重难专题02 不等式恒成立与能成立问题（八种题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦不等式恒成立与能成立问题专题，系统整合二次函数判别式、分离参数、函数最值等八大题型，构建从基础方法到综合应用的知识体系，覆盖高考核心考法。 清单以题型脑图梳理知识脉络，考法深研模块细化解题步骤，如二次函数判别式型强调分类讨论与判别式关系，培养数学思维。特设真题演练与易错点提示，如分离参数法结合导数求最值实例，助力学生高效备考，为教师提供精准复习指导。

重难专题02 不等式恒成立与能成立问题 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 二次函数判别式型 此类题型核心是利用二次函数的图象性质（开口方向）与判别式的关系，确保函数值在定义域上始终满足大于零或小于零的条件。判定条件为：对于二次不等式（其中）在实数集上（或），或（或）恒成立。 解题步骤为：1.确认类型：首先检查二次项系数是否为参数，若是参数，需讨论和两种情况；2.构建不等式组：根据“恒正”或“恒负”的要求，列出关于和的不等式组；3.求解参数范围。 此法仅适用于定义域为全体实数的情况，若定义域受限，则需结合分离参数法或最值法求解。 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 7．（2026·湖南常德·一模）已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·广东汕头·模拟预测）已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 题型02 分离参数型 本类题型核心是将参数与变量分离，转化为求函数最值的问题。分离参数法的基本步骤是将含参的不等式变形为或的形式，若恒成立，则；若恒成立，则；若能成立，则；若能成立，则。 关键步骤是：首先将不等式整理，把参数项移到一边，含变量的项移到另一边；然后将分离后的变量部分构造为新函数，分析其在给定区间上的单调性，极值或最值，利用导数、基本不等式或函数图像求出的最大值或最小值，从而得出参数的取值范围。 10．“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 11．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 12．（北京市第四中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·四川眉山·期末）函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·黑龙江·期中）若存在，使得成立，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 15．（25-26高二上·吉林白城·开学考试）当时，不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 17．（多选）（24-25高一上·广东湛江·阶段检测）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 19．（25-26高三下·上海黄浦·阶段检测）设函数， 若恒成立，则实数的取值范围____ 20．（25-26高三上·广东·期末）已知函数满足对任意，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 21．（2026·河南南阳·模拟预测）已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____. 22．（25-26高一上·江苏苏州·期中）记命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围． 23．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数 (1)当时，解不等式， (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 24．（2025高三上·山东潍坊·专题练习）（1）已知．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． （2）已知函数．若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 题型03 函数（代数式）最值型 解题核心是将不等式恒成立（能成立）问题转化为求函数在特定区间上的最大值或最小值问题。 转化原则是准确将不等式关系转化为最值条件： 若不等式在区间上恒成立，等价于； 若不等式在区间上恒成立，等价于； 若；若； 25．（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 26．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（多选）（2026·江西九江·模拟预测）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 29．（2026·河北邯郸·二模）已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 30．（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值并求解不等式的解集； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 31．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 32．已知实数满足对任意，恒成立，求的最小值． 33．（24-25高三上·四川绵阳·阶段检测）已知二次函数． (1)关于的不等式的解集为． ①求实数，的值； ②若对任意，恒成立，求的取值范围． (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 34．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数. (1)解关于的不等式； (2)，，都有恒成立，求实数的取值范围. 题型04 数形结合型 解题核心是将代数不等式转化为两个函数图像的位置关系，通过几何直观求解参数范围，这种方法特别适用于设计绝对值、指数、对数或二次函数的复杂不等式。其本质是将不等式（或）恒成立，转化为函数的图象在指定区间上始终位于图像的上方（或下方）。 35．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段检测）设函数，若对于任意的都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·湖北·期中）已知函数，若对于任意的，则实数的取值范围是_____. 37．（2026高三·全国·专题练习）若存在实数使得对于任意的恒成立，则最小值为____________． 解法三：平口单峰：由题意得对任意的恒成立， 根据平口单峰函数可得，令，易得，所以， 所以函数 在区间 上的最大值为 ，这就是满足条件的最小 ， 所以 . 题型05 主参换位型 当直接以原变量为主元导致分类讨论复杂或最值难求时，通过交换主元与参数的地位，将圆不等式转化为关于参数的函数，利用其单调性或端点性质求解，可大幅简化计算。 适用场景：1.分离参数后讨论繁琐，或函数最值难以直接求出；2.题目明确给出参数的取值范围，要求变量的范围；3.原函数为高次（如二次），还原后降为一次函数，便于利用“直线在区间上恒正/恒负只需端点满足”的性质。 解题步骤：1.识别主元；2.重构函数；3.端点验证。 38．（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39．（2024·四川成都·二模）若函数对恒成立，则的取值范围是________. 40．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足对任意的实数a，b，都有，且当时，．若对所有的恒成立，则实数的取值范围为______． 41．（25-26高三·全国·一轮复习）不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 42．（25-26高一上·天津南开·期中）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在使不等式成立，求的取值范围. 43．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知关于的不等式. (1)是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围. 44．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)若，解关于的不等式； (3)若，对于，成立，求的最大值. 题型06 构造函数型 题目核心是将不等式转化为新函数的性质（如单调性、最值）进行研究。 解题步骤：1.构造辅助函数：通过移项、变形将原不等式或转化为（或）的形式，或直接构造商函数，积函数等特定结构；2.利用导数分析性态：对构造的函数求导，分析其单调性、极值及最值。3.结合特殊点得出结论：验证端点值或题目给定的特殊点（如等），结合单调性确定函数符号，从而得出参数范围或不等式解集。 45．（2026·山东枣庄·二模）已知，．则的取值范围是______． 46．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____________． 47．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为____________． 48．（22-23高一上·四川遂宁·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)当时，的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围． 49．（24-25高一上·重庆·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值，并用定义证明的单调性： (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围． (3)若对任意的时，不等式恒成立，求正实数的取值范围． 题型07 集合的包含关系型 题目核心是将不等式的解集与给定集合建立包含关系（子集），从而求解参数范围。这类问题通常转化为：不等式在集合上恒成立集合是不等式解集的子集。 解题步骤：第一步：先求出不等式的解集（通常含参数）；第二步：利用的关系，结合数轴或区间端点比较，列出关于参数的不等式组；第三步：求解参数范围，注意验证端点值及空集情况。 50．（22-23高一上·江苏扬州·期中）设集合，集合为关于的不等式组的解集，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 51．（25-26高二下·河南南阳·期末）若关于x的不等式恒成立，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 52．（25-26高一上·陕西渭南·期末）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 题型08 恒成立与存在性混合型 题目核心在于将逻辑量词（任意，存在）转化为函数最值之间的关系。这类题目通常涉及两个变量在不同区间和上取值，解题的关键是准确理解命题逻辑并构建等价的最值不等式。 转化公式为： 1.对，总，使不等式成立； 2.对，总，使不等式成立； 3.对，，使不等式成立； 4.，，使不等式成立。 53．（24-25高一上·河北保定·期中）已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是_________. 54．已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是_____. 55．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 56．（24-25高一上·河北张家口·阶段检测）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，使得不等式成立，求实数的取值范围. 57．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数，. (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围. 58．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（，是实数且）是奇函数，. (1)求的解析式； (2)若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意，恒成立，求的取值范围. 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题02 不等式恒成立与能成立问题 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 二次函数判别式型 此类题型核心是利用二次函数的图象性质（开口方向）与判别式的关系，确保函数值在定义域上始终满足大于零或小于零的条件。判定条件为：对于二次不等式（其中）在实数集上（或），或（或）恒成立。 解题步骤为：1.确认类型：首先检查二次项系数是否为参数，若是参数，需讨论和两种情况；2.构建不等式组：根据“恒正”或“恒负”的要求，列出关于和的不等式组；3.求解参数范围。 此法仅适用于定义域为全体实数的情况，若定义域受限，则需结合分离参数法或最值法求解。 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：。 2．（2026高三·全国·专题练习）已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵不存在，使得不等式成立， ∴对任意，不等式恒成立， ∴方程对应的，解得． 3．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 4．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 5．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题为真命题， 所以不等式的解集为， 若，则不等式可化为，满足题意； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：， 解得，综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 6．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 7．（2026·湖南常德·一模）已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知整理得， 又因为，所以要想最大，则有，并且，即，所以， 设函数，令，解得或（舍去）. 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以的最大值为. 故选：B 8．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数是奇函数，即， 函数求导得，故函数在上单调递增， 因为，变形为， 根据单调性可得， 由二次函数性质可得，解得 故选：B. 9．（2026·广东汕头·模拟预测）已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 【答案】 【难度】0.65 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则，即， 所以关于b的一元二次不等式有解，且， 所以， 因为，所以，解得或， 当时，不等式为，得，符合题意； 当时，不等式为，得，符合题意， 则t的取值范围是. 题型02 分离参数型 本类题型核心是将参数与变量分离，转化为求函数最值的问题。分离参数法的基本步骤是将含参的不等式变形为或的形式，若恒成立，则；若恒成立，则；若能成立，则；若能成立，则。 关键步骤是：首先将不等式整理，把参数项移到一边，含变量的项移到另一边；然后将分离后的变量部分构造为新函数，分析其在给定区间上的单调性，极值或最值，利用导数、基本不等式或函数图像求出的最大值或最小值，从而得出参数的取值范围。 10．“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，恒成立，则，故， 解得． 要求充分不必要条件，即求的真子集， 观察选项可知，C选项满足题意． 故选：C． 11．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 12．（北京市第四中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为不等式，当时恒成立， 所以. 当时，， 当且仅当时取等号. 所以. 故选：C 13．（25-26高三上·四川眉山·期末）函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数对恒成立， 则，即 设，，则， 当时，， 则实数的取值范围. 故选：A. 14．（25-26高一上·黑龙江·期中）若存在，使得成立，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】存在，使得成立， 所以，， 由二次函数的性质可知在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值5，所以． 故选：C 15．（25-26高二上·吉林白城·开学考试）当时，不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以不等式可化为， 因为在上为减函数，则当时有最小值， 所以的取值范围是. 故选：B 16．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】因为，可得， 且，则，可得， 令，则， 可得， 因为，故，因此， 当且仅当，即，时，等号成立， 可得，所以实数k的最大值为9. 故选：B. 17．（多选）（24-25高一上·广东湛江·阶段检测）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由，即，， 故在上有解， 设，则， 则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，， 则的最大值为，故. 故选：AB. 18．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 19．（25-26高三下·上海黄浦·阶段检测）设函数， 若恒成立，则实数的取值范围____ 【答案】 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 当时，上式成立； 当时，， 因为在上都是增函数，所以函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 又开口向下，对称轴为， 所以的最大值为， 所以， 综上：实数a的取值范围是 20．（25-26高三上·广东·期末）已知函数满足对任意，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以由， 得，得， 得对任意恒成立， 所以或对任意恒成立， 所以或， 且在区间[3，4]上单调递减，在区间[4，5]上单调递增，当时，； 当时，， 当时，， 所以，对任意， ，所以． 故选：D 21．（2026·河南南阳·模拟预测）已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】将已知等式变形为，可得出，令，，，分析可知，可得出，即可得出，利用导数和基本不等式求解即可. 【详解】对，有，所以， 所以不等式左右两侧同时除以， 所以， 转化为关于的一元二次不等式，所以， 令，，， ，当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以； 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 因为，故对任意的，则， 故当时，，， 由可得， 故，故，即实数的取值范围是. 故答案为：. 22．（25-26高一上·江苏苏州·期中）记命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）对任意，不等式恒成立，即在恒成立， 令，则，则，解得， 则实数m的取值范围为. （2）存在，使得不等式成立，有解，即在上恒成立， 令，根据均值不等式，得，当且仅当，即时等号成立， ，即，即命题q为真，，则命题q为假，， 又由（1）可知命题为真，，命题为假，或， 当真假时，，解得， 当假真时，与或求交集，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 23．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数 (1)当时，解不等式， (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）由已知，即， 因为，所以不等式化简可得， 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； （2）由已知不等式在上有解， 化简可得， 设，则， 又函数在上单调递增， 所以当时，， 所以， 即的取值范围是. 24．（2025高三上·山东潍坊·专题练习）（1）已知．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． （2）已知函数．若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）对命题：，解得，其解集为； 对命题：即，解得， 其解集为； 因为是的充分不必要条件，所以B是A的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）因为对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 因为，所以， 所以对任意的恒成立， 所以， ，且， 因为， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以a的取值范围为. 题型03 函数（代数式）最值型 解题核心是将不等式恒成立（能成立）问题转化为求函数在特定区间上的最大值或最小值问题。 转化原则是准确将不等式关系转化为最值条件： 若不等式在区间上恒成立，等价于； 若不等式在区间上恒成立，等价于； 若；若； 25．（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】因为不等式恒成立， 所以. 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以，所以， 所以实数m的取值范围是． 26．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】关于的不等式在上恒成立， 即， 因为，所以． 解法一：（基本不等式）   ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得． 解法二 ：（柯西不等式） ， 当且仅当，即时等号成立． （柯西不等式：，当且仅当时等号成立） 所以，解得. 故选：D． 27．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 正数满足，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒有， 对任意实数x恒成立， 对任意实数x恒成立， 又， ，即实数的取值范围是， 故选：A 28．（多选）（2026·江西九江·模拟预测）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】BC 【详解】不等式， 由不等式恒成立，可知， 即，解得：， 选项中满足条件的只有BC. 29．（2026·河北邯郸·二模）已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，由于在R上单调递减，故是上的增函数. 对任意，有 . 已知，即，由是增函数得：， 因此：，即恒大于. 不等式恒成立，等价于： 整理得，即， 解得：，即的取值范围是. 30．（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值并求解不等式的解集； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，；解集为；(2) 【详解】（1）由题意知，1和2是的两个根，且， 所以，，解得，. 将，代入可得，，即， 解得或. 所以解集为. （2）由（1）知，（，）， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为8. 又恒成立，故恒成立，即，解得. 的取值范围为. 31．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 32．已知实数满足对任意，恒成立，求的最小值． 【答案】 【详解】对任意，恒成立， 令，则，原式可化为， 令，函数图象开口向上，对称轴为， 恒成立，则需满足恒成立， 若，则，此时在上单调递增， 最小值，则， 当时，；当时，， 的最小值为； 若，则，此时在上单调递减， 最小值，则， 的最小值为； 若，即，则最小值在处， 即，则， ． 综上，的最小值为． 33．（24-25高三上·四川绵阳·阶段检测）已知二次函数． (1)关于的不等式的解集为． ①求实数，的值； ②若对任意，恒成立，求的取值范围． (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)①，；②；(2) 【详解】（1）①不等式，即， 所以不等式的解集为， 所以与为的两个根， 由韦达定理可得：，， 所以，； ②由①得， 所以， 又因为，所以， 又对任意，恒成立， 所以，即，解得， 所以的取值范围为； （2）设函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以对任意的，，都有等价于， 又在上单调递减，在上单调递增， ①当，即时，在上单调递增， 则，， 即，解得，又，即； ②当，即，在上单调递减，在上单调递增， ，， 由，即 解得，又，即； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，， 由．得， 又，即； ④当，即时，在上单调递减， ，， 由，得， 又，即， 综上所述，的取值范围为． 34．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数. (1)解关于的不等式； (2)，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. (2) 【详解】（1），即，即， 所以当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2）因为对，，都有恒成立，所以， 当时，即时，，， 由，即，故； 当时，即时，，， 由，故， 当时，即时，， ， 由，故， 当时，即时，， ， 由，故. 综上可知：. 所以的取值范围为. 题型04 数形结合型 解题核心是将代数不等式转化为两个函数图像的位置关系，通过几何直观求解参数范围，这种方法特别适用于设计绝对值、指数、对数或二次函数的复杂不等式。其本质是将不等式（或）恒成立，转化为函数的图象在指定区间上始终位于图像的上方（或下方）。 35．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段检测）设函数，若对于任意的都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若对于任意的都成立，即，即. 令，所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以； 若对于任意的都成立，由函数及的图象易知， 若使对于恒成立，只需处在图象上方， 的最小值在处，两个图象相切处取得， 函数的导数为，时，，即. 综上，的取值范围为. 故选：B. 36．（25-26高一上·湖北·期中）已知函数，若对于任意的，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据题意，当时，得到是上的减函数，满足题意；当时，转化为对于恒成立，设，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解. 【详解】当时，解得，可得在上单调递减，在上单调递减， 如图（1）所示，此时函数是上的减函数， 则对任意成立，符合题意； 当时，如图（2）所示， 若，即对于恒成立， 即对于恒成立， 设，可得其图象开口向上，且对称轴为， 当时，则满足，解得，不符合题意，舍去 当时，则满足， 即，解得，解得，所以， 综上：，即实数的取值范围为. 故答案为：. 37．（2026高三·全国·专题练习）若存在实数使得对于任意的恒成立，则最小值为____________． 【答案】 【分析】解法一：多点控制，先利用区间端点 代入不等式，得到关于 的约束条件，再通过三角不等式进行放缩，直接求出 的下界； 解法二：数形结合，利用将不等式 转化为两个函数图像的位置关系，即 的图像始终在 的图像下方解答即可； 解法三：平口单峰，利用将原不等式变形为 ，问题转化为求函数 在区间 上的最大值的最小值即可. 【详解】解法一：多点控制：由题意知当，代入得： 则， 所以，即， 结合，所以， 所以，即， 当且仅当时取等号，故 的最小值为 . 解法二：数形结合：当 时，函数 关于 轴对称， 原不等式等价于 的图像始终在 的图像下方， 画出及的图象， 可得右端点值，顶点值（函数图象在处交点），即． 解法三：平口单峰：由题意得对任意的恒成立， 根据平口单峰函数可得，令，易得，所以， 所以函数 在区间 上的最大值为 ，这就是满足条件的最小 ， 所以 . 题型05 主参换位型 当直接以原变量为主元导致分类讨论复杂或最值难求时，通过交换主元与参数的地位，将圆不等式转化为关于参数的函数，利用其单调性或端点性质求解，可大幅简化计算。 适用场景：1.分离参数后讨论繁琐，或函数最值难以直接求出；2.题目明确给出参数的取值范围，要求变量的范围；3.原函数为高次（如二次），还原后降为一次函数，便于利用“直线在区间上恒正/恒负只需端点满足”的性质。 解题步骤：1.识别主元；2.重构函数；3.端点验证。 38．（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式整理为关于的一元一次不等式，恒成立， ，，得或， 所以的取值范围是. 故选：A 39．（2024·四川成都·二模）若函数对恒成立，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为在上恒成立. 设，，则在恒成立. 则. 40．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足对任意的实数a，b，都有，且当时，．若对所有的恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先确定函数性质，在上单调递增，再求函数在区间上的最大值为，将最大值代入不等式，将本题化为对所有的恒成立, 令，由对恒成立,即 ，可得结果. 【详解】设且，则，即， 因为，当时，，所以，即， 所以，故在上单调递增，则在上的最大值为． 因为对所有的恒成立， 所以对所有的恒成立， 即对所有的恒成立． 令，由对恒成立， 得，即，解得或或． 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 41．（25-26高三·全国·一轮复习）不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】根据不等式，构造关于的函数，令，， 根据题意，对任意，恒成立，由于是一次函数，只要两端点的函数值都小于即可， 即，所以，化简得，解得， 所以实数的取值范围是. 42．（25-26高一上·天津南开·期中）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在使不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) 当时，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则需且，无解，所以不存在实数，使不等式恒成立． (2)；(3). 【详解】（1）略 （2）设，当时，恒成立． 当且仅当，即，解得或， 所以的取值范围是． （3）因为，所以． 设， 所以． 设，显然在上为增函数， 所以，所以， 所以的取值范围是． 43．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知关于的不等式. (1)是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】(1)不存在；(2)；(3) 【详解】（1）原不等式等价于， 当时，不恒成立， 当时，不等式对于恒成立， 则需且，无解， 所以不存在实数对任意恒成立. （2）因为，所以， 设，则， 所以， 设， 显然在上单调递增， 当时，，，且， 所以，所以的取值范围是. （3）设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得或， 所以的取值范围是. 44．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)若，解关于的不等式； (3)若，对于，成立，求的最大值. 【答案】(1)， (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； (3) 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以1和2是方程的两个根， 所以，所以，； （2）若，不等式可化为， 即， 当时，解得， 当时，解得或， 当时，解得或， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （3）因为，，成立， 即，对成立， 所以对成立， 即对成立， 所以即 所以，即， 所以的最大值为. 题型06 构造函数型 题目核心是将不等式转化为新函数的性质（如单调性、最值）进行研究。 解题步骤：1.构造辅助函数：通过移项、变形将原不等式或转化为（或）的形式，或直接构造商函数，积函数等特定结构；2.利用导数分析性态：对构造的函数求导，分析其单调性、极值及最值。3.结合特殊点得出结论：验证端点值或题目给定的特殊点（如等），结合单调性确定函数符号，从而得出参数范围或不等式解集。 45．（2026·山东枣庄·二模）已知，．则的取值范围是______． 【答案】 【分析】将化成关于的二次函数形式后，由题意可得，，则可得位于第一象限，结合三角恒等变换可得对称轴在区间内，即可得其，解出后与位于第一象限取交集即可得. 【详解】令 ， 则，， 故，则，， 对称轴为 ， 令，则， 故， 又，故使得最小的在区间内， 故对， 有， 即有，则， 即，又， 取交集可得. 46．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【详解】令，即， 由题意可知在R上恒成立， ①若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（舍去）， 故得； ②若，即时， 要满足题意需， 整理得， 解得或，与前提矛盾舍去； ③若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（，舍去）， 故得； 综上所述或 故 47．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【分析】分类讨论先去绝对值符号，根据二次函数的对称性，依次讨论对称轴与端点的大小关系，结合最值计算一元二次不等式即可. 【详解】令，即， 由题意可知在R上恒成立， ①若，即时， 要满足题意需， 整理得,解得或（舍去）； ②若，即时， 要满足题意需， 整理得， 解得或，与前提矛盾舍去； ③若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（，舍去）； 综上所述. 故答案为： 48．（22-23高一上·四川遂宁·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)当时，的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）依题意，设， 则， 又， 所以，解得，所以，又，解得， 所以的解析式是. （2）依题意在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，，令，，显然在上单调递增， 所以， 所以，所以. 49．（24-25高一上·重庆·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值，并用定义证明的单调性： (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围． (3)若对任意的时，不等式恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3) 【分析】（1）由奇函数的性质求得解析式，然后根据单调性的定义证明单调性； （2）利用奇偶性与单调性转化问题为在上有解，分离参数为，有解，再转化为求，的最大值； （3）问题转化为，再解一元二次不等式即可． 【详解】（1）略 （2）因为在定义域上单调递增，又是定义在R上的奇函数， 所以在有解， 等价于在上有解， 即在上有解，即，有解， 令，，因为在[2，3]上单调递减， 所以，所以. （3）若对任意的时，不等式恒成立， 则有恒成立， 因为在R上单调递增， 当时，，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 综上得的取值范围是. 题型07 集合的包含关系型 题目核心是将不等式的解集与给定集合建立包含关系（子集），从而求解参数范围。这类问题通常转化为：不等式在集合上恒成立集合是不等式解集的子集。 解题步骤：第一步：先求出不等式的解集（通常含参数）；第二步：利用的关系，结合数轴或区间端点比较，列出关于参数的不等式组；第三步：求解参数范围，注意验证端点值及空集情况。 50．（22-23高一上·江苏扬州·期中）设集合，集合为关于的不等式组的解集，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为不等式组的解集，，， 所以不等式在上恒成立， 且不等式的解集包含集合， 又不等式可化为， 所以不等式的解集为， 所以，所以，且，所以. 不等式在上恒成立，故，其中， 设，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以当时，函数，取最大值，最大值为， 所以， 所以当时，取最小值，最小值为. 故选：C. 51．（25-26高二下·河南南阳·期末）若关于x的不等式恒成立，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】关于x的不等式恒成立. 1、恒成立， 即当时，恒成立， 所以只需， 所以； 2、恒成立恒成立， 即当时，恒成立，而， 当a=0时，不可能对整个区间成立， 故a>0，恒成立， 所以只需， 所以， 联立即， 计算. 52．（25-26高一上·陕西渭南·期末）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【详解】由化简得：， 不等式等价于， 解得 要使此不等式对任意恒成立， 则区间必须完全包含在解集中， 等价于与开区间的交集为空集， 区间在左侧，即，解得， 区间在右侧，即，解得， 当，则与必有交集，不满足条件， 综上，实数的取值范围是或， 题型08 恒成立与存在性混合型 题目核心在于将逻辑量词（任意，存在）转化为函数最值之间的关系。这类题目通常涉及两个变量在不同区间和上取值，解题的关键是准确理解命题逻辑并构建等价的最值不等式。 转化公式为： 1.对，总，使不等式成立； 2.对，总，使不等式成立； 3.对，，使不等式成立； 4.，，使不等式成立。 53．（24-25高一上·河北保定·期中）已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是_________. 【答案】或 【详解】，，满足不等式， 故只需， 其中，当且仅当时，等号成立， 关于的函数， 当且仅当时，等号成立， 所以，解得或， 综上，实数m的取值范围是或， 54．已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是_____. 【答案】 【详解】由题意，在中，其对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增， ∵对于，均有成立， 即对于，均有恒成立， 设， 则其对称轴为直线，函数在上单调递减，在上单调递增， ① 当即时， 函数在上单调递减，函数在上单调递减， ，， ，解得； ② 当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减， ，， 解得； ③ 当，即时，， 函数在上单调递增，函数在上单调递减， ，， ，故不符题意，舍去； ④ 当即时， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此时， 解得； ⑤ 当即时， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此时， 此时，，所以符合题意. ⑥ 当时， 函数在上单调递增，函数在上单调递增， ，， 此时，，所以符合题意. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 55．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 56．（24-25高一上·河北张家口·阶段检测）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；(2)；(3) 【分析】（1）将代入，解一元二次不等式即可； （2）转化为“对任意，都有恒成立”，结合均值不等式求的取值范围； （3），按的不同取值结合一元二次函数的单调性分类讨论即可. 【详解】（1）当时，即， 所以，所以，解得或， 所以不等式的解集为或. （2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以，即， 所以实数的取值范围是. （3）因为对，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增，， 因为， 所以当，即时，在单调递增，所以， 所以恒成立，此时； 当，即时，， 由解得，此时； 当，即时，， 由得，此时； 综上所述，实数的取值范围是. 57．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数，. (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为对任意，不等式恒成立， 所以即对任意恒成立， 则，解得， 故的取值范围为； （2）设函数在区间的值域为A，在区间上的值域为B， 因为对任意，存在，使得，所以， 当时，，即函数在区间的值域为， 函数的对称轴为， ，则在上单调递增，故， 而不是的子集，不符合； 当时，则在上单调递减，故， 要使，则，解得， 综上，的取值范围是. 58．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（，是实数且）是奇函数，. (1)求的解析式； (2)若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求出； （2）通过换元，根据题意转化为的值域，即，分类讨论即可； （3）将题意转化为，分类讨论即可. 【详解】（1）函数是奇函数，， 左边分子分母同乘，得， 即， ，又，，. （2），当时，，则，故， ， 令，，，则， 又对任意的，总存在，使得成立， 即的值域，即， 又图象的对称轴为，若，在递增，； 若， ，此时无解； 若，在递减，，此时无解， 综上，的取值范围为. （3）在上单调递减，则， 又存在，使得不等式对任意，恒成立， ， ，，其图象对称轴为， 若，在递增， ，解得； 若，在递减，在递增， ， ，解得，即； 若，在递减，在递增， ， 即，解得，即； 若，在递减， ，即 综上，，则的取值范围为. 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $