专题01 二次根式（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材华东师大版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 二次根式 内容概览 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03知识体系构建 04核心考点精讲 05重难题型突破 06限时分层演练 基础固本练/综合进阶练 01期中考情透视 九上第20章“二次根式”在期中考试中约占15一20分，是代数板块的基础内容，难度以基础为 主，易、中、难比例大致为7：2：1。考点集中在二次根式的概念与有意义的条件、二次根式的性质化 简、二次根式的四则运算（加减、乘除）、最简二次根式与同类二次根式辨析。题型上，选择填空多考被 开方数取值范围、根式化简、同类二次根式判断；解答题常单独考查根式混合计算，有时结合代数式求 值。压轴题偶尔和一元二次方程结合综合考查，侧重基础运算与代数式化简能力。 02复习目标锚定 识记二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，熟记二次根式的基本性质以及乘除、 识记 加减运算法则。 理解 理解二次根式有意义的条件；能辨别二次根式化简中的常见错误。 会求解被开方数中字母的取值范围；熟练完成二次根式化简与混合运算，能运用根式运算进 应用 行代数式求值、几何边长计算，解决简单实际问题。 1/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 03知识体系构建 定义：根号a(a大于等于0)，被开方数非负 二次根式基础概念O 有意义条件：被开方数≥0，求字母取值范围 双重非负性：a≥0，根号a≥0 (根号a)的平方=a(a≥0) 根号a的平方=a的绝对值，分类化简 二次根式的性质O 积的算术平方根：根号ab=根号a·根号b(a≥0，b≥0) 商的算术平方根：根号(a/b)=根号a÷根号b(a≥0，b>0) 最简二次根式：无分母、无开得尽方因数或因式 根式分类O一 同类二次根式：化成最简后被开方数相同 乘法：根号a×根号b=根号ab 除法：根号a÷根号b=根号(a/b) 二次根式运算O 加减：先化简，再合并同类二次根式 混合运算：运算顺序不变，乘法公式可用 分母有理化 化简求值与应用O 代数式化简求值，整体代入 几何：勾股定理求线段长 04核心考点精讲 考点一二次根式的概念 二次根式的定义：一般地，我们把形如a(a≥O)的式子叫做二次根式，“/叵”称为二次根号，ā叫做 被开方数. △概念辨析 1、二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“V ”,且根指数为2；被开方数为非负数： 2、二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：√4，· √9都是二次根式： 3、二次根式的被开方数ā可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足a≥0： 4、在具体问题中，如果已知a是二次根式，相当于给出了a≥0. 2.二次根式有意义的条件 1、单个二次根式，如Va有意义的条件是a≥0： 1 2、二次根式作为分母时，如可有意义的条件是0： 2111 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3、二次根式与分式相加，如石+6有意义的条件是a≥0且b>0 考点二二次根式的性质 1、式子a(a≥0)既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根(Va≥0)，所以a具有双重非负性： 2、Va=aa≥0，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身： Va2=lal- a(a≥0) a(a<0) 3、 即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值， 考点三二次根式的化简 1、利用二次根式的基本性质进行化简： 2、利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简. a Va ab=√a√b(a≥0，b≥20) Vb (a≥0，b>0) △易混易错 1.在使用Vab=√a/b( a≥0， 时一定要注意a≥0，b≥0的条作 a 2在使用 (a20,b>0)时一定要注意a≥0，b>0的条件 考点四 二次根式的乘除法 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变即： √aVb=√ab(a≥0，b≥0) 2.二次根式的除法 a a a≥0，b>0) 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变即： √6Vb 最简二次根式 1.最简二次根式 定义：1、被开方数不含分母：2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次 根数，叫做最简=次根式例：2V5., 都是最简二次根式 10 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： 3/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）： ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 考点五二次根式的加减法 1.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同 类二次根式， 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：2、8、 是同类二次 根式。 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的 二次根式合并 【口诀】一化、二找、三合并. 二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的 △易混易错 1、结果要化为最简二次根式或整式； 2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件。 考点六分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程， 【分母有理化方法】 1 aa 1、分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分即：aaaa 2、分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. Va+Vb Va+7b 即：a-6(a-b)Va+b)a-b 05重难题型突破 4/11 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型一 二次根式有意义的条件 典例1(25-26八年级上·重庆·期末)要使二次根式X-2027在实数范围内有意义，则x的取值范围是 () A.X>2027 B.X≥2027 C.X≤2027 D.X<2027 迁移应用 吸 1.(25-26八年级上·湖南怀化期中)代数式 -3 有意义，则x的取值范围为一· 2.(25-26八年级上·江西吉安期中)若二次根式V2x+4在实数范围内有意义，则x的取值范围为 题型二 利用二次根式的性质化简 侧2(Qs25八年级上广东别期中京术平方限有如下运东：白D /a}=ala≥0，故 化简：√a2+b可得a+b或-a+b两种不同结果.给出下列说法： ①化简：V+b2+?,一共有4种不同的结果： ②化简：x+1+x-12+x-42+x-87,一共有4种不同的结果： ③若an=(2n-17),Sn=a1+a2++an(n为正整数)，则当Sn=640时，n=32. 以上说法中正确的为 (填序号即可) 迁移应用 1.(25-26八年级上湖南常德期中)如果3<x<5,则/x-6+2-x的值为 2. (25-26八年级上·上海崇明期中)化简：√50mn2n>0= 题型三 二次根式的混合运算 典例3(24-25八年级下·广东广州·期中)计算 1)27-12÷/3 (2)3+V53-95 迁移应用 1.(2425八年级下四川泸州期中)计算：五--3+-3+号。 2.（25-26八年级上广东佛山期中)计算： 5/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 096+6- 2)27+2×9-2/3-2 题型四 分母有理化 1 典例4(25-26八年级上四川成都期中)已知x= -2y52 解答下列各题： (1)求y+x的值： (②)求x2+Xy+y2的值. 迁移应用 1. (25-26八年级上·湖南怀化期中)观察下列等式： 3+22=V2+22+1=2+22+12-V2+1=2+1 5+26=V3+26+2=I3}+2V6+V2=VIV3+V22=3+V2 V7+2V12=V4+212+3=V22+212+3=2+3=2+3 V9+2V20=V5+2V20+4=V5+2V20+22=5+27=5+2 根据上述材料，解决下列问题： 1)化简：V11+2V30= (2)猜想：2n-1+2√nn-1=_(n>1,且n为整数)，并验证你的猜想. 1 1 1 3)计算： 3+225+26 V7+29V12 9V9+220 V4051+2V2025×2026 2.(25-26八年级上广东深圳期中)先阅读，再解答.由5+35-3=5}-V3}=2可以看出， 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式 3-V2 计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：3+及3+23-2 =3-2, 请完成下列问题： 3 1)只2-1的有理化因式是 化简3-6 (2)比较V2024-只V2023与/2025-V2024的大小，并说明理由. 6/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型五 已知字母的值，化简求值 典例5(25-26九年级上·吉林长春阶段检测)已知m=/3+1,n=3-1,则m2+2mn+n2的值为 () A.4 B.12 C.10 D.6 迁移应用 1.(24-25八年级下·新疆期中)已知x=V5+V3,y=V5-V3, 1)求x-y的值： (②)求x2-y的值. 2. （2425八年级下：北京朝中)在解肤问殿“已知12：5，求2-8a+1的值”时，小蓝是这特分折 与解答的： 2-V3 =2-3, 2+9V3 2+V32-V3 .a-2=-3 ∴.(a-2)2=3,a2-4a+4=3, .a2-4a=-1, ∴.2a2-8a+1=2a2-4a+1=2×-1+1=-1. 请你根据小蓝的分析解答过程，解快如下问题： 2 0化简：37 (2)若a 1-2,求3a2+6a-4的值. 题型六二次根式的应用 典例6(25-26九年级上·山西晋城期中)交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度， 所用的经验公式是v=l6V旺，其中v表示车速（单位：km/h)，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位： )，f表示动摩擦因数.若在某次交通事故调查中，测得d=40m,f=0.9,则肇事汽车行驶的速度约为 () A.16km/h B.32km/h C.48km/h D.96km/h 迁移应用 7111 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(25-26八年级上·上海闵行·期中)高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体. h 其下落的时间t(单位：s)和下落高度h(单位：m)近似满足公式t= 5 (不考虑阻力的影响)， (1)物体从20m的高空落到地面的时间为 (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J)=10×物体质量(kg)×高度(m).一个质量为0.05kg的鸡 蛋经过6s落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害 无防护人体只需要50V2J的能量) 2.(22-23八年级下·陕西西安期中)如图，已知长方体的体积为50只V2,长为2/10，宽为V10 长 宽 (1)求这个长方体的高： (2)求这个长方体的表面积. 06限时分层演练 自基础固本练 (限时：15分钟) 一、单选题 1.(24-25八年级上·重庆期中)函数y=x-3+1的自变量x的取值范围是() A.x<3 B.X>3 C.X≤3 D.x≥3 2.(24-25八年级下·浙江台州·期中)下列二次根式是最简二次根式的是() A.12 B.3 1 c.2 3.(25-26八年级上·广东深圳·期中)下列计算正确的是() A.V2+V3=V5 B.63-9V3=6 c.V2×V3=V6 D.8÷V2=4 4.(25-26八年级上·河北石家庄·期中)下列正确的是() A.V4+9=2+3=5 B.9V4x9=2×3=6 8/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 c.V9i=93 D.4.9=0.7 5.(25-26八年级上四川成都期中)在直角三角形中，若两条直角边的长度分别为3和V5,则斜边的 长度为() A.8 B.2V2 c.V15 D.V7 6.(25-26八年级上·全国·课后作业)若二次根式3m+9是最简二次根式，则m可取的最小整数为 () A.1 B.0 C.-1 D.-2 二、填空题 7.(25-26八年级上·甘肃武威期中)若要使二次根式5x+2有意义，则x的值可以是 (写出 一个即可) 8.(25-26八年级上北京顺义·期中)化简与计算：√45= 693 ,(-2V5)2= 9 (25-26八年级上·上海奉贤·期中)若20与最简二次根式 号2-m是同类二次根式，则m的值为 三、解答题 10.(24-25八年级下.甘肃临夏·期中)计算： 1)4V5+V45-V20: 2)V5+V61V5-6: 3)2V12+V27: (4)/9/3+12-2只V48. 11.(25-26八年级上山西运城期中)当人站在离地面hkm的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为d km,d=112只Vh.某人站在640m的高处，在没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大 约是多少千米？ 12.(2526八年级上上海杨浦期+)已知m=1号，A1, 1-n m-4Vmn+4n 1+五 9m-27n的值. 目综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1.(24-25八年级下·四川泸州期中)下列等式成立的是() c4g-2 D.-25=10 9/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.（25-26八年级上·四川成都期中)下列计算正确的是() 1=2+1B.-25=-5 A.2-1 c D.V25=±5 3.(25-26八年级上福建泉州期中)若x,y都是实数且y=x-4+4-X+9,则xy的平方根是() A.4 B.±4 C.6 D.±6 4.(25-26八年级上·河南郑州·期中)如图（单位：Cm),三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间 正方形纸片的面积为40cm2,最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差()cm2 1 A.2V10 B.4V10 c.6V10 D.8/10 5.(25-26八年级上上海期中)下列二次根式中，与Va+b互为有理化因式的是() A.-Va+b B.Va-b c.a-b D.Va+Vb 6.(25-26九年级上河南鹤壁期中)若为实数，在3-2口m的“口”中添上一种运算符号（在“+， “-“×或“÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（) A.V3-2 B.2V3 c.3+3 D.4-23 二、填空题 7.(25-26八年级上四川成都期中)比较大小：3+1 1 7 (填>6=”或“<”) 8.(25-26八年级上·上海浦东新期中)化简： 9+111+V13 119+V121 9.(2425八年级下湖北武汉阶段检测)己知X= V7+5 V7-V5 2,yE20 三、解答题 10.(24-25八年级下·浙江温州期中)形如a+V6与Va-V6(a、b为正有理数)的两个代数式，它们 的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如：因为 3+23-2=3-2=1,所以3+V2与V3-V2互为有理化因式. 1)判断5+V7与V5-V7是不是互为有理化因式，并说明理由 (2)化简n+1-而n为正有理数)· 6)请比较大小：V2026-V2025_/2025-V2024(填“>"或“<"). 11.（25-26八年级上：广西来宾期中)【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子 10/11 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 可以化成另一个式子的平方，如： 5+2V6=2+3+2V2x3=V22+V3+2×2×只V3=2+32: 7-4V3=4+3-2×2×3=2+32-2×2×13=2-32. 【类比归纳】 1)请你仿照上面的方法将7+2V10化成另一个式子的平方； (②)请你仿照上面的方法化简：√6-42 【类比归纳】 3)若a+2V15=√m+Vn,其中m>n,且a,m,n均为正整数，求a+m+n的值. 12.(2425八午级下浙江台州期中)规定6日Fad-bc,回答以下间题： 34 )计算63 (②)已知x1,X2是一元二次方程x2+6x+k=0的两个根，且 3=3,求，刘 1x2 +之的值 11/11 专题01 二次根式 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 05 重难题型突破 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 九上第20章 “二次根式” 在期中考试中约占 15—20 分，是代数板块的基础内容，难度以基础为主，易、中、难比例大致为 7∶2∶1。考点集中在二次根式的概念与有意义的条件、二次根式的性质化简、二次根式的四则运算（加减、乘除）、最简二次根式与同类二次根式辨析。题型上，选择填空多考被开方数取值范围、根式化简、同类二次根式判断；解答题常单独考查根式混合计算，有时结合代数式求值。压轴题偶尔和一元二次方程结合综合考查，侧重基础运算与代数式化简能力。 识记 识记二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念；熟记二次根式的基本性质以及乘除、加减运算法则。 理解 理解二次根式有意义的条件；能辨别二次根式化简中的常见错误。 应用 会求解被开方数中字母的取值范围；熟练完成二次根式化简与混合运算，能运用根式运算进行代数式求值、几何边长计算，解决简单实际问题。 考点一 二次根式的概念 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． ⚠️概念辨析 1、二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2、二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3、二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4、在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 2.二次根式有意义的条件 1、单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2、二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3、二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 考点二 二次根式的性质 1、式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3、，即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 考点三 二次根式的化简 1、利用二次根式的基本性质进行化简； 2、利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， ⚠️易混易错 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 考点四 二次根式的乘除法 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 最简二次根式 1.最简二次根式 定义：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 考点五 二次根式的加减法 1.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. ⚠️易混易错 1、结果要化为最简二次根式或整式； 2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件 考点六 分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1、分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2、分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 题型一 二次根式有意义的条件 典例1 （25-26八年级上·重庆·期末）要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数一定为非负数是解题的关键． 直接利用二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ ， ∴ ． 故选B． 迁移应用 1．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）代数式有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】 且 【分析】根据“二次根式被开方数为非负数，分式的分母不为0”列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：且． 2．（25-26八年级上·江西吉安·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数， 即， 故答案为：． 题型二 利用二次根式的性质化简 典例2 （25-26八年级上·广东深圳·期中）算术平方根有如下运算：，，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的结果； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若，（n为正整数），则当时，． 以上说法中正确的为_________（ 填序号即可 ） 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了数字变化规律，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．分别根据算术平方根的意义化简各式后，再进行判断即可． 【详解】解：①， 所以，有4种不同的结果，故①正确； ② ∵， ∴， 当时，原式； 当，原式； 当，原式； ∴②错误； ③∵， ∴ 前8项为从开始依次减2直到1，故前8项的和为64； 从第9项起为从1开始依次加2，直到，和为， 则， 当时，； ； （n为正整数，舍去负值）； ，故③正确； 故③正确， 所以，正确的结论是①③， 故答案为：①③． 迁移应用 1．（25-26八年级上·湖南常德·期中）如果，则的值为___________． 【答案】4 【分析】此题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质 ，将原式转化为绝对值表达式，再根据 的取值范围化简绝对值． 【详解】解：因为， 所以，则；，则， 因此，， 故答案为：4． 2．（25-26八年级上·上海崇明·期中）化简：_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，将50分解为，利用的算术平方根为，提取平方因子后化简． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型三 二次根式的混合运算 典例3 （24-25八年级下·广东广州·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1)1 (2)4 【分析】（1）利用二次根式的除法运算性质, 将原式拆分后分别计算即可, 也可先化简括号内的二次根式再计算； （2）运用平方差公式展开计算, 可以简化运算过程． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 迁移应用 1．（24-25八年级下·四川泸州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练计算是解决本题的关键． 计算开方，零指数幂，负整数指数幂，再加减． 【详解】解：， ． 2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先化简各数，再合并同类二次根式即可； （2）先进行开方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后算加减． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 题型四 分母有理化 典例4 （25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，解答下列各题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)19 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，做题关键是掌握分母有理化． （1）先进行分母有理化，再进行加减即可； （2）利变形为，再代入求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：由（1）知 ，， ． 迁移应用 1．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 【答案】(1) (2) ； (3) 【分析】本题考查了化简复合二次根式，分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答． （2）模仿题干解题过程，得，即可作答． （3）先根据复合二次根式的性质化简，再进行分母有理化，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）略 （3）解： ． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是___________；化简___________； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： ， ， ， ， 所以． 【分析】本题主要考查了有理化因式，平方差公式. （1）理解定义，利用平方差公式计算即可， （2）把分母都看成1，然后第一个式子的分子分母同时乘以，第二个式子分子分母同时乘以，然后比较所得结果的大小可得答案． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ； 故答案为：，； （2）略 题型五 已知字母的值，化简求值 典例5 （25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知，，则的值为（    ） A．4 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式的运用，根据已知求出，再根据完全平方公式将式子化为，求出结果即可． 【详解】解：，， ， ∴， 故选：B． 迁移应用 1．（24-25八年级下·新疆·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，正确计算是解题的关键： （1）先求出，再代入求值即可； （2）先求出，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·北京·期中）在解决问题“已知，求的值”时，小蓝是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ． 请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题： (1)化简：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）把二次根式分母有理化即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ，即， ， ． 题型六 二次根式的应用 典例6 （25-26九年级上·山西晋城·期中）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车行驶的速度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的实际应用，直接将给定的和代入经验公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故肇事汽车行驶的速度约为， 故选：D． 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海闵行·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2 (2) 能量为，会对无防护人体造成伤害 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据公式，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可． 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：2； （2）∵，, ∴， ∴， ∴，而 ∴， 故，会对无防护人体造成伤害． 2．（22-23八年级下·陕西西安·期中）如图，已知长方体的体积为，长为，宽为． (1)求这个长方体的高； (2)求这个长方体的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了长方体的体积以及表面积公式，二次根式混合运算的应用． （1）根据长方体的体积公式，即可求出高； （2）根据长方体的表面积公式求解即可． 【详解】（1）解：这个长方体的高 ； （2）解：表面积为． 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆·期中）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式的定义，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，从而确定自变量的取值范围，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵函数中，二次根式的被开方数必须满足， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可求解． 【详解】解：、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 、是最简二次根式； 、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 、被开方数含分母，不是最简二次根式． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则计算判断即可． 【详解】解：对于选项A，与不能合并，原计算错误； 对于选项B，，原计算错误； 对于选项C，，原计算正确； 对于选项D，，原计算错误． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根的运算性质，解题的关键是掌握平方根的运算法则：，同时注意平方根与算术平方根的计算性质． 根据平方根的运算性质，逐一分析每个选项的计算是否正确． 【详解】解：A、，因为平方根不满足，故A错误； B、根据平方根性质．，故B正确； C、，而，两者不相等，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）在直角三角形中，若两条直角边的长度分别为和，则斜边的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，计算后化简即可． 【详解】解：∵ 在直角三角形中，两直角边分别为 和 ， ∴ 斜边， 故选：B． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）若要使二次根式有意义，则x的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，即 ，解不等式即可得到的取值范围，从而写出一个满足条件的值． 【详解】解：要使二次根式 有意义，则被开方数， 解得，即， 所以的值可以是0（答案不唯一）． 故答案为：0（答案不唯一）． 8．（25-26八年级上·北京顺义·期中）化简与计算：_____，______，_____． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式的化简和计算，解题的关键是掌握以上运算法则． 第一题根据二次根式的化简法则进行化简即可；第二题先化简根号内的分数，再有理化分母；第三题应用积的乘方公式计算． 【详解】解： ； ； ． 故答案为：，，． 9．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________________． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式．根据同类二次根式的定义，将化为最简二次根式后，被开方数为5，因此令的被开方数等于5，解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，，其被开方数为5， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式， （2）解：原式， （3）解：原式， （4）解：原式． 11．（25-26八年级上·山西运城·期中）当人站在离地面 的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为 ，．某人站在 的高处，在没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少千米？ 【答案】此时肉眼能看到的地面最远距离大约是 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握单位换算和二次根式的运算方法是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ （） 答：此时肉眼能看到的地面最远距离大约是． 12．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答的关键． 先根据二次根式的运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 把，代入，得 原式 ． 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和运算，解题的关键是掌握二次根式的化简法则和运算法则． 通过计算每个等式的左右两边，判断是否相等． 【详解】解：对于选项A：，该选项不成立； 对于选项B：，， ∴左边=右边，该选项成立； 对于选项C：，， ，该选项不成立； 对于选项D：， ，该选项不成立； 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根、有理化分母和平方运算的基本概念．选项A通过有理化分母验证正确；选项B错误因为负数没有实数平方根；选项C错误因为平方运算后结果应为而非；选项D错误因为算术平方根结果非负． 【详解】解：对于A：∵ ， ∴ A正确． 对于B：∵ 在实数范围内，负数没有平方根， ∴ 无意义，B错误． 对于C：∵ ， ∴ C错误． 对于D：∵ 算术平方根非负， ∴ ， ∴ D错误． 故选：A． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，都是实数且，则的平方根是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数必须非负，从而确定 x的值，再求y的值，计算后求其平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图（单位：），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式以及平方差公式的应用，解题的关键是根据正方形的边长关系求出、的值，并灵活运用平方差公式进行计算． 先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出、,再利用平方差公式计算． 【详解】解：因为中间正方形纸片的面积为， 所以中间正方形的边长为， 由图可知，最大正方形的边长， 最小正方形的边长； 根据平方差公式， 将代入，可得， 所以． 故选：D． 5．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式需满足相乘后结果为有理式，对于，其有理化因式应为本身或相反数，因平方后可得有理式或，即可得出结果． 【详解】解：∵，结果为有理式， ∴ 与 互为有理化因式； 故选A． 6．（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）若m为实数，在的“□”中添上一种运算符号（在“+”“”“×”或“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，无理数的定义，根据二次根式的运算法则并结合无理数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，为有理数，故A可能为有理数，不符合题意； B、，，，，其结果均为无理数，故B不可能，符合题意； C、，为有理数，故C可能为有理数，不符合题意； D、，为有理数，故D可能为有理数，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 7．（25-26八年级上·四川成都·期中）比较大小：______（填） 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化和无理数的大小比较，解题的关键是通过有理化消除分母中的无理数． 通过分母有理化将 转化为 ，再与 比较大小即可得． 【详解】解： = × = = = ． 比较 和 ． ，， ，， ∴， ∴ ， ， 即 ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）化简：＝__________． 【答案】4 【分析】本题考查了分母有理化、利用二次根式的性质化简，通过分母有理化，将每一项化为差的形式，再利用裂项相消即可求解． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故答案为：4． 9．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）已知，，___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再把所求式子通分变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25八年级下·浙江温州·期中）形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是互为有理化因式，并说明理由． (2)化简（n为正有理数）． (3)请比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】(1)是互为有理化因式 (2) (3) 【分析】（1）计算出的结果即可得到答案； （2）结合分母有理化进行运算化简； （3）可通过比较两个式子倒数的大小，来判断原式的大小，即可作答． 【详解】（1）解：与互为有理化因式，理由如下： ∵， ∴与互为有理化因式； （2）解：依题意，； （3）解：依题意，； ， ∵， ∴ 故 ∴． 11．（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16或32 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键． （1）将7转化为，进行求解即可； （2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解； （3）根据可得，进而根据题意即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解： ； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 12．（24-25八年级下·浙江台州·期中）规定，回答以下问题： (1)计算________． (2)已知，是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用新定义列式计算即可； （2）由新定义可得，结合根与系数的关系可得，，进一步求解即可. 【详解】（1）解：. （2）解：， ， ， ， ，， ， . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $