重难专题03 数列的插项、取项、剔除项、公共项、奇偶项，取整、分拆问题（八种题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难专题03 数列的插项、取项、剔除项、公共项、奇偶项，取整、分拆问题 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 数列的插项问题 数列的插项问题是在原数列的项与项之间按规则插入新项形成新数列，核心是确定项数关系和分组求和。这类题的关键是搞清楚插入多少项、新数列与原数列的对应关系，然后用分组或并项法求和。 插项问题有以下几类： 1.邻项固定插项：在原数列每相邻两项之间插入固定个数的项，插入后新数列仍可能保持等差或等比性质； 2.变数量插项：在第项与第项之间插入个数或其它变化规律的项数。这类问题需要先统计前组共有多少项，再确定目标项落在哪一组； 3.两数列间插项：在一个数列的项之间插入另一个数列的若干项，形成混合数列，求和时需分别计算原数列和插入数列的和，再合并。 1．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知等差数列的通项公式为，在中每相邻两项之间都插入2个数，组成一个新的等差数列，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【详解】由的通项公式，得首项，公差， 则等差数列的首项，设其公差为， 由于相邻两项之间插入2个数，故，则， 根据等差数列通项公式，， 因此. 2．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（    ） A．402 B．404 C．408 D．412 【答案】C 【分析】分析新数列前50项由共插入多少项，通过分组求和计算前50项和． 【详解】因为，，，，， ，，，，， 由题意前5项共插入项， 则数列的前50项的和 ． 3．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前n项和为，且，.在数列的每相邻两项、之间依次插入、、……、，得到数列：、、、、、、、、、、……，的前22项和为（   ） A．34 B．36 C．37 D．39 【答案】C 【分析】根据题意先求，根据数列的形成规律，分组即可求解. 【详解】由题意有：当时，， 所以， 所以数列： 设，所以， 又，所以， 所以的前22项是由7个1与15个2组成． 所以的前22项的和为：， 故选：C. 4．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 【答案】B 【分析】由题意可得数列的前项和，数列的前项和，利用，可求解. 【详解】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列， 所以数列的前项和为， 数列的通项公式为，所以数列为等比数列， 所以数列的前项和为， 所以 ， ， 当时，. 故选：B. 5．（2023·江西南昌·二模）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（    ） A．4056 B．4096 C．8152 D．8192 【答案】C 【分析】插入组共个，可知前面插入12组数，最后面插入9个，从而可得插入的数之和为，又数列的前13项和，可得 【详解】插入组共个，∵，∴前面插入12组数，最后面插入9个． ， ∵， ∴ ， 又数列的前13项和为 ， 故选：C． 6．（26-27高三上·广西南宁·阶段检测）已知数列的各项是或，，且在第个和第个之间有 个，即，，，，，，，，，，，，，则数列的前项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出第个为数列的第几项，再判断第项在第几组，得到共有多少个和，即可求和． 【详解】第个为数列的第 项． 当时， ； 当时， ． 所以的前项有个和个，因此 ． 7．（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知数列的前项和为，，.若，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前37项和（    ） A．1460 B．1464 C．1468 D．1486 【答案】A 【分析】根据，利用累乘法先求出前项和，再求出数列的通项公式，再根据写出数列的通项公式；结合新的数列与数列的关系，确定数列的前37项，再进行计算. 【详解】因为，则， 由于，，， 将上述多个式子相乘得：， 由于，则， 当时，， 当时，， 由于适用于上式，则； 由于，则， 由于在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列， 又因为 则数列的前37项和， ， . 故选：A. 8．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且.在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列，则的前88项和等于（   ） A．163 B．165 C．167 D．173 【答案】A 【分析】先通过已知条件求出的通项，再分析的插入结构，确定前88项对应的段，最后分为本身、插入部分、剩余项三部分求和得到结果. 【详解】因为，当，， 因为，所以，故.当时，适合上式， 所以； 当时，.. 又因为在数列的每相邻两项，之间依次插入， 得到数列，所以根据数列的定义可知： 数列， 故. 故选：A. 9．（2026·浙江绍兴·模拟预测）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，构造出新的数列．对数列、进行构造，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；依次构造，第次得到的数列的所有项的和记为，令，则（   ） A．第四次得到的数列共项 B． C．数列是等差数列 D．对，以、、为边长不能构成一个三角形 【答案】D 【分析】第次得到的数列的所有项的项数为，求出数列的递推公式，逐项计算可判断A选项；设第次得到的数列的所有项的项为、、、、，结合题意推导出数列的递推公式，可判断B选项；利用构造法求出数列的通项公式，可得出数列的通项公式，结合等差数列的定义可判断C选项；利用三角形三边关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，第次得到的数列的所有项的项数为，则， 设第次得到的数列的所有项的项为、、、、， 然后将相邻两项的和插入这两项所形成的空位中，共个空， 故，即， 因为，则，， ， 故第四次得到的数列共项，A错； 对于B选项，设第次得到的数列的所有项的项为、、、、， 则第次得到的数列的所有项的项为、、、、、、、，且，， 根据题意可得， ， 即，B错； 对于C选项，由题意可知， 由可得，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 因为，故不是常数， 故数列不是等差数列，C错； 对于D选项，由C选项可知，则数列为单调递增数列，且， 因为， 所以，故对，以、、为边长不能构成一个三角形，D对. 10．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）已知等差数列与等比数列的首项均为，公差与公比均为.将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，，，…，其中与之间插入项中的项，该新数列记作，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意计算对应的位置，再确定对应的中的项的下标，结合等比数列的通项公式即可求解. 【详解】等差数列首项为1、公差为2，故， 等比数列首项为1、公比为2，故 ， 因为与之间插入项， 所以数列前个间隔插入数列的总项数为， 令，有，即，，即 ​， 因此第184到210项全部为中的项， 又因为，， 所以对应的下标为， 因此. 11．（2026·安徽淮北·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则______；______ 【答案】 ； 【详解】； 次扩充后得到，则，； 次扩充后得到，则，； 次扩充后得到，则，； 12．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）在两个实数之间插入这两个数的和，得到数列，在数列的每相邻两个数之间插入这相邻两个数的和，得到数列，用同样的方式依次构造数列，若数列 中所有各项的和为则________. 【答案】2 【分析】设数列 中所有各项的和为 ，根据相邻两项之间插入两项之和的构造规则，建立 与 的关系，再利用等比数列求 ． 【详解】设数列 中所有各项的和为 ． 由构造过程可知，数列 的首项、末项始终分别为 ，． 设数列 的各项依次为 ，则 ，． 由题意，从 构造 时，新插入各项的和为 所以 于是 又因为 ，所以 当时，，由上述递推可得,与题设矛盾. 故，因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 从而 当 时，由 ，得 整理得，所以 ． 13．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）在一个数列的每相邻两项之间插入它们的等差中项，整个数列按照原来的顺序得到一个新数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．下面对数列1，3，7按照上述方法进行“扩展”，第1次“扩展”后得到数列1，2，3，5，7，第2次“扩展”后得到数列1，，2，，3，4，5，6，7．设第次“扩展”后得到的数列项数为，所有项的和为，记为不超过的最大整数，则______． 【答案】2029 【分析】先列出数列和数列的递推关系，然后根据构造法求出与的通项公式，最后根据对数的运算性质即可求解. 【详解】初始数列（0次扩展）项数为，每次扩展时，在原数列的每相邻2项之间插入1个新数： 第次扩展后项数为，则相邻项共对，第次扩展新增项， 因此递推关系为： ， 初始条件，构造等比数列：， 可得，即： . 设第次扩展的和为，第次扩展时，每对相邻项插入等差中项， 所有新增项的和为全部相邻项和的： 原数列首尾两项固定为1和7，所有相邻项总和， 因此新增项和为， 递推关系为：， 初始条件，构造等比数列：， 可得，即： . 代入： ， 显然，因此， 取不超过该值的最大整数得结果为. 14．（2026高三·全国·专题练习）等差数列的前项和为，，，对每一个，在与之间插入个1，得到新数列，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)是数列的第几项； (3)是否存在正整数，使若不存在，请说明理由；若存在，求出的值． 【答案】(1)；(2)1034；(3)存在，1876 【详解】（1）设的公差为， ，， ，，． （2）依题意，在之前插入的1的总个数为， ，故是数列的第项． （3）依题意，， 之前插入的1的总个数为， 故数列中，项及前面的所有项的和为， ∴数列中，及前面的所有项的和为， 而，与之间的1的个数为个， 即在后加842个1，其和为2008，故存在，使． 15．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知数列是等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【详解】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得， 解得，所以． （2）由（1）知，代入得， 则数列的前项和为 ， 因为，所以，从而，故； 又因为随着的增大而增大，当时，，所以， 综上，得证． （3）在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为， 由等差数列通项公式知， 将代入得，解得，从而， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 用①式减去②式得， 将代入， 得， 两边同乘2得，故数列前项的和． 16．（2026·四川达州·二模）已知数列为等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)在数列的相邻两项与之间插入个1（）后，构成一个新数列，数列的前项和记为，求. 【答案】(1)；(2)609 【分析】（1）列出关于的方程组，然后根据等差数列的通项公式即可求解； （2）首先求出到原数列第项为止插入的总项数，令得出，即得出插入510个1，然后利用分组求和即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由得： ，，解得，， 故通项公式为 . （2）根据题意，在和之间插入个，设到原数列的第项为止， 则新数列的总项数， 令，代入验证得时，，刚好满足， 即包含原数列前9项和所有插入的1： 插入1的总个数为，插入部分和为， 原数列前9项和：， 因此： . 17．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）设是公差不为零的等差数列，满足，设正项数列的前项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；；在和之间插入个数，使成等差数列，设，求和； (3)对于（2）中求得的，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，；(2)；(3)存在，及. 【分析】（1）设数列的公差为，利用等差数列的通项公式求出，从而，再由，当时，，推导出是首项为，公比为的等比数列，由此能求出. （2）在和之间插入个数，推导出，从而得到，进而得到，由此利用错位相减法能求出. （3），代入计算，再证明当时，，由此能求出所有的正整数对. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由，得； 由①,当时，②, ①-②，得， 又, 是首项为，公比为的等比数列， . （2）在和之间插入个数，成等差数列，设公差为 ， 则 ， ① 则②, ①-②得 . （3）假设存在正整数m，n，使成立， ， 当时，，当时，， 当时，， 下证，当时，有，即证， 设，则 在上单调递增，故时，， ，时，不是整数， 所有的正整数对为及. 18．（26-27高三上·天津西青·阶段检测）已知是等差数列，其前项和为，，．是各项均为正数的等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设，求数列的前项和； (3)在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和． 【答案】(1)，；(2)；(3) 【分析】（1）根据等差数列前n项和公式、通项公式，结合等比数列的通项公式进行求解即可； （2）利用裂项相消法和等差数列前n项和公式分类讨论进行求解即可； （3）易得中截至共有项，再由时，有2016项，然后由 进行求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，各项均为正数的等比数列的公比为. 因为是等差数列， 所以由． 因为是各项均为正数的等比数列， 所以由， 因为，所以； （2）由（1），可得， 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 设数列的前项和为， 所以，， 当为奇数时，， ， 当为偶数时，， ， 所以； （3）， 截至共有项， 当时，， .、 19．（25-26高三上·天津和平·阶段检测）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，. (1)求； (2)已知，求数列的前项和； (3)数列的前项和为，对于数列，，在和之间插入数列的前项，组成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解即可； （2）当是奇数时，，利用错位相减法求出前项中的奇数项的和；当是偶数时，，利用裂项相消法求出前项中的偶数项的和； （3）由求出，分别计算的表达式以及数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，得，所以， 由，，得， 所以，，故，所以. ，， ； （2）当是奇数时，， 当是偶数时，， 则① ② ①-②得： 即 化简得：. 所以. （3），， ，， 可得， 设， ， 相减可得， 则. 题型02 数列的取项问题 数列的取项问题主要是从原数列中按规则抽出部分项，组成一个新数列（子数列），再求这个子数列的项、通项或判断它是否为等差或等比数列。这类题的关键是找准“取项规律”和“项数对应关系”。 常见题型： 1.按位置取项；2.按规则逐次取项。 20．（多选）（25-26高三上·湖北·期中）数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，可求出，由可得，两式相减可得，从而得到的奇数项和偶数项均为等差数列，由等差数列的通项公式可判断A；分别对的奇数项和偶数项求和可判断B（或相邻两项求和也可）；由古典概型的概率计算公式可判断C（或直接计算也可）；由数列放缩可判断D. 【分析】对于A，当时，，又，， 又，，， 的奇数项所成的数列是首项为，公差为的等差数列，偶数项所成的数列是首项为4，公差为2的等差数列， ，故A正确； 对于B，， 故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，当，时，，又，，故D正确. 故选：ACD. 21．（多选）（2026·河北张家口·一模）若数列的前n项和为，且，在数列的前（）项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定的递推关系求出通项，再按为奇数、偶数分类求出并逐项求解判断. 【详解】数列中，，当时，，则， 而，解得， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，， 当时，数列的前项中，有个正数，个负数， 任取两项都是正数的概率为， 当时，数列的前项中，有个正数，个负数， 任取两项都是正数的概率为， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，，D错误. 22．（多选）（25-26高二下·山东日照·期中）已知数列的通项公式为，，将按从小到大的顺序排列起来构成数列，.数列中落在区间内项的个数记为数列，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于选项A，直接枚举满足条件的最小几项和并按升序排列.对于选项B，在给定区间内固定最大指数，通过枚举较小指数的可能组合并分类计数，得到区间内项数.对于选项C，先用2的幂表达，再求即可.对于选项D，利用区间端点均为2的幂的性质，确定区间内所有组合必以区间右端点的指数为最大指数，进而利用组合数与裂项相消法求和. 【详解】因为，， 而． 对于选项A，依次列举较小的的值，， ，故A正确； 对于选项B，，从中找落在内的项， 当时，共4种情况； 当时，共3种情况； 当时，共2种情况； 当时，共1种情况； 所以种情况，故B正确； 对于选项C，，中在前面的有 当，恰好是从中选3个不同的数组合，共个； 当，，恰好是从中选2个不同的数组合，个； 当，，有，共2个； 3种情况共个，则是第个，即，C错误. 对于选项D，表示从中找落在内的项数． 当时，共种情况； 当时，共种情况； ．．．．．． 当时，共1种情况； 所以，故 所以，故D正确． 23．（26-27高三上·山东日照·开学考试）已知数列的前项和为，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用等差数列中项性质得到与的关系式，结合构造等比数列求解通项； （2）先推导、的表达式，通过等比数列求和公式化简不等式，结合数列单调性求得最小正整数. 【详解】（1）由，，成等差数列，根据等差数列中项性质得： ， 化简得 ，①. 当时，，解得. 当时， ②. ①②得：，整理得，即. 又，故是首项为，公比为的等比数列. 因此，即. （2）由（1）得，代入的表达式得： ， 由题意，为的第项，故. 所以 ， 由等比数列前项和公式可得：， 故. 令，设，，则： ， 故为递增数列. 又，， 故满足不等式的最小正整数. 题型03 数列的剔除项问题 数列的剔除项问题主要是“先识别、再剔除、后求和”，也就是先弄清原数列的通项和被剔除项的位置规律，再用“原数列和减去被剔除项和”来求新数列的和。常见题型： 1.剔除特定位置的项；2.剔除与另一数列相同的项（公共项）；3.循环变换型剔除。 24．（26-27高三上·上海长宁·阶段检测）将数列 中随机剔除两项 、 (其中 ， i、 )，然后在原数列中添加一项 叫做数列 的一次变换，那么数列1、 、 、 、 、 经过2025次变换后数列中还剩下的一项为（    ） A．2025 B．2027 C．2024 D．2026 【答案】D 【分析】令，，易得与一一对应，对于的一次变换，相应对做如下变换：剔除与中剔除两项对应的，并添加，可得对做一次变换相当于将中两项相乘，据此可得答案. 【详解】令，，易得与一一对应，对于的一次变换：随机剔除，并添加， 考虑对做如下变换：剔除与对应的，并添加， 注意到， 则对做一次与变换对应的变换，相当于随机剔除中两项，并在中添加剔除两项的乘积. 又易得：，即对做2025次变换后数列中剩下， 结合，则经过题设描述变换次后剩下2026 【点睛】本题关键为构造与原数列一一对应的数列，并构造相应变换，将复杂的变换过程转化为变化较少的两数相乘. 25．（多选）（26-27高三上·辽宁·阶段检测）在等差数列中，，．记为数列的前项和，且．从数列中去掉与数列中相同的项后，按从小到大的顺序排列组成新数列，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D．当是3的倍数时，被6整除的余数为0或1 【答案】BCD 【分析】对于ABC选项，利用等差等比数列的通项公式结合退步作差法与前项和公式依次验证即可，对于D选项，先求出两数列的通项公式并找出其公共项，利用“原数列和减去公共项和”的方法求出新数列的和，最后运用二项式定理展开并结合奇偶性分类讨论来求解最终的整除余数问题. 【详解】对于A选项，由等差数列的性质可知，，解得，故A选项错误； 对于B选项，由，得， 两式相减得，所以， 则，当时，，即，解得， 则，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，则，所以，故B选项正确； 对于C选项，设等差数列的公差为，则有，解得， 则的通项公式为，则，又，， ， 所以，故C选项正确； 对于D选项，因为，所以前项中包含了前项， 剩余项数为， 所以 有， 其中， 显然除了外其余各项都能被整除，故整体记为(为整数)， 同理， 除了最后一项外其余各项都能被整除，整体记为(为整数)， 则有， 即， 因为是的倍数，则也是的倍数， ，因为不影响整除性，所以是3的倍数， 若为偶数，，代入可得， 因为是的倍数，所以是的倍数，结合为偶数，此时必然是的倍数， 此时被6整除的余数为， 若为奇数，，代入可得， 因为是的倍数，所以(为正整数)， 由于为奇数，则为奇数，则为奇数，设(为非负整数)， 代入得，解得，此时被6整除的余数为， 综上， 当是3的倍数时，被6整除的余数为或，故D项正确. 26．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3) 【分析】（1）利用等差数列的定义证明； （2）数列中奇数项与偶数项分别构成等差数列，根据等差数列前项和公式计算求解； （3）结合（2）利用通项列举出两个数列相同的项，即可计算求解数列的前20项中余下项的和. 【详解】（1）数列满足，， 设，则， 有， 所以 ， 所以数列是首项为3，公差为3的等差数列，即数列为等差数列； （2）由（1）可知，， 设，同理可证数列是首项为12，公差为9的等差数列，即， 当时，前项包含个奇数项和个偶数项； 所以， 将代入可得， 当时， ， 将代入可得， 所以； （3）由（2）可知，列举出数列的前20项为： 奇数项：， 偶数项：， 相同的项为：， 数列的前20项中余下项的和为. 题型04 数列的分拆问题 数列的分拆问题主要是把通项拆成“能分别求和”的几部分，再合并结果。 常见题型：1.拆项分组；2.裂项相消；3.整数与分数分离。 解题步骤：1.观察通项结构；2.选择对应方法；3.注意系数调整；4.检查剩余项。 27．（26-27高三上·河北·开学考试）已知数列（，），其中，且，，成等差数列，公差为（，，）．若将数列中的项分成五组：，，，，，每组的两个数之和构成一个等比数列，则（    ） A．18 B．30 C．32 D．36 【答案】B 【分析】根据题意表示出数列中的项，并计算分成五组的和，解出等比数列的公比，使用基本量求解. 【详解】时，成等差数列，公差，，，， 时，成等差数列，公差，，， 时，成等差数列，公差，，， 设五组的和依次为， ，，，， ， 成等比数列，则，即，解得， 所以，则公比为，由五组构成等比数列得 ，，，， 解得. 28．（17-18高二上·江西赣州·阶段检测）已知数列：，即此数列第一项是，接下来两项是，再接下来三项是，依此类推，……，设是此数列的前项的和，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将数列分组，可得每一组的项以及项数，利用分组求和以及等差数列和等比数列的求和公式计算即可． 【详解】将数列分组：第一组有一项；第二组有二项；第组有项，前项组共有， ， 故选：A． 29．（21-22高二下·广东佛山·阶段检测）将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列：（1），（3，5）（7，9，11，13），（15，17，19，21，23，25，27，29），…，则以下结论中错误的是（    ） A．第10个括号内的第一个数为1023 B．2021在第11个括号内 C．前10个括号内一共有1023个数 D．第10个括号内的数字之和 【答案】B 【分析】先判断出第n个括号有个数，求出前9个括号共有511个数，则第10个括号内的第一个数为数列的第512项，即可判断A选项；由等比数列求和公式即可判断C选项；结合A、C选项即可判断B选项；由等差数列求和公式即可判断D选项. 【详解】由题意，第n个括号有个数，前9个括号内共有个数， 所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项，所以第10个括号内的第一个数为，故A正确： 前10个括号内共有个数，故C正确： 令，得，所以2021为数列的第1011项，由上面选项A、C分析可得，2021在第10个括号内，故B错误； 因为第10个括号内的第一个数为，最后一个数为， 所以第10个括号内的数字之和，故D正确． 故选：B． 30．（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知一个数列共有8项，分别为：1，3，5，7，9，11，13，15，将这8个数分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为4且公差为的等差数列，则的值不可能是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】AC 【分析】根据原数列的和与新数列的和相等，得出新数列的首项与公差的关系，再将各选项的值代入检验判断. 【详解】原数列各项和为. 设新数列首项为，公差为，项数为4， 所以新数列的各项和为， 化简得. 因为原数列各项均为奇数，所以每组的2个数之和一定是偶数，所以必为偶数. 将各选项代入逐一验证： 若 ，，不可能，故选项A正确； 若 ，，满足题意，故选项B错误； 若，，不可能，故选项C正确； 若，，满足题意，故选项D错误. 31．（多选）（2026·广东广州·模拟预测）某果园有若干棵树苗，按地势排成行，将第行树苗棵数记为，其中，，，是一个首项为的等差数列，且，，；记．将，，，分为组，每组个数，使得每组的个数之和可构成一个项数为且公差为的等差数列，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】AD 【分析】先求出前9项等差数列的通项，计算总棵数，再结合分组和构成等差数列的性质推导公差和首项的可能值，逐项判断选项. 【详解】对于选项A，前9项是首项的等差数列，， 设前9项公差为，则，解得公差， 故，所以，故A正确； 对于选项B，前9项和，后3项和， 所以，故B错误； 对于选项C，6个组的和的总和为，对，前6项和，得. 因所有均为奇数，两奇数和为偶数，故所有都是偶数，因此为偶数. 若，代入得为奇数，不符合要求，故C错误； 对于选项D，由，为正偶数，且为偶数. 当时，；当时，； 当时，小于最小两数和，不可能.所以或，故D正确. 32．（多选）（23-24高二下·重庆·开学考试）已知数列：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，…，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则（    ） A． B． C．存在正整数m，使得，，成等比数列 D．有且仅有3个不同的正整数，使得 【答案】ABD 【分析】由题意将数列分组，第一组：1；第二组：1,2；第三组：1,3,5；以此类推，第n组：.则每组数构成首项为1，公差为的等差数列，且项数为n.结合等差数列的通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可. 【详解】将数列分组，第一组：1；第二组：1,2；第三组：1,3,5；以此类推， 第n组：， 则每组数构成首项为1，公差为的等差数列，且项数为n. A：由，知为数列的第六组数中的第5项，故A正确； B：由，知为数列的第n组数中的第n项， 此时该组数据是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，故B正确； C：为数列中的连续3项： ①若为数列中第组的连续3项，当成等比数列时， 为常数列，不符合题意，所以成等差数列； 若为数列中第组和第组的3项， ②当在第组，在第组，此时，不成等差和等比数列； ③当在第组，在第组，此时，不成等差和等比数列， 综上，不成等比数列，故C错误； D：由选项C的分析知，当为情况①中的3项，设为第组的项， 则，解得，不符合题意； 当为情况②中的3项，则在第组，在第组， 此时，，所以， 解得，又，所以k无解，不符合题意； 当为情况③中的3项，则在第组，在第组时，， 得，解得，符合题意. 即分别为第十组的第9、第10项，即， 有，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题综合考查了数列的相关知识，解答时要明确数列的项的规律，进而分组.本题将数列分组后，每组数构成首项为1，公差为的等差数列，且项数为n，利用等差数列的通项公式计算是解题的关键. 33．（多选）（25-26高二下·山东日照·期中）已知数列的通项公式为，，将按从小到大的顺序排列起来构成数列，.数列中落在区间内项的个数记为数列，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于选项A，直接枚举满足条件的最小几项和并按升序排列.对于选项B，在给定区间内固定最大指数，通过枚举较小指数的可能组合并分类计数，得到区间内项数.对于选项C，先用2的幂表达，再求即可.对于选项D，利用区间端点均为2的幂的性质，确定区间内所有组合必以区间右端点的指数为最大指数，进而利用组合数与裂项相消法求和. 【详解】因为，， 而． 对于选项A，依次列举较小的的值，， ，故A正确； 对于选项B，，从中找落在内的项， 当时，共4种情况； 当时，共3种情况； 当时，共2种情况； 当时，共1种情况； 所以种情况，故B正确； 对于选项C，，中在前面的有 当，恰好是从中选3个不同的数组合，共个； 当，，恰好是从中选2个不同的数组合，个； 当，，有，共2个； 3种情况共个，则是第个，即，C错误. 对于选项D，表示从中找落在内的项数． 当时，共种情况； 当时，共种情况； ．．．．．． 当时，共1种情况； 所以，故 所以，故D正确． 题型05 数列的公共项问题 数列的公共项问题主要找出两个数列里相同的项，再把它们从小到大的顺序排成新数列。最常考的是两个等差数列的公共项。往往找两个等差数列公差的最大公约数。 34．（2026·陕西·三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，《孙子算经》中“物不知数”问题的解法符合关于同余式解法的一般性定理，因而也称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：在1到2026这2026个数中，取能被4除余3且被6除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列的项数为_________． 【答案】169 【分析】由能被4除余3且被6除余3的数就是能被12整除余3的数，运用等差数列的通项公式，以及解不等式即可得到所求的项数. 【详解】题目要求数满足两个条件：被4除余3、被6除余3，即该数减去3之后，既能被4整除，也能被6整除. 即为4和6的最小公倍数12的倍数， 因此所有符合要求的数都可以表示为， 显然数列为等差数列，且首项为3，公差为12. 由，则，解得 . 由于是正整数，的取值为，总共有169项. 35．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，将数列与的公共项从小到大排列得到新数列，则________． 【答案】 【分析】数列表示所有正奇数，分是奇数和偶数分析数列中项的奇偶性. 【详解】已知，数列的项为正奇数， 当为奇数时，设，则是偶数，则数列与没有公共项； 当为偶数时，设，则是奇数，符合要求，则数列与的公共项就是， 即， 故. 36．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大依次排列得到数列，为数列的前项和，则________． 【答案】 【分析】根据题意得出数列以及数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，最后利用错位相减法即可求解. 【详解】已知数列的前项和， 当时，； 当时，，当时也满足， 因此数列的通项公式为， 则数列是偶数数列：，数列为， 因此数列和数列的公共项为，即数列的通项公式为， 则数列的通项公式为， 则，， 两式相减得， 故. 题型06 数列的取整问题 数列的取整问题主要是把取整符号通过放缩“卡”在两个相邻整数之间，从而把递推式化为普通递推来求通项或求和。解题关键是找到长度为1的整数区间，再利用取整函数的性质完成转化。 37．（25-26高二上·青海海东·期末）已知表示不超过的最大整数，数列满足，，则（   ） A．36 B．34 C．38 D．32 【答案】C 【分析】由递推关系及等比数列的定义得到，结合题设新定义求目标式的值. 【详解】由，则，而， 所以是常数列，即，则， 所以，，，， ，， ，， 故，，， ，， 所以. 故选：C 38．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）设为不超过的最大整数，若数列的通项公式为，记的前项和为，则使得的最大正整数的值为（    ） A．42 B． C． D． 【答案】A 【分析】由定义令，解出对应的区间，每一个对应连续项，分段求和：算出到对应的项数与累加和，得到，进而时列不等式，求出m的最大值即可求解. 【详解】已知是不超过的最大整数，设（为整数）， 则.变形得，即. 因为是正整数，所以的整数取值为， 所以对，满足的正整数共有个，每个项的值为，该组的和为. 则时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时， 设，解得，即最大取. 此时，； 若，，不符合要求. 因此使得的最大正整数为，则选项A正确. 39．（2025·江西萍乡·二模）已知数列满足，，，其中表示不超过的最大整数．若，则（   ） A．44 B．45 C．46 D．47 【答案】B 【分析】通过取整函数的性质化简递推关系，再根据隔项成等差分别求出奇偶项的通项公式， 最后分情况代入条件列方程求解. 【详解】设 ，当 时， 当 时，， 当 时，. ，由 及 ，两式相减得：， 又 ，由 得 ， 当 为奇数时，设 ，则， 当 为偶数时，设 ，则， 由题设 ， 若 为奇数，则 ，， ， 若 为偶数，则 ，， ，无整数解， . 40．（25-26高二上·安徽安庆·期末）无穷数列满足，有且仅有100个正整数，使得.记是不大于实数的最大整数，则的值为（   ） A． B．100 C． D． 【答案】A 【分析】利用裂项相消法求和推得，利用数列递推式推得是等差数列，求得通项，然后化简不等式，即可作出判断. 【详解】由可得：， 则，即（*）. 又由可得，所以数列是等差数列，公差为，则， 即，且，即， 则由（*）得，即，也即. 当时，不等式对任意正整数恒成立，不满足题意，则， 由于有且仅有100个正整数，使得， 由可得，则，即，故. 41．（25-26高二上·浙江温州·期末）无穷数列满足，有且仅有2025个正整数，使得，记是不大于实数的最大整数，则的值为（   ） A． B． C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】利用裂项法来求和，利用构造等差数列来求通项，然后化简不等式，即可作出判断. 【详解】由可得：， 再由可得：， 所以是等差数列，公差为，即， 所以，且，即, 则原不等式，可化为， 整理得：， 当时，不等式对任意正整数恒成立，不满足题意，则， 由于有且仅有2025个正整数，使得， 则，即,又因为, 所以. 故选：C 42．（25-26高三·全国·一轮复习）已知表示不超过的最大整数（例如），数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．对任意，恒成立 D．存在， 【答案】C 【分析】先由递推式求出、，判断A、B的关键起点．再证明始终在合适范围内，从而恒成立，把含取整的递推式化为普通递推式，进而判断C．最后利用递推式比较与的大小，判断D． 【详解】由，得所以． 故选项A不正确． 由，得 下面证明数列单调递增． 先证明对任意正整数，都有 当时，，结论成立． 假设． 因为，所以从而，于是 又因为当时，函数单调递增，且，所以 由数学归纳法可知，对任意正整数，都有． 因此恒成立，即 由上式可得即 所以C正确． 因为，且， 由可知，所以，即数列单调递增． 故． 所以选项B不正确． 同时，不存在正整数使，故选项D不正确． 43．（25-26高三·全国·一轮复习）已知表示不超过的最大整数（例如），数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．对任意，恒成立 D．存在， 【答案】C 【分析】先由递推式求出、，判断A、B的关键起点．再证明始终在合适范围内，从而恒成立，把含取整的递推式化为普通递推式，进而判断C．最后利用递推式比较与的大小，判断D． 【详解】由，得所以． 故选项A不正确． 由，得 下面证明数列单调递增． 先证明对任意正整数，都有 当时，，结论成立． 假设． 因为，所以从而，于是 又因为当时，函数单调递增，且，所以 由数学归纳法可知，对任意正整数，都有． 因此恒成立，即 由上式可得即 所以C正确． 因为，且， 由可知，所以，即数列单调递增． 故． 所以选项B不正确． 同时，不存在正整数使，故选项D不正确． 44．（2026·湖北襄阳·模拟预测）记表示不超过的最大整数，已知数列满足，且，数列满足，记为数列的前项和，则_____________． 【答案】2023 【分析】分析得出，利用累加法求出数列的通项公式，可化简数列的表达式，求出，结合题中定义求得. 【详解】因为数列满足，且，则， 当且时， ， 也满足， 故对任意的，，故， ， 当时，，则，所以， 此时，， 所以， ， ，所以. 45．（26-27高三上·山东江苏·阶段检测）设数列满足，，，记为不超过实数的最大整数，则______． 【答案】1023 【分析】根据已知关系式可得，知数列为递增数列；采用裂项相消法可求得，知，由数列单调性可求得，由此可推导得到，最后结合取整函数定义求得结果即可. 【详解】因为，所以， 可得， 化简得，而， 由题意得， 而， 可得， 而，则， 得到数列是单调递增数列，且， 因为，所以，得到，可得， 而记为不超过实数的最大整数，故. 46．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列满足，且，记，则的值为_________.（其中[]为不超过实数的最大整数，如[]=1） 【答案】18 【分析】由题意，分类讨论即可得到，通过放缩得到即可得解. 【详解】因为， 所以，，又， 所以，， 所以当时，， 当时，， 综上所述，，， 注意到， 当时，， 所以 ， 故. 故答案为：18. 47．（26-27高三上·山东江苏·阶段检测）设数列满足，，，记为不超过实数的最大整数，则______． 【答案】1023 【分析】根据已知关系式可得，知数列为递增数列；采用裂项相消法可求得，知，由数列单调性可求得，由此可推导得到，最后结合取整函数定义求得结果即可. 【详解】因为，所以， 可得， 化简得，而， 由题意得， 而， 可得， 而，则， 得到数列是单调递增数列，且， 因为，所以，得到，可得， 而记为不超过实数的最大整数，故. 48．（2027高三·全国·专题练习）已知数列满足，则_________． 设，其中[x]表示不超过x的最大整数，为数列的前n项和，若，则n的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据递推关系可得是以3为首项，4为公比的等比数列，利用累加法求出通项，据此求出，再化简可得，利用裂项相消法求解. 【详解】 ，而, 是以3为首项，4为公比的等比数列， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，，． 49．（2026·安徽合肥·模拟预测）设数列，满足，，记，则m的整数部分是________. 【答案】1 【分析】先判断数列的单调性，然后利用裂项相消法、结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】，，知. 由，且，知数列单调递增， 由，知， 得，所以， ， 由数列单调递增，，，得，， 得到，， 则的整数部分为1. 题型07 数列的奇偶项问题 数列的奇偶项问题主要是把原数列拆成奇数项子列和偶数项子列，分别找规律再合并求解。遇到下标奇偶不同、递推式含或递推跨度为2时，优先按奇偶分类处理。 50．（多选）（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）记为数列的前项和，已知，则下列选项正确的是（    ） A．2026是数列中的项 B．数列是公比为4的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 【答案】ABD 【分析】利用数列的通项公式，验证判断A；求出奇数项数列的公比判断B；求出前5项和判断C；利用裂项相消求和判断D. 【详解】 对于A，当为奇数时，由，得，无解；当为偶数时，由，得，符合题意，A正确； 对于B，，，则公比，是公比为4的等比数列，B正确； 对于C，，，，，，则，C错误； 对于D，，则， 前项和，D正确. 51．（多选）（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）已知是数列的前n项和，，，则（    ）． A．是递增数列 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知，得，可得是递增数列，判断A；根据递推公式分n为奇数时，n为偶数时的数列为等差数列，计算即可判断BC；由前面分析，对奇偶项分组求和可判断D. 【详解】对于A，由数列递推式，无论为奇数，还是偶数，都有成立，故是递增数列，A正确； 对于B，若n为奇数，则是偶数，是奇数， 所以，，即， 则数列的奇数项构成首项为、公差为3的等差数列， 故，B正确； 对于C，若n为偶数，则是奇数，是偶数， 所以，，即， 则数列的偶数项构成首项为、公差为3的等差数列， 故，C错误； 对于D，由前面分析得 ，D正确． 故选：ABD 52．（多选）（2026·安徽六安·模拟预测）已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分析数列中项的规律：奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，通过等差、等比数列的通项公式及分组求和法、等差等比公式求和法可逐一判断. 【详解】因为， 所以当为奇数时，， 即数列的奇数项按先后顺序构成首项为，公差为1的等差数列， 记为数列，则； 当为偶数时，，且， 即数列的偶数项按先后顺序构成首项为，公比为2的等比数列， 记为数列，则. 对于A，因为，，所以是数列的第3项，是数列的第3项， 所以，，所以，故A正确. 对于C，当，时，，，所以； 当，时，，，所以； 综上，，故C正确. 对于B， ，故B错误. 对于D， ，，故D正确. 53．（多选）（25-26高二下·四川泸州·期中）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 【答案】ACD 【分析】利用所给数列关系式计算可得A；得到与的关系后，利用累加法计算即可得B；得到与及与的关系可得C；并项求和结合等差数列求和公式可得D. 【详解】对于A，由题意可得，， ，，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故B错误； 对于C，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故C正确； 对于D，设数列的前项的和为， 则 ，故D正确. 54．（多选）（2026·河南·三模）已知数列满足，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先分析数列中项的规律：奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，通过等差、等比数列的通项公式及分组求和可逐一判断. 【详解】因为， 所以当为奇数时，， 即数列的奇数项按先后顺序构成首项为，公差为1的等差数列， 记为数列，则； 当为偶数时，，且， 即数列的偶数项按先后顺序构成首项为，公比为2的等比数列， 记为数列，则. 对于A，因为，所以是数列的第3项， 是数列的第3项，所以，，所以，故A正确. 对于B，当时，，，所以； 当时，，，所以， 综上，，故B正确. 对于C， ， 故C正确. 对于D，由C知， 所以， 故D错误. 55．（多选）（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知数列满足若，数列和的前项和分别为和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先由分段递推关系推出奇数项子列 、偶数项子列 的递推式，通过构造等比数列分别求出 通项，再依次代入验证 A、B 选项；接着利用等比求和分别求出 前 项和 、 前 项和 ，由 得到偶数项总前 项和公式，代入 验证 C，代入 验证 D，最终判定 A、C正确，B、D 错误. 【详解】选项A：，可得，整理可得，可得数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以，可得，所以，故选项A正确； 选项B：，可得，整理可得，可得数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以，可得，所以，故选项B不正确； 选项C：，计算可得，可得，故选项C正确； 选项D：设数列的前项和为， ， 可得，故选项D错误； 56．（2026·山东济南·模拟预测）已知数列满足，记为的前项积，若，则的最大值为______． 【答案】 【分析】分为奇数与为偶数两种情况化简，再根据指数的运算性质求出关于的表达式，进而结合不等式求解即可得到的最大值． 【详解】当为奇数时，则，则， 当为偶数时，则， 所以的前项积为 ， 即，即，解得， 所以的最大值为． 57．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）已知为数列的前项和，且，，则__________． 【答案】 【分析】解法一：由递推关系，构造新的等比数列，得到数列的通项公式，从而求该数列的前项和.解法二：由结合并项求和法以及等比数列的求和公式即可求出的值. 【详解】解法一：，则， 令，有， 又，， 数列是一个首项为，公比为的等比数列， ，所以， . 解法二：因为，， 所以，数列的前项和为 . 58．（2026·河南·模拟预测）为数列的前项和，满足，则________；________． 【答案】 【分析】根据得到，分为为奇数和为偶数两种情况，即可求出，即可求解. 【详解】因为， 当时，， 两式相减得，即， 当为奇数时，可化为， 即的偶数项均为， 当为偶数时，可化为， 因为，所以， 即的奇数项均为， 所以，. 59．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知为等差数列，定义数列满足：，记为数列的前项和，已知，且，则__________． 【答案】 【分析】根据等差数列下标和性质求出数列的通项公式，再结合等差数列求和公式以及分组求和即可. 【详解】因为为等差数列，所以，得， 则， 得， 故数列的公差为， 故， 故 60．（2026·浙江·模拟预测）已知数列的前项和，若，，使得，则实数的最小值为_________． 【答案】 【分析】求出数列的通项公式，找出数列的项最大值、最小值，根据题意可得不小于最大最小值之差可得解. 【详解】当时，， 当时，， 经检验，当时也适合. 所以 即奇数项递减趋向，偶数项递增趋向， 所以数列的最大值为，最小值为，数列中的项都在区间内， 由题意：存在，全部落在区间，则区间长度至少等于最大值与最小值的差， 所以. 61．（2026·北京·三模）数列满足，则以下说法正确的是________． ①若，，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则，，有． 【答案】①②③ 【详解】对于①，若，则， 则，，，，， 代入，依次求解得，， ，，，故①正确； 对于②，若，则， 则，得， ，得， ，得， ，得， 则，故②正确. 对于③，若，， 当为偶数时，，得， ，得， ，得， ，得， 所以，所以，即， 由于，，，得， 所以，故③正确； 对于④，若，， 当为奇数时，，，两式相减得， 即，取，则，，即奇数项为或， 当为偶数时，，，两式相加得， 即， 取，则， ，，即偶数项单调递增且， 因此，当时，数列各项与3的距离的最小值为1，故可取，此时对任意，均有， 所以不存在m满足，故④错误； 综上所述，说法正确的是①②③. 62．（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足求数列的前2n项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时 ∴当时， 又 是等比数列， （2）奇数项共n项，是首项为2，公比为9的等比数列 ， 偶数项共n项，是首项为5，公差为6的等差数列， ， . 63．（26-27高三上·四川·阶段检测）体育课上，小张，小李，小王三位同学相互传球，最初球在小张，小李，小王手中的概率分别为，，，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人． (1)求第二次传球后，球在小张手中的概率； (2)求第次传球后，球在小张手中的概率； (3)在前次传球过程中，球在小张手中的次数记为（不含初始情况），求，并证明：． 参考公式：若，是两随机变量，则有 【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析 【分析】（1）根据独立事件乘法公式计算； （2）根据题意求得与的等量关系，进而用待定系数法构造等比数列，利用等比数列性质表示出； （3）根据题意利用上一问的通项公式求得，对分类讨论可求得最值 【详解】（1）第二次传球后，球在小张手中的概率为； （2）记事件：第次传球后球在小李手中，记事件：第次传球后球在小王手中， 则， 设，解得，所以，， 所以数列是公比为的等比数列，首项为， 因此； 令，则， 所以， 由等比数列求和公式得，， 若为奇数，，随增加而减小，故； 若为偶数，，随增加而增加，故； 综上所述， 64．（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当为奇数，且，为偶数时，依题意得：，     因为也满足，     所以为奇数时，；     当为偶数时，为奇数时，；     所以 （2）为偶数时，      ，         为奇数时， ；     65．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和； (3)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系可求出数列的通项公式； （2）由（1）知，得为奇数时，，当为偶数时，，，令，，通过错位相减法分别求得即得； （3）由（1）知，通过放缩法结合裂项求和即可得证. 【详解】（1）当时，， 而满足上式， 所以. （2）当为奇数时，，当为偶数时，， 所以， 令， 则， ， 两式相减，得 ， 故. 而， ， 两式相减，得， 故， 故. （3）证明：由题知 ， 所以 ，即命题得证. 题型08 数列的存在项问题 数列的存在项问题主要是“先假设存在，再转化为方程或不等式有正整数解的问题”，最后通过范围压缩或单调性来验证或排除。 66．（2025·湖南·三模）已知，，是公差为的等差数列，，，，是公比为的等比数列，如果，且，那么的最小值是______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等差数列、等比数列的通项，结合不等式性质求出的最小值. 【详解】依题意，， 则，即，而，因此， 当时，取，不等式成立， 所以的最小值是. 故答案为： 67．（26-27高三上·北京房山·开学考试）设等差数列的前项和为，已知，当且仅当时，取得最大值，写出满足条件的一个的值______． 【答案】1（答案不唯一，区间内的任意实数均可） 【详解】等差数列的前项和为，中当且仅当取得最大值，则，时，，因此有， ，，， ，，，， 所以，取其中任一实数均可. 68．（25-26高三下·上海·阶段检测）一个无穷等比数列，已知，且，则公比q的取值范围是________ 【答案】 【分析】由题意确定无穷等比数列的和存在，以此确定并得到，再结合条件即可求得的取值范围. 【详解】等比数列前项和， 若，当时，，此时， 此时无穷等比数列的和不存在，一定不满足，故舍去， 若，当时，振荡发散， 此时振荡发散， 此时无穷等比数列的和不存在，一定不满足，故舍去， 若，则，若，振荡发散， 此时无穷等比数列的和不存在，一定不满足，故舍去， 若，当时，， 此时， 此时无穷等比数列的和存在，即， 则看作是首项为的无穷等比数列的和，即， 由题意得，因为，则， 解得，因为等比数列中， 综上，公比q的取值范围是 69．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知数列的通项公式为.若中存在三项构成公比为的等比数列，则正整数的最小值为________. 【答案】12 【分析】设数列中的构成公比为的等比数列，列出对应的方程，根据都是质数，求出,再将代入验证. 【详解】假设数列中的构成公比为的等比数列， 所以, 又, 所以, 所以, 因为都是质数，所以能被整除， 所以,即, 所以正整数的最小值为， 验证：当时，由得， 所以, 取，则,符合题意， 所以正整数的最小值为. 70．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知数列，的通项公式分别为，，数列满足，，，记为数列前n项和，则使得成立的最小正整数为________． 【答案】24 【详解】因为、均为正数数列，故， 故即为，故. 当时，， 此时，故考虑的正整数解. 此不等式即为， 设，则， 因为均为递增数列，故为递增数列， 设， 则，， 故， 但，， ， 故此时的最小值为，即的最小值为. 当时，， 此时，故考虑的正整数解. 此不等式即为， 当时，， 故当时，， 而，故无解， 综上，最小正整数为. 71．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知有穷整数数列共有项．若对任意的，在中存在，使得，则的最小值为_______． 【答案】3 【分析】先根据数列连续子段总数判断：时子段数量不足，无法凑出六种和，故再构造三项数列，验证其所有连续子段和恰好覆盖，满足题意。 因此的最小值为3. 【详解】①证明 当时，数列仅有1个连续的子段，最多只能得到1个和，无法覆盖，不符合题意， 当时，连续的子段共有3个，最多只能得到3个和，无法覆盖6个不同的数值，不符合题意， 因此， ②构造的例子， 取数列为， ：， ：， ：， ：， ：， ：， 综上，的最小值为3. 72．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列的前n项和为，且满足+9. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的最大项； (3)判断中是否存在不同的三项成等差数列，并说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析 【分析】（1）题目已知和之间的关系，先用求首项，再利用 建立相邻两项的递推关系，从而判定是等比数列； （2）由数列的通项可知其为正项数列，采用“作商法”比较与，由比值与的大小关系判断增减性，进而确定最大项； （3）采用反证法,假设存在不同的三项成等差数列，设出三项的下标，把关系化为整数等式，利用得数末位推出矛盾. 【详解】（1）当时，，解得 当 时，，则，整理得 ，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故， 当 时，也满足，因此通项公式为； （2）由（1）知 ，显然 ，则， 因为各项均为正数，所以 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故数列的最大项为第项和第项，且； （3）不存在，理由如下： 假设存在不同的三项，，成等差数列，其中，且，，为正整数，则， 代入通项公式得，两边同时除以得，， 令，，，为正整数，且，则， 两边同乘得，， 左边是的倍数，末位是，右边末位只能是或，等式左右末位不可能相等，假设矛盾， 因此不存在不同的三项成等差数列. 73．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）设无穷数列满足：，，且对任意，有． (1)若，，求前项的和； (2)求证：对任意，有； (3)问：是否存在常数，使得对任意，均存在互不相同的，使得？并给出证明． 【分析】（1）根据递推公式，逐一代入求出，，，，，，，进而即可求出前项的和； （2）先根据题意得到对任意，有，再分和两种情况分析即可证明； （3）将拆成组，第组为，再结合（2）得到，从而适当选取即可求出，进而得证． 【详解】（1）依题意，若，， 则，，，，，，， 所以前项的和为． (2)依题意，显然可得对任意，有， 若，则，则， 所以； 若，则，则， 所以， 综上，对任意，有，证毕． (3)存在，证明如下： 将拆成组，第组为， 结合（2）有，若，有，则； 若，有，则， 所以对任意，有， 这意味着每组连续三项的和，一定等于本组内某一项的倍， 即可适当选取，使得， 所以，即， 所以存在，使得等式成立，证毕． 74．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”方程，为参数，其中我们将称为双曲余弦函数，悬链线在建筑学中有着广泛的应用． (1)证明：； (2)令，请讨论在的单调性； (3)无穷数列满足，；是否存在正实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)答案见解析；(2) 在 上单调递增；(3)存在满足条件的正实数 ，. 【分析】（1）把 与 都用定义化成指数形式，再比较. （2）将 化为指数形式求导，得 ，分 与 两段说明 . （3）先证各项 ，再作代换 （），每次迭代 变为 ，由 解出 后回代求 . 【详解】（1）由定义 ，得 . 而 . 所以 . （2），所以 . 当 时，，所以 ；又 ，所以 . 当 时，由 ， 得 ，，所以 ，所以 . 所以对任意 都有 ， 在 上单调递增. （3）若对某个 有 ，则 ，且 内的项再迭代仍落在 内，于是 ，与 矛盾，所以 对 都成立；结合 得 ，进而 ，即各项 . 对 ，取 ，则 ，，且 ，归纳可得 （）. 由 得 ；记 ，则 且 ，即 ，解得 或 ，又 ，所以 ，. 所以 ，即存在满足条件的正实数 . 75．（2015·广东广州·一模）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，N. （1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）是否存在正整数, 使, , 成等比数列? 若存在, 求的值； 若不存在, 请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）不存在正整数，使，，成等比数列． 【详解】试题分析：（1）令即可求出的值；（2）先利用（）转化为等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求出数列的通项公式；（3）假设存在正整数, 使, , 成等比数列，由, , 成等比数列得：，化简，解出的值，与为正整数矛盾，故不存在正整数, 使, , 成等比数列． 试题解析：（1）解：∵， ∴. （2）解法1：由，得，故. ∵，∴，∴. ∴数列是首项为，公差为的等差数列. ∴. ∴. 当时，， 又适合上式， ∴. 解法2：由，得， 当时，， ∴. ∴. ∴. ∵ ，∴. ∴数列从第2项开始是以为首项，公差为的等差数列． ∴． ∵适合上式， ∴. 解法3：由已知及（1）得，， 猜想. 下面用数学归纳法证明. ① 当，时，由已知，，猜想成立. ② 假设时，猜想成立，即， 由已知，得， 故. ∴. ∴. ∴. ∵，∴. ∴. 故当时，猜想也成立. 由①②知，猜想成立，即. （3）解：由(2)知, . 假设存在正整数, 使, , 成等比数列,则. 即. ∵ 为正整数，∴ . ∴ .∴ .化简得 . ∵ , ∴ . 解得, 与为正整数矛盾. ∴ 不存在正整数, 使, , 成等比数列. 76．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）设无穷数列满足：，，且对任意，有． (1)若，，求前项的和； (2)求证：对任意，有； (3)问：是否存在常数，使得对任意，均存在互不相同的，使得？并给出证明． 【分析】（1）根据递推公式，逐一代入求出，，，，，，，进而即可求出前项的和； （2）先根据题意得到对任意，有，再分和两种情况分析即可证明； （3）将拆成组，第组为，再结合（2）得到，从而适当选取即可求出，进而得证． 【详解】（1）依题意，若，， 则，，，，，，， 所以前项的和为． (2)依题意，显然可得对任意，有， 若，则，则， 所以； 若，则，则， 所以， 综上，对任意，有，证毕． (3)存在，证明如下： 将拆成组，第组为， 结合（2）有，若，有，则； 若，有，则， 所以对任意，有， 这意味着每组连续三项的和，一定等于本组内某一项的倍， 即可适当选取，使得， 所以，即， 所以存在，使得等式成立，证毕． 77．（2026·山东济南·模拟预测）已知对于给定且，正整数可唯一表示为（且，其中，，，…，，），此表达式称为的进制表示.例如，此表达式称为2026的八进制表示. (1)若，求的最大值（结果用表示）； (2)若互不相同，且，求的最大值（结果用表示）； (3)若且，是否存在最大值，若存在，求出的值及对应数组，若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)存在，，对应数组为 【分析】（1）根据的进制定义化简即可求解. （2）利用等差数列的概念以及错位相减法即可求解. （3）利用换元法以及增数列的性质进行讨论验证即可求解. 【详解】（1）若，因为， 所以 故此时的最大值为，当时，等号成立. （2）由知成等差数列， 又为互不相同的整数且， 故其公差不为0，所以， 又因为， 要求最大值，所以，且， 故，① 令② ③ ③式减②式知， 所以，即，当且时取等. （3）存在最大值. 因为，所以， 令，则为严格递增数列. 若中至少四项为正，不妨设， 则， 故，这与矛盾！故中至多三项为正. 同理可得中至多三项为负，所以. 当时，有，由为整数且严格递增知， ， 故， 故. 验证知满足题目条件. 故存在最大值，此时，对应数组. 78．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知数列是正项数列，，，是的极小值点. (1)当时，求的通项公式； (2)是否存在，使数列是等比数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再按分类并结合数学归纳法确定极小值点，进而求出数列通项公式. （2）由（1）中信息知，是等比数列，必有，再利用等比数列定义，结合数学归纳法求出的范围，然后判断的情况即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，无极小值； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极小值，则； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极小值，则， 因此，， 猜想，用数学归纳法证明猜想：①当时，猜想显然成立； ②假设当时，猜想成立，即，， 而， ，因此，即时，猜想成立， 综合①②知，对一切都有， 此时数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以. (2)存在，使得数列是等比数列，的取值范围是，理由为： 由（1）知，数列是等比数列，必有， 此时数列的首项为，公比为3，， 而，，则，解得， 此时，用数学归纳法证明结论： ①当时，，当时，，结论成立； ②假设当时，结论成立，即，， 而， ，因此，即时，结论成立， 综合①②知，对一切都有，满足上式， 于是，数列是等比数列， 当时，，，由（1）知，函数无极小值； 当时，，数列不是等比数列； 当时，，由（1）知，函数无极小值； 当时，数列不是等比数列， 所以存在，使数列是等比数列，且的取值范围为. 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难专题03 数列的插项、取项、 剔除项、公共项、奇偶项， 取整、分拆问题 题型脑图·重难考法归纳 题型1数列的插项问题 题型5数列的公共项问题 题型2数列的取项问题 题型6数列的取整问题 数列的插项、取项、剔除项、公共项、分拆、 题型3数列的剔除项问题 取整、存在项、奇偶项问题 题型7数列的奇偶项问题 题型4数列的分拆问题 题型8数列的存在项问题 考法深研·解题技能通关 题型01数列的插项问题 方法技巧 数列的插项问题是在原数列的项与项之间按规则插入新项形成新数列，核心是确定项数关系和分组求 和。这类题的关键是搞清楚插入多少项、新数列与原数列的对应关系，然后用分组或并项法求和。 插项问题有以下几类： 1.邻项固定插项：在原数列每相邻两项之间插入固定个数的项，插入后新数列仍可能保持等差或等比性 质； 2.变数量插项：在第k项与第k+1项之间插入k个数或其它变化规律的项数。这类问题需要先统计前 n组共有多少项，再确定目标项落在哪一组： 3.两数列间插项：在一个数列的项之间插入另一个数列的若干项，形成混合数列，求和时需分别计算原 数列和插入数列的和，再合并。 1,(25-26高二下湖南衡阳期末)已知等差数列0的通项公式为”，=3加-2，在a} 中每相邻两项之间 都插入2个数，组成一个新的等差数列 ,则s- () 1/22 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 2。(262刃高三上判北雄安开学考试)已知数列a,是首项和公比均为3的等比数列，在数到包的任 意相邻两项：与（其中k∈N)之间插入2个1，使它们和原数列的项构成一个新数列 b. ,则数列 的前50顶和5。（) A.402 B.404 C.408 D.412 3.(25-26高二上江苏苏州阶段检测)已知数列 ,的前m项和为，且-，8=2-在数列a} 须0、4之间依次插入、4、…、 的每相邻两项、 4,得到数列么}：只、、4、4、凸、4、4 bas 、…, 的前22项和为() A.34 B.36 C.37 D.39 4。(2025天津一模)已知数列a,和6的通项公式分别为”=3,6=”，在”与之间插入数列 {a.} 的前m项，构成新数列c},即，a,6,4,4,6,4,4,4,么，4,4,4,0, ,,记数列的前w项 和为Sn,则台 () A.30 B.4944 C.9876 D.14748 5.(2023江西南吕二模)已知数列a的通项公式为”，=2，保持数列Q}中各项顺序不变，对任定 的eN,在数列a的与项之间，都插入 (k∈N 个相同的数-广k,组成数列，}，记数列 b 的前1项的和为7，则如（) A.4056 B.4096 C.8152 D.8192 2/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6。(2627高三上广西南宁阶段检测)已知数列a的各项是或2,4=1，且在第k个1和第《+)个1 之间有2-个2，即1,2,1,2,2,1,2,2,2,2,2,1，，则数列a,的前2019项的和 为() A.4025 B.4026 C.4027 D.4028 7.（25-26高二上江苏连云港期末)已知数列a,}的前n项和为S,Q=4,(n+2)S,=S4若6，=2产， 在数列6，}的任意相邻两项：与1（其中keN)之间插入2个3，使它们和原数列的项构成一个新的数 列}，则数列，}的前7暖和=《） A.1460 B.1464 C.1468 D.1486 8.(25-26高二上云南昭通阶段检测)已知正项数列a}的前”项和为5，且4=LS-S=8,neN 在数列o 的每相邻两项，84之间依次插入4,4，“，，得到数列亿，}：4,4，，4,4,4,4,4,4,4，… 则的前88项和等于() A.163 B.165 C.167 D.173 9.(2026浙江绍兴模拟预测)在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，构造出新的数列.对数列1、 2进行构适，第一次得到数列1、3、2：第二次得到数列1、4、3、5、2，依次构选，第”次∈N)得 到的数列的所有项的和记为，令=2，-3 ,则() A.第四次得到的数列共15项 B.=2x+3(nEN) c.数列}是等差数列 D.对neN,以、ya、ya为边长不能构成一个三角形 10.(2627高三上陕西商洛开学考试)已知等差数列a}与等比数列么，}的首项均为1，公差与公比均 3/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为2.将数列9 }中的所有项按原顺序依次插入数列a,}中，组成一个新数列：a,么，4，么，么，么。 4,么，么，么，，，，，其中与之何插入2水-1项，}中的项，该新数列记作}，则 A.369 B.371 C.2185 D.2186 11.(2026·安徽准北模拟预测)数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数 列，初始数包}经过1次扩充后的新数列记为{女}，原数记为尸，所有项的和记为现若扩充提剥为 (0) 每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列a,c经过一次扩充后得到数列o}=a,a+6,6b+cc。 P=5,S=2a+30+2c.已知初始数列}={3L3,则6=一，S= a,b A:a,a+b,b 12.(26-27高三上湖南长沙开学考试)在两个实数之间插入这两个数的和，得到数列 A:a,2a+b,a+b,a+2b,b 在数列的每相邻两个数之间插入这相邻两个数的和，得到数列 用同样的方式 A3,A4… 依次构造数列 若数列m中所有各项的和为3+则a+b= 13.(26-27高三上广东深圳开学考试)在一个数列的每相邻两项之间插入它们的等差中项，整个数列按 照原来的顺序得到一个新数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”，下面对数列1,3,7按照上述方 5 法进行“扩护展”，第1次“扩展”后得到数列1,2,3,5,7，第2次“扩展”后得到数列工，，2，) ,3,4,5,6,7。设第”次“扩展”后得到的数列项数为尸，所有项的和为5，记冈为不超过的最大 整数，则log,(B6+Ss】 14。（2026高三全国专题练习)等差数列a} S4=244=5 的前”项和为心， 5,对每一个keN,在 4/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4与4#之间插入少 个1，得到新数列 },其前”项和为子 (1)求数 {a}的通项公式： 241是数列 b} 的第几项； (3)是否存在正整数”，使 n=2008? 若不存在，请说明理由；若存在，求出的值. 15.(26-27高三上广东广州阶段检测)己知数 a,}是等比数列，且4-a=6,a,4=12 求a,的通项公式： 包设a+)口可，记数列c的前项和为，正所：后s<生. 2 「1 (3)在an与a1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求数列d,前n项的和Mn. 16.(2026四川达州二模)已知数列 ,}为等差数列，且4=1La=15 求 的通项公式： 2在数列的相邻两顶与之间精入之个11=123)后，构成一个新数列号，数列的前 59 项和记为，求 17.(25,26高=上天津贺海新区阶段检测)设a3是公差不为零的等差数列，清足4=14+4=4：。 设正项数列的前”项和为8，且4+边3 国求数动a}和}的通项公式： 21在“和“之间插入1个数，使尔、 么成等差数列：在和之间插入2个数，使 5/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b2x222b 成等差数列：：在色和机之间搭入”个新、名，使么、。 成等差数列，设 ,求乃和T: 7s8m+1 3)对于(2)中求得的T,是否存在正整数m、n,使得“2am成立？若存在，求出所有的正整数对 (m,n) 若不存在，请说明理由 18.(2627高三上天津西青阶段检测)已知a}是等差数列，其前”项和为8,4+%=4,8=16 }是各项均为正数的等比数列， 6=4b=4-1 口求a}和子的通项公式 (61-7)b ,n为奇数， 2)对任意的正整数，设， a0u+2 4, 内偶数，·求数列，}的前n项和： 2n B在马和mkeN)中插入个相同的数(-1”，构成一个新数列}：4，L4:-2-24,33,3a, 求号的前2025项和. 19.(25-26高三上天津和平·阶段检测)己知数列 }为等差数列，数，}为等比数列，且4=7 4=14+b3=aGab3=4a+b2 (1)求b； ab,n为奇数 2)已知 (3a-4).,为偶数，求数列e 44+2 的前，项和 2n 6/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4+1） (3)数列2 的前n项和为9，对于数列a号，，}，在4：和41之间插入数列，}的前k项k∈N), 组成一个新的数列{d}:a,么，4，么，b,a,么，b,b,a4,,求日 题型02数列的取项问题 点月 方法技巧 数列的取项问题主要是从原数列中按规则抽出部分项，组成一个新数列（子数列），再求这个子数列的 项、通项或判断它是否为等差或等比数列。这类题的关键是找准“取项规律”和“项数对应关系”。 常见题型： 1.按位置取项：2.按规则逐次取项。 20.(多选)(2526高三上湖北期中)数列a,}满足，+am=(-laeN）, 且4=-3，数列a}的 前”项和为5，从a的前2”项中任取两项。它们的和为奇数的概率为P,数列巴}的前”项积为， 则() A.a2=14 B.S。=-5 c.>2m>) 20- 21.《多选)(2026河北张家口一模)若数列a的前u项和为5，且25，=a,+1,在数列a的前 +2〔“N)项中任取两爽部是正数的概率记为片。则下列道法正确的是《) B.Pn<P C.Pn<Pim+2 D.Pn+Pn<P+Pn2 2.《多选)(2526高=下山东日照期中)已知数列a,的通顶公式为0，=2，n∈N,将 a,+a,+a,(1≤r<s<t) 按从小到大的顺序排列起来构成数列}，m∈八数列么，}中落在区问a4) 7/22 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 内项的个数记为数列 },ieN,则下列结论正确的是（） A.6=13 8.9s10 C.若b=2180,则k=188 9,则5=22 n 23.(2627高三上山东日照开学考试)已知数列a}的前”项和为8，且21-2，心，4a成等差数列. 但求数列a}的通项公式： 2若=13：1-a）,从数列}中依次取出第2项，第4项，第8项，“，第2项，按原来顺序组成新 数列号，求使得不等式9+：+G++6>2026 成立的最小正整数”的值。 题型03数列的剔除项问题 点方法技巧 数列的剔除项问题主要是“先识别、再剔除、后求和”，也就是先弄清原数列的通项和被剔除项的位置 规律，再用“原数列和减去被剔除项和”来求新数列的和。常见题型： 1.剔别除特定位置的项；2.剔除与另一数列相同的项（公共项）；3.循环变换型剔除。 24.(26-27高三上上海长宁阶段检测)将数列0，中随机剔别除两项4、0（倛中 l≤i<j≤n i、jeN),然后在原数列中添加一项a+a+a,a叫做数列{an}的一次变换，那么数列1、2、 1 1 1 2025、 2026经过2025次变换后数列中还剩下的一项为() A.2025 B.2027 C.2024 D.2026 25.(多选)(2627高三上辽宁阶段检测)在等差数列和中，4=7,4=1山.记5为数列么的前 ”项和，且3。=26+川-4.从数列a中去掉与数列 也，}中相同的项后，按从小到大的顺序排列组成新数 8/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 列和}，设数列c的前”项和为，则() A.a,=13 B.S=21+n-2 c.7m=190 D.当是3的倍数时，”被6整除的余数为0或1 3g.+3,n为奇数 +1=了 26.(25-26高二下-江西赣州：期中)已知数列{4，}满足4=3 3.+2,为偶数. 证明：数列a为等差数列： 2求数列a, 的前项和： (3)若将数列 }中满足4=a的项马，≠j称为数列a}中的相同项，将数列}的前20项中所 有的相同项都剔除，求数列和} 的前20项中余下项的和. 题型04数列的分拆问题 点方法技巧 数列的分拆问题主要是把通项拆成“能分别求和”的几部分，再合并结果。 常见题型：1.拆项分组；2.裂项相消：3.整数与分数分离。 解题步骤：1.观察通项结构；2.选择对应方法；3.注意系数调整：4检查剩余项。 27.(26-27高=上河北开学考试)已知数列a,}1≤n≤10，neN),其中4=1，且4,4， “成等差数列，公差为2(k=1,2,3).若将数列a,中的项分成五组： (a,a2)(a,a4) (as,a)(a,as)(a,ao ,每组的两个数之和构成一个等比数列，则。=() A.18 B.30 C.32 D.36 28.(17-18高二上江西赣州阶段检测)已知数列：11,2,1,2,4,12,4,81,2,4,8,16…，即此数列第一项是 9/22 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2° °，2 °，2,22 S 接下来两项是 ，再接下来三项是 ，依此类推，…，设○“是此数列的前”项的和，则 S20n-(） A.24-26 B.263-26 C.264-25 D.23-2 2n-1 29.(21-22高二下广东佛山阶段检测)将数列 中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2 个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列：(1)，(3,5) (7,9,11,13),(15,17,19,21,23,25,27,29),…,则以下结论中错误的是() A.第10个括号内的第一个数为1023 B.2021在第11个括号内 C.前10个括号内一共有1023个数 D.第10个括号内的数字之和Sc(29,2） 30.(多选)(2026高三全国专题练习)已知一个数列共有8项，分别为：1,3,5,7,9,11,13， 15,将这8个数分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为4且公差为(d>0)的等差 数列，则d的值不可能是() A.2 B.4 C.6 D.8 31.（多选)(2026广东广州模拟预测)某果园有若干棵树苗，按地势排成12行，将第行树苗棵数记为 a(i=1,2,…,12) 其中4,4，，“是一个首项为1的等差数列，且%=a0=17,a1=19,2=21 =2a 记 .将4,4，，a分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公 差为(1>0 的等差数列，则（) A.4-9 B.S2=132 C.d=4 D.4=8或18 32.《多选)（2324高二下重庆开学考试)已知数列a:1,1,2,1,3,5,1,4,7,10,,其 中第1项为1，接下来的2项为1,2，接下来的3项为1,3,5，再接下来的4项为1,4,7,10，依此类 推，则() 10/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.80-21 B.dadm)=n2-2n+2 2 C.存在正整数m,使得”，0,0成等比数列 D.有且仅有3个不同的正整数m,m+m+2, ，使得 m+am+1+am+2=156 3。《多选)(2526高二下山东日照期中)已知数列a的通顶公式为”，=2，neN,将 a+a,+a,1≤r<s<) 按从小到大的顺序排列起来构成数列 b}m∈N数列 }中落在区间 a41,a42 内项的个数记为数列G},1GN,则下列结论正确的是《) 44=13 B.S-10 C.若b=2180,则k=188 D.若 9，则5=22 n 题型05数列的公共项问题 点 方法技巧 数列的公共项问题主要找出两个数列里相同的项，再把它们从小到大的顺序排成新数列。最常考的是两 个等差数列的公共项。往往找两个等差数列公差的最大公约数。 34.(2026陕西三模)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，《孙子算经》中“物不知数”问题的解法 符合关于同余式解法的一般性定理，因而也称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于 整除的问题，现有这样一个整除问题：在1到2026这2026个数中，取能被4除余3且被6除余3的数按照 从小到大的顺序排成一列，构成数列a,},则数 a,}的项数为 35。(2526高三下江苏无锡阶段检已知，meN,将数列2k-少与m-的公共项从小到大排列 11/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.1 1 +…+= 得到新数列{a,},则aa a20」 36。(25-26高三下山东烟台阶段检测)已知数列a,的前”项和5。=”+n,将数列a,与数列2)的 公共项从小到大依次排列得到数列 },7为数列a6的前”项和，则 题型06数列的取整问题 点方法技巧 数列的取整问题主要是把取整符号通过放缩“卡”在两个相邻整数之间，从而把递推式化为普通递推来 求通项或求和。解题关键是找到长度为1的整数区间，再利用取整函数的性质完成转化。 37.(25,26高二上青海海东期末)己知冈表示不超过的最大整数，数列a,满足4=0。 a+-2=n2,则a]+a]++a]（) A.36 B.34 C.38 D.32 38.(2627高三上陕西西安开学考试)设冈为不超过'的最大整数，若数列风的通项公式为 a,=[0g,(2m+刃，记a,}的前”项和为，则使得5，≤200的最大正整数”的值为() A.42 B.43 C.44 D.45 39。（2025江西萍乡二模)已知数列a,满足4=1,0+a- neN,其中 [ 表示不超过的最大整数.若mam=506 则m=() A.44 B.45 C.46 D.47 201s2g2 40.(25-26高二上·安徽安庆期末)无穷数列a}满足4，+2，有且仅有100个正整数n,使得 12/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [21 aa2+aa+…+anan1>0.记[x是不大于实数x的最大整数，则a的值为() A.-101 B.100 C.-99 D.-100 41.(2526商二上浙江温州期末)无穷数列a满足“18，=4A,有且仅有2025个1正整数”，使符 「1] aa2+a,a+…+a,a1>0,记[)是不大于实数x的最大整数，则4的值为() A.-2026 B.-2025 C.2025 D.2026 42.(25-26高三全国一轮复习)已知表示不超过的最大整数《例如-12]=-2)，数列a满足 x) a=1,1a+1 则下列说法正确的是() A.[a2]=2 B.40<5 C.对任意”，a10,+a1-2a=1 恒成立 D.存在”eN,a,>a 4.(25-26高三全国一轮复习)已知表示不超过*的最大整数《例如-1.2]=-2)，数列a满足 a.]d+i(neN) 则下列说法正确的是() 8 A.[a2]=2 B.do C.对任意”，a4,+01-2a,=1 恒成立 D.存在neN,a.>a1 44.(2026湖北襄阳模拟预测)记冈表示不超过的最大整数，已知数列Q满足4=1， 且 、3 a=回+2，数列色，}满足.=a-[],记S为数列私.，}的前n项和，则Ss] 13/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5,26-27高三上山东江苏阶段检测)设数列a,满足4=2,4=42-4+1。=入4-/ 台4，记[ 为不超过实数的最大整数， 46。(25-26高二上福建莆田阶段检测)已知数列a,满足0.+a1=2n+1,且4=1，记，=a,则 1 b b. 的值为 (其中[x]为不超过实数x的最大整数，如1.1]=1) 47.(26-27高三上山东江苏阶段检测)设数列{0}满足a=2,a,1=a-4+1,S=了二 台a,记] 为不超过实数的最大整数，则 [S:24]= 48。(2027高三全国专题练习)已知数列a}满足4=24=5a+4a,=5a,neN则%= 2027 设b,=[log4a],其中y表示不超过x的最大整数，Sn为数列b,b的前n项和，若[S]=2025,则n 的取值范围为■ .5 m= 1+1++1 49. (2026安徽合肥模拟预测)设数列{a},满足4=3，a=a-a,+1,记a4, a2026, 则m的整数部分是 题型07数列的奇偶项问题 方法技巧 数列的奇偶项问题主要是把原数列拆成奇数项子列和偶数项子列，分别找规律再合并求解。遇到下标奇 偶不同、递推式含少或递推跨度为2时，优先按奇偶分类处理。 14/22 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3×2”,n为奇数 《多选)(2627高三上贵州贵阳阶段检测)记、为数列a的前，项和，已知“？+1为偶 则下列选项正确的是() A.2026是数列a,}中的项 B.数列a是公比为4的等比数列 ∫11 C.S,=35 D.若c,=a,则数列c,c的前n项和小于2 51,(多选)(25-26高三上湖南怀化开学考试)已知是数列a,的前1项和，4=1， an+l,n为奇数 an+2,n为偶数，则(). A.a}是递增数列B.a=7 C.a0-13 D.0=300 an+1,n为奇数 52.（多选)(2026安徽六安模拟预测)已知数列{a,}满足8=14=2,0： 2an,n为偶数，记数列 {a,}的前”项和为S，则下列说法正确的有（） A.4<a 8.50=78 c.a,=2n=2k-1, n+1 keN' 22,n=2k, D.S _+t+2-2,teN 2 53.(多选)(25-26高二下·四川泸州期中)大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码 an+n+l,n为奇数 领域中得到应用。已知大衍数列{a}满足4=0，a,= an+n,n为偶数，则下列说法正确的有() A.a=12 B.d2n =2n2-n 15/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.a2m+1=a2m-+4n D.数列-1少°a,的前20项和为110 an+l,n为奇数 54。（多选)(2026河南三模)已知数列1a,}满足-La,=2a.,二 2an,n为偶数，记数列{an}的前n 项和为”，则() 8.a,=2n=2k-1 n+1 k∈N A. as<a6 22,n=2k, c及=42-2eN 2 0.eN 2 多)25G西三下安定翻阶段)已数列O清足0区+2W内奇数 3a,n为偶数，若 6=46=4,数列a,和么的前”项和分别为5和，则下列说法正确的是〈） A.6=105 B.G0=4×39-3 c.7w=2x3w-302 D.52026=4×31013-4058 56。(2026山东济南模拟预别已知数列a,清足a,Q"=3,记乙为a,的前”项积，若：≤3” 则的最大值为 57.(2526高三上货州货附高考复习)己知3为数列a的前”项和，且4=1,0+a,=3x2,则 S101= 58.(2026河南模拟预测)S为数列a,}的前”项和，满足S,+(ヅa,=-1,则5= 02027= 16/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3an,n为奇数 59.(26-27高三上·浙江阶段检测)已知{an}为等差数列，定义数列{bn}满足： ba,+6,n为偶数，记 5为数列的前”项和，已知，+a=18,且=50，则5 ,且 0.(2026新证楼极已杂数列a,}的前项三=1-(aeN）.若ER,mX,使袋 an-t≤k 则实数的最小值为 61.(2026北京三模)数列a满足+(-1少·a,=/(四），则以下说法正确的是 0者f回=，a=5,则4=-24 ②若()小=n ,则4，+4+4，+a0=160 @若f四=3n+1 ,则4+4w=301 ④若f(）=3n+1 则M>0,meN,有a,-3KM 62。(2026山东泰安三模)已知数列a,}的前n项和为5，4=2，a,1=25,+2(aeN) 回求数列a的通项公式， n为奇数 2数列化，}满足，-3-1，n为偶数，求数列，}的前2项和了· 63.(26-27高三上四川阶段检测)体育课上，小张，小李，小王三位同学相互传球，最初球在小张，小 111 李，小王手中的概率分别为2,4,4，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一 人 (1)求第二次传球后，球在小张手中的概率： ②刨求第”次传球后，球在小张手中的概率P, 17/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E(X) (3)在前”次传球过程中，球在小张手中的次数记为Y(不含初始情况)，求 并证明： 参考公式：若5，”是两随机变量，则有 (5+n)=E(5)+E() n+l,n为偶数 1 64。.(2026福建泉州模拟预测)已知数列{a,}满足：4=1' n+1= a口.+2内奇数，记a,的前 n 项和为 国求数列a的通项公式。 (2)求 25-26高二下黑龙江期中)已知数列{4}的前n项和为5，= 四求 的通项公式： 2设 am·2”,n为奇数， n2,n为偶数，求数列bn}的前2n项和Tn 3)设+ , 数列c,}的前n项和为2，求证：B<n+1- n+1· 题型08数列的存在项问题 点 方法技巧 数列的存在项问题主要是“先假设存在，再转化为方程或不等式有正整数解的问题”，最后通过范围压 缩或单调性来验证或排除。 6。(2025湖南三模)已知“，4，“是公差为的等差数列，么.么，么，么是公比为9的等比数列， 18/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 b≤a1≤b2≤a2≤b≤a3≤b,md=b=1 如 ,且 那么9的最小值是」 67。(2627高三上北京房山开学考试)设等差数列a的前”项和为3，已知S+a=14,当且仅当 n= 3时，S“取得最大值，写出满足条件的一个4的值 68.(25-26高三下上海阶段检测)一个无穷等比数列a,}已知4>0，且4，+4+a,+≤号 ,则公比 9的取值范围是 69.(26-27高三上福建福州开学考试)已知数列 的道项公式为8，=11-23若a中存在三项构成 公比为9的等比数列，则正整数9的最小值为 70.(2627高三上浙江开学考试)已知数列a,},,}的通项公式分别为”，=2m-1,b=2 ,数列 S.、100 {c,}满足1=a,ct=b,(k∈N),记S,为数列c,}前n项和，则使得S101成立的最小正整数n 为 71,(2627高三上甘肃天水阶段检测)已知有穷整数数列a共有m项.若对任意 k{1,2,…,6,在 {a,}中存在 ,a14+1,0+2…,a+（j≥0 ,使得8+a+a2++a= ,则m的最小值为 72,(25-26高二上福建莆田阶段检测)己知数列a}的前1项和为，且满足8=-9a+9 求a}的通项公式， 以老=+1a,求数列号的最大项， B倒判断a}中是否存在不同的三项成等差数列，并说明理由」 7乃，(2627商三上北京西城阶段检测)设无穷数列a,满足：4,4>0，且对任意n∈N,有 19/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ant-an,an>an 0n+2= an+l+an,an+l≤an. 法81,4-3，求a ,前9项的和， 2)求证：对任意neN 0n+4=an+☑m+2 有 a,+42++ak=元 (3)问：是否存在常数1，使得对任意k∈N,均存在互不相同的，2，，，使得a+a,+…+a?并 给出证明. 74.(26-27高三上云南昆明阶段检测)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线. 1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”方程∫(x)=a:c0shX ha,a为参数，其中我们将coshx称为双曲余弦 函数coshx=e+e 一，悬链线在建筑学中有着广泛的应用. cosh(2x)=2(coshx)2-1 (1)证明： 2今8)=cosh()cor,请讨论8（在0+） 在 的单调性： 5 (3)无穷数列{a,}满足a=a,a,1=2a2-1:是否存在正实数a,使得ams=4?若存在，求出a的值，若 不存在，说明理由 7万。(2015旷东广州一模)已知数列a,的各项均为正数，其前”项和为5，且满足4=la=25+1 nEN". (1)求”的值： (2)求数列a}的通项公式 (3)是否存在正整数←，使，S,“成等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。 76.(26-27高三上·北京西城阶段检测)设无穷数列 ,满足：4，a>0,且对任意neN,有 20/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ant-an,an>an am+2= an+l+an,an+l≤an. 法81,4-3，求a ,前9项的和， 2)求证：对任意neN, 0n+4=0n+an+2 ,有 a,+42++ak=元 (③)问：是否存在常数入，使得对任意k∈N,均存在互不相同的，，…，，使得a+a,+…+a?并 给出证明. 77.(2026山东济南模拟预测)已知对于给定9∈N且9>1，正整数n可唯一表示为 n=4+ag++a,4aeN且0≤a≤g-1,其中=0,1,2，，k,a*0) 且 )，此表达式称为”的9 进制表示.例如2026=2+5×8+7×82+3×8，此表达式称为2026的八进制表示. (1)若k=9,求n的最大值（结果用9表示）： 2刨若0(i=0,12,) 互不相同， 2a=a4+a（=l2,k-）,求”的最大值（结果用9表示）： B若9=8且2a<a+a(=12k-）,”是否存在最大值，若存在，求出的值及对应数组 (a0,a1,a2,,ak) 若不存在，说明理由 7及。(2627高三上辽宁大连开学考试)已知数列a}是正项数列. 41=a 么-于-+ax+3ia.是角授小指点 当4-1时，求a,的通项公式 ②是否存在“，使数列a是等比数列？若存在，求“的取值范围；若不存在，请说明理白 21/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22/22