5.4 二次函数与一元二次方程&问题解决活动：怎样围面积最大-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级上册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

8.D 9.A【解析】二次函数y=a(x+1)2的顶点坐标为(-1,0)，.OA =0B=1,.点B坐标为(0，-1)，把(0，-1)代入y=a(x+1)2, 得-1=a,y=-(x+1)2,把(-4，b)代入y=-(x+1)2,得b= -9,.点C坐标为(-4，-9)，.S△4Bc=S△A0C+SaB0c-S△M0=2 0Ayl+20B.lx,1-2A0:B0=7×1x9+7×1x4-2×1 ×1=6。故选A。 10.y=2(x-2)2【解析】小：二次画教y=a(x-k)2的图象开口 向上，a>0。对称轴为直线x=2,k=2,二次函数y=a (x-k)2的解析式为y=a(x-2)2。与y轴的交点到原点的 距离为2，.与y轴交于点(0,2)或(0，-2)，把点(0,2)代入 得2=4a,∴.a= ,把，点(0，-2)代入得-2=4a,.a=-7（舍 2 去)。解析式为y=)(x-2)。 11.解：(1).抛物线y=(x-h)2的顶点为B(2,0),∴.抛物线的 解析式为y=(x-2)2； (2)当x=0时，y=(x-2)2=4,.A(0,4)。顶点为B(2,0), .对称轴为直线x=2。·AC⊥y轴，交该抛物线于点C,A、 C关于直线x=2对称，∴.C(4,4),∴.AC=4。.四边形ACBD 是平行四边形，∴.BD=AC=4,B(2,0),∴.D(-2,0),SGACBD=4 ×4=16。 第4课时二次函数y=a(x-h)2+k与 y=ax2+bx+c的图象与性质 1.C2.C 3. 【方法点拔】比较二次函数的函数值的大小：(1)利用增减性 比较：①当点在对称轴同侧时，直接根据函数的增减性判断； ②当点在对称轴的两侧时，找某点关于对称轴的对称点，将其 转化到对称轴的另一侧，当所有点都在对称轴的同一侧时，再 根据增减性判断；(2)利用点到对称轴的距离比较：①当抛物 线开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大； ②当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，对应的函数 值越小：(3)代入求值比较：把自变量的值直接代入表达式求 值，比较所得值的大小。 4.B5.D6.2或47.C8.A9.B 10.A【解析】：y=x2-2x+m2+2=(x-1)2+(m2+1),.顶点坐标 为(1，m2+1)。,1>0,m2+1>0,.顶，点在第一象限。故选A。 11.B12.D13.A 14.D【解析】由抛物线开口向上得a>0,抛物线的对称轴为x= 2a1,则6=-20，故b<0;抛物线交y轴于负半轴得c<0,所 . 以abc>0,故①正确：根据①可将抛物线的解析式化为y=ax -2ax+c(a≠0)，由函数的图象知，当x=-2时，y>0,即4a- （-4a)+c=8a+c>0,故②正确；根据抛物线的对称性可知： (-1,0)关于对称轴的对称点是(3,0)，当x=-1时，y<0,所以 当x=3时，也有y<0,即9a+3b+c<0,故③正确。故选D。 15.D16.-1 17.（2√2,2√2)【解析】直线y=x绕原点0逆时针旋转45°得 到x=0,设抛物线y=2(x+1)2+2与y轴的交点为M',∴.x=0 时，y=4,.M'(0,4),设点M(m,m),由题意得：OM=0M'= 4,.m2+m2=42,m=22（负值舍去)，.点M的坐标为 (2√2,22)。 18.解：(1)将抛物线y=2x2沿y轴向上平移1个单位长度，再沿 x轴向右平移2个单位长度，得到平移后抛物线的解析式为3 =2(x-2)2+1。 (2):平移后抛物线的解析式为y=2(x-2)2+1,A点的坐 标为(2,1)。设直线OA的解析式为y=x(k≠0)，将A(2,1) 代入得=2“直线0A的解析式为y=2x,将x=3代入y 3 3 =2x,得y=之。C点的坐标为(3,2)。将x=3代人y 3 2(x-2)2+1得y=3,.B点的坐标为(3,3)。.BC= 2, c28c5e=××13-21= 13 同步练习，精炼高效抓考 高效同步练习3二次函数的应用 第1课时确定二次函数表达式 1.C2.A3.A 4.解：(1)将点(1,2)和(0,4)代入抛物线y=x2+bx+c,得 {=4°。六此抛物线的表达式为y=2-3x+4; 1t6+c=2,解得=，3。 c=4 2)由①得y=x2-3x+4=(x2)+ 4一抛物线开口向上， 对称轴是直线x2顶点为（子，子）：当<子时，y随x的增 37 大而减小，当x> 时，y随x的增大而增大。 5.D 6.解：(1)由题意得，函数的最大值为10，即k=10,∴.将点(0,0) 代入抛物线y=a(x-20)2+10,得a(0-20)2+10=0,解得a= 40此抛物线的表达式y=40(x-20)2+10: (2)石块能飞跃防御墙；理由如下：由题意知，点B的坐标为 40(30-20)2+10=7.5> 1 (28,6),.C(30,6);当x=30时，y= 6,∴.石块能飞跃防御墙。 第2课时解决面积最值问题 1.C2.B3.C4.B5.C 6.解：(1)AB=xm,则BC=(28-x)m,.x(28-x)=192,解得x1 =12,x2=16,即x的值为12或16； (2).AB=xm,.BC=(28-x)m,.S=x(28-x)=-x2+28x= -(x-14)2+196。.·在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别 是15m和6m。.28-x≥15，∴.6≤x≤13，.当x=13时，S取到 最大值，S=-(13-14)2+196=195,即花园面积S的最大值为 195平方米。 第3课时利润问题 1.A2.A3.A4.A 5.解：(1)设函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，把x=15时，y=30 =16时，=28代人得581816解得{660y与之间 的函数关系式为y=-2x+60; (2)设销售这种跳绳每天获利0（元)，根据题意得0= (x-10)(-2x+60)=-2(x-20)2+200。a=-2<0,10≤x≤18， ∴当x=18时，w取得最大值，最大值为0欧 =-2×(18-20)2+ 200=192(元)，答：当销售单价为18元时，每天获利最大，最大 获利192元。 6.C 7.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，把(2， 120)和(4,140)代入得40=10解得仫180，所以y与 (2k+b=120 之间的函数关系式为y=10x+100(0<x<20); (2)根据题意得，(60-40-x)(10x+100)=2090,解得x=1或， =9,为了让顾客得到更大的实惠，所以x=9,因此，这种干果每 千克应降价9元； (3)设最大利润是0元，根据题意得w=(60-40-x)(10x+100) =-10x2+100x+2000=-10(x-5)2+2250,故该干果每千克降价 5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元。 8.解：任务1：设从9月份到11月份该系列电动汽车交付量的月 平均增长率为x。根据题意列方程得：32000(1+x)2=38720 解得x,=0.1=10%,x,=-2.1(不符合题意，舍去)，答：从9月 份到11月份该系列电动汽车交付量的月平均增长率为10%； 任务2：设每辆降价0.1y万元，由题意，得(8-0.1y-6.8)(400 +100y)=-10(y-4)2+640。∴.当y=4时，月销售利润最大，最 大值为640，此时售价为8-0.1×4=7.6（万元）。 答：当这款电 动汽车售价为7.6万元时，月销售利润最大，最大利润是640 万 高效同步练习4二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程之间的关系 1.A2.A3.A4.B5.B 6.C【解析】由题意得：42-4×2m>0,解得m<2,故选C。 【变式】C 7.D 8.解：小球的高度不能达到5.5米，理由如下：把h=5.5代入h= -52+10t得，5.5=-52+10，t2-2+1.1=0,:4=(-2)2-4× 1.1=-0.4<0,∴方程无实数解根，.小球的高度不能达到 5.5米。 BS九年级数学上册 77 9.A10.A11.m>312.x1=1,x2=-213.7 14.-15【解析】由题意得顶点在M处，点A横坐标为-3，设抛 物线的表达式为y=a(x+1)2+4,将点A坐标(-3,0)代入得0 =a(-3+1)2+4,解得a=-1。当x=-1时，y=a-b+c,顶点在N 处时，y=a-b+c取得最小值，顶点在N处，抛物线的表达式为 y=-(x-3)2+1,当x=-1时，y=a-b+c=-(-1-3)2+1=-15。 15.解：（1)如图所示； 4-3-2-1 563 -1-116-- (2)把(2，-4)，(1，-3)分别代入y=ax2+b1x1得4+2b=-4 a+b=-33 解得a=1,b=-4。 (3)y轴减小(4)-4<m<0。 第2课时用二次函数的图象解一元二次方程 1.C2.B3.-3.34.x<-1或x>45.1(答案不唯一) 6.C7.A 8.解：(1) -3-2 -1 01 -123 2-1 描点并连线，如图所示： 5-4-3-2H 2345花 （(2)x1≈0.7，x2≈-2.7。 ☆问题解决活动：怎样围面积最大 1.解：(1)根据题意得，S=x(10-x)=-x2+10x(0<x≤6)： (2)由(1)知，S=-x2+10x=-(x-5)2+25,当x=5时，S有最 大值，∴.当菜园面积最大时，此时矩形菜园的长和宽分别为5m 和5m; (3):当菜园面积最大时，此时矩形菜园的长和宽分别为5m 和5m。由(1)知0<x≤6，∴.该方案围成面积最大时符合墙长 要求。 追梦第五章章末复习二次函数 1.B2.D3.A 4.B【解析】A.将点(-1,0)，(0，-3)，（2，-3)代入二次函数y= (a-b+c=0 a=1 ax2+bx+c(a≠0)，得{c=-3 ,解得 b=-2,∴.二次函数 (4a+2b+c=-3 (c=-3 解析式为y=x2-2x-3.1>0,该函数图象开口向上；B.抛 物线经过(0，-3)、(2，-3)，抛物线的对称轴为直线x=1,当这 两点(x1,-1),(x2,-2)在对称轴左侧时，x1<x2,在对称轴右侧 时，x1>x3,C.把(3,0)代入y=x2-2x-3,y=0,D.因为抛物线的 对称轴为直线x=1,且开口向上，所以当x>1时，y随x的增大 而增大，故选B。 5.C6.C7.x1=-3x2=5 8.220【解析】由图象是经过原点的一条抛物线的一部分，设抛 物线解析式为P=a2+b1,把（1,165)，（4,0)代入得 6+450解得{6=28超场线解折式为P55+20 (a+b=165 =-55(1-2)2+220。.-55<0,∴.当1=2时，P取最大值220， ∴.变阻器R消耗的电功率P最大为220W。 9.3【解析】已知图象过点（-1,0)，对称轴为直线x=2,由二次 函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， a<0,c>0。对称轴为直线x=2,x=2a =2,∴.b>0,b= -4a,∴.4a+b=0,①②正确；图象过点(-1,0)，对称轴为直线 x=2,.当x=-3时，y<0,.y=ax(-3)2-3b+c<0,即9a+c<3b, ③错误；.点A(-2,y1)、点B(2,y2)、点C(3,y3)在该函数图 78 同步练习，精炼高效抓考 象上，对称轴为直线x=2,∴.y1<y3<y2,④正确。 10.解：(1)C(0,3),即0C=3,又：BC=5.在Rt△B0C中，根 据勾股定理得OB=√BC2-OC2=4,即B(4,0); (2)把B(4,0)、C(0,3)分别代入y=kx+n(k≠0)中得 3 4h+=0,解得k=4,直线BC解析式为y=- 3 (n=3 4+3;把 (n=3 A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)分别代人y=ax2+bx+c(a≠0)得 (a+b+c=0 as 3 4 16a+4b+c=0,解得 5。抛物线的解析式为y=子 (c=3 b=- c=3 4x+3; (3)在抛物线的对称轴上存在点P,使得以B,C,P三点为顶 点的三角形是直角三角形。“y=子- 4+3,x=-2a 三抛物线的对称轴为x=弓。设点P的坐标为(，m)。 ap=(4产m,Pc=((m-3,ac=25。①当 ∠P0B=90时，B=Pc+8c(4Pm=(3P4(am 3到+25，解科m=9A(3,号，②当∠Bc=-0时，心 =Pg+BCc(3)+(m-3)2=(4-克》户+m2+25,解得m -2P(3,-2》:③当∠BPC=90时，BC=PB+PC,即25 )2+m2+(3)+(m-3),解得m,=3+6, (45 2 ,m2 26R(325.3 3-2√6 53-2W6 )。综上，在抛物线 的对称轴上，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角 形的点P的坐标为R(月，9)，P,(,-2),B( p326 3+2W6、 11.解：(1)①4②可以 ③.h=4,k=5,.∴.设抛物线解析式为y=a(x-4)2+5,把x=0, y=1代入解析式a(0-4)2+5=1,解得a=-0.25,.抛物线解 析式y=-0.25(x-4)2+5; (2)>【解析】当y=2.75时，则-0.25(x-4)2+5=2.75,解得 x1=7,x2=1。接球时球越过球网，d1=7,在第二次接球 中，当y=2.75时，则-0.2(x-4.5)2+5.2=2.75,解得x1=1， x2=8。接球时球越过球网，d2=8,d2-d1=8-7=1>0。 高效同步练习1用树状图或表格求概率 第1课时用树状图或表格求概率 1.C2.C3.D4.A5.A 6.解：(1) A (2)画树状图如下： 开始 EFGEFGEFGEFG 共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中晓慧 第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》的结果只有 1种：(D,F),.晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园 春·雪》的概率为 12 第2课时利用概率判断游戏的公平性 1.B2.B3.A4.A5.A 6.解：(1)游戏不公平。 画树状图如下： BS九年级数学上册高效同步练习4二次函数与 第1课时二次函数与一元二次 知识点①二次函数与一元二次方程之间的 关系 1.(3分)小明画了二次函数y=2x2+bx+c的图 象（如图所示），则关于x的方程2x2+bx+c=0 的解为( A.x1=-3,x2=1 B.x=1 C.x=-6 D.x=-8 2.(3分)关于二次函数y=x2-3x+2的图象与x 轴交点个数的情况，下列说法正确 的是( A.有两个交点 B.有一个交点 C.没有交点 D.无法判断 3.(3分)二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示， 则关于x的一元二次方程x2+bx+c-5=0的根 的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法准确判断 4.（3分)已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数) 的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数 根是( A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3 5.(3分)将抛物线y=x2-1向下平移8个单位 长度后与x轴的两个交点之间的距 离为() A.4 B.6 C.8 D.10 25分钟同步练习，精炼高效扔 元二次方程 方程之间的关系 6.(3分)若二次函数y=2x2+4x+m 轴有两个不同的交点，则m的取值范围 是() A.m≥-2 B.m≤2 C.m<2 D.m>2 变式(3分)二次函数y=x2-☐x+1的图象与 x轴只有一个交点，则“口”中的数可 以为( A.0 B.1 C.2 D.3 7.(3分)二次函数y=x2+mx的图象的对称轴是 直线x=3,则关于x的方程x2+mx=7的 解为() A.x1=0,x2=6 B.x1=1,2=7 C.x1=1,x2=-7 D.x1=-1,x2=7 知识点②利用二次函数与一元二次方程之间 的关系解决实际问题 8.(9分)学校科学社团成员制作了一个物体发 射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射 出物体，已知发射出的物体离地面的高度h (单位：m)满足关系式h=-5t+vot,其中t(单 位：s)是物体运动的时间，用发射器（发射器 的高度忽略不计)将一个小球以初速度o= 10m/s地面竖直向上抛。小球的高度能否达 到5.5m?若能，请求出运动时间t;若不能， 请说明理由。 第五章 考点BS九年级数学上册 57 易错点忽视抛物线与y轴有交点 9.(3分)抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点 个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 10.(3分)若二次函数y=ax2+1的图象经过点 (-2,0),(2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1 =0的实数根为( A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x2=6 3 5 C.1=2x2=2 D.x1=-4,x2=0 11.(3分)把二次函数y=x2+4x+m的图象向上 平移1个单位长度，如果平移后所得抛物线 与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满 足条件： 12.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x+ 2相交于点A(m,3)、B(n,0),则关于x的方 程ax2+bx+c=x+2的解为 13.(3分)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示， 若关于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有实 数根，则m的最大值为 第 B 章 第13题图 第14题图 14.(3分)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交 于A,B两点，点A在点B左侧，顶点在折线 M一P一N上移动，它们的坐标分别为M (-1,4),P(3,4),N(3,1)。若在抛物线移 动过程中，点A横坐标的最小值为-3，则a-b +c的最小值为 58 25分钟同步练习，精炼高效扔 15.(9分)某班数学小组对函数y=ax2+b|x1的 图象和性质进行了探究。 【探究过程】 (1)根据自变量x的取值范围是全体实数， 列表写出了x与y的部分对应值： …-4-3-2-10 12 4 y…0-3-4-30-3-4-30 (2)根据表格数据，在平面直角坐标系中描 点、连线，画函数图象。 【探究应用】 (1)请在平面直角坐标系中，画出该函数的 图象； (2)写出a,b的值； (3)该函数的对称轴是 ;当x<-2 时，y随x的增大而 (填“增大”或 “减小”)； (4)关于x的方程ax2+blx1-m=0有四个实 数根，直接写出m的取值范围。 65432-1112345.6x 考点BS九年级数学上册 第2课时 用二次函数 知识点①用二次函数的图象解一元二次方程 的近似解 1.（3分)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自 变量x与函数值y的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1-0.490.04 0.591.16 那么方程x2+3x-5=0的一个近似 根是() A.1 B.1.1C.1.2 D.1.3 2.（3分)方程2x2+x-2=0的近似根可以看作是 下列哪两个函数图象交点的横坐标() A.y=2x2和y=x-2B.y=2x2+x和y=2 C.y=2x2-2和y=xD.y=-2x2和y=x+2 3.（3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部 分图象如图所示，顶点坐标为(-1，-3.2)，由 图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 的两个根分别是x1=1.3,x2= 4-3-2-10 23 知识点②二次函数与一元二次不等式的关系 4.（3分)如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+ bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点，则关于x的 不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是 \012 x=1.4 第4题图 第5题图 5.（3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象 如图所示，写出一个满足不等式ax2+bx+c<-1 的x的值，这个值可以是 15分钟同步练习，精炼高效扔 的图象解一元二次方程 6.(3分)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象， 图象上有两点分别为A(2.18,-0.51), B(2.68,0.54),则方程a(x-1)2+b(x-1)+c= 0的一个解只可能是( ) 1 B(2.68,0.54) -2-34 A(2.18,-0.51) A.1.59 B.2.68C.3.45 D.3.72 7.(3分)二次函数y=a(x-4)2-4的图象在2<x <3这一段位于x轴下方，在6<x<7这一段位 于x轴的上方，则a的值为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 8.(9分)已知二次函数y=-x2-2x+2. (1)填写表，并在给出的平面直角坐标系中画 出这个二次函数的图象； -3 -2 0 2 (2)结合函数图象，直接写出方程-x2-2x+2= 0的近似解（精确到0.1）。 第五章 考点BS九年级数学上册 59 ☆问题解决活动：怎样围面积最大 1.（10分)某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜园，为此，某数学 兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下： 活动主题 为学校设计矩形菜园 活动准备 1.准备皮尺等测量工具；2.调研学校需求 图1是学校围墙一角的平面图，信息图如图所示： 墙 1.两道墙之间的夹角为直角； 采集数据 墙 2.两道墙可用于建菜园的长度都不超过6m; 3.可用的篱笆总长度为10m。 图1 A 墙D 把篱笆按如图2所示的方式扎下后和两道墙构成 篱笆 设计方案 矩形ABCD。通过改变AB的长度，使得菜园的面 墙 积最大。 B篱笆 图2 小组成员经过讨论，确定设AB的长为xm,菜园的面积为Sm2,列出S关于x 确定思路 的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围，从而获得菜园面积的最 大值。 根据以上信息，解决下列问题： (1)求菜园面积S(单位：m)关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽； (3)判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？ 第五章 60 15分钟同步练习，精炼高效抓考点BS九年级数学上册