专题01 认识二次根式（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以“定义-性质-应用”为逻辑主线，通过分层题型（基础识别→高频求值→难点参数与复合化简）构建二次根式专项突破体系，融合方法提炼与中考真题，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|6类题型，每类4-5题|定义识别法、代入求值法、参数整数性质分析、不等式求解有意义条件、√a²=|a|化简、复合根式完全平方公式法|从二次根式定义出发，通过非负性与性质推导，延伸至求值、参数与化简应用，形成概念-性质-应用认知链| |综合攻坚·知能拔高|15题（选择8/填空4/解答3）|规律探究法、跨知识证明（如几何与根式结合）、逆向思维应用（如穿墙现象）|结合中考真题，深化性质综合应用，通过规律探究与证明培养创新意识，衔接中考命题趋势|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01认识二次根式 内容概览 目常考题型精准突破 题型1二次根式的识别 题型2求二次根式的值（高频） 题型3求二次根式中的参数（难） 题型4二次根式有意义的条件（高频） 题型5利用二次根式的性质化简 题型6复合二次根式的化筒（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1二次根式的识别 1.下列是二次根式的是() A.-9 B.2 1 c. D.3 2.下列各式中，属于二次根式的是() A.-3 B.x C.Va-b D.3.5 3.下列式子中，是二次根式的是() A.Vx B.5 c.3 D.Va-3 4.下列式子一定是二次根式的是() A.-2 B.-327 C.Va+2026 D.Vx2+2026 5.下列式子是二次根式的是() B.3 C.x-2 D.2 ◆题型2求二次根式的值 1/6 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.当x=1时，二次根式Vx-1的值是 7.当x=-2时，二次根式7x+8的值是 8.当X=3时，二次根式19-x的值为一 9.当x=-4时，代数式16-2x的值为 10.当x=3时，二次根式Vx+1的值是() A.-2 B.0 C.2 D.4 ◆题型3求二次根式中的参数 11.若12m是一个整数，则正整数m的最小值是() A.1 B.2 C.3 D.4 12.已知n+5是整数，则正整数n的最小值为 13.已知a为正整数，且V12a也为正整数，则a的最小值为 14.已知189n为整数，则正整数n的最小值为() A.3 B.9 c.18 D.21 15.已知X=3,那么x2= ◆题型4二次根式有意义的条件 16.要使式子72-x有意义，则x的最大值为 17.若代数式可x-2有意义，则x的取值范围是 18.使V1-x有意义的x的取值范围是() A.x<1 B.X≤1 C.x>1 D.X≥1 19.若n-5在实数范围内有意义，且n为整数，则n的值可以是 .(写出一个即可) 20.在函数y= x一1中，自变量x的取值范围是 ◆题型5利用二次根式的性质化简 21.若x<0,则化简-x3y的结果是() A.-xxy B.x-xy C.-xV-xy D.xxy 22.解决问题： a c a+c a c ()关于分式有这样一个结论：若行，且b+d0,则6+日6·请补全下面小明的证明过程。 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设号号=k,则a=bk,①△， 所以指=②▲=③▲=k 所以指号台· (2)小红从小明的证明过程中获得启发，尝试解决下列问题： 已安1cx0.y0·于 b a (a>0,b>0),求证：Vax+by=a+Vb 设2品=k,…请接若完成证明。 证明：设又y 23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC,BC为边作正方形.若AB=6,正方形ADEC的 面积为9，则正方形BCFG的边长为() D A.3V3 B.2V6 c.V21 D.15 24.下面计算正确的是() /2 A.-9V0.4}=-0.4 3 B 3 5 C.9m2n=3mn2(m>0) g/16a_4a D. 125b45b 25.对任意正数a,b定义运算“※”：当a≥b,a※b=Va-Vb;当a<b,则a※b=6-a.若 1※ 4x(x>0),则x的值为 ◆题型6复合二次根式的化简 26.若VaV6=Vba>0,b>0,则V75的值为 27.阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根 号 例题：V3+22=V2+22+1=(V2)2+2×V2×1+12-(V2+1)2=V2+1 3/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： V5+2只6=V3+29V6+2= (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①7+2V10; ②V9-45. 28.设V3+2+3+V6=x+y+Vz,且x、y、z为有理数.则yz=() 4 7 13 C.12 D.18 29.化简V6-V20的结果为 30.小颍利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法.下面是她解方程Vx-2+√x-7=5 的过程 解：设X-2-X-7=,与原方程相乘得： (Vx-2+Vx-7)×(Vx-2-x-7)=5m, x-2-(x-7)=5,解之得m=1, .Vx-2-Vx-7=1,与原方程相加得： (Vx-2+Vx-7)+(Vx-2-Vx-7)=5+1, 2Vx-2=6,解之得，x=11,经检验，x=11是原方程的根. 学习借鉴解法，解方程√x-3.Vx-6=1. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末)下列根式中，属于二次根式的是() A.Va2-1 B.V-4 c.V29 D. 2.(24-25八年级上山东青岛·阶段检测)化简a· =( a A.-a B.--a c.-Va D.Va 3.