周周练11 5.3～5.5二次函数的应用、二次函数与一元二次方程、问题解决活动：怎样围面积最大（数学新教材北师大版九年级上册）

2026-2027学年九年级上学期数学周周测11 5.3～5.5二次函数的应用、二次函数与一元二次方程、问题解决活动：怎样围面积最大 时间：45分钟，分值：70分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．二次函数与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．若抛物线（a、c为常数，且）与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（     ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（     ） A．6 B．8 C．9 D．18 4．抛物线（）与x轴的交点为，，则关于x的一元二次方程的两个根是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 6．如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中高的球门横梁上的点B．设位于点B正下方的地面上的点为C，且．在这一飞行过程中，球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点A（平面直角坐标系的原点）的水平距离x（单位：m）的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 7．在1~7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息，如图所示，其中每千克成本和月份之间满足二次函数关系，每千克售价和月份之间满足一次函数关系，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是（     ） A．1月份 B．2月份 C．5月份 D．7月份 8．二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况为（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个异号的实数根 D．有两个不相等的实数根 9．如图，李叔叔想用长为的篱笆围成一个矩形草莓园，且要求矩形的一边的长不得低于，草莓园中有一横两纵且宽均为的小路，其余部分种草莓，则种草莓部分的最大面积为（） A． B． C． D． 10．如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线（单位：米）的一部分，施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架，已知点、在轴上方的抛物线上，点、均在轴上，且，则脚手架高为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11．某型号飞机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数关系式是．则飞机滑行________秒停下． 12．关于的函数与轴只有一个交点，则的值是_____． 13．如图，抛物线与轴相交于点、两点，与轴相交于点，点在该抛物线上且坐标为，则点的坐标是________． 14．如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值是___． 三、解答题：本题共3小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（6分）．已知一次函数与二次函数交于和两点，其中点在轴上． (1)求的值和点坐标； (2)直接写出时，的取值范围是________． 16（8分）．如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线． (1)求此抛物线的表达式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，当的面积为15时，求的坐标． 17（10分）．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数，（单件利润=售价-制造成本） (1)写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？ (3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于40元，如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测11 5.3～5.5二次函数的应用、二次函数与一元二次方程、问题解决活动：怎样围面积最大 时间：45分钟，分值：70分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．二次函数与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，， ∴该二次函数与轴的交点坐标是． 2．若抛物线（a、c为常数，且）与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 且抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为， 设另一个交点为， ∴． 解得． ∴另一个交点坐标为． 3．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（     ） A．6 B．8 C．9 D．18 【答案】A 【详解】解：令，得， 解得，， ∴，两点的坐标为和， ∴线段的长为． 4．抛物线（）与x轴的交点为，，则关于x的一元二次方程的两个根是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为，， ∴关于x的一元二次方程的两个根为，． 5．如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，当或时，抛物线在直线下方，因此不等式的解集是或． 6．如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中高的球门横梁上的点B．设位于点B正下方的地面上的点为C，且．在这一飞行过程中，球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点A（平面直角坐标系的原点）的水平距离x（单位：m）的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，以点为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立直角坐标系， 由题意可知顶点，其过点， 设球的竖直高度关于水平距离的函数关系式为， ， 解得， ∴函数解析式为． 7．在1~7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息，如图所示，其中每千克成本和月份之间满足二次函数关系，每千克售价和月份之间满足一次函数关系，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是（     ） A．1月份 B．2月份 C．5月份 D．7月份 【答案】C 【详解】解：设月份蔬菜每千克售价为元，每千克成本为元， 设，代入得到， 解得， ∴， 根据二次函数图象可知，顶点为，经过点， 设，把代入得到， 解得， ∴ ∴， ∴当时，有最大值， 即出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是月份． 8．二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况为（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个异号的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：一元二次方程可化为， 二次函数的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程的根， 由图可知，二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 9．如图，李叔叔想用长为的篱笆围成一个矩形草莓园，且要求矩形的一边的长不得低于，草莓园中有一横两纵且宽均为的小路，其余部分种草莓，则种草莓部分的最大面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：把小路平移到上方和左方，面积不变，如图： 设草莓部分的面积为S，，则， ∵小路的宽均为， ∴，， ∴， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，． 10．如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线（单位：米）的一部分，施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架，已知点、在轴上方的抛物线上，点、均在轴上，且，则脚手架高为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：∵矩形脚手架在隧道正中 ， ∴图形关于y轴对称 ， ∵， ∴设，（）， ∴ ， ∴点的坐标为． ∵点在抛物线上， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11．某型号飞机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数关系式是．则飞机滑行________秒停下． 【答案】20 【详解】解：， ∴当时，s取到最大值，即飞机着陆后滑行20秒才能停下来， 12．关于的函数与轴只有一个交点，则的值是_____． 【答案】1或2 【详解】解：∵函数与轴只有一个交点， ∴①当该函数是一次函数时，可得， 解得； ②当该函数是二次函数时，，且， 解得， 综上，a的值是1或2． 13．如图，抛物线与轴相交于点、两点，与轴相交于点，点在该抛物线上且坐标为，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵点在该抛物线上且坐标为， ∴点C和点D关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴相交于点、两点， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 14．如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值是___． 【答案】 【详解】解：设，，，矩形的面积为， 四边形为矩形， ， ，． ， ， ． 当时，最大值为， 即矩形的面积的最大值是． 三、解答题：本题共3小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（6分）．已知一次函数与二次函数交于和两点，其中点在轴上． (1)求的值和点坐标； (2)直接写出时，的取值范围是________． 【答案】(1)，点的坐标 (2) 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，得， ∴点的坐标为； 将点代入得，， ∴， ∴； 联立， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：∵一次函数与二次函数交于和两点，二次函数开口向上， ∴当时，一次函数图象在二次函数图象的上方， ∴时，的取值范围是． 16（8分）．如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线． (1)求此抛物线的表达式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，当的面积为15时，求的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为或 【详解】（1）解：∵抛物线过点，对称轴， ∴与轴另一交点， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点是抛物线对称轴上的一点， ∴设， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线解析式， 当时，，即直线与交点为， ∵的面积为15， ∴三角形面积， ∴， ∴或， ∴，， 点坐标为或． 17（10分）．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数，（单件利润=售价-制造成本） (1)写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？ (3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于40元，如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】(1)； (2)销售单价定为28元或40元； (3)当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元． 【详解】（1）解：， 故与之间的函数表达式为； （2）解：由，得，解这个方程得， 所以，销售单价定为28元或40元； （3）解：厂商每月的制造成本不超过540万元，每件制造成本为18元， 每月的生产量为：小于等于30万件， ， 解得：， 又由限价40元，得， ， 图象开口向下，对称轴右侧随的增大而减小， 时，最大为：510万元． 当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测11 5.3～5.5二次函数的应用、二次函数与一元二次方程、问题解决活动：怎样围面积最大 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．二次函数与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，， ∴该二次函数与轴的交点坐标是． 2．若抛物线（a、c为常数，且）与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 且抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为， 设另一个交点为， ∴． 解得． ∴另一个交点坐标为． 3．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（     ） A．6 B．8 C．9 D．18 【答案】A 【详解】解：令，得， 解得，， ∴，两点的坐标为和， ∴线段的长为． 4．抛物线（）与x轴的交点为，，则关于x的一元二次方程的两个根是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为，， ∴关于x的一元二次方程的两个根为，． 5．如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，当或时，抛物线在直线下方，因此不等式的解集是或． 6．如图，某公园内有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥．经测量，玉带桥的拱顶离水面的高度为，若玉带桥所在抛物线对应的二次函数为，则对于该抛物线所在的平面直角坐标系描述正确的是（     ） A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴 B．以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴 C．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为轴 D．以抛物线与水面的右交点为原点，以水面为轴 【答案】B 【详解】解：对于二次函数，其对称轴为轴，顶点坐标为， ∵玉带桥的拱顶离水面的高度为， ∴该抛物线所在的平面直角坐标系是以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴． 7．如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中高的球门横梁上的点B．设位于点B正下方的地面上的点为C，且．在这一飞行过程中，球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点A（平面直角坐标系的原点）的水平距离x（单位：m）的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，以点为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立直角坐标系， 由题意可知顶点，其过点， 设球的竖直高度关于水平距离的函数关系式为， ， 解得， ∴函数解析式为． 8．在1~7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息，如图所示，其中每千克成本和月份之间满足二次函数关系，每千克售价和月份之间满足一次函数关系，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是（     ） A．1月份 B．2月份 C．5月份 D．7月份 【答案】C 【详解】解：设月份蔬菜每千克售价为元，每千克成本为元， 设，代入得到， 解得， ∴， 根据二次函数图象可知，顶点为，经过点， 设，把代入得到， 解得， ∴ ∴， ∴当时，有最大值， 即出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是月份． 9．二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况为（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个异号的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：一元二次方程可化为， 二次函数的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程的根， 由图可知，二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 10．如图，李叔叔想用长为的篱笆围成一个矩形草莓园，且要求矩形的一边的长不得低于，草莓园中有一横两纵且宽均为的小路，其余部分种草莓，则种草莓部分的最大面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：把小路平移到上方和左方，面积不变，如图： 设草莓部分的面积为S，，则， ∵小路的宽均为， ∴，， ∴， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，． 11．如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线（单位：米）的一部分，施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架，已知点、在轴上方的抛物线上，点、均在轴上，且，则脚手架高为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：∵矩形脚手架在隧道正中 ， ∴图形关于y轴对称 ， ∵， ∴设，（）， ∴ ， ∴点的坐标为． ∵点在抛物线上， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴． 12．如图，在矩形电子显示屏中，，，光点E从点B出发，以的速度沿的路径向点A匀速运动，同时光点F从点B出发，以的速度沿的路径向点C匀速运动，当光点F到达点C时，两光点同时停止运动，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设运动时间为， 点的速度为， ，． 点速度为， ， 点到达点停止运动，， ，即， 以为底，高为， ， ，抛物线开口向下，对称轴为直线，且在范围内， 当时，取得最大值， ． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．某型号飞机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数关系式是．则飞机滑行________秒停下． 【答案】20 【详解】解：， ∴当时，s取到最大值，即飞机着陆后滑行20秒才能停下来， 14．关于的函数与轴只有一个交点，则的值是_____． 【答案】1或2 【详解】解：∵函数与轴只有一个交点， ∴①当该函数是一次函数时，可得， 解得； ②当该函数是二次函数时，，且， 解得， 综上，a的值是1或2． 15．如图，抛物线与轴相交于点、两点，与轴相交于点，点在该抛物线上且坐标为，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵点在该抛物线上且坐标为， ∴点C和点D关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴相交于点、两点， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 16．如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值是___． 【答案】 【详解】解：设，，，矩形的面积为， 四边形为矩形， ， ，． ， ， ． 当时，最大值为， 即矩形的面积的最大值是． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（12分）．已知二次函数， (1)该二次函数顶点坐标为___________，图象与轴的交点坐标为___________，当随的增大而增大时，的取值范围是___________； (2)当时，求的取值范围． (3)当时，，则的取值范围是___________． 【答案】(1)；； (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为：，对称轴为直线， 令，则， ∴， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为：，． ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当随的增大而增大时，的取值范围是. （2）解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为：，， ∴函数最小值为， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为：. （3）解：当时，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∵当时，函数最小值为， ∴当时，的范围为. 18（10分）．已知二次函数． (1)若图象经过原点，则的值是多少？ (2)若图象的顶点落在轴上，则的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵图象经过原点， ∴将代入函数解析式可得， 解得； （2）解：∵图象的顶点落在轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴， 整理得， 解得， 即m的值为． 19（10分）．已知一次函数与二次函数交于和两点，其中点在轴上． (1)求的值和点坐标； (2)直接写出时，的取值范围是________． 【答案】(1)，点的坐标 (2) 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，得， ∴点的坐标为； 将点代入得，， ∴， ∴； 联立， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：∵一次函数与二次函数交于和两点，二次函数开口向上， ∴当时，一次函数图象在二次函数图象的上方， ∴时，的取值范围是． 20（10分）．已知二次函数． (1)求证：无论k为何值，该二次函数的图象一定经过x轴上一个定点，并求出这个定点坐标； (2)若该函数图象的顶点在x轴上，试确定k的值． 【答案】(1)证明： ， 令，得或， ∴无论k取何值，抛物线一定经过x轴上定点 （2）解：二次函数的顶点纵坐标为， ∵顶点在x轴上， ∴顶点纵坐标为0，即， 整理得， 即， 解得． ∴k的值为8． 21（10分）．如图，某景区内有一块矩形鲜花田地，其长为，宽为，现在其中修建一条观花道（图中阴影部分，现花道在矩形田地的长与宽上的长度均为）供游人赏花，设改建后剩余鲜花占地面积为． (1)求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)若改建后观花道的面积为，求x的值． 【答案】(1) (2)的值为1 【详解】（1）解：根据题意，得， 与x的函数解析式为． （2）解：根据题意，得， 解得，（舍去）， 的值为1． 22（10分）．如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线． (1)求此抛物线的表达式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，当的面积为15时，求的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为或 【详解】（1）解：∵抛物线过点，对称轴， ∴与轴另一交点， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点是抛物线对称轴上的一点， ∴设， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线解析式， 当时，，即直线与交点为， ∵的面积为15， ∴三角形面积， ∴， ∴或， ∴，， 点坐标为或． 23（12分）．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数，（单件利润=售价-制造成本） (1)写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？ (3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于40元，如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】(1)； (2)销售单价定为28元或40元； (3)当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元． 【详解】（1）解：， 故与之间的函数表达式为； （2）解：由，得，解这个方程得， 所以，销售单价定为28元或40元； （3）解：厂商每月的制造成本不超过540万元，每件制造成本为18元， 每月的生产量为：小于等于30万件， ， 解得：， 又由限价40元，得， ， 图象开口向下，对称轴右侧随的增大而减小， 时，最大为：510万元． 当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元． 24（12分）．如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ (3)在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 【答案】(1) (2)米 (3)这艘船能从这座拱桥下通过 【详解】（1）解：如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得：， 此时水面的宽度是米； （3）解：∵船宽， ∴当船在拱桥正中心行驶时，船边缘的横坐标为， 当时，， 此时拱桥高出水面的高度为米， ∵物资顶部距水面，且， ∴这艘船能从这座拱桥下通过． 25（12分）．某城市公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计． (1)任务一：建立模型 如图1，设计团队测得喷泉场地宽度米，在，处各安装一个喷水装置，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点到地面的距离为5米．以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)任务二：游客通道设计 如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制5条平行的地面标志线，每两条标志线之间的间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的竖直高度为1米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米； (3)任务三：灯光设计 设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意，首先将两个喷水装置同时向外侧移动米（在所在直线上），此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，接着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯（在所在直线上左右对称安装），每盏射灯与同侧喷水装置底端的水平距离均为米（左右相同），射灯射出的光线与地面的夹角为且两条光线相交于一点，若光线与水柱之间的最小竖直距离为2米，求，的值． 【答案】(1) (2)米 (3)， 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线顶点为，且过点， 设抛物线解析式为， 将代入得：， 即，解得， 故抛物线解析式为； （2）解：由题意，挡雨伞顶端离地面3米，最外侧挡雨伞顶端与水柱的垂直高度为米， 水柱在该位置的纵坐标为， 将代入抛物线解析式得：，解得， 最外侧挡雨伞的水平位置为米， 由于5条标志线将到的距离平均分为4段， 则每段间距为米， 故每相邻两条标志线的间距为米； （3）解：由题意，左侧新抛物线顶点为，形状不变， 设解析式为， 将代入解析式，得在轴上的纵坐标． ∵交点向下移动1米， ∴，解得(舍去负值)． 此时，左侧抛物线解析式为， 则左侧喷水装置位置为即，左侧射灯位置为， 光线与地面夹角为， 故左侧射灯光线方程为． 在左侧抛物线上任取一点，其中，， 直线上取正上方的点，则， ∴， 这是关于的二次函数，开口向上， ∴当时，得最小纵坐标差为， ∴，解得． 综上，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测11 5.3～5.5二次函数的应用、二次函数与一元二次方程、问题解决活动：怎样围面积最大 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．二次函数与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．若抛物线（a、c为常数，且）与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（     ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（     ） A．6 B．8 C．9 D．18 4．抛物线（）与x轴的交点为，，则关于x的一元二次方程的两个根是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 6．如图，某公园内有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥．经测量，玉带桥的拱顶离水面的高度为，若玉带桥所在抛物线对应的二次函数为，则对于该抛物线所在的平面直角坐标系描述正确的是（     ） A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴 B．以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴 C．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为轴 D．以抛物线与水面的右交点为原点，以水面为轴 7．如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中高的球门横梁上的点B．设位于点B正下方的地面上的点为C，且．在这一飞行过程中，球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点A（平面直角坐标系的原点）的水平距离x（单位：m）的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 8．在1~7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息，如图所示，其中每千克成本和月份之间满足二次函数关系，每千克售价和月份之间满足一次函数关系，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是（     ） A．1月份 B．2月份 C．5月份 D．7月份 9．二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况为（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个异号的实数根 D．有两个不相等的实数根 10．如图，李叔叔想用长为的篱笆围成一个矩形草莓园，且要求矩形的一边的长不得低于，草莓园中有一横两纵且宽均为的小路，其余部分种草莓，则种草莓部分的最大面积为（） A． B． C． D． 11．如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线（单位：米）的一部分，施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架，已知点、在轴上方的抛物线上，点、均在轴上，且，则脚手架高为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 12．如图，在矩形电子显示屏中，，，光点E从点B出发，以的速度沿的路径向点A匀速运动，同时光点F从点B出发，以的速度沿的路径向点C匀速运动，当光点F到达点C时，两光点同时停止运动，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．某型号飞机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数关系式是．则飞机滑行________秒停下． 14．关于的函数与轴只有一个交点，则的值是_____． 15．如图，抛物线与轴相交于点、两点，与轴相交于点，点在该抛物线上且坐标为，则点的坐标是________． 16．如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值是___． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（12分）．已知二次函数， (1)该二次函数顶点坐标为___________，图象与轴的交点坐标为___________，当随的增大而增大时，的取值范围是___________； (2)当时，求的取值范围． (3)当时，，则的取值范围是___________． 18（10分）．已知二次函数． (1)若图象经过原点，则的值是多少？ (2)若图象的顶点落在轴上，则的值是多少？ 19（10分）．已知一次函数与二次函数交于和两点，其中点在轴上． (1)求的值和点坐标； (2)直接写出时，的取值范围是________． 20（10分）．已知二次函数． (1)求证：无论k为何值，该二次函数的图象一定经过x轴上一个定点，并求出这个定点坐标； (2)若该函数图象的顶点在x轴上，试确定k的值． 21（10分）．如图，某景区内有一块矩形鲜花田地，其长为，宽为，现在其中修建一条观花道（图中阴影部分，现花道在矩形田地的长与宽上的长度均为）供游人赏花，设改建后剩余鲜花占地面积为． (1)求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)若改建后观花道的面积为，求x的值． 22（10分）．如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线． (1)求此抛物线的表达式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，当的面积为15时，求的坐标． 23（12分）．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数，（单件利润=售价-制造成本） (1)写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？ (3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于40元，如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 24（12分）．如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ (3)在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 25（12分）．某城市公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计． (1)任务一：建立模型 如图1，设计团队测得喷泉场地宽度米，在，处各安装一个喷水装置，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点到地面的距离为5米．以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)任务二：游客通道设计 如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制5条平行的地面标志线，每两条标志线之间的间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的竖直高度为1米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米； (3)任务三：灯光设计 设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意，首先将两个喷水装置同时向外侧移动米（在所在直线上），此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，接着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯（在所在直线上左右对称安装），每盏射灯与同侧喷水装置底端的水平距离均为米（左右相同），射灯射出的光线与地面的夹角为且两条光线相交于一点，若光线与水柱之间的最小竖直距离为2米，求，的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $