第20章 二次根式（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学第20章二次根式单元自测卷，聚焦培优冲刺，覆盖二次根式概念、运算及应用，梯度设计合理，融合抽象能力与模型意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|最简二次根式判定、运算、自变量取值范围|结合数轴化简（第6题），体现几何直观| |填空题|5/15|根式化简、面积计算、新运算定义|正方形与长方形面积关联（第12题），强化应用意识| |解答题|8/75|化简求值、规律探究、实际应用|含矩形花圃面积计算（第8题）、规律归纳（第20题），突出运算能力与创新意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第20章二次根式培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6 8 10 B A A D D A B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.5-2/-2+5 12.4V3 13.x≥3 -1 14.x≤5且X≠3 15.22 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分) 【详解】解：3x+2y-3x-2y+2x+yx-y-2xx+4y) =9x2+12Xy+4y2-9x2+12y-4y2+2x2-2y2-2x2-8Xy =16xy-2y2.(5分) 当x=3,y=-2时，原武=16x3×(-V2)-2x(-2} =-16V6-4.(8分) 17.(8分) 【详解】解：3a-2+6-b=0,/3a-2≥0,6-b≥0 ∴.3a-2=0,6-b=0 0=号b=63分) 927b+o日台 =3V3ab+a.- a_1.b. a b =33ab+Va-Vb(6分) 1/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当a =6,原式=33×专x6+ 3, 2 6 =63+6-6 3 =63-26 3 (8分) 18.(9分) 【详解】解：二次根式√m-199+n与/199-m-n有意义， .m+n-199≥0 199-m+n≥0 .m+n=199.(2分) :.Vm-199+nV199-m-n=0./0=0. :V3m+5n-2-p+2m+3n-p=0, 3m+5n-2-p=0 六2m+3n-p=0(5分) ,m+n=199,即m=199-n,代入方程组： 3(199-n)+5n-2-p=0(7分) 2(199-n)+3n-p=0 化简： |595+2n-p=0 398+n-p=0 n=-197 解得： p=201 (9分) 19.(9分) 【详解】解：依题意：正方形DEFG,BMFV的边长分别为2V2cm,2V6cm. 正方形ABCD的边长为22+26am·(2分) .阴影部分的面积和为22+26-24-8 =8+24+169V3-24-8 =163cm2.(9分) 20.(10分) 2/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：11+10 V11-V10 V11+9V10川V11-V10 =9/11-10: 9101+9/100 (2分) V101-/100 V101+9/100V101-V100 =V101-V/100 =9V101-10:(4分) (2)解： 2-1 =V2-1, 2+12+12-1 1 3-V2 3+23+23-V2】 =3-2 4-3 =4-3=2-V3 4+34+3V4-3】 … 1 Vn+1+Vn =Vn+1-Vm.(7分) 1 1 1 (3)解： 2+13+924+95++2023+92022 =V2-1+9V3-V2+V4-9V3+…+2023-2022 =V2023-1.(10分) 21.(10分) 【详解】(1)解：，最简二次根式V2a-3与12-a是同类二次根式， .2a-3=12-a,(2分) ∴.a=5,(3分) .a的平方根为±V5;(4分) 3/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：a=5>2,18<45, .a*2×18*45=5*2×18*45) =V5-92×V18+45 =RV5-V2×3V2+3V5 =35-V2×V2+5 =3×5-2 =9(10分) 22.（10分) V8-V7 V8-7 8-7=8-7, 【详解】1)解：：x=8+78+978-78-7 ./x=8-7=/8-7=V8-V7:(2分) V8+V7 8+7 ·y=8-97W8-7V8+7 y8+7-R8+7, 8-7 .y=8+7=/8+7=8+V7(4分) ∴.Vx+y=/8-V7+8+V7=2V8=2×2V2=4V2' :+y+2=+=x+0=425分 Vx+Vy x+Vy R5+2_ 5+2=5+2(6分) 2解4a=5-25-25+25-4 移项得a-2=5, 两边平方得a2-4a+4=5, .a2-4a=1,(7分) .a2=1+4a, ∴.a4-4a3-3a+3 4/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =a2a2-4a-3a+3 =a2.1-3a+3 =a2-3a+3 =1+4a-3a+3 =a+4 =V5+2+4 =V5+6.(10分) 23.(11分) 【详解】(1)解：令m=11,n=30, “5+6=11,5×6=30|5}+/6=5+6=1'5x6=30:(3分) 11-230=6-5=V6-V5:5分) (2)解：V7+40=V7+210, 令m=7,n=10, “5+2=7,5×2=10:5+/2=5+2=7'95×V2=V10 ，(8分) 7+940=7+210=5+V27=5+2(11分) 5/5 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第20章 二次根式·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A，被开方数含分母，不是最简二次根式． 选项B满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 选项C，被开方数含分母，不是最简二次根式． 选项D，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的基本运算法则和性质，根据对应规则逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，无法直接合并，， ∴A错误． B选项：根据二次根式的性质，， ∴B错误． C选项：根据二次根式乘法法则，，等式成立， ∴C正确． D选项：根据二次根式除法法则，， ∴D错误． 3．函数的自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：要使函数有意义，需满足且， 即， 解得：． 4．计算的结果是（     ） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【详解】解：原式 ． 5．若，则的取值范围是（     ） A．取任意实数 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用二次根式的性质将原式转化为绝对值和的形式，再根据绝对值的化简规则在a的不同取值范围内讨论，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵根据二次根式性质，， ∴原等式可化为． 分三种情况讨论： ① 当时，，， ∴， 令，解得，不满足，故此取值范围不成立； ②当时，，， ∴，等式恒成立，故此取值范围满足条件； ③ 当时，，， ∴， 令，解得，不满足，故此取值范围不成立． 综上，的取值范围是，故选D． 6．已知实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴判断出，再根据，当时，，当时，来化简即可． 【详解】解：根据数轴可知：, ． 7．现将一组数，，3，，，，…，，…，按照以下方式进行排列，则第7行左起第3个数字是（     ） 第1行         第2行            3 第3行             … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先整理出原数组的统一规律，再根据排列规律计算目标数是原数组的第几个数，代入公式化简即可得到结果。 【详解】解：整理已知数组可得，这组数的第个数为，观察排列规律可知，第行有个数， ∵前6行的数的总个数为 ， ∴第7行左起第3个数是原数组的第个数， 将代入得：． 8．学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度为，则这块花圃的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出矩形花圃的长和宽，再求出面积即可． 【详解】解：∵矩形花圃的周长为，宽为， ∴矩形花圃的长为， ∴花圃的面积为． 9．若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的化简，先将化为最简二次根式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵是最简二次根式， ∴，， ∴． 10．估计的值应在（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】先利用二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算无理数的大小，确定原式的取值范围． 【详解】解：， ∵，， 由可得， ∵，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴估计的值应在2和3之间． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．化简：________． 【答案】/ 【详解】解：． 12．正方形的边长为，它的面积与一个长为、宽为的长方形的面积相等，则的值为________． 【答案】 【分析】根据正方形与长方形面积相等列等式，结合正方形边长为正数，开平方求解的值. 【详解】解：根据题意，得 ， 正方形边长，舍去负根， 解得：． 13．二次根式有意义，则的取值范围是______；若，则的值为______． 【答案】 【详解】已知二次根式有意义， 所以，解得． 因为二次根式和绝对值都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0， 已知， 因此，， 解得，， 所以． 14．函数的自变量的取值范围是________； 【答案】且 【分析】函数同时含有分式和二次根式，需满足分式分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组即可求解自变量的取值范围． 【详解】解：∵函数， ∴， ∴自变量的取值范围是且． 15．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知： ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先根据整式的乘法法则计算，再合并同类项，然后代入求值即可． 【详解】解： ．（5分） 当时，原式 ．（8分） 17．（8分）已知：，满足，先化简，再求值． 【答案】， 【详解】解：， ， ，（3分） （6分） 当，时，原式 ．（8分） 18．（9分）已知实数，，满足 ，求的值． 【答案】 【分析】先根据二次根式被开方数非负求出，得到等式左边为0，再利用算术平方根的非负性列出方程组，将代入方程组消元，进而求出的值． 【详解】解：∵二次根式与有意义， ∴ ∴．（2分） ∴． ∴， ∴（5分） ∵，即，代入方程组： （7分） 化简： 解得：．（9分） 19．（9分）如图，从正方形中裁去面积为和的两个小正方形，，求阴影部分的面积和． 【答案】 【详解】解：依题意：正方形，的边长分别为 ， ． ∴正方形的边长为．（2分） ∴阴影部分的面积和为 ．（9分） 20．（10分）观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) ； (2) 当为正整数时， (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法进行计算即可； （2）根据题干中提供的信息进行解答即可； （3）根据得出的规律，利用二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2分） ；（4分） （2）解：， ， ， … ．（7分） （3）解： ．（10分） 21．（10分）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，（2分） ∴，（3分） ∴的平方根为；（4分） （2）解：∵，， ∴ （10分） 22．（10分）解答 (1)已知，，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用平方差公式对、进行分母有理化，再借助的性质，求出和；接着运用完全平方公式将分子配成，由于、均大于，从而约分，最后将已经求得的的值代入计算即可得到最终结果． （2）先对进行分母有理化，通过移项再两边平方，推导出，随后对四次多项式分组、提取公因式进行降次，把整体替换为，再利用推论进一步降低代数式次数，逐步化简多项式，最后代入化简后的值计算即可． 【详解】（1）解：， ，（2分） ， ，（4分） ， ．（5分） （2）解：，（6分） 移项得， 两边平方得， ，（7分） ， ．（10分） 23．（11分）阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，，（3分） ∴；（5分） （2）解：， 令， ∵，，，（8分） ∴．（11分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第20章二次根式·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列根式是最简二次根式的是() A.V0.2 B.V15 c得 D.V12 2.下列运算正确的是() A.V2+3=5B.-27=-2 C.2V2xV3=26D.12÷6=6 X 3.函数y=X十5的自变量x的取值范围是（） A.X>-5 B.x≠-5 C.x≥-5 D.x>-5且X≠0 4.计算27-3+仔×6-33结果是(） A.3 B.3 C.6 D.3-V3 5.若(2-a+a-4=2则a的取值范围是（） A.a取任意实数 B.a≤2 C.a≥4 D.2≤a≤4 6.已知实数。'b'c在数轴上对应点的位置如图所示，则1a-b-6+川a-c化简后的结果是(） b 00c→ A.c-2b B.2a-2b-c C.C D.2a-c 7.现将一组数3，V6,3,23,V15,32,…,3n,…,按照以下方式进行排列，则第7行左起 第3个数字是() 第1行 3 第2行V63 第3行2V3153V2 1/4 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5V2 B.V70 c.6V2 D.74 8.学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为33-3m·为了给花围围上防护围栏，测得围栏的总长 度为103-6m则这块花圃的面积为（） A.9m2 B.9-3/3m2 C.18m2 D.18-63m2 9.若108=aVb,aVb为最简二次根式，则a-b的值为() A.3 B.-3 c.9 D.-9 10.估计6× 3 -2的值应在（) A.1和2之间B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.化简：2-5= 12.正方形的边长为a,它的面积与一个长为12、宽为4的长方形的面积相等，则a的值为 13.二次根式x-3有意义，则x的取值范围是；若Vx+2+y-1=0,则x+y的值为 14.函数y=X乙3+5-X的自变量x的取值范周是 X-3 15.对于任意的正数a、b,定义一种新的运算“★”，a★b=Vab-Va;如： 3★4=3×4-3=3，计算2本9的结果为一： 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)先化简，再求值：3x+2y2-3x-2yP+2x+yx-y小-2xx+4y其中x=3: y=-V2. 1n8分)E:a,b请无83a-2+6-b1-0,先化简，再求做27ab+@语石6 18.(9分)己知实数m,n,p满足Vm-199+nV199-m-n=V3m+5n-2-p+只V2m+3n-p, 求P的值. 19.(9分)如图，从正方形ABCD中裁去面积为8cm和24cm的两个小正方形DEFG,BNFM,求阴 2/4 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 影部分的面积和 4 E D 8cm2 M 分 G 24cm2 20. (10分)观察下列计算： 1 2-1 =V2-1: 2+192+1V2-1 1 3-V2 1 V4-3 3+23+V23-V2 =3-2 4+3V4+3V4-3】 =V4-3=2-3: y 1 (0)11+910 :101+V100 (2)用含n的代数式表示你所发现的规律： 1 1 1 3)利用这-规律计算：2+13+92+V4+95+…+72023+9202 21. (10分)若最简二次根式V2a-3与V12-a是同类二次根式. (1)求a的平方根： (2)对于任意的正实数m和n:我们定义新运算：m◆n= m-Vn(m≥nl, m+n (m<n) 求a◆2×18◆45的值. 22.(10分)解答 V8-7 V8+7 (1)已知X= 丽+防y丽污，求的值 qx+Vy (2)若a= 5-2求a-4a2-3a+3的值. 23.(11分)阅读与思考： 形如m±2Vn的化简，只要我们找到两个数a,b,使得a+b=m, ab=n, 314 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 这样aP+b=mVa.6=n' 那么便有Vm±2n=a±b=a±b(a>b 例如：化简V7+43】 解：首先把V7+43化为V7+2V12,这里m=7,n=12. 由于4+3=7'4×3=12：R4+3}=7'R4×3=V12 ∴.7+43=7+212=/4+3}=2+3 仿照上面的例题，解决下列问题. (1-11-2301 (2/7+401 414………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第20章 二次根式·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．函数的自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 4．计算的结果是（     ） A． B．3 C．6 D． 5．若，则的取值范围是（     ） A．取任意实数 B． C． D． 6．已知实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后的结果是（     ） A． B． C． D． 7．现将一组数，，3，，，，…，，…，按照以下方式进行排列，则第7行左起第3个数字是（     ） 第1行         第2行            3 第3行             … A． B． C． D． 8．学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度为，则这块花圃的面积为（     ） A． B． C． D． 9．若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．估计的值应在（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．化简：________． 12．正方形的边长为，它的面积与一个长为、宽为的长方形的面积相等，则的值为________． 13．二次根式有意义，则的取值范围是______；若，则的值为______． 14．函数的自变量的取值范围是________； 15．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）先化简，再求值：，其中，． 17．（8分）已知：，满足，先化简，再求值． 18．（9分）已知实数，，满足 ，求的值． 19．（9分）如图，从正方形中裁去面积为和的两个小正方形，，求阴影部分的面积和． 20．（10分）观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 21．（10分）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 22．（10分）解答 (1)已知，，求的值． (2)若，求的值． 23．（11分）阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $