专题02 二次根式的运算（期中专项训练）九年级数学上学期新教材华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次根式的运算 题型图谱导航总览 题型1二次根式的乘法（高频） 基础固本强基 题型2二次根式的除法（高频） 题型3二次根式的加减运算（重点） 题型4二次根式的混合运算（重点） 提升进阶突破 题型5已知字母的值，化简求值（重点） 题型6已知条件式，化简求值（重点） 拔高压轴破难 题型7分母有理化（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1二次根式的乘法（共5小题） 1.(24-25八年级下甘肃临夏·期中)计算V20× 2. (24-25八年级下重庆期中)估算V2(V5-2V2)的值在() A.-3和-2之间 B.-2和-1之间 C.-1和0之间 D.0和1之间 3.(24-25八年级下福建三明期中)若一个无理数a与8的积是一个有理数，则a的值可以是 (写出一个即可) 4.(25-26九年级上四川宜宾·期中)下列运算正确的是() 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-6=6 B.V25=5 c.-4}=-4 D.-3=3 5.(25-26八年级上四川成都期中)下列计算正确的是() A.V49=±7 B.8店4 C.(-2y=-2 D.3-27=-3 题型2二次根式的除法（共5小题） 6.(24-25八年级下·广东东莞·期中)下列运算正确的是() A.V2+3=V5B.2V2×V3=6/2 C.V8÷V2=2 D.3V2-V2=3 7.(25-26九年级上山西晋城期中)计算V8÷V2的结果是() A.2 B.3 C.4 D.2 8.(25-26八年级上陕西西安期中)计算12÷3的结果是（) A.3 B.6 C.2 D.V2 9.(24-25八年级下·福建福州期中)下列计算中，正确的是() A.2×V2=2 B.2V2-2=2 c.V8÷4=V2 D.V2+9V2=2 10.(24-25八年级下广东东莞期肿)计算：3/12+只/48=23 题型3二次根式的加减运算（共5小题) 11.(24-25九年级下-广东湛江期中)计算：2-3+8+23-1 12.(24-25七年级下·甘肃临夏·期中)计算： (①03+2-2 26V2+8V2-5V2 13.(22-23八年级上·广东深圳·期末)下列计算结果正确的是() 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.36=±6 B.-3=-3 c.3+2=5 D.3+23=53 14,(25-26九年级上四川绵阳开学考试)计算：2V12+63 -3V48= 15.(24-25八年级上，甘肃兰州·期中)计算： 28-9 23-1P+5x3 V5 提升进阶突破 题型4二次根式的混合运算（共5小题） 16.(25-26八年级上·陕西西安期中)计算： 07+28-00 24-2-98×6+G 820+5+350. 9S ④5+25-2+23-1 17.(25-26八年级上·广东深圳·期中)计算： (1/12+927--3 (2)/2x9/8-V32÷V21 69西-2日+24：5-2×1-2 ④93-V2+/5+215-2 18.(24-25八年级下-四川南充期中)计算：R3-6+248-3y27=只V6 ” 3/6 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.（25-26八年级上广东深圳期中)计算： (1)23+27-7 16+ 20. (24-25八年级下-四川泸州：期中)计算：3-5-5+15-1 题型5已知字母的值，化简求值（共5小题） 21.(25-26八年级上湖南邵阳期中)己知x=5+2,y=5-2.则x2+xy+y的值为() A.11 B.19 C.17 D.20 22.(25-26八年级上上海青浦期中)已知X= 3*2吃·米6*3 的值. X-3 23.(25-26八年级上：上海青浦期中)当x=3时，二次根式√收2-4X+4的值为 24.(25-26八年级上甘肃兰州：期中)先化简，再求值：Wa+6-/a-6a+6-2a6其 中a=3,b=4. 25.（2024广东·模拟预测)先化简，再求值： X+1 x2-2x+1 2一+1， x-1 其中x=3+1. 拔高压轴破难 题型6已知条件式，化简求值（共5小题） 26.（26-27八年级上四川期中)已知x= R7+5w=7-5 ,y= 2 27.(26-27八年级上河南周口开学考试)已知x+=87,则x-的值为() A.2 B.±V2 C.±3 D.1 28.(25-26八年级下山西吕梁期末)计算： a-6×32+-3+-1g 4/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②记知x= 3-1,求x2-2x-2的值. 29.(25-26八年级下湖南长沙期末)已知a=V3+1,b=3-1,求ab2+a2b的值. 30. (25-26八年级下江苏徐州期末)若a+b=3,ab=6,则2a2b2+ab3+a3b的值为 题型7分母有理化（共5小题） 31.（25-26九年级上·山西·阶段检测)观察下列等式： 1 2-1 2+1R2+192-1 =2-10 3-2 万9293+25-20-20 解答下列问题 06+5— 时nr n—:（n为正整数) ()利用上面所揭示的规律计算：1+22+33+可4“ 1 .1 1 1 1 +..+ 9V2023+V2024"V2024+V2025 32。（26-27九年级上四川：期中)己知a=1一 ,求1-2a+a2a2-2a+1的值 2+95 a-1 a-a 33.(26-27八年级上陕西期中)仿 12-3 2+万2+326293化简 5+3 47八年级上四川期中)读下面特料：2吃-1：g+2-吃，525-2 (1)根据以上规律，化简： V11+910-: 1 (2)化简： n+1+n(n为正整数)=： 3)比较V23-V22和V22-V21的大小. 5/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35.（26-27八年级上.宁夏·期中)阅读下列解题过程： 1×只V7-V6 7-6=7-6 7+967+67-67-R62 请回答下列问题： ①仿照上面的解题过程化简：6+5 (2)化简： n+1+9a (3)利用上面所提供的方法，求1+1 ，1 十…十 2+13+24+3…+ ×/2026+1的值. V2026+V2025 6/6专题02 二次根式的运算 基础·固本强基 题型1 二次根式的乘法（高频） 题型2 二次根式的除法（高频） 题型3 二次根式的加减运算（重点） 提升·进阶突破 题型4 二次根式的混合运算（重点） 题型5 已知字母的值，化简求值（重点） 拔高·压轴破难 题型6 已知条件式，化简求值（重点） 题型7 分母有理化（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次根式的乘法（共5小题） 1．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）计算______ 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．根据二次根式的乘法法则计算，再化简二次根式即可得到结果． 【详解】解：． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）估算的值在（） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 【答案】C 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算的取值范围，即可得到原式的范围． 【详解】解：∵， 又∵，，且， ∴ ， ∴ ， 即原式的值在和之间． 故选：C． 3．（24-25八年级下·福建三明·期中）若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．需要找到一个无理数，使得与的乘积为有理数．由于可化简为，因此应包含的因子，以便与相乘后得到有理数． 【详解】解：取，则，是有理数，满足条件． 故答案为． 4．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，二次根式的乘方． 根据运算性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，不符合题意； B．， 不符合题意； C．在实数范围内，无意义，不符合题意； D．，符合题意． 故选：D． 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根和立方根的计算及二次根式的乘法，需根据算术平方根的非负性和立方根的性质及二次根式的乘法法则逐一判断各选项． 【详解】A：∵表示49的算术平方根，∴，故A错误． B：∵，故B错误． C：∵，故C错误． D：，故D正确． 故选：D 题型2 二次根式的除法（共5小题） 6．（24-25八年级下·广东东莞·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 7．（25-26九年级上·山西晋城·期中）计算的结果是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：∵ ， 故选：A． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法是解题的关键；利用二次根式的除法性质，将除法转化为根号内的除法进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 9．（24-25八年级下·福建福州·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解；A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 10．（24-25八年级下·广东东莞·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，注意有括号时，根据运算规则，要先算括号内的． 先将二次根式化为最简二次根式的形式，然后计算括号内的，最后算除法． 【详解】解：原式          ． 题型3 二次根式的加减运算（共5小题） 11．（24-25九年级下·广东湛江·期中）计算：． 【答案】 【分析】先去绝对值、开立方根，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】解： 12．（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 13．（22-23八年级上·广东深圳·期末）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的加法计算，化简二次根式，根据二次根式的性质和二次根式的加法计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 14．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）计算：______ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行计算； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） 提升·进阶突破 题型4 二次根式的混合运算（共5小题） 16．（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（25-26八年级上·广东深圳·期中）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】（1）先化简各数，然后再进行加减运算即可； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； （3）先计算二次根式的乘除法，化简二次根式，再算加减，即可解答； （4）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（24-25八年级下·四川南充·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 19．（25-26八年级上·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先将二次根式化为最简二次根式，再合并即可； （2）先运用分配律进行计算，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．（24-25八年级下·四川泸州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． 先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可． 【详解】解： ． 题型5 已知字母的值，化简求值（共5小题） 21．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知．则的值为（　　） A．11 B．19 C．17 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，通过计算x与y的和与积，利用恒等式将原式转化为，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 22．（25-26八年级上·上海青浦·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，二次根式的混合运算，先对 进行分母有理化，得到 ，然后计算分子 的值为 2，分母 的值为 ，最后求分式的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ． 又 ∵ ， ∴ ． 23．（25-26八年级上·上海青浦·期中）当时，二次根式的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的求值，先化简二次根式，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：． 当时，． 故答案为：． 24．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）先化简，再求值：．其中． 【答案】，8 【分析】先根据乘法公式和二次根式的乘法法则计算，再计算加减法，然后把已知字母的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 25．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查分式化简求值，分母有理化，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： ， 将代入得，原式 ． 拔高·压轴破难 题型6 已知条件式，化简求值（共5小题） 26．（26-27八年级上·四川·期中）已知，， ___________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 27．（26-27八年级上·河南周口·开学考试）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式的变形，由已知和式推导差式的平方，再开方求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 28．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据负整数指数幂的运算法则可得：，可得：原式，根据有理数的加法法则计算； （2）把分母有理化，可得：，移项可得：，整理可得：，再用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 两边平方得：， ， ． 29．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知，，求的值． 【答案】 【分析】分别计算和的值，再将代数式因式分解为，然后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 30．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）若，，则的值为_____． 【答案】 【分析】先将所求多项式因式分解，再把已知的和的值整体代入计算即可求解． 【详解】解： 当，时 原式 题型7 分母有理化（共5小题） 31．（25-26九年级上·山西·阶段检测）观察下列等式： ① ② 解答下列问题． (1)　　　； (2)　　　；（为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)44 【分析】（1）根据题中所给的方法，分子分母同时乘以，再计算解答； （2）根据题中所给的方法，分子分母同时乘以，再计算解答； （3）根据（2）的规律对每一项进行裂项，再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：原式 ． 32．（26-27九年级上·四川·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】先将分母有理化，得，进而可得，，然后将原式化简为，再将和的值代入求值即可． 【详解】解：， ，， ． 33．（26-27八年级上·陕西·期中）仿照，化简． 【答案】 【分析】通过分母有理化，利用平方差公式消除分母中的根式计算即可． 【详解】解：． 34．（26-27八年级上·四川·期中）阅读下面材料：；；． (1)根据以上规律，化简： ； (2)化简：（为正整数）= ； (3)比较和的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式进行化简； （2）利用平方差公式进行化简； （3）先进行变形，，，比较和，分数比较大小，分子相同时，分母大的分数反而小． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：，， ， ， ． 35．（26-27八年级上·宁夏·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)仿照上面的解题过程化简： ___________； (2)化简： ___________； (3)利用上面所提供的方法，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1 ）参照题干做法，找出分母有理化因式，然后分子分母同时乘以分母的有理化因式即可； （2 ）参照题干做法，找出分母有理化因式，然后分子分母同时乘以分母的有理化因式即可； （3 ）先依据规律，可将原式变形为，再合并同类二次根式，最后利用平方差公式求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ， ， ， ． $