6 B.5 C.4 D.3 23.（25-26九年级上河南信阳·期中)解下列一元二次方程： (四×2-4x-1=01 (②(x-4④2=10(x-4) 24.（25-26九年级上·云南昆明·期中)解下列方程 (1)x2-6x-3=0 (2)x2-4x=2x-4 25.(25-26九年级上江苏南通·期中)解下列方程： 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0xx-5=0 ②xx+4=8x+12 题型6根据判别式判断一元二次方程根的情况（共5小题） 26.(24-25八年级下·浙江台州·期中)关于x的一元二次方程2x2-mx-2+m=0根的情况，下列说法一 定正确的是（) A.有两个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无实数根 27.(24-25九年级上·湖南邵阳·期中)已知关于x的一元二次方程x2+m-3x-m+2=0,求证：不论m 取何值，该方程都有实数根 28.(25-26九年级上·宁夏固原·期中)已知4，b,c为三角形的三边长，且关于x的方程 bx+(a+b)x+a=0有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状. 29.(25-26九年级上·山西运城·期中)关于x的方程x2-k+2x+2k=0根的情况，下列说法正确的是 () A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根 30.(25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中)当p2<4q时，方程x2+px+q=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.以上结论都不对 拔高·压轴破难 题型7与解一元二次方程有关的新定义问题（共5小题） 31.(25-26九年级上湖南衡阳期中)新定义：关于x的一元二次方程a,x-c2+k=0与a,x-c2+k=0 称为“同族二次方程”·例如：5x-62+7=-0与61x-6?+7=0是“同族二次方程”。现有关于x的一元二 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 次方程2X-1?+1=0卢ax2-bx+2029=0是“同族二次方程”，则代数式ax2+bx+5的最小值是 32.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中)阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于-1，记为i=-1,这个数叫做虚数单位.那么和我们所学的实数对应起来就 叫做复数，复数一般表示为a+bi(a,b为实数)，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加 法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似， 例如：解方程x2=-1,解得X1i,X2=-1. 同样我们也可以化简y-4=V4x-1=22×1=2i 读完这段文字，请解答以下问题： ()填空：13=，4=，i=, ②在复数范围内解方程：x-1?=-1 (3)在复数范围内解方程：x2-4x+8=0, 33.(25-26九年级上广东茂名·期中)新定义：对于关于x的一元二次方程ax+bx+c=0a≠0，若根的 判别式b2-4ac是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“美好方程”. (1)判断下列方程一定是“美好方程”是；（直接填序号） ①x2-6x+9=0;②x2+5x-4=0:③x2+2P3x+3=0: (2)若关于x的一元二次方程x2-2m-3x+m2-3m=0,设方程的两个实数根分别为x1,X2(X1<x2) ①证明：此方程一定是“美好方程” ②若x1<1,X2>2,求m的取值范围： ③是否存在实数k。使得PX1,X,始终在函数y=kx-k+4的图象上？若存在，求出k的值：若不存在，请 说明理由. 34.（25-26九年级上广东惠州期中)我们规定一种运算： a品c =ad-bc:依据以上规定计算：当x= bd 时， 0.5xix-0.5=0」 1x 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35.(25-26九年级上·湖北襄阳期中)规定 a 12 b=ad-bc.例如34 =1×4-3×2=-2」 c d 2 -3 (1) -4的值： (②若x2-7x0求的值。 6 1 题型8换元法解一元二次方程（共5小题) 36.（25-26九年级上·江苏宿迁·期中)阅读下列材料： 已知实数m、n满足m2+n2+1lm2+n2-1=63试求m2+n2的值. 解：设m2+n2=y 则原方程可化为(y+1)(y-1)=63,即y=64: 解得y=±8 .m2+n2≥0， .m2+n2=8. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运 算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.根据以 上阅读材料内容，解决下列问题：· )已知实数x、y满足2x2+2y2+32x2+2y2-3=135求×2+y2的值： (2)解方程x2-3x+2=0: (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数. 37.(25-26九年级上·河南南阳·期中)阅读下面材料，然后解答问题： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想， 此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程：×2-3P-X2-3-2=0我们可以把x2-3视为一 个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答.我们把这种换元解方程的方 法叫做换元法. ”” 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：设x2-3=m,则原方程换元为m2-m-2=0, m-2m+1=0,解得：m1=2,m2=-1, ∴.x2-3=2或x2-3=-1. 解得x,=5'X,=-5x,=V2x4=-V2 (1)请参考例题解法，解下列方程： ①x4-2x2-3=0; ②x2+2x-2Vx2+2x-3=0 (2)已知一元二次方程s4-4s2+2=0,t4-4t2+2=0,直接写出s4+t4的值. 38.(25-26八年级上·上海·期中)阅读下面的材料，回答问题. 解方程x4-5x2+4=0. 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次 方程求解，它的解法如下： 解：设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2=1,.x=±1： 当y=4时，x2=4,∴.X=±2； 所以，原方程有四个根，分别为x1=1,X2=-1,X3=2,X4=-2. 请运用以上方法回答问题：已知x2+6x+1x2+6x+7=7:求x的值为一 39.(25-26九年级上·全国·期中)阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4-5x2+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y,那么 x4=y2,于是原方程可变为y2-5y+4=0①，解这个方程得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2=1,.x=±1： 当y=4时，x2=4,∴.X=±2： ∴.原方程有四个根：X1=1,X2=-1,X3=2,X4=-2 请运用上面学到的方法填空： （1)解方程x2+2x-4x2+2x-5=0:则x2+2x= 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若a2+b1a2+b2-1=20求a2+b2= 40.（25-26九年级上·贵州铜仁·期中)阅读下列材料： 解方程x2-1?-5x2-1+6=0 解：设x2-1=y,则原方程化为y2-5y+6=0, 解得y1=2,y2=3, 当y=2时，x2-1=2,解得：x=±V3: 当y=3时，x2-1=3,解得x=±2. :.原方程的解为：X=3,X,=-3,X=2,x4=-2 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的 转化思想. (1)请用上述方法解下列方程：3x-82-73x-8+12=0 ②已知实数x,y满足x2+y2+2-5x2-5y2-19=15求x2+y2的值. 题型9一元二次方程根与系数的关系（共5小题） 41.（25-26九年级上广东汕头期中)设x1,X2是一元二次方程2x2-6x+1=0的两个实数根，则x1+X2与 X1X2的值分别为() A.3和1 B.3和1 C3和号 。,3和号 42.(25-26九年级上·广东汕头·期中)己知关于x的一元二次方程x2+mx+9=0的一个根是x=-1,则它 的另一个根是() A.9 B.10 c.-9 D.-10 43.(25-26九年级上广东汕头期中)已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-2=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围： 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②在（1)的条件下，设方程的两个实数根为xX,且x2+x2=10:求m的值. 44.(24-25八年级下·浙江杭州期中)已知X1,X2是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两 实数根。 (1)求的取值范围， ②若x-1x-1=39:求m的值. ③)求x+x的最小值. 45.(25-26九年级上·四川自贡·期中)已知关于x的一元二次方程x2+2k+1x+k2+1=0有两个不等实 数根X1,X2 (I)求k的取值范围； (2)若X1X2=5,求k的值. )在(2)的条件下，求X2+1的值. 10/10专题03 一元二次方程的解法 基础·固本强基 题型1 一元二次方程的定义（高频） 题型2 由一元二次方程的定义求参数（重点） 题型3 由一元二次方程的解求参数（重点） 提升·进阶突破 题型4 配方法解一元二次方程（重点） 题型5 因式分解法解一元二次方程（重点） 题型6 根据判别式判断一元二次方程根的情况（重点） 拔高·压轴破难 题型7 与解一元二次方程有关的新定义问题（难点） 题型8 换元法解一元二次方程（重点） 题型9 一元二次方程根与系数的关系（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 一元二次方程的定义（共5小题） 1．（25-26九年级上·广东汕头·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程是指只含一个未知数、且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.方程中，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，本选项不符合题意； B.方程中，含分式，不是整式方程，本选项不符合题意； C.方程中，含有x、y两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； D.方程，是一元二次方程，本选项符合题意． 2．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程的定义为只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A选项只含有一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； B选项中，未说明，当时，方程不是一元二次方程； C选项中含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义； D选项整理得，含有两个未知数，不符合定义． 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）下列方程中，属于关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程），逐一分析各选项即可得出答案. 【详解】解：A、含有分式，不是一元二次方程； B、是一元二次方程； C、含有2个未知数，不是一元二次方程； D、方程化简，得，是一元一次方程，不是一元二次方程. 4．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A、未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、当时，未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程一般形式中系数的识别，需注意符号和顺序．将方程与一元二次方程的一般形式对比，直接确定系数、、的值． 【详解】解：方程， 、、依次为，，， 故选：D． 题型2 由一元二次方程的定义求参数（共5小题） 6．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 9．（25-26九年级上·云南怒江·期中）已知关于的方程． (1)当时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． (2)当为何值时，此方程是一元一次方程？ 【答案】(1)一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7 (2)当时，此方程是一元一次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义． （1）将代入，得到，进而根据一元二次方程的定义作答即可； （2）根据一元一次方程的定义得到且，求解即可． 【详解】（1）解：当时，方程为， 即， 此时一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7； （2）解：根据题意，得且， 解得且， 即， 当时，此方程是一元一次方程． 10．（25-26九年级上·河南开封·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，由此列出不等式求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程，则二次项系数， 解得， 故答案为：． 题型3 由一元二次方程的解求参数（共5小题） 11．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是 _____ ． 【答案】1 【分析】先将根代入方程得到的可能取值，再根据一元二次方程二次项系数不为零的要求，排除不符合条件的解，即可得到的值 【详解】解： 关于的一元二次方程有一个根为， 将代入方程得 ， 解得或， 又 一元二次方程的二次项系数不能为，即， 得， 12．（24-25八年级下·浙江台州·期中）关于的一元二次方程的一个解为1，则________． 【答案】2 【分析】将已知解代入原方程得到关于的方程，求解后结合一元二次方程二次项系数不为的条件，确定的值． 【详解】解：把代入，得 ， 整理得，因式分解得 ， 解得，， 原方程为一元二次方程， 二次项系数 ，即， ． 13．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于x的方程的一个根，则的值是（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2031 【答案】C 【分析】将根代入原方程得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 整理得， ∴． 14．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若是方程的根，则代数式的值为（） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】根据方程根的定义得到的值，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·河北邢台·期中）若关于x的方程 的一个根是1，则另一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系快速求出另一个根，也可先代入已知根求出k的值，再解方程得到结果． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵对于一元二次方程，两根之和为， 又∵方程中，，一个根为1， ∴， ∴， 即方程的另一个根为， 故选：A． 提升·进阶突破 题型4 配方法解一元二次方程（共5小题） 16．（25-26九年级上·广东湛江·期中）解方程：； 【答案】， 【分析】利用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， 即， ∴． ∴， ． 17．（25-26九年级上·广东中山·期末）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用配方法解答即可． 【详解】解：， ， ， 即． 故选：A． 18．（25-26九年级上·青海西宁·期中）解方程： (1)（公式法） (2)（配方法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴ 解得：． （2） ∴ ∴ ∴ 解得：． 19．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程； （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可. 【详解】（1）解： . （2）解： ， . 20．（25-26九年级上·四川成都·期中）解下列一元二次方程． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用直接开平方法解一元二次方程即可． （2）用配方法解一元二次方程即可． （3）用因式分解法解一元二次方程即可． （4）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项：， ∴， 开方，得， 解得：，； （2）解：， 配方，得， 即， 开方，得， 解得：，． （3）解：， 因式分解，得，即， 或， ，． （4）解：， 因式分解，得， 或， ，． 题型5 因式分解法解一元二次方程（共5小题） 21．（24-25八年级下·重庆·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用解一元二次方程——因式分解法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程——公式法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：，； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 22．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 根据因式分解法解一元二次方程，然后利用面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴两根分别为和， 即两直角边长为2和3， ∴面积， 故选：D 23．（25-26九年级上·河南信阳·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）使用配方法解一元二次方程； （2）通过因式分解法求解． 【详解】（1）解： 移项得 配方得 即 开方得 所以 （2）解： 移项得 提取公因式得 所以 或 因此 24．（25-26九年级上·云南昆明·期中）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 25．（25-26九年级上·江苏南通·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）整理后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 或， 解得，； （2）解： 整理得， 因式分解得， 或， 解得：，． 题型6 根据判别式判断一元二次方程根的情况（共5小题） 26．（24-25八年级下·浙江台州·期中）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法一定正确的是（    ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】通过计算根的判别式的值，结合判别式与根的关系判断即可． 【详解】方程 是关于的一元二次方程， ，，， ， 方程总有两个实数根，当时两根相等，当时两根不相等． 27．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，该方程都有实数根． 【答案】 证明：∵， 又∵恒成立， ∴， ∴不论m取何值，方程都有实数根． 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式并证明其始终非负是解题的关键． 首先通过计算判别式，再证明其始终非负从而得出方程总有实数根． 【详解】略 28．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状． 【答案】等腰三角形 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，等腰三角形的定义，计算一元二次方程根的判别式，进而得出，即可求解． 【详解】解：由题意可知： ∴ ∴该三角形是等腰三角形． 29．（25-26九年级上·山西运城·期中）关于的方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，熟练掌握通过判别式判断根的情况是解题的关键． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况，判别式恒非负，故方程总有两个实数根． 【详解】解：方程的判别式为： ， 展开并简化： ， 由于， 则对于所有实数，方程恒有两个实数根， 当，即时，方程有两个相等根，当时，方程有两个不等根 故选：D． 30．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）当时，方程的根的情况是（） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．以上结论都不对 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：∵方程的判别式， 又∵，即， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：B． 拔高·压轴破难 题型7 与解一元二次方程有关的新定义问题（共5小题） 31．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【答案】 【分析】先根据题中的新定义，求出a，b的值，再将a，b的值代入代数式中，运用配方法求得其最小值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴应为， ∴， ∴， ∴， ∴， 代数式 ， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 32．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空：______，______，______， (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)，， (2)， (3)， 【分析】（1）根据虚数的计算规则进行计算即可； （2）根据虚数的计算规则，把方程两边同时开平方即可求出方程的解； （3）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ； ； ； （2）解：， 两边同时开平方得：， 解得：，； （3）解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 合并同类项得：， 两边同时开平方得：， 解得：，． 33．（25-26九年级上·广东茂名·期中）新定义：对于关于x的一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（） ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②若，，求m的取值范围； ③是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③ (2) ①证明： ，，， ∴， ∴此方程一定是“美好方程”； ②； ③存在， 【分析】（1）分别计算每个方程的判别式，再根据“美好方程”的定义即可判断； （2）①计算方程的判别式，再根据“美好方程”的定义即可证明； ②根据公式法求解方程，得到，，再结合题意列出不等式组，即可求解； ③代入点到，即可求出k的值． 【详解】（1）解：①对于， ，，， ∴， ∴是“美好方程”； ②对于， ，，， ∴， ∵41不是整数的平方， ∴不是“美好方程”； ③对于， ，，， ∴， ∴是“美好方程”； 综上，一定是“美好方程”是①③； （2）①略 ②解：由①得，， ∴此方程的解为， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 解得； ③解：由②得，，， ∴， 代入点到，得， 整理得：， ∵不恒为0， ∴， 解得， 综上，存在实数，． 34．（25-26九年级上·广东惠州·期中）我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当____时，． 【答案】1 【分析】本题主要考查了新运算规则、解一元二次方程等知识点，理解新运算法则是解题的关键． 根据规定的运算规则将行列式转化为关于x的一元二次方程，然后解方程求得x的值即可． 【详解】解：由运算规则，得， 整理得：． 解得：． 故答案为1． 35．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）规定．例如． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】本题考查新定义运算和解一元二次方程，准确应用新定义运算规则是解题关键． （1）根据定义，将、、、分别代入计算即可； （2）根据定义，将原式展开为一元二次方程，采用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， ． 答：． （2）解： ， ， ， 解得，． 答：的值为或． 题型8 换元法解一元二次方程（共5小题） 36．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程； (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． （1）由已知等式设，得出，求出，结合可得答案； （2）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案； （3）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． 【详解】（1）解：∵， 设， 则， ， ， ∴， ， ； （2）解：∵， ∴， 设，则， ， 或， ， 或， ； （3）解：设最小数为，则， 即， 设，则， ， ∵为正整数， ， （舍去）， 这四个整数为， 故答案为：． 37．（25-26九年级上·河南南阳·期中）阅读下面材料，然后解答问题： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程：，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：，， 或． 解得，，，． (1)请参考例题解法，解下列方程： ； ． (2)已知一元二次方程，，直接写出的值． 【答案】(1)，；， (2)或或12 【分析】本题主要考查了换元法在解一元二次方程中的应用，正确理解题意，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）①设，则原方程换元为，由此求解即可； ②设，则原方程换元为，由此求解即可； （2）设，则，设，则，求出的值，则，分为四种情况代入计算求解即可． 【详解】（1）解：， 设，则原方程换元为， ， 解得（舍去），， ， 解得，， ， 设，则原方程换元为， ， 解得（舍去），， ， 即， 解得，； （2）设，则， 原方程换元为， 解得，， 设，则， 原方程换元为， 解得，， 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； 综上，的值为或或． 38．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为_____． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；通过观察方程，发现含有重复表达式，因此采用换元法，设，将原方程转化为关于的一元二次方程，求解后再代回求解． 【详解】解：设，则原方程可化为． 展开得，即． 因式分解得，解得，． 当时，，即，解得，． 当时，，即，判别式，解得，即，． 经检验，所有解均满足原方程． 故答案为：，，，． 39．（25-26九年级上·全国·期中）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 【答案】 5或 5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可； （2）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可． 【详解】解：（1）设，则， ∴，解得， 当时，， 当时，， 故答案为：5或； （2）设  ，则， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 40．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键． （1）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出y的值即可得到答案； （2）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得； （2）解：设，则原方程化为， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， ∴． 题型9 一元二次方程根与系数的关系（共5小题） 41．（25-26九年级上·广东汕头·期中）设是一元二次方程的两个实数根，则与的值分别为（     ） A．3 和 1 B．3 和 C． 和 D． 和 【答案】B 【分析】首先判断该方程有两个不相等的实数根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系得，，即可获得答案． 【详解】解：对于一元二次方程， ∵， ∴，即该方程有两个不相等的实数根， 由一元二次方程的根与系数的关系得，． 42．（25-26九年级上·广东汕头·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设另一个根为， 由根与系数关系可得， 解得． 43．（25-26九年级上·广东汕头·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，设方程的两个实数根为、，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即，解得． （2）解：由根与系数的关系得，． 又， 由得． ∵符合（1）中取值范围， ∴． 44．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围． (2)若，求m的值． (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 最小值为 【分析】（1），因为方程有两个实数根，所以需利用一元二次方程根的判别式，代入方程系数建立关于的不等式，解不等式得到的取值范围． （2）先将展开变形，再利用韦达定理、代入变形后的式子，得到关于的方程，结合（1）中的取值范围确定的值． （3）先利用完全平方公式将变形为，再代入韦达定理的表达式，得到关于的二次函数，结合（1）中的取值范围，利用二次函数的性质求最小值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 解得； （2）根据根与系数的关系得：，。 ∵ ， ∴，即， 解得或， 结合，舍去，得； （3）对式子变形，得 ， 这是开口向上的二次函数，对称轴为直线， 结合，函数在上随增大而增大， 因此最小值在处取得， 代入得， 即的最小值为． 45．（25-26九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据根的判别式进行求解； （2）根据根与系数的关系进行求解； （3）利用完全平方公式进行变形，然后根据根与系数的关系进行求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：， 解得或（不符合题意，舍去） ∴； （3）解： ， 将，代入上式得， ∴（负值已舍）． 【点睛】重点掌握根的判别式和根与系数的关系． $