综合检测题（2.1--2.3） 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册

综合检测题（2.1--2.3） 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．已知直线方程的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出直线的方向向量，由法向量的定义再逐个分析判断. 【详解】因为直线的斜率为2， 所以直线的一个方向向量为， 对于A，因为，所以为直线的一个法向量，所以A正确， 对于B，因为，所以不是直线的法向量，所以B错误， 对于C，因为，所以不是直线的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以不是直线的法向量，所以C错误， 故选：A 2．若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为 所以，，即，解得. 3．若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可. 【详解】因为三点在同一条直线上，且直线的斜率显然存在， 所以，则，解得． 故选：B. 4．已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据点到直线的距离列方程求出的值即可． 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 解得或， 所以点的坐标为或． 故选：D． 5．已知直线与直线间的距离为1，则m的值为（    ） A．3 B．6 C．-7或3 D．-14或6 【答案】D 【分析】根据平行线间的距离公式即可求解. 【详解】解：直线可化为， 因为直线与直线间的距离为1， 所以，解得或. 故选：D 6．若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点斜率公式可得，即可结合图象求解. 【详解】如图：直线与坐标轴的交点为, 且, 要使过点的直线与的交点位于第一象限，则需， 即， 故选：B 7．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对称点的坐标为，根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 8．的三个顶点坐标为，，，下列说法中正确的是（    ） A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点且平分面积的直线与边相交于点 【答案】B 【分析】求出，即可判断A，利用点斜式求出边上的高的方程，即可判断B，分过原点和不过原点两种情况讨论即可判断C，求出边的中点坐标，即可判断D. 【详解】因为，，， 所以直线的斜率，而直线的斜率为，两直线不平行，故A错误； 边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，故B正确； 过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，故C错误； 过点且平分面积的直线过边中点，而的中点坐标为，故D错误． 故选：B． 二、多选题 9．已知直线，，则（   ） A．恒过定点 B．若，则 C．若，则 D．的倾斜角可能为0 【答案】AC 【分析】通过分离参数法求得直线恒过定点判断A选项，由两直线平行于垂直时直线方程中系数的关系建立方程，解得，判断BC选项，整理直线方程，得到斜率，由斜率为0建立方程，由方程的解判断D选项. 【详解】，直线恒过定点，A选项正确； 若，则，∴， 且当时，，，也成立，B选项错误； 若，则，即，则，C选项正确； 时，斜率不存在，倾斜角为，时，直线斜率为，倾斜角不是， 于是无论如何取值，倾斜角不可能是，D选项错误. 故选：AC. 10．已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先分析题意设直线为，再利用两点到直线的距离相等列式计算求得参数，即得结果. 【详解】设所求直线的方程为，即， 因为点，到直线的距离相等， 所以， 解得或， 即所求直线方程为或， 故选：AC． 11．已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为2 C．原点到直线距离的最大值为 D．若直线与直线三条直线有且仅有两个不同的交点，则的值为 【答案】ABD 【分析】把直线方程化为斜截式方程，结合点到直线距离公式、直线与直线位置关系逐一判断即可. 【详解】，所以直线过定点且在轴上的截距为2， 因此选项AB说法正确； 原点到直线距离为， 由， 所以原点到直线距离的最大值为，所以选项C说法不正确； 直线， 所以这两个直线的斜率分别为，显然两个斜率不相等也不互为负倒数，因此这两条直线相交，， 所以直线的交点为， 又因为直线和直线都过这一点， 所以要想直线与直线有且仅有两个不同的交点， 所以直线一定要和直线平行，且不与直线重合， 故，所以选项D说法正确. 故选：ABD 三、填空题 12．过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【答案】 【详解】直线的斜率为， 设待求直线斜率为，则由题意，得，解得. 所以待求直线方程为，即. 13．已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【答案】或 【分析】根据题意设直线的方程为，求截距，列式求解即可. 【详解】由题意可知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令，解得；令，解得， 可得，解得或， 所以直线方程为或. 故答案为：或. 14．在平面直角坐标系中，已知射线：，：，过点作直线分别交射线，于点A，B. （1）当的中点在直线上时，直线的方程为______． （2）当的面积取得最小值时，直线的方程为______． 【答案】 ； ． 【分析】（1）设，求出线段的中点坐标，根据题意列方程组求出a、b，求得直线的方程； （2）根据题意利用基本不等式求出面积的最小值时对应的点A、B的坐标，即可求出直线的方程； 【详解】（1）设，则线段的中点为； 所以，且， 分别化为：, 解得； 所以直线的方程为：，整理得； （2）设，，而， 又P在直线上，，即， ，当且仅当时等号成立， 此时直线的方程为，即． 四、解答题 15．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)经过两点，； (3)在轴、轴上的截距分别是，； (4)求过点且与直线：平行的直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解； （2）根据已知条件，结合两点式方程，即可求解； （3）根据已知条件，结合截距式方程，即可求解； （4）根据平行关系可得直线的斜率，应用点斜式方程即可得方程. 【详解】（1）直线斜率是3，且经过点， 则直线方程为，化为一般式方程为； （2）直线经过两点， 则直线方程为，化为一般式方程为； （3）直线在x轴、y轴上的截距分别是，， 则直线方程为，化为一般式方程为； （4）因为平行于，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以由点斜式得直线方程为，即一般式方程为. 16．已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1) (2)直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：；直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 17．设直线的方程为，根据下列条件分别求的值． (1)在轴上的截距为； (2)斜率为； (3)经过定点． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由已知得直线经过点，代入求解； （2）根据直线的一般式写出直线斜率； （3）由已知得直接经过点，代入求解. 【详解】（1）直线过点，；解得或， 又时，直线的方程为，不符合题意，； （2）由斜率为，得，解得； （3）直线过定点， 则， 解得或. 18．已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)，最大距离为 (3)不存在 【分析】（1）根据条件设出方程，再根据点到直线的距离公式，求出参数． （2）过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，由此求出直线斜率和方程，再由点到直线的距离公式求出最大距离； （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，由此可得出结论. 【详解】（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为，显然，过点且垂直于x轴的直线满足条件， 此时l的斜率不存在，其方程为． 若斜率存在，设l的方程为， 即．由已知得，解得． 此时l的方程为． 综上，可得直线l的方程为或． （2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图． 由，得，所以． 由直线方程的点斜式得，即． 所以直线是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为． （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线， 因此不存在过点P且到原点的距离为3的直线． 19．在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，已知直线和. (1)若，求的值及与之间的距离； (2)若，过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两直线平行斜率相等可得，再由两平行线间的距离公式计算可得结果； （2）由可得点是线段的中点,求得点坐标并利用直线的点斜式方程可得直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率， 因为，所以直线的斜率存在，设为，且. 即，所以，解得. 将代入直线得，即， 所以与之间的距离为. （2）若，则， 由可知，点是线段的中点， 设，所以点关于的对称点， 因为点在直线上， 把点代入方程，即， 解得， 所以， 可得直线斜率，所以直线的方程为，即， 所以直线的方程为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合检测题（2.1--2.3） 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．已知直线方程的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 2．若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A． B．2 C． D．4 3．若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 5．已知直线与直线间的距离为1，则m的值为（    ） A．3 B．6 C．-7或3 D．-14或6 6．若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．的三个顶点坐标为，，，下列说法中正确的是（    ） A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点且平分面积的直线与边相交于点 二、多选题 9．已知直线，，则（   ） A．恒过定点 B．若，则 C．若，则 D．的倾斜角可能为0 10．已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 11．已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为2 C．原点到直线距离的最大值为 D．若直线与直线三条直线有且仅有两个不同的交点，则的值为 三、填空题 12．过点且与直线垂直的直线方程为_______. 13．已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 14．在平面直角坐标系中，已知射线：，：，过点作直线分别交射线，于点A，B. （1）当的中点在直线上时，直线的方程为______． （2）当的面积取得最小值时，直线的方程为______． 四、解答题 15．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)经过两点，； (3)在轴、轴上的截距分别是，； (4)求过点且与直线：平行的直线的方程． 16．已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 17．设直线的方程为，根据下列条件分别求的值． (1)在轴上的截距为； (2)斜率为； (3)经过定点． 18．已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 19．在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，已知直线和. (1)若，求的值及与之间的距离； (2)若，过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $