专题06 相似三角形（期中专项训练）九年级数学上学期新教材华东师大版

专题06 相似三角形 基础·固本强基 题型1 选择或补充条件使两个三角形相似（高频） 题型2 利用两角对应相等判定相似（重点） 题型3 重心的有关性质（重点） 提升·进阶突破 题型4 利用相似三角形的性质求解（重点） 题型5 相似三角形的判定综合（重点） 题型6 相似三角形的实际应用（重点） 拔高·压轴破难 题型7 相似三角形——动点问题（难点） 题型8 相似三角形的性质与判定综合（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 选择或补充条件使两个三角形相似（共5小题） 1．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，在中，P为上一点，有下列四个条件：①，②，③，④，从中随机抽取一个，能使和相似的概率是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．最后根据概率公式解答即可． 【详解】解：①当，是公共角， 所以； ②当，是公共角， 所以； ③当，即，是公共角， 所以； ④当，即， 而， 所以不能判断和相似． 综上，能满足和相似的条件有3个． 故从中随机抽取一个，能使和相似的概率是． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）． 已知是与的公共角，结合各选项条件，判断是否满足“两角分别相等”或“两边成比例且夹角相等”的判定条件． 【详解】解：∵是与的公共角， A、，仅说明是的角平分线，无法判定，此选项符合题意； B、，变形为，结合，两边成比例且夹角相等，可判定，此选项不符合题意； C、，结合，两角分别相等，可判定，此选项不符合题意； D、，结合，两角分别相等，可判定，此选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26九年级上·北京·期中）如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键． 由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断B，C，D，由三角形外角的性质可判断A，从而可得答案． 【详解】解：A．根据三角形外角的性质知，故选项A不能判定的相似； B．∵，∴，且不是夹角，由已知条件无法判定两三角形相似故选项B不能判定与相似； C．∵，∴，又，∴，故选项C能判定与相似； D．∵，∴，其中不是与的边，故选项D无法判定与的相似； 故选：C． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，在中，点，分别在边，上，那么下列条件中，不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 【详解】解：A、，，可根据两角相等证明，不符合题意； B、，，可根据两角相等证明，不符合题意； C、，，不能证明，符合题意； D、，，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意， 故选C． 5．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在和中，，添加一个条件：________（写出一个即可）后，可使． 【答案】（或或） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 先由推出，再分别添加一组对应角相等或对应边成比例，利用相似三角形的判定定理证明． 【详解】解：情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：（或或）． 题型2 利用两角对应相等判定相似（共5小题） 6．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，，相交于点，．求证：．                                                           【答案】 证明：∵，相交于点， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键； 通过对顶角相等得到，进而可得到三角形相似． 【详解】略． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）尺规作图：已知，，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如下图： 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的性质，需要确保两个三角形的对应角相等，过点C作交于点D即可． 【详解】解：过点C作交于点D， ∴， ∴在和中， ， ∴． 8．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，，，则图中的相似三角形共有（   ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键．先根据，得出，，然后根据相似三角形的判定方法，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上，共有4对相似三角形． 故选：C． 9．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，是以为底的等腰三角形，． (1)尺规作图：作平分线，与的交点记为点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明． 【答案】(1) 如图，射线即为所作， (2) 证明：，， ， 由作图可得：平分， ， ， ， 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据等腰三角形的性质求出，根据角平分线定义可得，根据相似三角形的判定定理可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 10．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，与交于点，且交于交于G． (1)求证：． (2)如果，求的长． 【答案】(1) 解：∵，且， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角相似模型是解题的关键： （1）利用两组对应角相等的三角形的相似，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型3 重心的有关性质（共5小题） 11．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期中）如图，已知点是的重心，连接，并延长交于点．若的面积为，则的面积为______ 【答案】 【分析】根据重心的性质进行求解即可． 【详解】解：∵点是的重心， ∴为的中线， ∴． 12．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，点是的重心，如果，那么点与点的距离为___________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，连接，延长交于，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，再利用重心的性质求． 【详解】解：连接，延长交于， ∵点是的重心， 是的中点，， ，， ， ， ∴点与点的距离为． 13．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点是的重心，过点作的平行线，分别交，于点，；过点作交于点．求证：． 【答案】 证明：连接并延长，交于点Q，如图所示： ∵点P是的重心， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即． 【分析】本题主要考查三角形的重心，平行线分线段成比例定理，熟练掌握三角形的重心性质是解题的关键．连接并延长，交于点Q，根据重心的性质，得出，根据平行线分线段成比例定理，得出，从而得出，根据平行线分线段成比例定理得出即可． 【详解】略 14．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 我们知道，三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心． 图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：．图3中，若三条中线、、交于点G，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系，并证明你的猜想． (2)由（1）中得出的结论，直接写出图3中的比为_______． (3)图4中，G是的重心，点D、E在的边、上，、交于点G，，，，求四边形的面积． (4)已知的中线，中线，则面积的最大值为________． 【答案】(1) 猜想，证明如下： 由题意可知，，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) (3)20 (4)12 【分析】本题考查三角形的综合应用，包括三角形中线的性质，重心的性质，以及三角形面积的计算，解决本题的关键是熟练掌握三角形中线的性质，重心的性质． （1）根据三角形中线的性质可得面积相等，即，，，再根据面积关系证明即可． （2）根据（1）中结论可得，再由高相同即可求解． （3）根据（2）中结论可得，再由，，即可求解边长，根据三角形面积可求解的面积，再由（2）中的结论即可求解四边形的面积． （3）由重心的性质得；，作于点H，则当时，取得最大值，进而可求出面积的最大值． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）知，被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴， ∵与同高记作h， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． （3）解：由（2）可得， ∵，， ∴；； ∵， ∴， ∴， ∴四边形． （4）解：过点A作于点H，如图， ∵中线，中线， 且， ∴；， ∴， ∵， 所有当时，取得最大值为4， 由（1）知，被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴的最大值为， 的最大值为， 则面积的最大值为． 故答案为：12． 15．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）马超同学在学习完相似三角形的性质后，对相似三角形的面积关系展开如下探究： (1)如图1，的两条中线与交于点，连接，则________；若的面积为12，则四边形的面积为_________； (2)如图2，已知点是的重心，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点，_________； (3)如图3，在等腰中，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转，交边于点E，连接；过点作边的平行线交线段的延长线于点； ①若，求； ②若，请直接写出的值． 【答案】(1)2；9 (2) (3)①，② 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、三角形重心的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据中线的性质以及三角形中位线的判定可得、，易得，，即可求得的值；先根据相似三角形的性质求得，再根据面积的和差即可解答； （2）由重心的性质可得，，再证明可得，再结合即可证明结论； （3）①先证明可得，即，最后运用算术平方根的性质求解即可；②先证明可得，即；设，则，；，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵的两条中线与交于点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴，即，解得：， ∴四边形的面积为． 故答案为：2，9． （2）解：∵点是的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：． （3）解：∵等腰中， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则，， ∴， ∴． 提升·进阶突破 题型4 利用相似三角形的性质求解（共5小题） 16．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）已知，且面积比为，则与的对应中线之比为______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再结合相似三角形对应中线的比等于相似比求解即可． 【详解】解：，与的面积比为， 与的相似比为， 相似三角形对应中线的比等于相似比， 与的对应中线之比为． 17．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，，，直线、、相交于点，且，若的周长为15，则的周长为_____．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的周长为x， ∵， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴的周长为． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：在中，，于点， ，， ， ， ； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等证出，再利用两角判定法证得即可； （2）由（1）可得，再根据相似三角形的性质得到，然后将已知线段代入，即可求得的值，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ∴． 19．（25-26九年级上·上海松江·期中）已知和相似，，，那么的最大内角的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查三角形相似的性质，三角形内角和定理，根据相似三角形的性质得到是解题的关键．由相似三角形对应角相等，结合已知条件和，推出，从而在中利用三角形内角和定理求出各角，比较得最大内角． 【详解】解：∵和相似，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴的最大内角的度数为． 故答案为：． 20．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在中，点为边上一点，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，三角形的内角和定理．先根据相似三角形的对应角相等得到，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 题型5 相似三角形的判定综合（共5小题） 21．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，分别是边和上的点，且， (1)求证：； (2)求的值 【答案】(1) 证明， ， (2)10 【分析】本题考查相似三角形的证明及性质，能够证得三角形相似是解题关键； （1）根据即可证得三角形相似； （2）根据相似三角形的性质得到，通过变形进而可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ． 22．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，在中，点P是的边上的一点． (1)请判断三人说法的对错：小星______，小红______，小亮______．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)在（2）的条件下，，若，，求的长． 【答案】(1)对，对，错 (2) 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）； （3）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由， 由不是和的夹角，故不能证明． ∴小星和小红对，小亮错． 故答案为：对，对，错． （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴，解得：． 23．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在Rt中，，，，是边上的动点，过点作，且使得与相交于点是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)求长的最小值． 【答案】(1) 证明： ， 又 ， ， ； (2) ， 又 ， ； (3)长的最小值为2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质（斜边中线等于斜边一半）、勾股定理及垂线段最短的性质，解题的关键是通过角的关系证明相似三角形，利用相似性质转化线段和角度，结合最值模型求解。 （1）利用垂直关系得，通过角的和差及已知推出，根据两角对应相等证明相似； （2）由（1）的相似得边的比例，结合证明，利用相似比得出线段关系； （3）由相似推出，根据直角三角形斜边中线性质得，通过（1）的相似转化与的关系，利用垂线段最短求最小值，进而求出最小值。 【详解】（1）略 （2） 略 （3）， ， ， 又是的中点， ， ， 又 ， 当时，的长最小，最小值为， 此时的长最小，， 长的最小值为：． 24．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，已知点是边边上的一点，连接．以下条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定，解决此题的关键是熟练掌握三角形相似的各种判定方法；判定三角形相似的方法有两组相等的角的三角形相似，两组对应边成比例及其夹角相等的三角形相似，三边对应成比例的三角形相似，根据判定方法一一判断即可； 【详解】解：∵是公共角， ∴当或时，根据有两组相等的角的三角形相似得， 故A和B正确； 当时，即，根据两组对应边成比例及其夹角相等的三角形相似得， 故C正确； 当时，不是夹角，故不能判定和相似， 故D错误； 故选D． 25．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）知识背景： 如图1，是等边三角形，如果，我们可以证出______，从而计算出与相交所成的锐角度数是______．这个图形我们称之为“等边十字架”． 知识应用： ①如图2，过作于点，在上取点，连接，使．证明． ②如图3，延长至点，连接．在上截取．延长至点，点恰好在的垂直平分线上．作射线分别交、于点、，若为中点，，过点作于点，求的长． 【答案】知识背景：；； 知识应用： ①由上述证明得到，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 由知识背景可知， ， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴； ②1 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键在于利用等边三角形的性质得到全等三角形的条件，进而证明三角形全等． 知识背景：根据等边三角形的性质判定，由三角形外角和的性质即可求解； 知识应用： ①根据可证，得到，根据三角形外角的性质，结合含30度角的直角三角形的性质即可求解； ②构造辅助线，从而得到三组全等三角形，再根据全等三角形的性质可得边长的关系，再利用的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：知识背景： ∵是等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设交于点， ∴是的外角，即， ∴与相交所成的锐角度数是； 故答案为：，； 知识应用： ①略 ②过点P作交于点H，过点M作的延长线于点W，连接，如图， ∵点恰好在的垂直平分线上， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，即， 即， ∵点为中点， ∴， 又∵， 在与中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ， 在与中， ， ∴． ∴， ∴， 在中，， ∴． 题型6 相似三角形的实际应用（共5小题） 26．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在水平路段上，为一根垂直于地面的路灯，C为路灯的光源．小明（图中为）从H出发，沿着方向前行20米至点F，发现影子缩短了5米．已知小明原来影子长15米，小明身高1.6米，那么路灯的高度为（    ）米． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形，根据题意得到有用的信息和利用相似三角形求得关系式是解题的关键． 首先根据得到，再根据得到，即可得到并求解的长，最后根据求解的长即为路灯的高度． 【详解】解：由题意可知：米，米，（米），米， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：米， ∴米， ∵，即，解得：米， ∴路灯的高度为8米， 故选：B． 27．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为， ，，，点P到的距离为，则与间的距离是_____． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形对应高的比等于相似比． 作于E，交于F，则，利用可判断，利用相似比计算出，然后计算出即可． 【详解】解：作于E，交于F，如图，则， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． ∴与间的距离是． 故答案为6． 28．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现长为6米． (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置； (2)估计路灯的高． 【答案】(1) 如图： 点O和点Q即为所求： (2)路灯的高是4.5米 【分析】此题考查了中心投影作图、相似三角形的判定与性质，熟练掌握投影的特点与相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）由题意可得，进而得到，即，解得，再结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）由题意可知：， ， ，， 又， ，则， 即：， 解得：， ， ， ， 所以路灯的高是4.5米． 29．（25-26九年级上·北京房山·期中）祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）．晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学综合实践活动．由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度．如图2所示，祈年殿的高为，测得其在地面上的影长为37米．同一时刻，竖一根高度为1.9米的标杆，测得标杆的影长为1.85米． (1)在图中画出此时在阳光下的投影（提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子一致）； (2)根据测量数据，计算祈年殿的实际高度． 【答案】(1) 即为所求： (2)38米 【分析】本题考查三角形相似的实际应用： （1）过A作，交于C，即为所求； （2）根据写出比例关系即可求解． 【详解】（1）解：过A作，交于C． （2）解：， ， ，， ， ， ，即， （米）， 祈年殿的实际高度为38米． 30．（25-26九年级上·广东佛山·期中）（1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即）小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小丽的眼睛离地面的距离，求建筑物的高度； （2）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小丽站在点处不动，将镜子移动至处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小丽的眼睛高地面距离，求这个广告牌的高度． 【答案】（1）建筑物的高度为；（2）广告牌的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用光的反射定律得到等角，进而证明三角形相似． （1）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案； （2）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： ，， ， ， ， ，，， ，解得； （2）如图所示： ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ． 拔高·压轴破难 题型7 相似三角形——动点问题（共5小题） 31．（25-26九年级上·广西百色·期中）如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，36 (3)或 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）用矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 由题意，， ∴， 当时，则，解得； （2）解：是定值； ∵， ∴， ∴四边形的面积 ； （3）解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，能与相似． 32．（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求的长； (2)当为何值时，与相似？ (3)连接，当为何值时，？ 【答案】(1)10 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）直接利用勾股定理解答即可； （2）分两种情况，结合相似三角形的性质解答即可； （3）根据当时，可得，即可求解． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴． （2）解：由题意得，，， 因此， 与相似有两种情况， ①当时，， 即， 解得； ②当时，， 即， 解得； 综上所述，当为或时，与相似； （3）解：当时，， 由（2）可知，． 所以当为时，． 33．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知，如图在中，，点由点出发沿方向向终点点匀速移动，速度为，点由点出发沿方向向终点点匀速移动，速度为．如果动点同时从出发，当点或点有一个到达终点时，另一个也停止运动．请问几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与相似？ 【答案】秒或秒后，以为顶点的三角形与相似． 【分析】本题考查了相似三角形的动点问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质，学会利用相似三角形对应边成比例求解动点问题是解题的关键．设秒后，以为顶点的三角形与相似，分两种情况①；②讨论，列出方程求解的值即可． 【详解】解：设秒后，以为顶点的三角形与相似， 则， ， 分两种情况： ①当时，即， 解得：； ②当时，即， 解得：； 综上所述：秒或秒后，以为顶点的三角形与相似． 34．（24-25九年级上·山东济南·开学考试）在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． （1）由点，点的运动速度和运动时间，又知的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】（1）解：由题意得， 则， ∴的面积为； （2）解：由题意得， 则， 当秒时，， 在中，由勾股定理得； （3）解：由题意得， 则， ∵． ∴①当时，， 即， 解得秒； ②当时，， 即， 解得秒． ∴秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 35．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图①，在中，，动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动．设点D运动的时间是t秒．过点D作于点F，连结．    (1)　　，　　；（用含t的代数式表示） (2)当四边形是菱形时，t的值为 　　； (3)当垂直于的一边时，求t的值； (4)如图②，将沿翻折，点A的对应点为点，直接写出点在外部时t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)t的值为或 (4)或 【分析】（1）先根据动点意义用含t的代数式表示出，再用减去即可求出； （2）先证明，求出，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得到，列出关于t的方程，解方程即可求出结果； （3）分两种情况进行讨论，根据相似三角形的判定与性质列出关于t的方程即可求出每种情况下的t值； （4）当或是钝角时将沿翻折，点A的对应点在外部，然后看t值在什么范围时这两个角是钝角即可求出将沿翻折，点A的对应点在外部时t的取值范围． 【详解】（1）解：∵动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒， ∴， 又∵， ∴， ∵动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t秒， ∴； （2）解：， ， ， ，即， ， ， 四边形是平行四边形， 当四边形是菱形时，， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴， ∴，即， 解得： ， 当时，， ∴， ∴，即， 解得： ． ∴t的值为或； （4）解：由（3）知当时，是钝角， 此时将沿翻折，点A的对应点在外部， 当时，是钝角， 此时将沿翻折，点A的对应点在外部， ∴将沿翻折，点A的对应点在外部时，t的取值范围为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查平行四边形、菱形的性质，折叠的性质，以及相似三角的判定与性质等知识，考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，特别注意分类讨论，分别求出t的值，避免漏解． 题型8 相似三角形的性质与判定综合（共5小题） 36．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图1，中，，平分，延长至，使，连接． (1)①求证：． ②试探究与的关系，并说明理由． (2)如图2，过作于，，求的值． 【答案】(1)①证明：∵，平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②．理由如下： ， ， ， 又∵， ， ， 又∵， 为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ； (2) 【分析】（1）①由平分，得，结合题设，可得一组等角；再加上对顶角，满足两角分别相等，即可证；②由①的相似得比例式，变形为，结合证，得，故为等腰直角三角形，进而即可求解； （2）根据角平分线性质，与的面积比等于；又两三角形同高，面积比等于底，故．由、得，推出，则可得到． 【详解】（1）解：①略； ②略； （2）解：，平分， ∴点到和的距离相等， 的面积的面积， 又的面积的面积， ， ， 由（1）得，即， 又， ， ， ． 37．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，在矩形中，为上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点． (1)求证：； (2)若，，求折痕的长． 【答案】(1) 证明；四边形是矩形， ， 由折叠性质知， ，， ， ； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质可知，根据同角的补角相等可得，根据有两个角对应相等的三角形相似可证结论成立； （2）根据相似三角形的性质可得，可以求出的长度，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中， 在中，， ， ， ， 即， 解得，； 在中，． 38．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，是的角平分线，过点作，交于点，在上取一点，连接，使得． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，，求的长度和四边形的面积． 【答案】(1) 证明：， ， ， 四边形是平行四边形， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； (2)， 【分析】（1）根据平行线的判定定理得，推出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）连接，交于点，根据菱形的性质得到，设菱形的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，根据菱形的面积公式得到菱形的面积为． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点， 四边形是菱形，， ， 设菱形的边长为，则，， ， ， ，即， 解得（舍去）， 经检验，是原分式方程的解， ， 在菱形中，，， ， ， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理、性质及面积计算，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 39．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，E，F分别在矩形的边和上，垂直平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)取的中点（如图），我们称为菱形的“对中三角形”． ①设菱形的边长为x，的周长为y，当时，求y与x的函数关系式；（不必写出x的取值范围） ②当菱形的一条对角线与它的对中三角形的一边相等时，直接写出的值． 【答案】(1) 证明：垂直平分， ，， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形 (2)①y与x的函数关系式为；②的值为或 【分析】（1）利用相等的垂直平分线定义与性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用菱形的判定定理解答即可； （2）①利用“对中三角形”的定义，菱形的性质和相似三角形的判定与性质求得MF，再利用相似三角形的性质求得，最后利用三角形的周长的意义解答即可； ②利用分类讨论的思想方法解答：Ⅰ．当时，利用等腰三角形的性质，菱形的性质和等边三角形的判定与性质求得，利用平行线的性质得到，再利用含角的直角三角形的性质，勾股定理得到，利用等量代换即可得出结论；Ⅱ．当时，过点F作于点N，利用等腰三角形的性质，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；Ⅲ．由题意：，此种情况不存在；同时，，此种情况也不存在． 【详解】（1）略 （2）解：①的中点为M， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 菱形的边长为x， ，， ， ， ， ， ， ， 的周长， 与x的函数关系式为； ②Ⅰ．当时， 四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； Ⅱ．当时，过点F作于点N，如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， Ⅲ由题意：，此种情况不存在；同时，，此种情况也不存在， 综上，当菱形的一条对角线与它的对中三角形的一边相等时，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 40．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）平行四边形中，点F是边上一点，连接并延长交的延长线于点E，且． (1)求证： ； (2)若，，求的值． 【答案】(1) 证明：四边形ABCD为平行四边形， ， ， ， 而， ； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先根据平行四边形的性质得到，再利用得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据平行四边形的性质得到，再由（1）得 ，则利用相似比可计算出，所以，接着根据平行四边形的性质得到，，所以 ，然后根据相似三角形的性质得到，从而得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：四边形ABCD为平行四边形， ， ， ， 即 ， 解得， ， 四边形ABCD为平行四边形， ，， ， ， ． $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06相似三角形 题型图谱导航总览 题型1选择或补充条件使两个三角形相似（高频） 基础固本强基 题型2利用两角对应相等判定相似（重点） 题型3重心的有关性质（重点） 题型4利用相似三角形的性质求解（重点） 提升·进阶突破 题型5相似三角形的判定综合（重点） 题型6相似三角形的实际应用（重点） 题型7相似三角形—动点问题（难点） 拔高·压轴破难 题型8相似三角形的性质与判定综合（重点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1选择或补充条件使两个三角形相似（共5小题） 1.(25-26九年级上广东茂名·期中)如图，在△ABC中，P为AB上一点，有下列四个条件：① ∠ACP=∠B,②∠APC=∠ACB,③AC=AP·AB,④AB·CP=AP·CB,从中随机抽取一个，能 使△APC和△ACB相似的概率是() 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B. D 2.(25-26九年级上江苏盐城期中)如图，下列条件不能判定△ADB一△ABC的是() A.∠ABD=∠CBD B.AB2=AD·AC C.∠ABD=∠ACB D.∠ADB=∠ABC 3.(25-26九年级上北京期中)如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，那么下列条件中，能判定 △ACD与△ABC相似的是() B A.∠ADC=∠B B.AC·BC=CD·AB C.AC2=AD·AB D.AC=AD·BD 4.(25-26九年级上福建漳州期中)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，那么下列条件 中，不能判断△ADE一△ACB的是() B A.∠ADE=∠C B.∠AED=∠B C.AE=DE AB BC D. AD_AE AC AB 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26九年级上河北沧州期中)如图，在△ABC和△ADE中，∠1=，添加一个条件： (写出一个即可)后，可使△ABC一△ADE. 题型2利用两角对应相等判定相似（共5小题） 6.(24-25九年级上湖南邵阳·期中)如图，AC,BD相交于点0，∠B=∠C.求证： △AOB-△DOC. B 7.(25-26九年级上陕西西安期中)尺规作图：已知Rt△ABC,∠C=90°，在AB边上求作一点D,使 △ACD一△ABC.(不写作法，保留作图痕迹) C B 8.(25-26九年级上吉林长春阶段检测)如图，DE‖AB,∠1=，则图中的相似三角形共有() D y A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 9.(25-26九年级上广东佛山期中)如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，∠A=36°. 3/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)尺规作图：作∠B平分线，与AC的交点记为点D.(保留作图痕迹，不写作法) (2)证明△ABC一△BCD」 10.(25-26九年级上·河南南阳·期中)如图，AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B,且DM交AC于 F,ME交BC于G. G D E (I)求证：△AMF一△BGM. (2)如果AM=BM=2,AF=2.5,求BG的长. 题型3重心的有关性质（共5小题） 11.(24-25七年级下.甘肃酒泉期中)如图，已知点P是△ABC的重心，连接AP,并延长交BC于点D 若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为 B D 12.(25-26九年级上·上海宝山期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是△ABC的重心，如 果AB=10,那么点C与点O的距离为 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 B 13.(25-26九年级上·浙江绍兴·期中)如图，点P是△ABC的重心，过点P作AC的平行线，分别交AB, BC于点D,E:过点D作DFBC交AC于点F.求证：AF=2FC. B E 14.(25-26八年级上·广东江门·期中)综合与实践 我们知道，三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心.重心是个物理名词，从效果上看，我们 可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心 图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水 平状态.为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案.图2中，AD是△ABC的中线， △ACD与△ABD等底等高，面积相等，记作：SA口AcD=SAABD.图3中，若△ABC三条中线AD、BE、 CF交于点G,则GD是△GBC的中线，利用上述结论可得：SAGCD=S△GBD,同理S△GBF=S△GAF, SAGAE=S△GCE. B DE 图1 图2 图3 图4 (1)图3中，若设S△GCD=X,S△GBF=y,S△GAE=Z,猜想x,y,z之间的数量关系，并证明你的猜想. (2)由(1)中得出的结论，直接写出图3中BG:GE的比为 (3)图4中，G是△ABC的重心，点D、E在△ABC的边AB、AC上，BE、CD交于点G,BE=10, CD=9,BE⊥CD,求四边形ADGE的面积. (④已知△ABC的中线AD=6,中线BE=3,则△ABC面积的最大值为 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(25-26九年级上·江西景德镇·期中)马超同学在学习完相似三角形的性质后，对相似三角形的面积关 系展开如下探究： 图1 图2 图3 (①如图1，△ABC的两条中线BD与CE交于点O,连接DE,则BO ;若△ABC的面积为12， DO 则四边形BEDC的面积为 (2)如图2，已知点G是△ABC的重心，过点G作AB的平行线交BC于点E,连接AG并延长交BC于点D, ED= DC (3)如图3，在等腰Rt△ABC中，点D是边BC上一动点，连接AD,将射线DA绕点D逆时针旋转45°，交 边AB于点E,连接EC;过点C作边AB的平行线交线段ED的延长线于点F; ①若SAAEC=8,求AD; 5-分话道按 ②若 B DC的值 提升进阶突破 题型4利用相似三角形的性质求解（共5小题） 16.(25-26九年级上辽宁丹东·期中)已知△ABC一△DEF,且面积比为1：2，则△ABC与△DEF的对 应中线之比为 17.(25-26九年级上·福建泉州期中)如图，△ABC~△DEF,ACDF,直线AD、BE、CF相交于 点O,且 且6A=专，若△ABC的周长为15，则△DEF的周长为 6/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E A 18.(25-26九年级上山东济南·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. (I)求证：△ACD一△CBD: (2)若CD=3,BD=2,求AB的长， 19.(25-26九年级上·上海松江·期中)已知△ABC和△DEF相似，∠A=∠D=60°，∠B=2∠E,那 么△ABC的最大内角的度数为 20.(25-26九年级上·山东济南·期中)如图，在△ABC中，点P为边AB上一点，若△ACP一△ABC, ∠A=50°，∠APC=85°，则∠B的度数为() A.35° B.40° C.45o D.50° 题型5相似三角形的判定综合（共5小题） 21.(25-26九年级上·湖南衡阳·期中)如图，在△ABC中，AB=5,D,E分别是边AC和AB上的点， 且∠ADE=∠B,DE=2. 7/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B (I)求证：△ADE~△ABC: (2)求AD·BC的值 22.(25-26九年级上·河北唐山期中)如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点. B 小星：若∠ACP=∠B,则可证： 小红者光智则可证 小亮：若二瓷则可证 △ACPC∽△ABC △ACPP△ABC △ACP△ABC (1)请判断三人说法的对错：小星」 一，小红一，小亮·（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：△ACP一△ABC: 3)在(2)的条件下，△ACP一△ABC,若AP=2,AC=V6,求AB的长 23.(25-26九年级上·安徽池州·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,BC=4,D是AB 边上的动点，过点C作CE⊥CD,且使得∠BDE=∠ACD,DE与BC相交于点F,G是DE的中点，连接 BG,BE. (1)求证：△ABC一△DEC: (2)求证：BE=2AD: (3)求BG长的最小值. 24.(25-26九年级上·四川成都期中)如图，已知点D是△ABC边BC边上的一点，连接AD.以下条件 中不能判定△ABD一△CBA的是() 8/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.∠BAD=∠CB.∠ADB=∠BACC.AB=BD·BC D. AD_AB AC BC 25.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中)知识背景： 如图1，△ABC是等边三角形，如果BD=CE,我们可以证出△ABD≌ 从而计算出AD与BE相 交所成的锐角度数是·这个图形我们称之为“等边十字架”. 知识应用： ①如图2，过A作AP⊥BE于点P,在BE上取点H,连接CH,使∠ECH=∠DBF.证明BH=2FP. ②如图3，延长CA至点M,连接MB.在AC上截取AP=EC.延长BC至点G,点P恰好在BG的垂直平 分线上.作射线GE分别交AB、MB于点N、K,若K为MB中点，NK=1,过点E作ET⊥BG于点T, 求ET的长 d E B G D 图1 图2 图3 题型6相似三角形的实际应用（共5小题） 26.(25-26九年级上广东深圳期中)如图，在水平路段AB上，CD为一根垂直于地面的路灯，C为路灯 的光源.小明（图中为GH)从H出发，沿着H一F方向前行20米至点F,发现影子缩短了5米.已知小 明原来影子长15米，小明身高1.6米，那么路灯的高度为()米. 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EG A.6 B.8 C.10 D.12 27.(25-26九年级上，广东佛山期中)如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD, AB‖CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离为9m,则AB与CD间的距离是m. P B 28.(25-26九年级上·甘肃兰州·期中)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借 鉴意义.如图，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度， 具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自 己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现PQ长为6米. H B M P (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置： (2)估计路灯AO的高. 29.(25-26九年级上·北京房山·期中)祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1），晓宇和同学们在国庆放假 期间，到天坛公园开展数学综合实践活动.由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方 法来计算祈年殿的高度.如图2所示，祈年殿的高为AB,测得其在地面上的影长BC为37米.同一时刻， 竖一根高度为1.9米的标杆DE,测得标杆的影长EF为1.85米. 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D EF 图1 图2 (1)在图中画出此时AB在阳光下的投影BC(提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子EF一致)： (2)根据测量数据，计算祈年殿AB的实际高度. 30.(25-26九年级上·广东佛山期中)(1)由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即 ∠CEF=∠AEF)小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后， 在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A,经测得，小丽的眼睛离地面的距离 CD=1.5m,BE=20m,DE=2m,求建筑物AB的高度； (2)观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小丽站在点D处不动， 将镜子移动至E1处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端G,测出DE1=2m;再将镜子移动至E2处，恰好 通过镜子看到广告牌的底端A,测出DE2=3m,经测得，小丽的眼睛高地面距离CD=1.5m,BD=12m, 求这个广告牌AG的高度. G EE D 图① 图② 拔高·压轴破难 题型7相似三角形一动点问题（共5小题) 31.(25-26九年级上：广西百色期中)如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点E自点A出 发，以每秒1Cm的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒2cm的速度向点C移动，若移动时间 为t且0<t<6. 11/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当t是多少时，DE=2DF: (2)四边形DEBF的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由 (3)△DEF能否与△BCD相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由. 32.(25-26九年级上湖南永州·期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点P从点A出 发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速 度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t秒 P (1)求AB的长： (2)当t为何值时，△PBQ与△ABC相似？ (3)连接PQ,当t为何值时，PQAC? 33.(24-25九年级上山东济南·期冲)已知，如图在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,点 P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1Cm/S,点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移 动，速度为2Cm/s.如果动点P,Q同时从A,B出发，当点P或点Q有一个到达终点时，另一个也停止运动. 请问几秒后，以Q,B,P为顶点的三角形与△ABC相似？ 4 34.(24-25九年级上·山东济南·开学考试)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm,BC=15cm.现有 动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动.如果点P 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运 动.设运动的时间为t秒，求： B (1)用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S: (2)当t=3秒时，这时，P,Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 35.(23-24八年级下·吉林长春·期末)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=15,AB=9,动 点D从点C出发沿CA以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿AB以每秒3个 单位长度的速度向终点B运动.设点D运动的时间是t秒O<t<3.过点D作DF⊥BC于点F,连结 DE、EF. C D F D ■ E B B 图① 图② (1)AE=,AD=;(用含t的代数式表示) (2)当四边形AEFD是菱形时，t的值为一： (3)当DE垂直于△ABC的一边时，求t的值： (4)如图②，将△DEA沿DE翻折，点A的对应点为点A,直接写出点A在△ABC外部时t的取值范围， 题型8相似三角形的性质与判定综合（共5小题） 36.(25-26九年级上·安徽合肥·期中)如图1，△ABC中，∠ACB=90°，C0平分∠ACB,延长C0至 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D,使∠DAB=45°，连接DB. D D 图1 图2 (I)①求证：△AOD一△COB, ②试探究DB与AB的关系，并说明理由. (②)如图2，过0作OE1AD于E, 船子*器的强 BC_3 37.(25-26九年级上·广东茂名·期中)如图，在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折， 使点D恰好落在BC边上的点F (1)求证：△ABF△FCE； (2)若AB=4,AD=5,求折痕AE的长. 38.(25-26九年级上·广东佛山期中)如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE‖AC,交AB于点 E,在AC上取一点F,连接DP,使得∠FDC=∠B. B (I)求证：四边形AEDP是菱形. (2)若FC=4,BE=25,AD=12,求AE的长度和四边形AEDF的面积. 39.(25-26九年级上·四川成都·期中)如图，E,F分别在矩形ABCD的边AB和CD上，EF垂直平分BD. 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F F D O M M E E B B E (1) (2) 备用图 (1)求证：四边形DEBF为菱形： (2)取DE的中点M(如图2)，我们称△BFM为菱形DEBF的“对中三角形”. ①设菱形DEBF的边长为x,△BFM的周长为y,当∠BMF=∠EDF时，求y与x的函数关系式；（不 必写出x的取值范围) ②当菱形DBF的一条对角线与它的对中三角形的一边相等时，直接写出AS 的值， EB 40.(25-26九年级上江苏无锡·期中)平行四边形ABCD中，点F是边BC上一点，连接DF并延长交AB 的延长线于点E,且∠EDB=∠A. D E B (1)求证：△BDF一△BCD: ②若AD=4,BD-23,求P的狼 15/15