第二章 专题03 直线的交点坐标与距离公式专项训练（7大题型42题）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题03 直线的交点坐标与距离公式（7大题型42题）（解析版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　两条直线的交点坐标与方程组的解 第1—6题 6 题型二　两点间的距离公式及其应用 第7—12题 6 题型三　点到直线的距离公式 第13—18题 6 题型四　两条平行直线间的距离 第19—24题 6 题型五　距离公式的逆用与含参数问题 第25—30题 6 题型六　对称与最值问题 第31—36题 6 题型七　综合应用 第37—42题 6 题型通关 · 靶向提分 题型一　两条直线的交点坐标与方程组的解（共6小题） 【知识积累】 交点与方程组：直线 与 的交点坐标，就是方程组 的实数解 。 解的组数与位置关系：方程组有唯一解 两直线相交；无解 两直线平行（ 且常数项不成比例）；有无穷多组解 两直线重合。 三线共点：三条直线相交于一点，等价于其中两条的交点坐标满足第三条直线的方程；三条直线不能围成三角形，等价于“有两条平行”或“三线共点”。 过交点的直线系：过 、 交点的直线可设为 （不含 ），再用已知点或平行、垂直条件待定 。 1．（单选题） （25-26高二上·河南郑州·阶段检测） 若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 2．（填空题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 直线与直线的交点坐标是______． 【答案】 【详解】联立两条直线的方程，得，由第一式得， 代入第二式得，从而，所以交点坐标为． 3．（填空题） （25-26高二上·福建福州·期末） 已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 4．（单选题） （26-27高二上·广东梅州·阶段检测） 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立直线与， 可得方程组，解得，即两直线交点坐标为． 直线整理为斜截式为，则该直线斜率为． 已知两条互相垂直的直线斜率乘积为，设所求直线斜率为， 则，解得． 已知所求直线过点，斜率为，代入点斜式方程， 可得，整理为一般式，即． 5．（解答题） （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 【答案】(1) (2)当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 【分析】（1）分别求出各自与轴的交点与两条直线的交点求解即可； （2）分斜率相同的情况和不同的情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，和，解得：和， 与轴的交点，与轴的交点， 联立，解得：， 与的交点， ，点到轴的垂直距离为：， ； （2）解：若两直线平行或重合，则斜率相等， 的斜率为：，的斜率为：， ，解得：或， 当时，，，两直线重合； 当时，，，两直线平行； 故当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 6．（多选题） （26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测） 已知直线， ，不能围成三角形，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可知，三条直线至少存在两条直线平行或三条直线相交于一点，分别求的值. 【详解】（1）当时，，，此时不平行且不重合，故一定能围成三角形，舍去； 当时，， 由题意可知：①时，，即，则； ②时，，即，则； ③，即，则方程无实根. 三条直线交于一点，即，由整理得， 所以，即，， 解得或. 所以. 题型二　两点间的距离公式及其应用（共6小题） 【知识积累】 两点间距离公式：、 两点间的距离 ；原点 到 的距离 。 中点与中线：、 的中点 的坐标为 ；三角形某边上的中线长，就是该边中点到所对顶点的距离。 逆用求参数：已知 求坐标中的参数，两边平方去掉根号；点在直线 上时，用 把纵坐标换成横坐标，只留一个变量。 距离与几何判定：判断四边形是否为菱形、正方形，先比较边长（距离），再用斜率判定邻边是否垂直；验证“点的坐标满足某关系”时，代回距离公式检验。 7．（单选题） （25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测） 点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】应用两点的距离公式求距离即可. 【详解】由题意. 故选：C 8．（填空题） （25-26高二上·河南·阶段检测） 已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【分析】根据两点间的距离公式即可得． 【详解】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 9．（单选题） （25-26高二上·江苏扬州·期中） 已知的顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】利用中点坐标公式求AB中点，再用两点间距离公式即可求解. 【详解】设AB中点为D，根据中点坐标公式可知AB中点坐标为， 则边上的中线长即为CD长度， 根据两点间距离公式可知：， 故边上的中线长为. 故选：C. 10．（解答题） （26-27高二上·福建三明·阶段检测） 已知平行四边形的三个顶点为，，. (1)求点的坐标； (2)判断平行四边形是否为正方形. 【答案】(1) (2)平行四边形是正方形 【分析】（1）利用平行四边形性质，可知，从而求得点坐标； （2）先利用邻边垂直证明平行四边形为矩形，再利用邻边相等证明平行四边形为正方形. 【详解】（1）设，则，， 因为四边形为平行四边形，所以，，即， 即. （2）平行四边形是正方形. ，， ，， 平行四边形为矩形. 又， ， ，平行四边形为正方形. 11．（解答题） （25-26高二上·重庆黔江·期中） 已知的三个顶点分别为，， (1)求边上的垂直平分线所在直线的方程； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直关系和斜率定义式求出边上的垂直平分线所在直线的斜率，再求出中点，然后由点斜式可得； （2）由点斜式得到边直线方程，再求出点到的距离，然后由三角形面积公式可得. 【详解】（1），所以边上的垂直平分线所在直线的斜率为， 中点为， 由点斜式可得， 所以边上的垂直平分线所在直线的方程. （2）边直线方程为，即， 点到的距离， 又， 所以的面积为. 12．（单选题） （25-26高二上·浙江温州·期中） 在平面直角坐标系中，点，，动点满足，则的纵坐标的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】设动点，根据两点之间距离列得等式，结合方程有根解得范围. 【详解】设动点，因为，所以， 两边平方得，化简得， 即，将该式看作关于的一元二次方程： ， 因为点存在，所以该关于的方程必有非负实数解， 其判别式， 解得，所以，故的纵坐标的最大值为. 故选：C. 题型三　点到直线的距离公式（共6小题） 【知识积累】 点到直线的距离公式：点 到直线 的距离 。 逆用：已知点到直线的距离求参数，去绝对值后一般得到两个一次方程、最多两解，须逐个代回检验（如是否使直线退化）。 最大距离：点 到过定点 的动直线 的距离 ，当且仅当 时取到最大值 。 面积：以 为底、点 到直线 的距离 为高，；直线与两坐标轴围成的三角形面积用两截距的绝对值之积的一半。 13．（单选题） （26-27高二上·江西·阶段检测） 点到直线：的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离为. 14．（单选题） （25-26高二上·北京朝阳·阶段检测） 点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】直线方程变形得， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 15．（解答题） （26-27高二上·云南昆明·阶段检测） 已知点，，， (1)求边所在的直线方程； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)边所在的直线方程为 (2)三角形的面积为4 【分析】（1）先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程，最后整理成一般式即可； （2）先由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，由两点间的距离公式可得，最后计算得出三角形的面积. 【详解】（1）由，可得， ， 由点斜式可得， ，整理可得，， 所以边所在的直线方程为. （2）点到直线的距离， 因为点到直线的距离等于三角形中边上的高， 所以，且， 则， 所以三角形的面积为4. 16．（单选题） （26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测） 已知直线：.当点到的距离最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出动直线恒过的定点，当直线与该定点和点的连线垂直时，到直线的距离最大，利用两直线垂直的斜率关系求解. 【详解】将直线的方程整理为关于参数的形式： 令，解得，即直线恒过定点， 当直线时，点到直线的距离最大，最大值为， 因为直线的斜率为，直线的斜率为（）， 所以，由两直线垂直的斜率关系得：，化简解得，验证，符合条件. 所以，. 17．（多选题） （26-27高二上·宁夏吴忠·阶段检测） 过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于两点，则下列结论正确的是（ ） A．直线的方程为 B． C．原点到直线的距离为 D．线段的中点在直线上 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，求出直线的方程及点坐标，再结合两点间的距离公式和点到直线距离公式逐项判断. 【详解】依题意，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线， 由时，得点，由时，得点， 对于A，直线的方程为，故A正确； 对于B，因， 则，故B正确； 对于C，原点到直线的距离为，故C正确； 对于D，线段的中点为，此时， 故线段的中点不在直线上，故D错误. 18．（解答题） （26-27高二上·山东济南·阶段检测） 已知直线． (1)为何值时，点到直线的距离最大，并求出最大值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)，最大值为 (2)最小值为，直线的方程为 【分析】（1）由题设求得直线过定点，则与定点的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及求参数m； （2）设直线为，并求出A，B坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程. 【详解】（1）已知直线，整理得， 由，故直线过定点， 点到直线的距离最大，即与定点的连线的距离就是所求最大值， 所以为最大值，此时． ∵， ∴直线的斜率为，得，解得； （2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点， 则设直线为，，则，， ． 当且仅当，即时，取“”， 故面积的最小值为，此时直线l的方程为. 题型四　两条平行直线间的距离（共6小题） 【知识积累】 两平行线间的距离公式： 与 平行时，；使用前必须把两方程化为 、 的系数完全相同。 含参平行：由 求参数后，一定要代回检验两直线是否重合（重合时距离为 ，应舍去）。 等距直线：与两条平行线距离相等的直线位于两线正中，其常数项等于两线常数项的平均值。 最值：平行线间的距离是两线上任意两点连线长的最小值；两条平行线上各取一点、其中点在某直线上时，先用等距直线定出中点轨迹，再求点到该直线的距离。 19．（单选题） （25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测） 直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 20．（填空题） （26-27高二上·宁夏银川·阶段检测） 直线与直线平行，则它们之间的距离是______． 【答案】2 【详解】直线与直线平行， 则它们之间的距离是 21．（单选题） （26-27高二上·河南·阶段检测） 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且， 解得，则，即， 所以这两条平行直线之间的距离为． 22．（填空题） （25-26高二上·广东潮州·期末） 若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【答案】 【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解； 题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值. 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 23．（解答题） （26-27高二上·河北保定·期中） 已知直线：与直线：平行． (1)求的值； (2)若直线到的距离与到的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行有且即可求出的值；（2）根据直线间距离相等，可判断直线平行，设直线的方程为，再由两平行直线之间的距离公式建立等量关系，求出即可求出直线方程. 【详解】（1）因为直线：与直线：平行， 则，解得，又，所以，当时，两直线平行； （2）由（1）知直线：，即， 因为直线到的距离与到的距离相等，所以直线与、平行， 设直线的方程为，所以，解得， 故直线的方程为，即． 24．（单选题） （25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末） 已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行可得，利用两平行线之间的距离公式求得距离表达式，再利用判别式法求得函数值域即可求得距离范围. 【详解】由可得，又与不垂直，所以； 将直线化为，也即； 因此直线与之间的距离为， 令，整理可得， 易知，整理可得，解得； 当时，，此时两直线重合； 当时，，满足条件，因此. 故选：C 题型五　距离公式的逆用与含参数问题（共6小题） 【知识积累】 逆用的一般步骤：把距离、交点、平行、垂直等条件代入公式列方程（含绝对值或平方）；解出参数后逐一检验直线是否退化、两线是否重合。 交点的位置：把交点坐标用参数表示，再由“在某象限 / 某坐标轴上”列不等式组求参数范围；去分母时注意分母不为零。 两点到直线距离相等：等价于“两点连线与直线平行”，或“直线经过两点的中点”；用距离公式去绝对值，可一次得到这两类解。 存在性问题：“直线上存在点 使 ”等价于直线与线段 有公共点，再由端点连线斜率的范围（含斜率不存在）刻画参数。 25．（填空题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知点到直线的距离为，则_______． 【答案】9或 【详解】由点到直线的距离公式得，，即，解得或. 26．（单选题） （25-26高二下·河南新乡·阶段检测） 若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 27．（单选题） （25-26高二下·贵州·阶段检测） 已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 【答案】A 【分析】设直线的方程为，根据所过的点得，再根据点到直线的距离公式求出或. 【详解】设直线的方程为，因为直线经过定点， 故即，故直线的方程为， 而点和点到直线的距离相等，故， 所以，所以或，A正确. 28．（多选题） （25-26高二上·甘肃白银·期末） 已知直线，，若，则与间的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先根据直线平行，求出的值，再求两平行线间的距离得解. 【详解】由，得，解得或. 当时，的方程为，即，，则与间的距离为； 当时，，，则与间的距离为. 故选：BD. 29．（填空题） （25-26高二上·上海浦东新·期末） 若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【答案】或 【分析】根据给定条件，按斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 30．（单选题） （25-26高二上·江西宜春·期中） 已知，直线上存在点，满足 ，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定直线所过定点，根据线段长度，可将问题转化为直线与线段有交点，结合图象确定临界状态，得到直线斜率的取值范围，进而求得结果. 【详解】直线方程可化为：， 令得：，直线恒过定点， 由得：， 当直线上存在点满足时，直线与线段有交点，如图所示， ，，由直线斜率不为， 直线的斜率， . 故选：B. 题型六　对称与最值问题（共6小题） 【知识积累】 点关于直线对称：对称点与已知点的连线与对称轴垂直，且连线中点在对称轴上，由此列两个方程求解。 点关于点对称：点 关于点 的对称点为 。 直线关于轴对称：把所求直线上任意点 的对称点坐标代入原直线方程，整理即得对称直线方程。 折线最值：把其中一点关于定直线作对称点，折线化为两点间的线段， 的最小值为对称点到另一点的距离； 在三点共线时取到最大值（两点间距离）。 31．（单选题） （25-26高二上·天津西青·期末） 与直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取所求直线上任意一点，可求得关于轴的对称点的坐标，将其代入即可求解. 【详解】设与直线关于轴对称的直线为l, 取l上任意一点，则关于轴的对称点为， 所以在直线上，即，亦即. 故选：D. 32．（填空题） （26-27高二上·河北石家庄·阶段检测） 点关于直线对称的点的坐标为__________． 【答案】 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，已知直线的斜率为， 两条互相垂直的直线斜率乘积为，所以，即， 因为两点的中点在直线上，所以，即， 联立，解得，即坐标为. 33．（单选题） （25-26高二上·贵州贵阳·期末） 已知直线和，两点，若直线l上存在点C使得最小，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点关于直线的对称点为，求出，进而联立直线与的方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 当三点共线时，最小， 则由题意得，，解得，即， 则，则直线，即， 联立，得，， 故点C的坐标为. 34．（填空题） （26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测） 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，则顶点的坐标_____________，若为直线：上的动点，则取最大值时的点的坐标为_____________. 【答案】 【分析】根据点在直线上，结合中点坐标公式与斜率关系，即可联立方程求解出顶点的坐标；求解点关于直线的对称点，结合三角形的三边关系即可求解最值，进而联立方程求解交点坐标． 【详解】设，则的中点坐标为， 因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点的坐标为； 设，因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点的坐标为； 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即； 因为，所以当，，三点共线时，取得最大值， 所以的最大值为； 由，，可得直线的方程为，即， 由解得即当取得最大值时，点的坐标为． 35．（单选题） （25-26高二上·江苏扬州·期末） 古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 36．（填空题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于_____． 【答案】 【分析】建立直角坐标系并利用反射的对称性化折为直，通过对称点连线必过重心的条件解出起点位置，最终计算两对称点之间的距离得出周长. 【详解】因为，所以， 以点为原点，边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则有，设点， 设点关于轴的对称点为，其坐标为， 设点关于直线的对称点为，直线的方程为， 整理得，设，则有， 即，进而有，因此， 由对称可知，且四点共线， 所以的周长等于， 的重心坐标为， 直线的斜率， 进而直线的方程为， 代入重心坐标得，即 整理得，因为是边上异于端点的一点，所以，所以， 所以， ，即的周长等于. 题型七　综合应用（共6小题） 【知识积累】 坐标法：建系后把平行、垂直、长度相等、面积比例等几何条件翻译成坐标或方程；出现多种对应（等腰直角三角形的直角顶点、梯形的腰）时分类讨论并检验。 等腰直角三角形：三个顶点都可能是直角顶点，逐一设为直角顶点，列“两邻边垂直 + 两邻边相等”。 面积综合：求三角形面积常用“底 × 高”，高由点到直线距离给出；梯形面积 ， 为两平行底的距离。 光线反射：入射光线、反射光线关于界面对称；把已知点关于界面作对称点，用两点间的线段确定反射点或光程。 37．（解答题） （25-26高二上·江苏常州·阶段检测） 已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用斜率公式求出，利用点斜式求出直线的方程，利用点到直线的距离求出点到直线的距离； （2）两直线垂直，且都存在斜率，则有； （3）利用中点坐标公式求出的中点，利用斜率公式求出直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程. 【详解】（1），，则，直线的方程为， 即，，点到直线的距离为； （2）设边上的高所在直线的斜率为 ， ，，， 边上的高所在的直线过， 边上的高所在直线的方程为，即； （3）设中点，，， ，， ，， 则边上的中线所在直线的方程为， 即. 38．（单选题） （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 已知三条直线的方程分别为，则使这三条直线能围成等腰直角三角形的的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知，联立方程可得的交点坐标为，直线恒过定点，通过作图即可判断直线的情况，从而求得. 【详解】显然，解方程组得，故的交点坐标为， 直线的斜率为，其倾斜角为；直线的斜率为，其倾斜角为. 对直线的方程变形为，由可得， 故直线恒过定点， 作图可知使三条直线能围成等腰直角三角形的直线有两条：和， 当直线的方程为时，；当直线的方程为时，. 故满足条件的实数的个数为. 39．（解答题） （25-26高二上·浙江台州·期中） 已知点， (1)求的面积； (2)是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）先求直线方程，在根据点到直线的距离公式求高，最后利用面积公式计算即可； （2）分和两种情况，利用平行，垂直列方程组求解坐标即可 【详解】（1），则， 即，， 点到直线的距离， 则； （2）设点． ，， 与不垂直， 若，则， ，解得， 点． 若，则， ， 解得，点， 综上，存在点，使四边形为直角梯形，或. 40．（解答题） （25-26高二上·福建宁德·期中） 已知点分别是两射线和上的点，点. (1)若点是线段的中点，求线段的长. (2)设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 【答案】(1) (2)①；②最小值6， 【分析】（1）方法一：先考虑直线的斜率不存在，不合要求，再考虑直线的斜率存在，直线的方程为，联立求出两点的坐标，得到方程组，求出，得到，求出答案； 方法二：设，根据是线段的中点得到方程，求出，所以，求出答案. （2）方法一：①在（1）基础上，得到； ②在（1）基础上，得到，换元后，由函数单调性得到面积最小值为6，因为，所以最小值为6，此时直线的方程为. 方法二：①在（1）基础上，得到； ②设，由三点共线得到，由基本不等式“1”的妙用求出，从而得到，求出此时直线的方程. 【详解】（1）方法一：若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，， 此时的中点坐标为，与点不符，不合题意. 可知直线的斜率存在，不妨设为，依题意得或， 此时直线的方程为， 由可得， 由可得， 因为的中点为，所以 解得， 则， 则； 方法二：设， 由是线段的中点可得 所以， 所以， 则. （2）方法一：①当直线的斜率不存在时，由（1）的结论， 可得. ②当直线的斜率存在时，设为，依题意得或， 则直线的方程为， 由（1）可得. . 设，则且，令， 则且，即且， 可得且不等于， 因为，所以当，即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 方法二：①当直线的斜率不存在时，由①的结论， 可得. ②设， 由三点共线可得，即， 整理得，即， 所以， 当且仅当时取到等号. ， 即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 41．（解答题） （25-26高二上·陕西汉中·阶段检测） 在直角坐标系xOy中，直线l：与x，y轴分别交于点A，B，直线与线段AB交于点C，与x轴交于点D. (1)求与l平行且距离为2的直线的方程； (2)若△OCD与△AOB在某种对应方式下相似，求实数t的值； (3)若点满足△MCD为等腰直角三角形，求实数m的值. 【答案】(1)或 (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据直线平行，设出所求直线的方程，然后根据平行线间的距离公式，即可求解； （2）根据图形，△OCD与△AOB有两种相似情况，分别求解即可； （3）分三种情况利用向量表示直线垂直，以及线段相等列方程组，分别求解即得 【详解】（1）设与l平行的直线方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 即所求的直线方程为或. （2）由l：，令得；令得 ∴ 由条件知CD与x轴垂直，所以，要使两个三角形相似，只需再确定另一组相等的角即可. ①若，则, ∴直线OC的方程为：， 由，解得，所以，此时. ②若，则 ∴直线OC的方程为：， 由，解得，所以，此时. 综上，或. （3）由题知，，点坐标为，则，,. 若为等腰直角三角形，且为直角，则，解得；若为等腰直角三角形，且为直角，则， 即，解得或（舍去） 若为等腰直角三角形，且为直角，则， 即，解得 综上，若满足△MCD为等腰直角三角形，则或或. 42．（解答题） （26-27高二上·重庆渝中·阶段检测） 已知的三个顶点分别为、、 ，直线. (1)一只蚂蚁从 出发，依次触碰边、边后，回到点，求蚂蚁所走路程最小值； (2)若直线等分面积，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点P关于和的对称点的坐标，利用对称性将折线距离最小值变为直线距离即可求解. （2）先求出直线的定点，验证定点在上，分类讨论得出直线与的另一个交点的位置，利用共角面积比得出的长度，进而求出点的坐标，可求的斜率，代入直线的方程即可求解. 【详解】（1） 因为，边在轴上， 所以点关于的对称点为， 因为、，所以直线的方程为：， 斜率， 设点关于的对称点为， 则，， 的中点的坐标为，该中点在上， 所以得方程组，解得， 所以点坐标为， 所以蚂蚁所走路程最小值为， （2） ，，， 所以，所以是等边三角形， 所以，所以分割后面积为， 直线过定点，即点， 因为，，所以直线的方程：，所以点在上， 即直线与的一个交点为点. 情况①：与的另一个交点在边上，设交点为， 设，，， 所以， 所以，解得，此时点在的延长线上，不合题意，舍去. 情况②：与的另一个交点在边上，设交点为， ，且和共角，得， 即，解得，所以， 即，即， 所以有，解得，所以点坐标为， 所以直线的斜率， 代入直线中，化简得直线的方程为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题03 直线的交点坐标与距离公式（7大题型42题）（原卷版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　两条直线的交点坐标与方程组的解 第1—6题 6 题型二　两点间的距离公式及其应用 第7—12题 6 题型三　点到直线的距离公式 第13—18题 6 题型四　两条平行直线间的距离 第19—24题 6 题型五　距离公式的逆用与含参数问题 第25—30题 6 题型六　对称与最值问题 第31—36题 6 题型七　综合应用 第37—42题 6 题型通关 · 靶向提分 题型一　两条直线的交点坐标与方程组的解（共6小题） 【知识积累】 交点与方程组：直线 与 的交点坐标，就是方程组 的实数解 。 解的组数与位置关系：方程组有唯一解 两直线相交；无解 两直线平行（ 且常数项不成比例）；有无穷多组解 两直线重合。 三线共点：三条直线相交于一点，等价于其中两条的交点坐标满足第三条直线的方程；三条直线不能围成三角形，等价于“有两条平行”或“三线共点”。 过交点的直线系：过 、 交点的直线可设为 （不含 ），再用已知点或平行、垂直条件待定 。 1．（单选题） （25-26高二上·河南郑州·阶段检测） 若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 2．（填空题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 直线与直线的交点坐标是______． 3．（填空题） （25-26高二上·福建福州·期末） 已知三条直线与相交于一点，则___________. 4．（单选题） （26-27高二上·广东梅州·阶段检测） 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．（解答题） （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 6．（多选题） （26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测） 已知直线， ，不能围成三角形，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 题型二　两点间的距离公式及其应用（共6小题） 【知识积累】 两点间距离公式：、 两点间的距离 ；原点 到 的距离 。 中点与中线：、 的中点 的坐标为 ；三角形某边上的中线长，就是该边中点到所对顶点的距离。 逆用求参数：已知 求坐标中的参数，两边平方去掉根号；点在直线 上时，用 把纵坐标换成横坐标，只留一个变量。 距离与几何判定：判断四边形是否为菱形、正方形，先比较边长（距离），再用斜率判定邻边是否垂直；验证“点的坐标满足某关系”时，代回距离公式检验。 7．（单选题） （25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测） 点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（填空题） （25-26高二上·河南·阶段检测） 已知点和点，且，则实数______． 9．（单选题） （25-26高二上·江苏扬州·期中） 已知的顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A． B． C． D．6 10．（解答题） （26-27高二上·福建三明·阶段检测） 已知平行四边形的三个顶点为，，. (1)求点的坐标； (2)判断平行四边形是否为正方形. 11．（解答题） （25-26高二上·重庆黔江·期中） 已知的三个顶点分别为，， (1)求边上的垂直平分线所在直线的方程； (2)求的面积． 12．（单选题） （25-26高二上·浙江温州·期中） 在平面直角坐标系中，点，，动点满足，则的纵坐标的最大值为（   ） A． B． C． D．1 题型三　点到直线的距离公式（共6小题） 【知识积累】 点到直线的距离公式：点 到直线 的距离 。 逆用：已知点到直线的距离求参数，去绝对值后一般得到两个一次方程、最多两解，须逐个代回检验（如是否使直线退化）。 最大距离：点 到过定点 的动直线 的距离 ，当且仅当 时取到最大值 。 面积：以 为底、点 到直线 的距离 为高，；直线与两坐标轴围成的三角形面积用两截距的绝对值之积的一半。 13．（单选题） （26-27高二上·江西·阶段检测） 点到直线：的距离为（    ） A． B． C． D． 14．（单选题） （25-26高二上·北京朝阳·阶段检测） 点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 15．（解答题） （26-27高二上·云南昆明·阶段检测） 已知点，，， (1)求边所在的直线方程； (2)求三角形的面积． 16．（单选题） （26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测） 已知直线：.当点到的距离最大时，（    ） A． B． C． D． 17．（多选题） （26-27高二上·宁夏吴忠·阶段检测） 过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于两点，则下列结论正确的是（ ） A．直线的方程为 B． C．原点到直线的距离为 D．线段的中点在直线上 18．（解答题） （26-27高二上·山东济南·阶段检测） 已知直线． (1)为何值时，点到直线的距离最大，并求出最大值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 题型四　两条平行直线间的距离（共6小题） 【知识积累】 两平行线间的距离公式： 与 平行时，；使用前必须把两方程化为 、 的系数完全相同。 含参平行：由 求参数后，一定要代回检验两直线是否重合（重合时距离为 ，应舍去）。 等距直线：与两条平行线距离相等的直线位于两线正中，其常数项等于两线常数项的平均值。 最值：平行线间的距离是两线上任意两点连线长的最小值；两条平行线上各取一点、其中点在某直线上时，先用等距直线定出中点轨迹，再求点到该直线的距离。 19．（单选题） （25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测） 直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 20．（填空题） （26-27高二上·宁夏银川·阶段检测） 直线与直线平行，则它们之间的距离是______． 21．（单选题） （26-27高二上·河南·阶段检测） 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（   ） A． B． C．2 D． 22．（填空题） （25-26高二上·广东潮州·期末） 若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 23．（解答题） （26-27高二上·河北保定·期中） 已知直线：与直线：平行． (1)求的值； (2)若直线到的距离与到的距离相等，求直线的方程． 24．（单选题） （25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末） 已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五　距离公式的逆用与含参数问题（共6小题） 【知识积累】 逆用的一般步骤：把距离、交点、平行、垂直等条件代入公式列方程（含绝对值或平方）；解出参数后逐一检验直线是否退化、两线是否重合。 交点的位置：把交点坐标用参数表示，再由“在某象限 / 某坐标轴上”列不等式组求参数范围；去分母时注意分母不为零。 两点到直线距离相等：等价于“两点连线与直线平行”，或“直线经过两点的中点”；用距离公式去绝对值，可一次得到这两类解。 存在性问题：“直线上存在点 使 ”等价于直线与线段 有公共点，再由端点连线斜率的范围（含斜率不存在）刻画参数。 25．（填空题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知点到直线的距离为，则_______． 26．（单选题） （25-26高二下·河南新乡·阶段检测） 若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（单选题） （25-26高二下·贵州·阶段检测） 已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 28．（多选题） （25-26高二上·甘肃白银·期末） 已知直线，，若，则与间的距离可能为（    ） A． B． C． D． 29．（填空题） （25-26高二上·上海浦东新·期末） 若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 30．（单选题） （25-26高二上·江西宜春·期中） 已知，直线上存在点，满足 ，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六　对称与最值问题（共6小题） 【知识积累】 点关于直线对称：对称点与已知点的连线与对称轴垂直，且连线中点在对称轴上，由此列两个方程求解。 点关于点对称：点 关于点 的对称点为 。 直线关于轴对称：把所求直线上任意点 的对称点坐标代入原直线方程，整理即得对称直线方程。 折线最值：把其中一点关于定直线作对称点，折线化为两点间的线段， 的最小值为对称点到另一点的距离； 在三点共线时取到最大值（两点间距离）。 31．（单选题） （25-26高二上·天津西青·期末） 与直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 32．（填空题） （26-27高二上·河北石家庄·阶段检测） 点关于直线对称的点的坐标为__________． 33．（单选题） （25-26高二上·贵州贵阳·期末） 已知直线和，两点，若直线l上存在点C使得最小，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 34．（填空题） （26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测） 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，则顶点的坐标_____________，若为直线：上的动点，则取最大值时的点的坐标为_____________. 35．（单选题） （25-26高二上·江苏扬州·期末） 古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 36．（填空题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于_____． 题型七　综合应用（共6小题） 【知识积累】 坐标法：建系后把平行、垂直、长度相等、面积比例等几何条件翻译成坐标或方程；出现多种对应（等腰直角三角形的直角顶点、梯形的腰）时分类讨论并检验。 等腰直角三角形：三个顶点都可能是直角顶点，逐一设为直角顶点，列“两邻边垂直 + 两邻边相等”。 面积综合：求三角形面积常用“底 × 高”，高由点到直线距离给出；梯形面积 ， 为两平行底的距离。 光线反射：入射光线、反射光线关于界面对称；把已知点关于界面作对称点，用两点间的线段确定反射点或光程。 37．（解答题） （25-26高二上·江苏常州·阶段检测） 已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程. 38．（单选题） （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 已知三条直线的方程分别为，则使这三条直线能围成等腰直角三角形的的个数为（   ） A． B． C． D． 39．（解答题） （25-26高二上·浙江台州·期中） 已知点， (1)求的面积； (2)是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 40．（解答题） （25-26高二上·福建宁德·期中） 已知点分别是两射线和上的点，点. (1)若点是线段的中点，求线段的长. (2)设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 41．（解答题） （25-26高二上·陕西汉中·阶段检测） 在直角坐标系xOy中，直线l：与x，y轴分别交于点A，B，直线与线段AB交于点C，与x轴交于点D. (1)求与l平行且距离为2的直线的方程； (2)若△OCD与△AOB在某种对应方式下相似，求实数t的值； (3)若点满足△MCD为等腰直角三角形，求实数m的值. 42．（解答题） （26-27高二上·重庆渝中·阶段检测） 已知的三个顶点分别为、、 ，直线. (1)一只蚂蚁从 出发，依次触碰边、边后，回到点，求蚂蚁所走路程最小值； (2)若直线等分面积，求直线的方程. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $