第二章 专题02 直线的方程专项训练（8大题型42题）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题02 直线的方程（8大题型42题）（解析版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　点斜式与斜截式方程 第1—6题 6 题型二　两点式方程 第7—10题 4 题型三　截距式与两坐标轴截距 第11—15题 5 题型四　一般式与几种形式的互化 第16—20题 5 题型五　由条件求直线方程 第21—25题 5 题型六　平行与垂直在求方程中的应用 第26—31题 6 题型七　含参数直线与分类讨论 第32—37题 6 题型八　综合应用 第38—42题 5 题型通关 · 靶向提分 题型一　点斜式与斜截式方程（共6小题） 【知识积累】 点斜式：过点 且斜率为 的直线方程为 ；它不能表示斜率不存在的直线（即竖直直线）。 斜截式：斜率为 、在 轴上的截距为 的直线方程为 ，其中截距 是直线与 轴交点的纵坐标，可正可负。 倾斜角化斜率：倾斜角 时 ； 时斜率不存在，方程只能写成 。 求截距：求 轴上的截距令 解出 ；求 轴上的截距令 解出 。 1．（单选题） （26-27高二上·福建三明·阶段检测） 直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线的倾斜角为，则其斜率， 且直线过点，所以其点斜式方程为. 2．（单选题） （25-26高二上·北京·阶段检测） 经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角为，求出斜率，代入直线的点斜式方程求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，代入点斜式方程得直线方程为. 故选：B 3．（单选题） （25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测） 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求出直线斜率，结合直线的斜截式公式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 由直线的斜截式公式可知，， 故选：B. 4．（填空题） （24-25高二下·上海·期中） 过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 【答案】 【详解】过点且斜率为2的直线的斜截式方程为. 5．（单选题） （25-26高二上·广东·期中） 过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求斜率再由点斜式写出直线方程，最后求出截距即可. 【详解】由题知的斜率为，所以的方程为， 令，得. 故选：B. 6．（填空题） （25-26高二上·江西景德镇·期中） 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线在轴上的截距为__________. 【答案】/ 【分析】根据题意求得直线的方程为，再求直线在轴上的截距即可. 【详解】由直线的一个方向向量为得直线的斜率为， 由直线经过点， 所以直线的方程为，即， 令得，即直线在轴上的截距为. 故答案为： 题型二　两点式方程（共4小题） 【知识积累】 两点式：过 、 且 、 的直线方程为 。 两点式的边界： 时直线垂直于 轴，方程为 ； 时直线垂直于 轴，方程为 。两点式自身不能表示这两类直线，使用前先判断。 更稳妥的写法： 对 或 同样成立，可避免漏讨论。 与中点结合：涉及"两点中点在某轴上 / 某点为线段中点"时，先用中点坐标公式把待求点坐标转化为已知条件，再写方程。 7．（单选题） （25-26高二上·四川泸州·阶段检测） 过、两点的直线方程是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的截距式定义求解. 【详解】根据截距式方程得出 过、两点的直线方程是 . 故选：A. 8．（单选题） （25-26高二上·河南南阳·期中） 过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的两点式方程可得答案. 【详解】由题意可知，直线的两点式方程为，即为. 故选：D. 9．（填空题） （25-26高二上·安徽·期末） 经过点和的直线的方程为________． 【答案】 【分析】已知两点， 利用两点式化简得到一般式方程即可. 【详解】由已知得直线的方程为，即． 10．（填空题） （25-26高二上·山东济南·阶段检测） 一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【答案】 【分析】设出截距式方程后借助中点定义计算即可得. 【详解】由点为的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为，则有， 故该方程为. 故答案为：. 题型三　截距式与两坐标轴截距（共5小题） 【知识积累】 截距式：直线在 轴、 轴上的截距分别为 、（、）时，方程为 。 截距式的适用范围：只表示不过原点、也不与坐标轴垂直的直线；过原点（两截距同为 ）或与坐标轴垂直的直线要用其他形式。 截距关系的分类："截距相等""截距互为相反数""截距成倍数""截距之差为定值"都要先看是否含两截距同为 （过原点）的情形，若含则需分"过原点"与"不过原点"两类讨论。 面积与截距：直线与两坐标轴围成的三角形面积 （、 为两截距），求最值常配合基本不等式，注意等号成立条件与截距的符号。 11．（单选题） （25-26高二上·福建宁德·期末） 直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 12．（单选题） （25-26高二上·天津南开·期中） 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）. A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分为两种情况：当直线过原点时；当直线不过坐标原点时．设出直线的方程，代入点坐标可得解． 【详解】当直线过原点时，设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 所以直线的方程为， 此时直线在两坐标轴上的截距均为0，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 则直线方程，即， 综上所述直线方程为或， 故选：B． 13．（填空题） （25-26高二上·江西·阶段检测） 过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【答案】或 【详解】由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或， 则所求直线方程为或. 14．（填空题） （25-26高二上·北京·阶段检测） 已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 【答案】 或． 4 【分析】先分两种情况讨论，当直线过原点，代入求出参数的值，当直线不过原点时，设出直线截距式，代点即可求解；利用三角形面积公式、基本不等式，求得面积的最小值． 【详解】当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得， 所以所求直线方程为，即． 综上可得，所求直线方程为：或． （2）依题意，设点，（，），直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立， ，即的面积的最小值为4． 故答案为：或；4. 15．（解答题） （25-26高二上·江苏常州·期中） 平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可知直线过点，由此可得斜率，再由点斜式得解； （2）设直线在轴上的截距为，由此建立关于的方程，解出即可得直线的斜截式方程. 【详解】（1）依题意，直线过点， 则其斜率为，方程为， 令，可得， 则； （2）设直线在轴上的截距为， 则直线过点， 故其斜率为，方程为， 令，可得， 则，解得或， 则直线的斜截式方程为或． 题型四　一般式与几种形式的互化（共5小题） 【知识积累】 一般式：（、 不同时为 ）可表示平面上任意一条直线，其他形式都能化为一般式。 由一般式读斜率与截距： 时化为 ，斜率 ，在 轴上的截距为 ； 时直线为 ，斜率不存在。 方向向量与法向量：一般式 的系数 是一个法向量， 是一个方向向量；由方向向量 （）可得斜率 ， 时斜率不存在。 形式选用：已知一点与斜率用点斜式、已知两点用两点式、已知两截距用截距式、已知斜率与 截距用斜截式；最终按题目要求化为指定形式。 16．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 若直线的斜率为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线的点斜式直接得解. 【详解】由已知直线的斜率为，且经过点， 则根据直线的点斜式可知直线方程为， 即. 17．（填空题） （26-27高二上·山东济南·阶段检测） 经过点，且方向向量为的直线的一般式方程是___________． 【答案】 【分析】由方向向量求直线斜率，再用点斜式求解直线方程. 【详解】因为直线方向向量为，所以直线斜率. 直线过点，由直线点斜式可得：， 所以一般式为：. 18．（解答题） （26-27高二上·甘肃白银·阶段检测） 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)过点且在两坐标轴上截距相等 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）已知斜率和直线上一点，直接用点斜式写出直线方程，再整理为一般式； （2）直线与轴垂直，因此与轴平行； （3）按两坐标轴上的公共截距是否为分类，截距不为时使用截距式． 【详解】（1）由点斜式，直线方程为 整理得 （2）因为直线与轴垂直，且经过点， 所以直线方程为化为一般式为 （3）当直线在两坐标轴上的截距都为时，直线经过原点和点， 其斜率为所以即 当直线在两坐标轴上的截距不为时，设截距为，则直线的截距式为 将点代入，得所以，从而 19．（填空题） （26-27高二上·宁夏吴忠·阶段检测） 点与点是直线上的两个不同的点，则__________ 【答案】/ 【详解】因为表示直线的斜率，即直线的斜率， 又因为直线的斜率，所以， 20．（填空题） （26-27高二上·江苏淮安·阶段检测） 已知直线l经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线l的一般式方程为______． 【答案】 【分析】先由已知直线斜率求出倾斜角，取其一半得到直线l的倾斜角与斜率，再用点斜式写出方程并整理为一般式． 【详解】直线的斜率，其倾斜角为，， ，故， 已知直线的倾斜角，故， 故直线的斜率， 过点的直线方程为， 故一般方程为． 题型五　由条件求直线方程（共5小题） 【知识积累】 中线：先用中点坐标公式求出对边的中点，中线所在直线过该顶点与中点，再由此求斜率并写方程。 高：高所在直线过顶点且垂直于对边，斜率满足 ；当对边斜率不存在（对边垂直于 轴）时，高的斜率为 ，要单独处理。 垂直平分线：同时满足两个条件——过线段中点、与线段垂直；先求中点与线段斜率，再由"垂直"定斜率。 书写流程：先定斜率与所过点，选合适形式写出方程；题目指定形式（点斜式/斜截式/一般式）时，最后统一化为该形式。 21．（解答题） （26-27高二上·河北沧州·阶段检测） 已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的点斜式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的一般式方程． 【答案】(1)点斜式方程为 . (2)斜截式方程为 . (3)一般式方程为 . 【分析】（1）求出中点坐标，利用两点求出斜率，点斜式直接写出方程. （2）由题知边上的高所在直线过点，点在轴上，求出斜率，求出直线斜截式方程即可. （3）求出的中点坐标，利用点斜式求出方程，再整理为一般式方程即可. 【详解】（1）设的中点为，由中点坐标公式求出点坐标为， ， 边上的中线所在直线的点斜式方程（用点）为. （2）设边上的高所在直线的方程为， ， 过点，直线在轴上的截距为1，直线的斜截式方程为. （3）设的中点为，由中点坐标公式求出点坐标为，设边的垂直平分线的方程为， ，用点斜式求出直线的方程为，整理为一般式得. 22．（填空题） （25-26高二上·河南郑州·期末） 已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______． 【答案】 【分析】利用垂直平分线的性质求出直线的斜率和直线上的点，进而利用点斜式求解． 【详解】线段的垂直平分线，垂直于直线，且过直线的中点， 设的中点为，则， 设直线的斜率为，则，解得， 直线方程为，一般形式为． 23．（解答题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知三角形的三个顶点，，． (1)求边所在直线方程；（写出一般式方程） (2)若点B与C中点为点D，求所在直线方程．（写出一般式方程） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）边所在直线方程为，化为一般式方程为； （2）由题意得，即， 所以所在直线方程为，化为一般式方程为. 24．（单选题） （25-26高二上·江西景德镇·期中） 在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求边上的中点坐标，再求边上的中线的斜率与方程. 【详解】∵， ∴边上的中点坐标为， ∴边上中线所在的直线的斜率为， ∴边上中线所在的直线方程为，即 故选：A 25．（解答题） （25-26高二上·广东·阶段检测） 已知的三个顶点是. (1)求边AB上的高所在直线的方程； (2)求边AB上的中线所在直线的方程； (3)求边AB的垂直平分线的方程； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算，得出边AB上的高，再点斜式得到答案； （2）确定中点坐标为，，再点斜式得到答案. （3）根据AB的垂直平分线的斜率，直线过点，再点斜式计算得解. 【详解】（1）直线的斜率为. 边上的高所在直线的斜率为. 边上的高所在直线的方程为，即. （2）记的中点为的坐标为. 直线的斜率为0. 边上的中线所在直线的方程为. （3）边的垂直平分线的方程为，即. 题型六　平行与垂直在求方程中的应用（共6小题） 【知识积累】 平行设方程：与 平行的直线可设为 （）；把已知点坐标代入求出 即可。 垂直设方程：与 垂直的直线可设为 ；把已知点坐标代入求出 即可。 判定条件：两直线 与 ，平行且不重合指 且不同时成比例到常数项；垂直指 。 斜率法先看存在性：用 或 前，要先确认两条直线的斜率都存在；斜率不存在或为 的情形单独讨论，用一般式系数法可以一次覆盖。 26．（单选题） （25-26高二下·广东河源·期末） 经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 27．（单选题） （26-27高二上·重庆渝中·阶段检测） 求过点且与直线平行的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】与直线平行的直线方程满足， 且该直线过点，则，解得， 故该直线方程为． 28．（单选题） （26-27高二上·江西南昌·阶段检测） 过点且与直线垂直的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意可设所求直线的方程为， 将点的坐标代入，得，解得， 故所求直线的方程为. 29．（填空题） （25-26高二上·北京·期中） 与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是__________. 【答案】 【分析】根据垂直关系可得所求直线的斜率，进而可得斜截式方程. 【详解】由题意可知：直线的斜率为， 因为所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率， 且在轴上的截距为4，所以所求直线的斜截式方程是. 故答案为：. 30．（解答题） （25-26高二上·北京·阶段检测） 已知的顶点为，，． (1)求出直线的斜率 (2)求过且平行于直线的直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2)： (3)： 【分析】（1）根据已知两点坐标求斜率公式求解即可； （2）根据平行求出斜率，结合点斜式方程即可解题； （3）根据垂直求出斜率，结合点斜式方程即可解题. 【详解】（1）由题意可得，，，设直线的斜率为，所以. （2）设该直线为，由题意可得与直线平行，所以的斜率为，所以，所以：. （3）设该直线为，斜率为，由题意可得与直线垂直，所以，所以，所以，所以：. 31．（解答题） （25-26高二上·河北秦皇岛·期中） 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为． (1)若直线经过点、，求的斜截式方程，并判断与是否平行； (2)若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直． 【答案】(1)的斜截式方程为， (2)在轴上的截距； 【分析】（1）求出直线的斜率，结合直线过点，可得出直线的点斜式方程，即可得出直线的斜截式方程，再利用斜率关系可判断出直线与的位置关系； （2）在直线的方程中，令，可求出直线在轴上的截距，然后利用斜率关系可得出直线和的位置关系. 【详解】（1）直线的斜率，直线过点，直线的点斜式方程为， 故直线的斜截式方程为. 直线的斜率,， 显然点不在直线上，故. （2）在直线的方程中令，得，故直线在轴上的截距为， 直线的斜率为，所以，故. 题型七　含参数直线与分类讨论（共6小题） 【知识积累】 定点（直线系）：把含参直线整理为关于参数的恒等式，令参数系数与常数项分别为 ，解出定点坐标——直线过定点与参数取值无关。 含参截距相等：先把两截距用参数表示，再令其相等；不要漏掉"两截距同为 （过原点）"这一情形，它常使方程退化为过原点的直线。 含参平行与垂直：由平行条件列出方程求出参数后，一定要代回检验两直线是否重合；由垂直条件列出方程时，注意系数为 使直线是否退化。 恒成立与图象：判断含参直线不经过某象限，先化斜截式，再根据斜率与 截距的符号列不等式组；解出的参数须代回原方程检验是否使方程退化（如出现 非零常数）。 32．（填空题） （25-26高二上·山东菏泽·期末） 过点的直线分别与轴､轴交于两点，为坐标原点.若使得的面积为的直线有且只有2条，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由直线的点斜式方程设出直线的方程，并求出点坐标及三角形面积，再按直线斜率的正负分类，结合一元二次方程根的情况求出范围. 【详解】直线不垂直于坐标轴，设直线方程为， 则点，的面积， 于是，即，， 当，即时，，整理得， 此方程有两个负根，则，又，解得； 当，即时，，整理得， 此方程有两个正根，则，又，解得， 因此当时，有两解；当时，有三解； 当时，有四解， 由使得的面积为的直线有且只有2条，得有两解，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 33．（多选题） （25-26高二上·重庆渝北·期中） 已知直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线在轴上的截距为1，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【分析】考查直线过定点和直线方程，根据选项依次求解即可. 【详解】当 时，，所以直线恒过定点，选项A正确； 若直线与直线垂直，则 解得，选项B错误； 直线在轴上的截距为1，则，解得，选项C正确； 若，则，必有，选项D错误； 故选：AC 34．（填空题） （26-27高二上·天津南开·阶段检测） 已知直线，，则下列说法中：①恒过点；②若，则；③若，则或；④若不经过第三象限，则正确的有___________．（把正确结论的序号填在横线上） 【答案】①③ 【分析】对于①，将化为，列方程组即可求出定点；对于②，根据直线的一般式方程判断直线平行的方法即可求解；对于③，根据两直线垂直即可求解；对于④，分为和两种情况，结合直线的图象列不等式组即可求解. 【详解】①可化为，令，解得， 所以直线过定点，故①正确； ②若，则，解得， 当时，：，：，两直线重合，舍去； 当时，：，：，两直线平行，符合题意. 所以，故②错误； ③选项：若，则，解得或者，故③正确； ④：当时，直线：不过第三象限，满足题意； 当时，直线：不过第三象限， 则，解得，综上，故④错误． 35．