(24-25八年级上山东青岛·阶段检测)实数，b在数轴上对应，点的位置如图所示，则化简代数式 a+b-a的结果是() b a 0 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.b B.-b C.2a-b D.2a+b V吸 4.(25-26八年级下-山东菏泽期末)等式1广x1-X _oX 成立的条件是() A.0≤x<1 B.X<1 C.x≥0或x<1 D.X≥0 5.(2022九年级上·湖北黄冈竞赛)已知实数a满足2011-a+a-2012=a,那么a-2011的值是 () A.2009 B.2010 C.2011 D.2012 6.(25-26八年级下四川凉山期末)若点a,b在第二象限，则化简二次根式-√ab得() A.abb B.-abVb C.ab-b D.-ab-b 7.(25-26八年级下山东滨州期末)若x>0,则对下列各式：x,Vx2,x,-x,(x,其中运 算结果等于x的个数为(). A.2 B.3 C.4 D.5 8.(24-25八年级下·广东中山·期中)要使二次根式VX-3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 () A.X≥3 B.X>3 C.x≤3 D.X<3 二、填空题 9.(2022-江苏连云港模拟预测)计算-√(-2)的结果是一· 10.(21-2八年级下云南昆明斯种)化筒8ab2c (所有字母为非负数)· 11. (2022九年级上·上海奉贤.竞赛)已知实数a满足Va-2023+2022-a=a,则a-2022的值为 12.(21-22八年级下.甘肃武威期末)若1-2n+只V2n-1有意义，则-n}的平方根是 三、解答题 13. （25-26八年级下·云南昆明期末)观察下列等式： 第4个等式： 6 按照上述规律，完成下列问题： 516 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)补全第4个等式： 4+ 写出第5个等式： 6 (2)写出第n个等式，并证明. 14.(25-26八年级下·湖北宜昌·期末)问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空. 例：已知y=2024-x+x-2024+2023,求的值。 2024-x≥0 解：20240得，x=一，y= y= (2)尝试应用：若x,y为实数，且y>X3+3-x+2,化简： 1-y则 y-1 3)拓展创新：己知n=Vm-10+V20-2m+7+m,求n-1+√m2的值， 15.(25-26八年级下·贵州黔南·期末)在二次根式运算中，存在一种有趣的根式“穿墙现象”：当根号内 的式子满足特定规律时，根号里面的整数可以直接移到根号外，如同“穿过”根号这道屏障.请你通过观 察、猜想、验证和应用，完成以下探究任务. 任务1：观察发现，感知特征 观察下列具有“穿墙特征”的等式： 2*号3语4*4 (①)根据以上特征，直接写出结果： 6+ 6 35 任务2：猜想表达，提炼规律 (2)n为整数，且n≥2，请用含n的代数式表示这一“穿墙”规律： 任务3：逆向应用，拓展延伸 、(3)若正整数x满足x+48=x衢 V48’ 先求出x的值，再写出代数式父+4招的值 616 专题01 认识二次根式 常考题型·精准突破 题型1 二次根式的识别 题型2 求二次根式的值（高频） 题型3 求二次根式中的参数（难） 题型4 二次根式有意义的条件（高频） 题型5 利用二次根式的性质化简 题型6 复合二次根式的化简（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1二次根式的识别 1．下列是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，，无意义，不是二次根式． 选项B，，根指数为3，不符合要求，不是二次根式． 选项C，是分数，不是二次根式． 选项D，根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义． 2．下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次根式要求被开方数是非负数． A、中的，不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项A不符合题意； B、中的，当时不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项B不符合题意； C、中的，当时，，不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项C不符合题意； D，中的，符合被开方数为非负数，故是二次根式，选项D符合题意． 3．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的根指数为3，不是二次根式，故C选项不符合题意； 与的被开方数取值不确定，可能为负数，不一定是二次根式，故A、D选项不符合题意； 的根指数为2，被开方数为正数，符合二次根式的定义，故B选项符合题意； 4．下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一般地，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：被开方数为负，根指数为3，均不是二次根式． 当时，的被开方数小于0，不是二次根式． ∵， ∴ ∴一定是二次根式． 5．下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不含二次根号，不是二次根式，故不符合题意； B、的被开方数，是二次根式，故符合题意 C、不含二次根号，不是二次根式，故不符合题意； D、根指数为3，不是二次根式，故不符合题意． ◆题型2 求二次根式的值 6．当时，二次根式的值是______． 【答案】 【详解】解：把代入二次根式，得 ． 7．当时，二次根式的值是______． 【答案】 【分析】将x的值代入计算可得． 【详解】解：当x=-2时，==， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，直接将x=-2代入求出即可解决问题． 8．当时，二次根式的值为____． 【答案】4 【分析】把代入二次根式求值即可得结果． 【详解】解：当时，原式． 故答案是：4． 【点睛】本题主要考查二次根式的代入求值，解题的关键是注意二次根式的符号，此类题比较简单． 9．当时，代数式的值为________． 【答案】 【分析】将代入代数式，再根据二次根式的化简法则计算即可得到结果． 【详解】当时， ． 10．当时，二次根式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的代入求值，将给定x的值代入二次根式后化简即可得到结果； 【详解】解：∵ ， ∴ 把代入， 得 ． ◆题型3 求二次根式中的参数 11．若是一个整数，则正整数m的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据二次根式结果为整数的性质，得出需为完全平方数，即可求出正整数的最小值 【详解】解：， 又是整数， 是整数，即为完全平方数， 要找最小的正整数， 满足条件的最小正整数 12．已知是整数，则正整数的最小值为____________． 【答案】4 【详解】解：是正整数，是整数， 是完全平方数， ∵大于的最小完全平方数是， ∴， 解得． 13．已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为______． 【答案】3 【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可． 【详解】解：，且开方的结果是正整数， 为某数的平方， 又，是满足题意最小的被开方数， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数．先化简再讨论是本题的关键． 14．已知为整数，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据开平方的运算即可求解． 【详解】解：∵为整数， ∴是某个数的平方， ∴当时，， ∴正整数的最小值为， 故选：． 【点睛】本题主要考查求一个数的算术平方根，掌握开平方运算的方法是解题的关键． 15．已知那么_________． 【答案】81 【分析】先求出x值，再求平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：81． 【点睛】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法． ◆题型4 二次根式有意义的条件 16．要使式子有意义，则x的最大值为________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，最后确定的最大值． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， ∴的最大值为2． 17．若代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不为零可得，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 18．使有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵有意义， ， 解得． 19．若在实数范围内有意义，且为整数，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一，且为整数即可） 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再在范围内选取一个符合要求的整数即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足， 解得， ∵为整数， ∴的值可以是 20．在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据分式分母不为，二次根式被开方数非负，列不等式求解即可． 【详解】解：要使函数有意义，需满足条件：二次根式的被开方数非负，且分母不能为， ∴，解得． ◆题型5 利用二次根式的性质化简 21．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件结合二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 22．解决问题： (1)关于分式有这样一个结论：若，且，则．请补全下面小明的证明过程． (2)小红从小明的证明过程中获得启发，尝试解决下列问题： 已知（，），（，），求证：． 证明：设，…请接着完成证明． 【答案】(1)，； (2)证明：∵ ∴， ∴， 设，则， ∴左边 ， 右边 ， ∴． 【分析】（1）将代入中，化简后可得答案； （2）设，则，求出左边，右边，可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 23．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积为可得，再在中利用勾股定理求出的值，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，且面积为， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴ ． ∴正方形的边长为 24．下面计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用二次根式运算结果的非负性排除错误选项，再验证剩余选项的开方运算是否正确． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：由，可得，故C正确； D：，错误． 25．对任意正数，定义运算“※”：当，；当，则．若（），则的值为___________． 【答案】9或25/25或9 【分析】分两种情况，即或，分别列方程即可解答． 【详解】 当时， ， 则可得， ， ，符合题意； 当时， ， 则可得， ， ，符合题意； 综上，的值为或． ◆题型6 复合二次根式的化简 26．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据给出的二次根式乘法法则，将被开方数分解为完全平方数与非负因数的乘积，再进行化简即可得到结果． 【详解】解：． 27．阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 【答案】(1)，, (2)①；② 【分析】主要利用完全平方公式将被开方数变形，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）略 （2）解：①原式 ； ②原式 ． 28．设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【详解】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键． 29．化简的结果为____． 【答案】 【分析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了双重二次根式的化简，把化为平方的形式是解题关键． 30．小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程． 解：设﹣＝m，与原方程相乘得： （＋）×（）＝5m， x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1， ∴﹣＝1，与原方程相加得： （＋）+（）＝5＋1， 2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根． 学习借鉴解法，解方程﹣＝1． 【答案】x＝7 【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解． 【详解】解：设+＝m，与原方程相乘得： （﹣）×（+）＝m， x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3， ∴+＝3，与原方程相加得： （﹣）+（+）＝3＋1， 2＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根． 【点睛】此题主要考查解无理方程，解题的关键是阅读理解，用新方法解决问题． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列根式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式．需满足根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中，当时，，无意义，不是二次根式，∴A错误； ∵选项B中，被开方数，无意义，不是二次根式，∴B错误； ∵选项C中，被开方数，满足二次根式定义，∴C正确； ∵选项D中，当时，无意义，不是二次根式，∴D错误． 2．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）化简（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定a的符号，再化简二次根式． 【详解】解：∵ 有意义． ∴ 且． ∴ ． ∴ ． 3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）实数 ， 在数轴上对应，点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可得，从而可得，再根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 4．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）等式成立的条件是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：要使成立，则， ∴． 5．（2022九年级上·湖北黄冈·竞赛）已知实数a满足，那么的值是（     ） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 【答案】D 【分析】本题先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再去掉绝对值符号化简等式，最后整理得到的值． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴， ∴， 将代入原等式得： 整理得 两边同时平方得 移项得． 6．（25-26八年级下·四川凉山·期末）若点在第二象限，则化简二次根式得（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据第二象限内点的坐标特征得到的符号，再利用二次根式的性质化简，去绝对值整理后得到结果． 【详解】解：∵ 点在第二象限， ∴ ，， ∴， ∵ ，， 将上述结果代入得：原式． 7．（25-26八年级下·山东滨州·期末）若，则对下列各式：，，，，，其中运算结果等于的个数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知，根据二次根式、立方根、绝对值的性质，逐个化简每个式子，统计结果等于的个数即可得到答案． 【详解】解：∵， ①化简，根据二次根式性质，得， ②化简，得，∵，∴，即， ③化简，根据立方根性质，得， ④化简，∵，∴，∴， ⑤化简，根据立方根性质，得， 综上，个式子的运算结果都等于，因此结果等于的个数为． 8．（24-25八年级下·广东中山·期中）要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ， ∴被开方数需满足非负可得 ． 移项解得． 二、填空题 9．（2022·江苏连云港·模拟预测）计算的结果是_____． 【答案】 【分析】利用公式，先计算平方再开方取绝对值，最后添加负号得到结果． 【详解】解：原式． 10．（21-22八年级下·云南昆明·期中）化简___________（所有字母为非负数）． 【答案】 【详解】解：． 11．（2022九年级上·上海奉贤·竞赛）已知实数满足，则的值为________________； 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出，再化简绝对值，然后两边平方可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， ， . 12．（21-22八年级下·甘肃武威·期末）若有意义，则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列不等式组求出的值，再代入计算，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵要使有意义， ∴， 解得， 将代入得， ∴的平方根为． 三、解答题 13．（25-26八年级下·云南昆明·期末）观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： (1)补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； (2)写出第个等式，并证明． 【答案】(1)； (2)（为正整数）， 证明：， ∴． 【分析】（1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由得出的等式变化规则，总结规律，即可列出第个等式，并证明结论． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律可得第个等式是，第个等式是， 验证结论：，， 故答案为：；； （2）解：（为正整数）， 证明略． 14．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． (1)例：已知，求的值． 解：由得，________，________，________； (2)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：________； (3)拓展创新：已知，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）解不等式组中的两个不等式可求出x的值，进而可求出y的值，最后可得的值； （2）根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到关于x的不等式组，解不等式组求出x的值，进而得到y的取值范围，再化简即可； （3）根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到关于m的不等式组，解不等式组求出m的值，进而求出n的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：由题意得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∴， ∴ ． 15．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）在二次根式运算中，存在一种有趣的根式“穿墙现象”：当根号内的式子满足特定规律时，根号里面的整数可以直接移到根号外，如同“穿过”根号这道屏障．请你通过观察、猜想、验证和应用，完成以下探究任务． 任务1：观察发现，感知特征 观察下列具有“穿墙特征”的等式： ，，． (1)根据以上特征，直接写出结果：________； 任务2：猜想表达，提炼规律 (2)为整数，且，请用含的代数式表示这一“穿墙”规律； 任务3：逆向应用，拓展延伸 (3)若正整数满足，先求出的值，再写出代数式的值． 【答案】(1) (2)（为整数，且） (3)， 【分析】（1）根据题干等式直接作答即可； （2）根据题干等式，被开方数中，分数的分子与前面的整数相同，分母为整数的平方减1，据此即可得出规律； （3）根据规律得到，求出的值，即可得出结果. 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）解：， ， ． 用含的代数式表示这一“穿墙”规律为：（为整数，且）； 证明：； （3）解：由规律可得， ， ， 为正整数， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01认识二次根式 常考题型精准突破 ◆题型1二次根式的识别 1.D 2.D 3.B 4.D 5.B ◆题型2求二次根式的值 6.0 7.V6 8.4 9.2V6 10.c ◆题型3求二次根式中的参数 11.C 12.4 13.3 14.D 15.81 ◆题型4二次根式有意义的条件 16.2 17.X>2 18.B 19.5(答案不唯一，n≥5且为整数即可) 20.x>1 1/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5利用二次根式的性质化简 21.C 22.(①)c=dk, bk+dk kb+d) b+d 'b+d: (2)证明： 1+1=1 ·xy x+y=1, ..x+y=xy, 岭子水，=k父=ky .左边=Vax+by =Vky2·x+kx2y =kxy2+kx2y =kxy x+y =只Vkxy·xy =Vkxy2 =xyk, 右边=Va+6 =Vky2+kx2 =yk+xk =Vkx+y列 =xyk, ..Vax+by=a+b. 23.A 24.C 25.9或25/25或9 ◆题型6复合二次根式的化简 26.5V3 27.(1)(3)2+2x3×2+(V2),V(3+2,V3+V2 (2①V5+V2:②/5-2 214 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 28.A 29.V5-1 30.x=7 综合攻坚·知能拔高 1.C 2.B 3.B 4.A 5.D 6.A 7.D 8.A 9.-2 10.-b2cV2ac 11.2023 5.5语95号69 ②n* +2 =n+1 Vn+2 (n为正整数)， 1 证明： n+ nn+2+1 n2+2n+1 +1 =n+1 1 +2 Vn+2 n+2 n+2 n+2 1 n+2 =n+1 Vn+2 14.(1)2024,2023, 2023 2024 (2)1 (3)14 6 15.(1)6 35 3/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n ②n+ 2-1 n2-1 (n为整数，且n≥2) 3)x=7,7 414