专题03 反比例函数全章26大题型（期中专项训练·冲刺版）九年级数学上学期新教材人教版

专题03 反比例函数 题型1 反比例函数的识别（常考点） 题型14 由实际问题列反比例函数解析式（重点） 题型2 根据反比例函数的定义求参数（常考点） 题型15 反比例函数的实际应用---工程问题（重点） 题型3 求反比例函数值（常考点） 题型16反比例函数的实际应用---工程问题一物理问题（难点） 题型4 由反比例函数值求自变量的值（常考点） 题型17反比例函数的实际应用---其它问题（重点） 题型5 确定反比例函数的图象（常考点） 题型18 一次函数与反比例函数图象的共存问题（难点） 题型6　由反比例函数图象求解析式 （常考点） 题型19 一次函数与反比例函数的实际应用（难点） 题型7 由图象分布的象限求参数的范围（常考点） 题型20 反比例函数的多结论判断问题（难点） 题型8 判断反比例函数所在的象限（常考点） 题型21反比例函数的规律探究问题（难点） 题型9 由反比例函数的增减性求参数（重点） 题型22 一次函数与反比例函数的综合问题（难点） 题型10 判断反比例函数值或自变量的大小（重点） 题型23 反比例函数与三角形的综合（难点） 题型11 由比例系数求图形的面积（重点） 题型24反比例函数与图形变换（难点） 题型12 由图形的面积求比例系数（重点） 题型25反比例函数与定值、最值（难点） 题型13 求反比例函数的解析式（重点） 题型26反比例函数与四边形的综合（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1反比例函数的识别（共3小题） 1．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：反比例函数的一般形式为（为常数，）， A、分母为，不符合反比例函数形式，不是关于的反比例函数； B、符合反比例函数形式； C、是正比例函数； D、是二次函数． 2．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解析式形如的函数叫做关于的反比例函数．根据反比例函数的定义即可得出答案． 【详解】解：A、不是反比例函数，该选项不符合题意； B、是反比例函数，该选项符合题意； C、不是反比例函数，该选项不符合题意； D、不是反比例函数，该选项不符合题意， 故选：B． 3．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）下列函数关系中，是反比例函数关系的是（    ） A．正方体的体积y与棱长x之间的关系 B．汽车的速度为时，它的行驶路程s与行驶时间t之间的关系 C．快递件数为10万件时，自动分拣机工作效率x与工作时间y之间的关系 D．周长为100m的篱笆围成的长方形的面积y与长x之间的关系 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的定义．判断每个选项中的函数关系是否满足反比例函数形式（k 为常数，）． 【详解】解：A：∵ 正方体体积y与棱长x的关系为，∴ 不是反比例函数． B：∵ 汽车速度恒定，路程s与时间 t的关系为，∴ 是正比例函数，不是反比例函数． C：∵ 总件数固定为件，∴ 工作效率 x 与工作时间 y 满足，即，∴ 是反比例函数． D： ∵ 周长，长x，宽，∴ 面积， ∴不是反比例函数． ∴ 选 C． 题型2 根据反比例函数的定义求参数（共3小题） 4．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）若函数是反比例函数，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟悉的形式的反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∴且， ∴， 故选：B． 5．（23-24九年级上·江西南昌·阶段检测）若函数是反比例函数，则m的值是（　　） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义即可求出的值． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题考查反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数就叫做反比例函数，掌握反比例函数的定义是解题关键． 6．已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据定义，得到，且，计算即可． 【详解】∵函数是反比例函数， ∴，且， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义的基本条件是解题的关键． 题型3 求反比例函数值（共3小题） 7．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）当时，反比例函数的函数值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数值． 直接将代入反比例函数计算即可． 【详解】解：当时，． 故选：B． 8．（2025·广东东莞·模拟预测）若和成反比例关系，当的值分别为，时，的值如表所示，则表中的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例的定义，有理数的乘法与除法，解题的关键是掌握反比例的定义．根据乘积为定值的两个数成反比例关系，和成反比例关系，可得，进而得出答案． 【详解】解：和成反比例关系， ， ． 故选：C． 9．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 解得 题型4 由反比例函数值求自变量的值（共3小题） 10．双曲线要经过点，则m的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】直接把点代入函数解析式即可求得的值． 【详解】解：将代入双曲线得， ， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式． 11．（24-25九年级下·江西赣州·阶段检测）若反比例函数的图象经过点，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，把点代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故答案为： 12．已知反比例函数的图象经过点，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入已知反比例函数解析式，得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解： 反比例函数的图象经过点， 将，代入得： ， 等式两边同乘得： ， 等式两边同除以得：， 移项得：． 题型5 确定反比例函数的图象（共3小题） 13．下列图象中，是反比例函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断反比例函数的图象，根据反比例函数图象与轴、轴都无交点，图象为双曲线进行判断即可，正确理解反比例函数图象是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数图象与轴、轴都无交点，图象为双曲线， 、图象都与坐标轴有交点，不符合题意； 、图象都与坐标轴有交点，不符合题意； 、图象都与坐标轴有交点，不符合题意； 、图象是反比例函数图象，符合题意； 故选：． 14．反比例函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据题意可直接进行求解． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象分布在第二、四象限，即：    故选：C． 15．表示关系式；；的图象依次是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握反比例函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：中，，图象在二、四象限，②符合； 中，，图象在一、三象限，①符合； 中，，图象在一、二象限，③符合； 综上所述，表示关系式；；的图象依次是②①③， 故选：D． 题型6　由反比例函数图象求解析式 （共3小题） 16．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图所示，其函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的图象，根据反比例函数的图象进行解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∴， ∴可能是． 故选：B． 17．（2026·湖北十堰·模拟预测）反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形得出，根据的取值判断即可． 【详解】解：由题图可知，当时，，即， 当时，， 即， ． 选项中只有4在此范围内， ∴的值可能为4． 18．（24-25九年级下·云南德宏·期中）如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的图象是直线，反比例函数（）的图象分布：当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，据此进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A. 的图象是直线，故此项不符合题意； B. 的图象是直线，故此项不符合题意； C. 是反比例函数， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限，故此项符合题意； D. 是反比例函数， ， 双曲线的两支分别位于第二、四象限，故此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象特征和反比例函数的图象分布，掌握反比例函数图象分布的规律是解题的关键． 题型7 由图象分布的象限求参数的范围（共3小题） 19．已知反比例函数图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数的图象位于第二，四象限，可得，求出解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二，四象限， ∴， 解得． 故选：C． 20．（2026·云南普洱·二模）如果反比例函数（为常数，且）的图象分布在第一、三象限，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，根据反比例函数中的符号与图象所在象限的对应关系即可得出结果. 【详解】解：∵ 反比例函数 的图象分布在第二、四象限 ， ∴ 根据反比例函数的图象性质可得 ． 21．已知反比例函数y＝ （m为常数，且m≠8）． (1)若函数图象经过点A（－1，6），求m的值； (2)若函数图象在第二、四象限，求m的取值范围； (3)若当x＞0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】（1）把A（-1，6）代入反比例函数解析式即可； （2）根据函数图像在第二、四象限，即可得到，求解即可； （3）根据时，y随x的增大而减小，，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， 解得； （2）解：∵反比例函数y＝图像在第二、四象限， ∴， 解得； （3）解：∵反比例函数y＝的图像，当时，y随x的增大而减小， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 题型8 判断反比例函数所在的象限（共3小题） 22．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若反比例函数的图象经过点，则它的图象分别位于（     ） A．第一、第二象限 B．第二、第四象限 C．第一、第三象限 D．第三、第四象限 【答案】B 【分析】根据题意求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、第四象限. 23．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象在（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象分布，根据题意，得，选择即可，熟练掌握图象分布的条件是解题的关键． 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故图象分布在第二、四象限， 故选C． 24．反比例函数的图象经过点(−3，5)，则该反比例函数图象在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限 【答案】B 【分析】先把点(−3，5)代入反比例函数y＝(k≠0)得到k＝−15＜0，根据反比例函数的性质即可得到反比例函数y＝ (k≠0)的图象在第二、四象限． 【详解】解：∵反比例函数y＝ (k≠0)的图象经过点(−3，5)， ∴k＝−3×5＝−15， ∴k＜0， ∴反比例函数y＝ (k≠0)的图象在第二、四象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和性质：反比例函数y＝(k≠0)的图象上点的横纵坐标之积为常数k；当k＞0时，图象分布在第一、第三象限；当k＜0时，图象分布在第二、第四象限． 题型9 由反比例函数的增减性求参数（共3小题） 25．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的增减性推出，进而求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小， ， 解得． 26．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，则k的值可以是（     ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，随的增大而增大， ∴， ∵选项中只有， ∴选A． 27．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键．由反比例函数的图象只能在第一、三象限或二、四象限，结合当时，有， 则函数图象在第一、三象限，得，求解即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限， 又∵当时，有， ∴函数图象在第一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 题型10 判断反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 28．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出反比例函数的解析式为，从而可得反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，由此即可得出结果． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴在第二象限， ∴， ∵，， ∴，在第四象限， ∵， ∴， ∴． 29．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，需要先判断反比例函数的单调性，再根据各点横坐标的位置来比较纵坐标的大小． 【详解】解：在反比例函数中，因为，则，即， 所以该反比例函数图象在一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 已知点，的横坐标为负， 所以这两点在第三象限；点的横坐标为正，所以该点在第一象限， 因为第一象限的点的纵坐标大于第三象限的点的纵坐标， 所以，，。 在第三象限内，随的增大而减小，且，所以， 又因为，，所以． 故选：D． 30．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是________（用“”连接） 【答案】 【分析】根据解析式判断函数图象经过的象限和在每个象限内的增减性，再根据三个点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵点、、都在反比例函数的图象上，且， ∴点和在第二象限，点在第四象限， ∴． 题型11 由比例系数求图形的面积（共3小题） 31．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接，，则面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数中系数的几何意义求出和，再利用解答即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴， ，， ． 32．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点为轴上的点，点是第一象限内的一点，轴，轴于，已知线段交反比例函数的图像于点，连接，连接，交反比例函数图像于点．若的面积为4，则梯形的面积为___________． 【答案】 【分析】利用反比例函数的几何意义：图象上的点与坐标轴围成的直角三角形面积为；由得，减去即为梯形的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴（反比例函数的几何意义）， ∵， ∴． ∵点在反比例函数图象上，轴， ∴， ∴， ∴梯形的面积为． 33．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 【答案】4 【分析】如图所示，连接、，可得，由反比例函数中的几何意义可得，，最后由即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 题型12 由图形的面积求比例系数 （共3小题） 34．如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象性质可知点关于点O对称，由的面积是4，说明，再根据反比例函数比例系数的几何意义结合图象位置即可求解． 【详解】解：是反比例函数图象上的两点，且过原点O， 根据反比例函数的对称性得：点关于点O对称， ， 的边上的高与的边上的高相同，的面积是4， ， 轴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 该反比例函数的图象在第二、四象限， ． 35．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，直线与双曲线交于第一象限的点，与轴交于点，过点作轴于点，连接．若的面积为2，则的值为________． 【答案】4 【分析】作轴于D，如图，则，然后根据k的几何意义确定k的值． 【详解】解：作轴于D，如图， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 由图象位于第一象限得， ∴． 36．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，的边在轴上，若过点的反比例函数 ，的图象还经过边上的中点，且，则_________． 【答案】 【分析】过点、分别作，，垂足为、，根据平行四边形的性质结合已知条件可得，根据反比例函数的的几何意义可得，进而可得，设点，则 ，进而根据面积关系列出方程，解方程求得的值，即可求解． 【详解】解：过点、分别作，，垂足为、， 是的中点， ， 四边形是平行四边形，， ， 点、在反比例函数的图象上， ， ， ， 设点，则 ， 即，， ， ， ， 解得． 题型13 求反比例函数的解析式 （共3小题） 37．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）若与成反比例，且当时，， (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)19 【分析】（1）根据与成反比例，设，将，代入得到，即可求出y与x之间的函数表达式； （2）将代入函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设， 将，代入，得：， 解得：， 则， y与x之间的函数表达式为； （2）解：把代入，得：． 38．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知是的反比例函数，且当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出函数关系式； （2）将代入关系式求值即可； （3）将代入关系式求值即可． 【详解】（1）解：设， 将，代入，得， ∴关于的函数表达式为； （2）解：将代入，得； （3）解：将代入，得， 解得． 39．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知点在双曲线上． (1)若直线与双曲线交于点，且，求反比例函数的解析式； (2)若点也在双曲线上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将交点横坐标代入中求出点，进而即可求出反比例函数的解析式； （2）根据题意得到，，进而推出，，再将，代入整理化简后的式子求解，即可解题． 【详解】（1）解：直线与双曲线交于点，且， ，即， ， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）解：点在双曲线上， ， 即， 点在双曲线上， ， ， 则，， ． 题型14 由实际问题列反比例函数解析式 （共3小题） 40．电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【分析】根据电压＝电流×电阻得到稳定电压的值，让I即可． 【详解】解：∵当R＝20，I＝11时， ∴电压＝20×11＝220， ∴． 故选：A． 【点睛】考查列反比例函数关系式，关键是根据题中所给的值确定常量电压的值． 41．某工厂现有原材料300t，平均每天用去xt，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数解析式是（　　） A．y＝300x B． C． D．y＝300﹣x 【答案】B． 【分析】利用“工厂现有原材料300t，平均每天用去xt，这批原材料能用y天”，即可列出解析式． 【详解】解：由题意得：xy＝300， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数解析式，正确运用xy＝300得出解析式是解此题的关键． 42．近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： x（单位：度） … 100 250 400 500 … y（单位：米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 … 在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例，依此即可求解． 【详解】解：根据表格数据可得，100×1＝250×0.4＝400×0.25＝500×0.2＝100， 所以近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例， 所以y关于x的函数关系式是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是关键． 题型15 反比例函数的实际应用---工程问题 （共3小题） 43．小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点（150，10）．根据图象可知，下列说法不正确的是（　　） A．这篇文章一共1500字 B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟 C．小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字 D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 【答案】C． 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据解析式判断各个选项即可． 【详解】解：设y， 把（150，10）代入y得，10， ∴k＝1500， ∴y与x的函数表达式为y． A．当录字时间y（分钟）与录字速度x的乘积为1500字，即这篇文章一共有1500字，故本选项不符合题意； B．当录字速度x＝75时，y20（分），故本选项不符合题意； C．当录字时间y＝35﹣20＝15时，x100， ∵k＞0， 在第一象限内，y随x的增大而减小， 即小丽每分钟至少应录入100字，故本选项符合题意； D．当x＝12时，y125（分钟）， 当x＝125×（1+12%）＝150时，y10， 实际用的时间是9.6（分钟）， 12﹣10＝2（分钟）， 比原计划提前2分钟，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据工作量得到等量关系是解决本题的关键． 44．某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达式　 　． 【答案】t． 【分析】根据蓄水量＝每小时排水量×排水时间，即可算出该蓄水池的蓄水总量，再由排水时间＝蓄水总量÷每小时的排水量即可得出时间t（小时）与Q之间的函数表达式． 【详解】解：∵某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空， ∴该水池的蓄水量为8×6＝48（立方米）， ∵Qt＝48， ∴t． 故答案为：t． 【点睛】本题考查了根据实际问题列出反比例函数关系式，解题的关键是根据数量关系列出t关于Q的函数关系式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出函数关系式是关键． 45．某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装5000台空调．计划在x天内完成全部组装，设平均每天组装的空调数量为y（台/天）． （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）原计划用50天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定提前10天完成这批空调的组装，那么装配车间平均每天要组装多少台空调？ 【答案】（1）y． （2）125. 【分析】（1）根据“平均每天组装的空调数量＝所要组装空调总台数÷全部组装需要的天数”解答即可； （2）求出实际组装的天数，将它作为x的值代入y与x之间的函数关系式，求出对应y的值即可． 【详解】解：（1）y， ∴y与x之间的函数关系式为y． （2）50﹣10＝40（天）， 当x＝40时，y125． 答：装配车间平均每天要组装125台空调． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，根据题意写出y与x之间的函数关系式是解题的关键． 题型16反比例函数的实际应用--物理问题 （共3小题） 46．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【答案】C 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、设与的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意； B、当时，，解得，故B正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小， ∴当时，，故C错误，符合题意； D、当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意． 47．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【详解】由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为 将代入得， 解得 ∴ ∴当时，，故B错误； 当时， ∴ ∵当时，h随的增大而减小 ∴当时，，故C正确； 由图象得，当时，，故D错误． 故选：C． 48．调光台灯的灯光亮度可以通过调节总电阻控制电流的变化而改变．如图是某台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的函数图象，该图象经过点P（880，0.25），下列说法中错误的是（　　） A． B．当I＜0.25时，R＜880 C．当R＝1000时，I＝0.22 D．当880＜R＜1000时，0.22＜I＜0.25 【答案】B． 【分析】根据函数图象和图象中的数据，可以写出该函数的解析式，从而可以判断①；再根据图象，可知Ⅰ＜0.25时，R＞880，从而可以判断②；根据图象中的数据可以判断③和④即可． 【详解】解：由图象可知：I与R成反比例函数， ∵当R＝880时，I＝0.25， ∴IR＝880×0.25＝220， 即I与R的函数关系式是I（R＞0），故A不符合题意； 当Ⅰ＜0.25时，R＞880，故B符合题意； 当R＝1000时，I，即I＝0.22，故C不符合题意； 当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型17反比例函数的实际应用---其它问题（共3小题） 49．（2026·山西阳泉·三模）小王在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的水平距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 … 100 125 200 … 镜片与光斑的水平距离 … 1 0.8 0.5 … 若按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑的水平距离为，则这副老花镜的度数为（     ） A．75度 B．150度 C．250度 D．275度 【答案】C 【分析】根据表格数据找出老花镜度数和镜片与光斑距离的关系，计算可得二者乘积为定值，成反比例关系，代入计算即可得到度数． 【详解】由表格已知数据计算得： ∵ ，，， ∴ 可得与满足关系， 当时，代入得， ∴ 这副老花镜的度数为250度． 50．某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度随时间的变化情况如图所示．通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升到时，冰箱再次运行（升温过程的温度与时间成反比例关系），如此循环．则以下结论不正确的是（     ） A．当时，是的一次函数： B．当时， C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出和时的解析式，可判断A，B；再把代入时的解析式，可判定C，D． 【详解】解：设当时，关于的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，是的一次函数，故A选项正确，不符合题意； 设当时，关于的函数表达式为， 将代入得，， ∴时，是的反比例函数，故B选项正确，不符合题意． 当时，， 解得， ∴，故C选项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意． 51．（2026·河南平顶山·三模）自动加热饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直到降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．某天初始水温和室温均为，小林放满水后接通电源，收集了如下数据，并绘制了如图所示的水温y()关于通电时间x()变化的图象，其中，内，y与x满足反比例函函数关系．下列说法正确的是（     ） 通电时间 0 4 8 16 20 32 40 水温 20 60 100 50 40 25 20 A．第一次加热到用了 B．通电内，y关于x的函数表达式为 C．一个循环内水温高于的时间为 D．小林在期间可以接到不低于的水 【答案】D 【分析】A、根据平均每分钟水温上升计算，即可判断； B、根据y与x满足反比例函数关系，用待定系数法求解，即可判断； C、分别求出水温第一次上升到所需的时间，及水温再次回落到的时间，即可判断； D、正好是一次循环，是第二次循环的开始，当水温达到时，用时，时间为恰好时，再计算水温维持在所用的时间，即可判断答案． 【详解】解：A、第一次加热到，水温上升了，用时，所以选项A错误，不符合题意； B、设y关于x的函数解析式为， 将代入得， 解得， 关于x的函数解析式为， 所以选项B错误，不符合题意； C、当水温第一次上升到时，用时， 通电内，令， 则， 解得， 一个循环内水温高于的时间为()， 所以选项C错误，不符合题意； D、由图可知，正好是一次循环， 后，当水温再上升到时，用时，时间为， 令，则， 解得， 水温在以上的时间是()， ， 小林在期间可以接到不低于的水， 所以选项D正确，符合题意． 题型18 一次函数与反比例函数图象的共存问题（共3小题） 52．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个函数图象经过的象限，分别判断和的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、反比例函数的图象经过第一、三象限，则，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，不符合题意； B、反比例函数的图象经过第二、四象限，则，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，不符合题意； C、反比例函数的图象经过第一、三象限，则，一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，符合题意； D、反比例函数的图象经过第二、四象限，则，一次函数的图象经过第二、三、四象限，则，不符合题意． 53．（2026·安徽阜阳·二模）已知反比例函数（）的图象在第一、三象限，则二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由反比例函数图象与性质确定参数范围，再由二次函数图象与性质判断选项中的图象即可． 【详解】解：反比例函数（）的图象在第一、三象限， ， 则对于二次函数，由知图象开口向上、对称轴为轴、且与轴交点在负半轴上， 观察四个选项中的图象，只有B选项符合要求． 54．若kb＜0，则一次函数y＝kx+b与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】根据一次函数的图象与反比例函数的图象特征逐项判断即可得． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知k＞0，b＞0，由反比例函数的图象可知k＞0，两者一致，但不满足kb＜0，故此项错误，不符题意； B、由一次函数的图象可知k＜0，b＜0，由反比例函数的图象可知k＞0，两者不一致，且不满足kb＜0，故此项错误，不符题意； C、由一次函数的图象可知k＜0，b＞0，由反比例函数的图象可知k＜0，两者一致，且满足kb＜0，则此项正确，符合题意； D、由一次函数的图象可知k＞0，b＜0，由反比例函数的图象可知k＜0，两者不一致，则此项错误，不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象和反比例函数的图象特征是解题关键． 题型19 一次函数与反比例函数的实际应用 （共3小题） 55．（24-25九年级上·广西崇左·期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． (1)求k的值； (2)求当时，y与x之间的函数表达式； (3)若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 【答案】(1)2 (2) (3) 解：把分别代入和，得 和， ， ∴这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产． 【分析】本题主要考查正比例函数以及反比例函数的解析式，以及正比例函数以及反比例函数的应用，正确得到正比例函数以及反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用正比例函数解析式求法得出即可； （2）利用反比例函数解析式求法得出即可； （3）把分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：点在的图象上， ， ； （2）解：设当时，与之间的函数表达式为; 点在的图象上 ∴当时，与之间的函数表达式为； （3）略 56．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)20 (2)能，理由： 设当时，的解析式为，将、代入得： ，解得， 的解析式为， 当时，，解得， 由（1）得反比例函数的解析式为， 当时，，解得， 时，注意力指标都不低于36， 而， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ，即对应的指标值为20； （2）略 【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式． 57．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图像，其中线段段为渐消毒阶段，线段段为深消毒阶段，曲线段是反比例函数图像的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第6分钟时消毒效果为 效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，可产生消毒作用，通过计算说明本次消毒是否有效． 【答案】(1) (2)当时，与之间的函数关系式为，当时， (3)消毒有效 【分析】（1）求出线段的解析式，代入，即可求出第6分钟时消毒效果． （2）代入点B、C的坐标，即可求出线段的解析式． （3）先求出深消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，再求出降消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，用降消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间减去深消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，与28分钟比较，比28分钟长则有效，反之无效．渐消毒阶段没有达到4效力，不做分析． 【详解】（1）解：根据图像知，线段过点B， 设线段的解析式为（）， 代入点B得到线段解析式： ，解得， ∴线段解析式： ， ∴当6分钟时，为（效力）． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和， 根据题意，得，解得，所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为，故， 解得，故， ∴当时，与之间的函数关系式为，当时，． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为， 故本次消毒有效． 题型20 反比例函数的多结论判断问题（共3小题） 58．（2026·山东临沂·二模）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积不一定相等；    ②与的面积不可能相等； ③一定是锐角三角形；    ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．②④ B．①④ C．②③ D．④③ 【答案】A 【分析】根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①； 设点的坐标为，点的坐标为，表示出相关线段的长度，表示出两个三角形的面积进行比较即可判断②； 根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④； 根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 即， 故①错误； ②设点的坐标为，点的坐标为， 则， ， ， 当与的面积相等时，，即， 当时，点重合，与题意不符， ∴与的面积不可能相等， 故②正确； ③如图所示， 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误； ④如图所示， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形， ∴当且对称轴都为直线，可能是等边三角形， 故④正确； 综上，正确的选项为②④． 59．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，两边分别交轴，轴于点，，四边形的面积为，轴于点．有下列结论：①；②三角形的面积为；③线段的长为；④不等式的解集是或．其中正确结论的个数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的图象与反比例函数的图象的性质，结合题意，可计算得；根据和四边形的面积为，设点C坐标为，设点D坐标为，通过勾股定理和四边形面积解方程，即可得到k的值，从而计算得和三角形的面积，以及不等式的解集． 【详解】∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点 ∴ ∴ ∴ 结合题意，得， ∴， ∴，故①正确； 设点C坐标为，设点D坐标为，结合题意，且 ∴， ∵四边形的面积为 ∴四边形的面积 ∴ 结合题意，， 又∵，且 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，，，故③错误； ∵ ∴， ∴ ∴，故②正确； 当时，即 ∴ ∴或（舍去） 当时，即 ∴ ∴ ∴不等式的解集是或，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数、反比例函数、勾股定理、分式、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、反比例函数、勾股定理、分式、不等式的性质，从而完成求解． 60．如图，已知函数的图象与轴交于点A，与函数的图象交于C、D两点，以OC、OD为邻边作平行四边形OCED．下列结论中：①OC=OD；②若，则当时，；③若，则平行四边形OCED的面积为3；④若∠COD=45°，则.其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据反比例函数与一次函数求出交点C、D的坐标，再根据长度公式，三角形面积进行计算即可. 【详解】解：设直线AB解析式为 把A（3，0），B（0，3）代入得 ∴ ∴ 设 则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ =0 ∴ ∴OC=OD，故①正确 当k=2时 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴C（2，1），D（1，2） ∴当1<x<2时 ∴②正确 ∵O（0，0），D（1，2），C（2，1） ∴ ∴ 故③正确 由于∠BOD无法推出∠BOD=∠AOC，故△BOD与△AOC不全等，故BD≠AC 若k=2则D（1，2）C（1，2）故BD=AC 两者矛盾,故④错误 故正确个数有3个 故选：C 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数交点问题以及平行四边形的性质.此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应 用. 题型21反比例函数的规律探究问题（共3小题） 61．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据反比例函数的几何性质，可得，又，可得到，，，按此规律，可得． 【详解】解：连接，如图所示， ，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴， ，根据反比例函数的几何性质可得， ， ， ，，，依此规律，可得． 62．如图，在x轴正半轴上依次截取（n为正整数），过点、、、…、分别作x轴的垂线，与反比例函数交于点、、、…、，连接、、…、，过点、、…、分别向、、…、作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是 （ ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为……点的坐标为，把，，……代入反比例函数的解析式即可求出、、……的值，再由三角形的面积公式可得出、、……的值，故可得出结论． 【详解】解：设， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为……点的坐标为， ∵、、、…、在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴，，…， 设从左到右，小三角形面积依次为、、……，则： ∴； ； ； …… ∴， ∴ 即：． 故选：A． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 63．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在轴正半轴上依次截取，过点、分别作轴的垂线，与反比例函数的图像交于、，连接、、、、，在上取一点，使得，依次类推，在上取一点，使得，连接，则构成的一系列三角形（见图中阴影部分）的面积和是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是得出的规律，计算出三角形的面积，再根据计算的面积找到数字之间的规律．过点作于点，过点作于点，根据反比例函数解析式得到证明四边形、是矩形，从而得出，，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，同理可得，，……从而发现规律得出，再根据三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 设， 过点、分别作轴的垂线，与反比例函数的图像交于、， 则…… ，，， ，， 四边形、是矩形， ，，，， ，， ，， ， 同理可得，，，，，…… 观察发现，，，，……， 则， ， 阴影部分的面积 ， 故选：A． 题型22一次函数与反比例函数的综合问题（共3小题） 64．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 【答案】(1)4，12 (2)8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、中点坐标公式以及三角形面积的计算．解题的关键是利用点在函数图象上的性质求出未知参数，结合线段相等的条件确定点的坐标，再运用坐标法计算三角形的面积． （1）利用点 A 在一次函数图象上，将其纵坐标代入一次函数解析式求出 a 的值，再把点 A 坐标代入反比例函数解析式求出 k 的值． （2）根据 可知 A 是 中点，结合中点坐标公式表示出 C 点坐标；作轴于，交于，利用点E与点C横坐标相同、且点E在一次函数上可求得点E的纵坐标，于是可得的长度，利用求得结果． 【详解】（1）把，代入得，，得， ∴，把，代入得，， ； （2）点，点的纵坐标是0，， 点的纵坐标是， 把代入得，则． 如图，作轴于，交于，当时，，即， 又，于是， ； 65．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若是第二象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接．若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，将代入，求得，再将点代入即可求解； （2）设点，则，则．可得，分类讨论计算即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入， 可知， ∴， ∴． 又点在上， ∴． ∴反比例函数为． （2）解：如图，    设点，则， ∴． ∴, 由， 解得，， 则， ①由图可知，在第二象限当时，， ∴化简为， ∵， ∴此种情况不存在． ②由图可知，在第二象限当时，， ∴化简为， 解得或． 又∵， ∴． 综上，． 66．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)连接，，求的面积； (3)将一次函数的图像向下平移个单位长度，若平移后的图像与反比例函数的图像只有一个交点，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）将代入，可求出，进而得到反比例函数，令求出的值即为的值，将代入可求出； （2）先求出点的坐标，根据，即可求解； （3）先求出平移后一次函数的表达式，再联立反比例函数的表达式，利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ， 当时，， ， 将代入得， 解得； （2）如图， 由（1）可得一次函数的表达式为， 当时，， 解得， 点， ， ； （3）将一次函数的图像向下平移个单位长度为， 令， 整理得， 平移后的一次函数的图像与反比例函数的图像只有一个交点， ， 解得，， 当时，，该函数过二、三、四象限，与反比例函数无交点， ． 题型3 反比例函数与三角形的综合（共3小题） 67．如图1，已知反比例函数的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点C，且与直角边AB相交于点D，另一直角边OA在x轴上． （1）已知Rt△OAB的面积为8，请求出k的值； （2）如图2，直线y＝mx+b经过C，D两点，在（1）的条件下，当∠AOB＝45°时，请求出直线CD的表达式； （3）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集． 【分析】（1）由Rt△OAB的面积2m×2n＝8，即可求解； （2）当∠AOB＝45°时，则直线OB的表达式为：y＝x，故（1）中m＝n，进而求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）设点C（m，n）， 由中点坐标公式得，点B（2m，2n）， 则Rt△OAB的面积2m×2n＝8， 则mn＝4， 则k＝mn＝4； （2）当∠AOB＝45°时， 则直线OB的表达式为：y＝x， 故（1）中m＝n， 即mn＝m2＝4， 解得：m＝﹣2（舍去）或2， 即点C（2，2），则点B（4，4）， 由（1）知，反比例函数的表达式为：y， 当x＝4时，y＝1，即点D（4，1）， 由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：yx+3； （3）观察函数图象知，不等式的解集为：x＞4或0＜x＜2． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，解不等式等，数形结合是解题的关键． 68．如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)存在，点的坐标为，， 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形定义．准确计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）分，两种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）将代入中，得， 一次函数的表达式为， 在一次函数图像上， ， 将代入中，得：， 反比例函数的表达式为； （2）存在，理由如下： 由（1）知：点的坐标为， 如图，过点作轴于点， 由勾股定理得：， ①如图，当时，点的坐标为，； ②如图，当时，过点作轴于点， 易证四边形为矩形，则， ，点的坐标为， 综上所述，存在满足要求的点，点的坐标为，，． 69．如图1，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点，连接． (1)___________，___________． (2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，C是线段上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接，，．若四边形的面积为3，求点C的坐标． 【答案】(1)1， (2)或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论：①当点O为直角顶点时；②当点B为直角顶点时；分别求解即可； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图像上， ∴，即． ∵一次函数的图像过点， ∴，解得． 故答案为：1，； （2）解：存在．理由如下： 若是以为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论： ①当点O为直角顶点时， 如图，过点O作且，分别过点B、作y轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ②当点B为直角顶点时， 如图，过点B作，且，连接， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴． 综上，点P的坐标为或． （3）解：∵点C在线段AB上（不与点A，B重合）， ∴设点， 则点， 则， 解得，（舍去）， 故点C的坐标为． 【点睛】此题是一道反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了待定系数法、三角形全等的判定与性质、图形的面积计算等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识、添加辅助线构造全等三角形与分类讨论的思想是解答此题的关键． 题型24反比例函数与图形变换 （共3小题） 70．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值和面积数值相等，则称这个点为“等值点”．例如：点，，因为，，所以是“等值点”． (1)若点为双曲线 上任意一点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，求证：点为“等值点”； (2)在第一象限内，若一次函数 的图象上有两个“等值点”，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）依题意，点的坐标为：， ，则点， ，进而根据坐标得出即可求解； （2）根据题意，得出，根据一元二次方程根与系数的关系式得出，进而根据一元二次方程根的判别式大于0，即可求解． 【详解】（1）证明：点的坐标为：， ，则点， ， 则 ， ， ， 点为“等值点”； （2）解：由题意得：，， ∵，则， 即， ∵图象在第一象限内有两个“等值点”，且， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 71．如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将向下平移，当点C落在图象上时，求平移的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，平移的性质，掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平行四边形的性质，得到点A的纵坐标为2，再根据点在一次函数图象上，求出点的横坐标，从而得到点，设点向下平移的距离为a，则平移后的点，再利用反比例函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：点在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为； （2）解：四边形为平行四边形， ， 轴， 轴， 点， 点A的纵坐标为2， 当时，， ， ， 点， 向下平移，当点C落在图象上， 设点向下平移的距离为a，则平移后的点， ，解得， 平移的距离为． 72．如图，已知点在直线上，双曲线经过点A． (1)求双曲线的函数表达式； (2)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围； (3)点B在线段上（不与A点重合），将点A绕着点B顺时针旋转得到点C，当点C恰好落在双曲线上时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象确定函数值的取值范围，全等三角形的判定和性质，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）把代入可得，即；把代入求得k的值即可解答； （2）先求出两函数图象交点的纵坐标，然后根据函数图象即可解答； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，，可得，则设点，，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出值，继而得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 把代入得， 双曲线的函数表达式为； （2）直线与双曲线交于点， ∴ 另一个交点为， ∵ 点分别在直线和双曲线上， 观察图象， 当时，或； （3）解：如图 ，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， ∵ 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， ∴ 点， ∵ 点在反比例函数图象上， ， 解得（舍去）， ， ∴ 点． 题型25 反比例函数与最值 问题（共3小题） 73．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点． (1)求反比例函数的解析式，并确定这两个函数图象的另一个交点B的坐标； (2)画出草图，并据此直接写出使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围； (3)在的直线上是否存在一点P，使的值最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点B的坐标 (2)图见解析，或 (3)存在， 【详解】（1）解：∵把点代入， ∴，解得：， ∴点， ∵把点代入， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式， ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点对称，且两图象的一个交点． ∴这两个函数图象的另一个交点B的坐标； （2）解：画图如下： 观察图象得：当或时，反比例函数的图象位于正比例函数的下方， ∴使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围为或； （3）解：存在 作点A关于直线的对称点，连接，并延长，交直线于点P，连接，在直线上任取一点D，连接，则， ∵， ∵， ∴， 当B、C、P共线时，的值最大， 设直线的解析式为， 把和分别代入中得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求出一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解方程组等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键． 74．如图，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，交于点，连接．    (1)反比例函数的表达式； (2)观察图像，直接写出当时，不等式的解集； (3)直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把点A的坐标代入一次函数解析式求出m的值即可得到点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k，即可确定反比例函数解析式； （2）只需要找到当时，一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围即可解答； （3）先求出，，进而得到，再根据三角形面积公式得到，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：由函数图像可知，当时一次函数的图像在反比例函数图像的上方， ∴当时，，即 ∴不等式的解集为． （3）解：由题意，点，的坐标为，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴时，的面积最大，最大值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、反比例函数与几何综合等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键． 75．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求，的值． (2)若点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)为轴上一点，直线交反比例函数的图像于点（异于），连接，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入求出值，把代入可求出的值，代入即可求出的值； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于，根据轴对称的性质得出的周长最小为，利用待定系数法可求出直线的解析式为，令，求出值，即可得答案； （3）设，直线的解析式为，利用待定系数法得出直线的解析式为，求出，根据的面积为得出，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴， 解得：． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于， ∴， ∴， ∴、、三点共线时有最小值，为， ∴的周长最小，为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （3）解：由（1）得， ∴反比例函数解析式为， ∵直线交反比例函数的图像于点（异于）， ∴设，直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 当时，，整理得（舍去）， 当时，，整理得（舍去）， 当时，， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． 题型26反比例函数与四边形的综合 （共3小题） 76．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与x轴，y轴交于，B两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求m和k的值； (2)已知四边形是正方形，点P在反比例函数第三象限的图象上．当的面积等于正方形面积的一半时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）设的坐标是，由的面积等于正方形面积的一半，得到，求解，即可求解坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， ， ， 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； （2）解：设的坐标是， ∵的面积等于正方形面积的一半 ， ， ， 的坐标是． 77．如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与，分别交于，两点，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点为线段上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，勾股定理等知识解题的关键是掌握以上知识点．， （1）根据矩形的性质以及，可得点M的坐标为，然后代入即可求解； （2）先求出点N的坐标为，可得，设点P的坐标为，则，，根据勾股定理以及，可得关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，∵，， ∴，轴， ∵， ∴， ∴点M的坐标为， ∵点M在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴点N的坐标为， ∴， 设点P的坐标为，则，， ∵，， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 78．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)20 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质： （1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标； （2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围； （3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， ∴， ∵点与关于原点对称， ∴； 故答案为：； （2）解：将代入得， 即反比例函数解析式为：， 由图象知，当或时，， 故答案为：或； （3）解：作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为． $专题03 反比例函数 题型1 反比例函数的识别（常考点） 题型14 由实际问题列反比例函数解析式（重点） 题型2 根据反比例函数的定义求参数（常考点） 题型15 反比例函数的实际应用---工程问题（重点） 题型3 求反比例函数值（常考点） 题型16反比例函数的实际应用---工程问题一物理问题（难点） 题型4 由反比例函数值求自变量的值（常考点） 题型17反比例函数的实际应用---其它问题（重点） 题型5 确定反比例函数的图象（常考点） 题型18 一次函数与反比例函数图象的共存问题（难点） 题型6　由反比例函数图象求解析式 （常考点） 题型19 一次函数与反比例函数的实际应用（难点） 题型7 由图象分布的象限求参数的范围（常考点） 题型20 反比例函数的多结论判断问题（难点） 题型8 判断反比例函数所在的象限（常考点） 题型21反比例函数的规律探究问题（难点） 题型9 由反比例函数的增减性求参数（重点） 题型22 一次函数与反比例函数的综合问题（难点） 题型10 判断反比例函数值或自变量的大小（重点） 题型23 反比例函数与三角形的综合（难点） 题型11 由比例系数求图形的面积（重点） 题型24反比例函数与图形变换（难点） 题型12 由图形的面积求比例系数（重点） 题型25反比例函数与定值、最值（难点） 题型13 求反比例函数的解析式（重点） 题型26反比例函数与四边形的综合（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1反比例函数的识别（共3小题） 1．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）下列函数关系中，是反比例函数关系的是（    ） A．正方体的体积y与棱长x之间的关系 B．汽车的速度为时，它的行驶路程s与行驶时间t之间的关系 C．快递件数为10万件时，自动分拣机工作效率x与工作时间y之间的关系 D．周长为100m的篱笆围成的长方形的面积y与长x之间的关系 题型2 根据反比例函数的定义求参数（共3小题） 4．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）若函数是反比例函数，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．或1 D．或 5．（23-24九年级上·江西南昌·阶段检测）若函数是反比例函数，则m的值是（　　） A．2 B． C． D．1 6．已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 题型3 求反比例函数值（共3小题） 7．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）当时，反比例函数的函数值为（   ） A． B．4 C． D． 8．（2025·广东东莞·模拟预测）若和成反比例关系，当的值分别为，时，的值如表所示，则表中的值是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 题型4 由反比例函数值求自变量的值（共3小题） 10．双曲线要经过点，则m的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 11．（24-25九年级下·江西赣州·阶段检测）若反比例函数的图象经过点，则的值为________． 12．已知反比例函数的图象经过点，则______． 题型5 确定反比例函数的图象（共3小题） 13．下列图象中，是反比例函数图象的是（    ） A． B． C． D． 14．反比例函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   15．表示关系式；；的图象依次是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 题型6　由反比例函数图象求解析式 （共3小题） 16．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图所示，其函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 17．（2026·湖北十堰·模拟预测）反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级下·云南德宏·期中）如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 题型7 由图象分布的象限求参数的范围（共3小题） 19．已知反比例函数图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（2026·云南普洱·二模）如果反比例函数（为常数，且）的图象分布在第一、三象限，那么的值为（     ） A． B． C． D． 21．已知反比例函数y＝ （m为常数，且m≠8）． (1)若函数图象经过点A（－1，6），求m的值； (2)若函数图象在第二、四象限，求m的取值范围； (3)若当x＞0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围 题型8 判断反比例函数所在的象限（共3小题） 22．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若反比例函数的图象经过点，则它的图象分别位于（     ） A．第一、第二象限 B．第二、第四象限 C．第一、第三象限 D．第三、第四象限 23．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象在（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 24．反比例函数的图象经过点(−3，5)，则该反比例函数图象在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限 题型9 由反比例函数的增减性求参数（共3小题） 25．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 26．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，则k的值可以是（     ） A． B．1 C．3 D．4 27．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 题型10 判断反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 28．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 29．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 30．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是________（用“”连接） 题型11 由比例系数求图形的面积（共3小题） 31．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接，，则面积为（    ） A． B． C． D． 32．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点为轴上的点，点是第一象限内的一点，轴，轴于，已知线段交反比例函数的图像于点，连接，连接，交反比例函数图像于点．若的面积为4，则梯形的面积为___________． 33．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 题型12 由图形的面积求比例系数 （共3小题） 34．如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 35．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，直线与双曲线交于第一象限的点，与轴交于点，过点作轴于点，连接．若的面积为2，则的值为________． 36．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，的边在轴上，若过点的反比例函数 ，的图象还经过边上的中点，且，则_________． 题型13 求反比例函数的解析式 （共3小题） 37．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）若与成反比例，且当时，， (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 38．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知是的反比例函数，且当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 39．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知点在双曲线上． (1)若直线与双曲线交于点，且，求反比例函数的解析式； (2)若点也在双曲线上，求的值． 题型14 由实际问题列反比例函数解析式 （共3小题） 40．电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（　　） A． B． C． D． 41．某工厂现有原材料300t，平均每天用去xt，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数解析式是（　　） A．y＝300x B． C． D．y＝300﹣x 42．近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： x（单位：度） … 100 250 400 500 … y（单位：米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 … 在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是（　　） A． B． C． D． 题型15 反比例函数的实际应用---工程问题 （共3小题） 43．小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点（150，10）．根据图象可知，下列说法不正确的是（　　） A．这篇文章一共1500字 B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟 C．小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字 D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 44．某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达式　 　． 45．某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装5000台空调．计划在x天内完成全部组装，设平均每天组装的空调数量为y（台/天）． （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）原计划用50天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定提前10天完成这批空调的组装，那么装配车间平均每天要组装多少台空调？ 题型16反比例函数的实际应用--物理问题 （共3小题） 46．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 47．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 48．调光台灯的灯光亮度可以通过调节总电阻控制电流的变化而改变．如图是某台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的函数图象，该图象经过点P（880，0.25），下列说法中错误的是（　　） A． B．当I＜0.25时，R＜880 C．当R＝1000时，I＝0.22 D．当880＜R＜1000时，0.22＜I＜0.25 题型17反比例函数的实际应用---其它问题（共3小题） 49．（2026·山西阳泉·三模）小王在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的水平距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 … 100 125 200 … 镜片与光斑的水平距离 … 1 0.8 0.5 … 若按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑的水平距离为，则这副老花镜的度数为（     ） A．75度 B．150度 C．250度 D．275度 50．某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度随时间的变化情况如图所示．通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升到时，冰箱再次运行（升温过程的温度与时间成反比例关系），如此循环．则以下结论不正确的是（     ） A．当时，是的一次函数： B．当时， C． D． 51．（2026·河南平顶山·三模）自动加热饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直到降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．某天初始水温和室温均为，小林放满水后接通电源，收集了如下数据，并绘制了如图所示的水温y()关于通电时间x()变化的图象，其中，内，y与x满足反比例函函数关系．下列说法正确的是（     ） 通电时间 0 4 8 16 20 32 40 水温 20 60 100 50 40 25 20 A．第一次加热到用了 B．通电内，y关于x的函数表达式为 C．一个循环内水温高于的时间为 D．小林在期间可以接到不低于的水 题型18 一次函数与反比例函数图象的共存问题（共3小题） 52．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 53．（2026·安徽阜阳·二模）已知反比例函数（）的图象在第一、三象限，则二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 54．若kb＜0，则一次函数y＝kx+b与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 题型19 一次函数与反比例函数的实际应用 （共3小题） 55．（24-25九年级上·广西崇左·期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． (1)求k的值； (2)求当时，y与x之间的函数表达式； (3)若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 56．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 57．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图像，其中线段段为渐消毒阶段，线段段为深消毒阶段，曲线段是反比例函数图像的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第6分钟时消毒效果为 效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，可产生消毒作用，通过计算说明本次消毒是否有效． 题型20 反比例函数的多结论判断问题（共3小题） 58．（2026·山东临沂·二模）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积不一定相等；    ②与的面积不可能相等； ③一定是锐角三角形；    ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．②④ B．①④ C．②③ D．④③ 59．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，两边分别交轴，轴于点，，四边形的面积为，轴于点．有下列结论：①；②三角形的面积为；③线段的长为；④不等式的解集是或．其中正确结论的个数是（    ）． A． B． C． D． 60．如图，已知函数的图象与轴交于点A，与函数的图象交于C、D两点，以OC、OD为邻边作平行四边形OCED．下列结论中：①OC=OD；②若，则当时，；③若，则平行四边形OCED的面积为3；④若∠COD=45°，则.其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型21反比例函数的规律探究问题（共3小题） 61．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 62．如图，在x轴正半轴上依次截取（n为正整数），过点、、、…、分别作x轴的垂线，与反比例函数交于点、、、…、，连接、、…、，过点、、…、分别向、、…、作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是 （ ）    A． B． C． D． 63．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在轴正半轴上依次截取，过点、分别作轴的垂线，与反比例函数的图像交于、，连接、、、、，在上取一点，使得，依次类推，在上取一点，使得，连接，则构成的一系列三角形（见图中阴影部分）的面积和是（   ） A． B．5 C． D． 题型22一次函数与反比例函数的综合问题（共3小题） 64．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 65．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若是第二象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接．若的面积为，求点的坐标． 66．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)连接，，求的面积； (3)将一次函数的图像向下平移个单位长度，若平移后的图像与反比例函数的图像只有一个交点，求的值． 题型3 反比例函数与三角形的综合（共3小题） 67．如图1，已知反比例函数的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点C，且与直角边AB相交于点D，另一直角边OA在x轴上． （1）已知Rt△OAB的面积为8，请求出k的值； （2）如图2，直线y＝mx+b经过C，D两点，在（1）的条件下，当∠AOB＝45°时，请求出直线CD的表达式； （3）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集． 68．如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 69．如图1，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点，连接． (1)___________，___________． (2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，C是线段上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接，，．若四边形的面积为3，求点C的坐标． 题型24反比例函数与图形变换 （共3小题） 70．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值和面积数值相等，则称这个点为“等值点”．例如：点，，因为，，所以是“等值点”． (1)若点为双曲线 上任意一点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，求证：点为“等值点”； (2)在第一象限内，若一次函数 的图象上有两个“等值点”，求的取值范围． 71．如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将向下平移，当点C落在图象上时，求平移的距离． 72．如图，已知点在直线上，双曲线经过点A． (1)求双曲线的函数表达式； (2)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围； (3)点B在线段上（不与A点重合），将点A绕着点B顺时针旋转得到点C，当点C恰好落在双曲线上时，求点C的坐标． 题型25 反比例函数与最值 问题（共3小题） 73．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点． (1)求反比例函数的解析式，并确定这两个函数图象的另一个交点B的坐标； (2)画出草图，并据此直接写出使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围； (3)在的直线上是否存在一点P，使的值最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 74．如图，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，交于点，连接．    (1)反比例函数的表达式； (2)观察图像，直接写出当时，不等式的解集； (3)直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 75．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求，的值． (2)若点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)为轴上一点，直线交反比例函数的图像于点（异于），连接，若的面积为，求点的坐标． 题型26反比例函数与四边形的综合 （共3小题） 76．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与x轴，y轴交于，B两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求m和k的值； (2)已知四边形是正方形，点P在反比例函数第三象限的图象上．当的面积等于正方形面积的一半时，求点P的坐标． 77．如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与，分别交于，两点，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点为线段上一点，若，求点的坐标． 78．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． $