（解答题） （26-27高二上·江苏扬州·阶段检测） 已知直线：与直线：，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由可得，进而检验求解即可； （2）将点的坐标代入直线的方程中，求出的值，从而可得点的坐标，然后再分直线的截距为0和不为0两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得或， 当时，：，：，即， 此时，满足题意； 当时，：，即，：， 此时重合，不满足题意. 综上所述，. （2）因为点在直线上， 所以，得，则点的坐标为， 而直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，直线的斜率为，则直线的方程为，即； 当两截距不为0时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 36．（多选题） （26-27高二上·云南曲靖·阶段检测） 已知：，：，则下列说法正确的是（   ） A．的必要不充分条件是或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则 【答案】BD 【分析】对于A，根据两直线平行的判定求出的值，进而代入验证两直线是否重合即可判断；对于B，根据两直线垂直的判定求出的值，进而即可判断；对于C，先将化为斜截式，再根据直线不经过第四象限即可得到关于的不等式组，进而求解即可判断；对于D，先得到直线关于原点对称后得到的直线方程，再根据纵截距的定义求出的值，进而即可判断． 【详解】对于A，若，则，即，解得，或， 当时，，，则，符合题意； 当时，，，则，符合题意， 所以或时的充要条件，不是必要不充分条件，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，将化为斜截式，得， 又不经过第四象限，则，解得，故C错误； 对于D，由直线：关于原点对称后得到的直线为， 则纵截距为，解得，故D正确． 37．（解答题） （24-25高二上·广东东莞·期中） 直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 题型八　综合应用（共5小题） 【知识积累】 光线反射：入射到 轴（或 轴）上的反射问题，先把射点关于反射轴作对称点，反射（或入射）光线所在直线就是过对称点与轴交点的直线。 面积最值：设直线在两坐标轴上的截距为 、，面积 ；把条件代入后用基本不等式求最值，务必核实等号成立时截距的符号与取值范围是否满足题意。 中心对称：点 关于点 的对称点为 ，用于"关于点对称的直线"等问题。 图形综合：遇到梯形、等腰直角三角形等，先把几何条件翻译成平行、垂直或长度相等，再用斜率与直线方程求解；情形不唯一时逐一分类讨论并检验。 38．（单选题） （26-27高二上·江西南昌·阶段检测） 一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到点关于轴对称的点为，利用反射光线经过点和点即可求解. 【详解】 如图所示，点关于轴对称的点为， 因为反射光线同时经过点和点，且，所以反射光线所在直线的方程为，即， 所以反射光线经过的点的坐标为，故反射光线经过的点的坐标可以为，故A正确. 39．（填空题） （25-26高二上·贵州毕节·期末） 一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____． 【答案】 【分析】先根据题意得出入射光线的方程，求出入射光线与x轴的交点，结合反射的性质得出反射光线的斜率，即可得出答案. 【详解】由题意知，入射光线所在直线的斜率为， 则入射光线方程为，化简整理可得， 则入射光线和轴交点为， 由对称性知反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为， 化简整理可得. 故答案为： 40．（解答题） （25-26高二上·安徽淮南·阶段检测） 已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若直线与轴正半轴交于点、与轴正半轴交于点，求的最小值，并求此时直线的方程； 【答案】(1)或 (2)最小值为16， 【分析】（1）分直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况，即可求得结果； （2）设，其中，求得坐标后，利用基本不等式即可求得的最小值及直线方程. 【详解】（1）当过坐标原点时，方程为，即，满足题意； 当不过坐标原点时，可设其方程为：， ， ， ∴直线l方程为：或； （2）由题意可知：直线斜率存在，且，可设， 令，解得：，， 令，解得：，， ∴，当且仅当即等号成立， 直线的方程为：，即， ∴的最小值为，此时直线方程为：. 41．（解答题） （14-15高二上·北京·期中） 如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点. （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）点是线段的中点，；（3）存在点或或使为等腰直角三角形. 【分析】(1)设出直线的方程，求出点A，B坐标，借助三角形面积求解而得； (2)由给定面积关系导出，再利用相似三角形性质求解即得； (3)假定存在符合条件的点M，再按照直角顶点分别为点Q，P，M分类讨论判断作答 【详解】1）显然直线斜率存在，设直线方程为， 则直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点， 于是得，解得， 所以直线斜率为； （2）由（1）知直线的方程为：，即，， 因，则， 又，则与相似，于是有，即，得，此时点为线段中点， 所以时，点为线段中点，且； （3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形，由(1)知直线的方程为：，如图， 当时，而点在轴上，点Q在x轴的正半轴上，则M必与原点O重合， 设，因，则，于是有，解得，此时， 当时，由，知四边形为正方形， 设，则，于是有，解得，此时， 当时，由，得，即， 设，则，直线上点， 显然直线斜率为-1，则斜率必为1，即，解得，此时， 综上，轴上存在点或或使为等腰直角三角形. 42．（解答题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知四边形中，，，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若点为线段的中点，求的边上的中线所在的直线方程； (3)是否存在点使得四边形为直角梯形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用平行四边形和向量共线的性质即可求出点的坐标； （2）利用中点公式求出点坐标，再根据点斜式即可求出所在的直线方程； （3）先判断平行的两边，再判断垂直的边，分类讨论即可求出点的坐标. 【详解】（1）由题可得，， 因为，，，， 所以，， 所以， 解得，即点的坐标为. （2）因为，， 由中点公式得点坐标为， 又因为， 所以， 即所在的直线方程为. （3），，，， 因为，所以与不垂直， 若，四边形为直角梯形，则， 则有，， 可列方程组， 解得，即点的坐标为； 若，四边形为直角梯形，则， 则有，， 可列方程组， 解得，即点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题02 直线的方程（8大题型42题）（原卷版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　点斜式与斜截式方程 第1—6题 6 题型二　两点式方程 第7—10题 4 题型三　截距式与两坐标轴截距 第11—15题 5 题型四　一般式与几种形式的互化 第16—20题 5 题型五　由条件求直线方程 第21—25题 5 题型六　平行与垂直在求方程中的应用 第26—31题 6 题型七　含参数直线与分类讨论 第32—37题 6 题型八　综合应用 第38—42题 5 题型通关 · 靶向提分 题型一　点斜式与斜截式方程（共6小题） 【知识积累】 点斜式：过点 且斜率为 的直线方程为 ；它不能表示斜率不存在的直线（即竖直直线）。 斜截式：斜率为 、在 轴上的截距为 的直线方程为 ，其中截距 是直线与 轴交点的纵坐标，可正可负。 倾斜角化斜率：倾斜角 时 ； 时斜率不存在，方程只能写成 。 求截距：求 轴上的截距令 解出 ；求 轴上的截距令 解出 。 1．（单选题） （26-27高二上·福建三明·阶段检测） 直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 2．（单选题） （25-26高二上·北京·阶段检测） 经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 3．（单选题） （25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测） 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 4．（填空题） （24-25高二下·上海·期中） 过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 5．（单选题） （25-26高二上·广东·期中） 过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 6．（填空题） （25-26高二上·江西景德镇·期中） 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线在轴上的截距为__________. 题型二　两点式方程（共4小题） 【知识积累】 两点式：过 、 且 、 的直线方程为 。 两点式的边界： 时直线垂直于 轴，方程为 ； 时直线垂直于 轴，方程为 。两点式自身不能表示这两类直线，使用前先判断。 更稳妥的写法： 对 或 同样成立，可避免漏讨论。 与中点结合：涉及"两点中点在某轴上 / 某点为线段中点"时，先用中点坐标公式把待求点坐标转化为已知条件，再写方程。 7．（单选题） （25-26高二上·四川泸州·阶段检测） 过、两点的直线方程是 （    ） A． B． C． D． 8．（单选题） （25-26高二上·河南南阳·期中） 过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（填空题） （25-26高二上·安徽·期末） 经过点和的直线的方程为________． 10．（填空题） （25-26高二上·山东济南·阶段检测） 一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 题型三　截距式与两坐标轴截距（共5小题） 【知识积累】 截距式：直线在 轴、 轴上的截距分别为 、（、）时，方程为 。 截距式的适用范围：只表示不过原点、也不与坐标轴垂直的直线；过原点（两截距同为 ）或与坐标轴垂直的直线要用其他形式。 截距关系的分类："截距相等""截距互为相反数""截距成倍数""截距之差为定值"都要先看是否含两截距同为 （过原点）的情形，若含则需分"过原点"与"不过原点"两类讨论。 面积与截距：直线与两坐标轴围成的三角形面积 （、 为两截距），求最值常配合基本不等式，注意等号成立条件与截距的符号。 11．（单选题） （25-26高二上·福建宁德·期末） 直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 12．（单选题） （25-26高二上·天津南开·期中） 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）. A． B．或 C． D．或 13．（填空题） （25-26高二上·江西·阶段检测） 过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 14．（填空题） （25-26高二上·北京·阶段检测） 已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 15．（解答题） （25-26高二上·江苏常州·期中） 平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 题型四　一般式与几种形式的互化（共5小题） 【知识积累】 一般式：（、 不同时为 ）可表示平面上任意一条直线，其他形式都能化为一般式。 由一般式读斜率与截距： 时化为 ，斜率 ，在 轴上的截距为 ； 时直线为 ，斜率不存在。 方向向量与法向量：一般式 的系数 是一个法向量， 是一个方向向量；由方向向量 （）可得斜率 ， 时斜率不存在。 形式选用：已知一点与斜率用点斜式、已知两点用两点式、已知两截距用截距式、已知斜率与 截距用斜截式；最终按题目要求化为指定形式。 16．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 若直线的斜率为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 17．（填空题） （26-27高二上·山东济南·阶段检测） 经过点，且方向向量为的直线的一般式方程是___________． 18．（解答题） （26-27高二上·甘肃白银·阶段检测） 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)过点且在两坐标轴上截距相等 19．（填空题） （26-27高二上·宁夏吴忠·阶段检测） 点与点是直线上的两个不同的点，则__________ 20．（填空题） （26-27高二上·江苏淮安·阶段检测） 已知直线l经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线l的一般式方程为______． 题型五　由条件求直线方程（共5小题） 【知识积累】 中线：先用中点坐标公式求出对边的中点，中线所在直线过该顶点与中点，再由此求斜率并写方程。 高：高所在直线过顶点且垂直于对边，斜率满足 ；当对边斜率不存在（对边垂直于 轴）时，高的斜率为 ，要单独处理。 垂直平分线：同时满足两个条件——过线段中点、与线段垂直；先求中点与线段斜率，再由"垂直"定斜率。 书写流程：先定斜率与所过点，选合适形式写出方程；题目指定形式（点斜式/斜截式/一般式）时，最后统一化为该形式。 21．（解答题） （26-27高二上·河北沧州·阶段检测） 已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的点斜式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的一般式方程． 22．（填空题） （25-26高二上·河南郑州·期末） 已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______． 23．（解答题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知三角形的三个顶点，，． (1)求边所在直线方程；（写出一般式方程） (2)若点B与C中点为点D，求所在直线方程．（写出一般式方程） 24．（单选题） （25-26高二上·江西景德镇·期中） 在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 25．（解答题） （25-26高二上·广东·阶段检测） 已知的三个顶点是. (1)求边AB上的高所在直线的方程； (2)求边AB上的中线所在直线的方程； (3)求边AB的垂直平分线的方程； 题型六　平行与垂直在求方程中的应用（共6小题） 【知识积累】 平行设方程：与 平行的直线可设为 （）；把已知点坐标代入求出 即可。 垂直设方程：与 垂直的直线可设为 ；把已知点坐标代入求出 即可。 判定条件：两直线 与 ，平行且不重合指 且不同时成比例到常数项；垂直指 。 斜率法先看存在性：用 或 前，要先确认两条直线的斜率都存在；斜率不存在或为 的情形单独讨论，用一般式系数法可以一次覆盖。 26．（单选题） （25-26高二下·广东河源·期末） 经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 27．（单选题） （26-27高二上·重庆渝中·阶段检测） 求过点且与直线平行的直线方程为（     ） A． B． C． D． 28．（单选题） （26-27高二上·江西南昌·阶段检测） 过点且与直线垂直的直线方程为（     ） A． B． C． D． 29．（填空题） （25-26高二上·北京·期中） 与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是__________. 30．（解答题） （25-26高二上·北京·阶段检测） 已知的顶点为，，． (1)求出直线的斜率 (2)求过且平行于直线的直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程． 31．（解答题） （25-26高二上·河北秦皇岛·期中） 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为． (1)若直线经过点、，求的斜截式方程，并判断与是否平行； (2)若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直． 题型七　含参数直线与分类讨论（共6小题） 【知识积累】 定点（直线系）：把含参直线整理为关于参数的恒等式，令参数系数与常数项分别为 ，解出定点坐标——直线过定点与参数取值无关。 含参截距相等：先把两截距用参数表示，再令其相等；不要漏掉"两截距同为 （过原点）"这一情形，它常使方程退化为过原点的直线。 含参平行与垂直：由平行条件列出方程求出参数后，一定要代回检验两直线是否重合；由垂直条件列出方程时，注意系数为 使直线是否退化。 恒成立与图象：判断含参直线不经过某象限，先化斜截式，再根据斜率与 截距的符号列不等式组；解出的参数须代回原方程检验是否使方程退化（如出现 非零常数）。 32．（填空题） （25-26高二上·山东菏泽·期末） 过点的直线分别与轴､轴交于两点，为坐标原点.若使得的面积为的直线有且只有2条，则的取值范围是__________. 33．（多选题） （25-26高二上·重庆渝北·期中） 已知直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线在轴上的截距为1，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 34．（填空题） （26-27高二上·天津南开·阶段检测） 已知直线，，则下列说法中：①恒过点；②若，则；③若，则或；④若不经过第三象限，则正确的有___________．（把正确结论的序号填在横线上） 35．（解答题） （26-27高二上·江苏扬州·阶段检测） 已知直线：与直线：，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 36．（多选题） （26-27高二上·云南曲靖·阶段检测） 已知：，：，则下列说法正确的是（   ） A．的必要不充分条件是或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则 37．（解答题） （24-25高二上·广东东莞·期中） 直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 题型八　综合应用（共5小题） 【知识积累】 光线反射：入射到 轴（或 轴）上的反射问题，先把射点关于反射轴作对称点，反射（或入射）光线所在直线就是过对称点与轴交点的直线。 面积最值：设直线在两坐标轴上的截距为 、，面积 ；把条件代入后用基本不等式求最值，务必核实等号成立时截距的符号与取值范围是否满足题意。 中心对称：点 关于点 的对称点为 ，用于"关于点对称的直线"等问题。 图形综合：遇到梯形、等腰直角三角形等，先把几何条件翻译成平行、垂直或长度相等，再用斜率与直线方程求解；情形不唯一时逐一分类讨论并检验。 38．（单选题） （26-27高二上·江西南昌·阶段检测） 一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（     ） A． B． C． D． 39．（填空题） （25-26高二上·贵州毕节·期末） 一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____． 40．（解答题） （25-26高二上·安徽淮南·阶段检测） 已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若直线与轴正半轴交于点、与轴正半轴交于点，求的最小值，并求此时直线的方程； 41．（解答题） （14-15高二上·北京·期中） 如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点. （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 42．（解答题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知四边形中，，，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若点为线段的中点，求的边上的中线所在的直线方程； (3)是否存在点使得四边形为直角梯形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $