专题17 二次函数中线段、周长、面积最值问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数中线段、周长、面积最值五类题型，通过解题通法提炼、题型模版构建及压轴挑战，系统培养抽象能力与模型观念，实现方法迁移与思维突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|坐标转化、对称化直、铅垂高/割补法|从共性特征到普适解法，建立“几何问题代数化”思维链| |线段最值|1典例+3变式|设坐标→距离公式→二次函数求顶点|从单点线段到动态差比，深化函数建模能力| |线段和/差最值|各1典例+3变式|将军饮马对称、三角形三边关系|从静态和差到动态转化，培养推理意识| |周长/面积最值|各1典例+3变式|化折为直、铅垂高公式、割补法|从简单图形到复杂组合，提升空间观念| |压轴挑战|6综合题|多方法融合+分类讨论|综合应用前五类方法，突破思维上限|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题17二次函数中线段、周长、面积最值问题的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：在抛物线背景下，求动点构成的线段长、图形周长或面积的最大/最小值，常涉及水平宽×铅 垂高、将军饮马等模型。 -解题方法：设动点坐标，用两点距离或铅垂高公式表示目标量，转化为二次函数；周长最值常用对称变 换化折为直：面积最值可用割补法或水平宽×铅垂高。 ~易错提醒：忽略自变量取值范围致顶点处取不到：水平宽×铅垂高公式中铅垂高符号处理错误；将军饮马 对称点选错；未区分线段与水平/竖直距离的代数表达。 ◆◆ 夙题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 典例1(25-26九年级上：宁夏银川期末)如图，抛物线y=x2+bx+C与x轴相交于A,B两点，与y轴交于 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点C,其中点A的坐标为 0,且点25在物线=++e上. -3,0 (1)求抛物线的解析式： (2)设点Q是线段AC上的动点，作直线QD1x轴于点D,交抛物线于点E,求线段QE长度的最大值. 题型模版 1特征：在坐标系中，动点在函数图象上，求线段长度（如两点间距离）的最大值或最小值。 2方法：设动点坐标，用两点距离公式表示线段长度的平方，转化为二次函数，配方求顶点得最值。 变式1-1(25-26九年级下广东惠州开学考试)如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点 (6,0) 与》轴交于点 (0,-6) 抛物线经过点A,B,且对称轴是直线r=1 YA D (1)求直线的解析式： (2)求抛物线的解析式： (3)点P是直线I下方抛物线上的一动点，过点P作PC1x轴，垂足为C,交直线于点D,过点P作 PM⊥I,垂足为M.求PM的最大值及此时P点的坐标 变式1-2(25-26九年级上·福建漳州阶段检测)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ac2-2x+c 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(-1,0)B(3,0) 与x轴交于点 与y轴交于点C. 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C的坐标： (2)若点P为抛物线上一动点（点P不与点A,B,C重合).设点P的横坐标为. ①设抛物线上点P,C之间的部分（含P、C)为图象C,当图象C的最高点和最低点的纵坐标之差为8时， 求L的值： ②如图2，点P在第四象限抛物线上，过点P作PE‖y轴交直线BC于点E,求线段PE长的最大值： 变式13(25-26九年级下河北单元复习)已知二次函数'=ar+x+c(a*0): 的图象与x轴交于 A(-3,0)B(1,0) 两点，与y轴交于点C0,-3m(m>0 ,顶点为D如图，当m=1时， (1)求该二次函数的解析式； PO (②)点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC、OP相交于点Q,求O0的最大值： 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 典例2(25-26九年级上相建泉州期末)抛物线”=+br+4经过1(-1,0)、B(4,0)两点 (1)求抛物线的解析式： (2)点P在抛物线上且位于第一象限，连接PA、PB,若△PAB的面积为10，求点P的坐标： (3)在(2)的条件下，点O是抛物线的对称轴上一点，连接PD、BO,当PQ+B最小时，求Q的坐标. 题型模版 1特征：求两条或多条线段和的最小值，常含动点，需化曲为直或构造函数。 2方法：将军饮马作对称化折线为直线：或用二次函数表示线段和，配方求顶点，注意取值范围。 座式21(2526九年级上青海海东期未)如图，抛物线'-？+r+C与*销交于4B两 B两点(4在B的 左侧)，与'轴交于点V,过4点的直线：y=-x-1与'轴交于点C,与抛物线"=-+x+ 1 的另一个 D5-6,已知P点为抛物线 y=-x+bx+c 交点为 上一动点（不与小D重合》. B (1)求抛物线的解析式： (②)当点P在直线l上方的抛物线上运动时，过P点作PE∥x轴交直线于点E,作PF∥y轴交直线I于点 F,求PE+PF的最大值， 变式2-2(25-26九年级上广西梧州期末)如图，抛物线y=-r+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交 于点C,点P为直线BC上方抛物线上一点（点P不与点B、C重合），过点P作PD⊥x轴于点D,交线 段BC于点E,设点P的横坐标为. 4/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)直接写出P点的坐标为 E点的坐标为 (2)当PE=BE时，求点P的坐标； (③)若点P的横坐标为2，点G是y轴上的一个动点，连接PG,BG,求PG+BG的最小值及此时点G的坐 标. 变式2-3(2026四川德阳模拟预测)如图1，抛物线y=x+br+C与x轴交于A,B两点，对称轴是直线 X=一 2,图象与y轴交于点C(0,-2),连接AC,BC. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： 包点P是超物线位于第二家限图象上的一点，连接10C”,昌5=5时求点P的坐标 D (3)如图2，点P是线段AB上一动点，E的坐 标Q),造接EP,求4P+5EP的最小值 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 典例3(2026河南周口·模拟预测)已知抛物线’=a+br+c经过1(-0)和B(4,0) 两点，其顶点为D (①如图，当C=8时，求抛物线 =ax+bx+c 的解析式. (2)点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2，当BD-ED最大时，求点D的坐标. 题型模版 1特征：求两条线段差的最大值，动点在函数图象上，常利用三角形三边关系或函数建模。 2方法：作对称点转化为共线问题（差最大用三角形三边关系），或用坐标表示差为二次函数求最值。 变过31(2026江苏宿迁三模)抛物线=+c+C经过点4、A、C,已知8.0)，C(0,-3) 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点D是抛物线对称轴上一动点，求当1 AD-CD 取最大值时，点D的坐标； (3)如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y=c+1(k>0)与抛物线相交于点P、卫（点 P在左边)，过点P作x轴平行线交抛物线于点R,当k发生改变时，请说明直线QR过定点，并求定点坐 标. 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-2(2026湖北襄阳一模)在平面直角坐标系中，抛物线'=-r+br+ 的图象经过 0,3).B(6,3)两 点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作PD⊥x轴于点D,交直线OB于点C,设点P的 横坐标为. D 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，当点C为PD中点时，求m的值： d=PC-CD (3)令 ①求d关于m的函数解析式： ②当d随m的增大而减小时，请直接写出的取值范围. 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 典例4(25-26九年级上山东聊城阶段检测)如图，抛物线'=？-r+C交x轴于点 A(1,0 ,交y轴于点 B,对称轴是直线x=2. x÷2 (1)求抛物线的解析式： (2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标： 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P,使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由. 题型模版 1特征：动点形成图形，求周长最大值或最小值，常需用函数表示各边之和。 2方法：设动点坐标，用两点距离公式表示各边，建立周长的二次函数，配方求顶点最值，注意几何约束。 变式4-1(2026浙江绍兴·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+3(b为常数)与x轴 正半轴交于点A,与y轴交于点B,对称轴直线x=1与x轴交于点C,点P为抛物线上第一象限内的动点， 设P点的横坐标为m. V (1)求b的值. (回当0≤x≤m时，记二次函数”=-+r+3的最大值、最小值分别为5，‘.若-1=05，求m的值 (3)过点P分别作x轴和对称轴的垂线，垂足分别为点D,E,当矩形PECD的周长最大时，求点P的坐标」 空式42(25.26九年级上江苏盐城期末)如图1，抛物线=a+r+3交*箱于点4-1,0)，点B(3,0) 交y轴于点C YA VA B 图 备用图 图2 (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)当0≤x≤3时，y的取值范围为 ：(直接写出答案) (3)点P为对称轴上一点，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标： (④)如图2，过原点O作直线交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m,点N的横坐标为n,求证：n 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是一个定值. 变式43(25-26九年级上黑龙江齐齐哈尔·期末)如图1在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x 轴分别交于A(-2,O)、B(6,O)两点，与y轴交于点C,顶点为点G,连接AC、BC,点P为直线BC上方抛 物线上一动点，连接AP交BC于点M GP M 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： PM PM (②)当AM的值最大时，求点P的坐标及AM的最大值： (3)如图2，EF是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方），连接CE、AF,当四边形 ACEF周长取最小值时，直接写出点E的坐标， 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 典圆5(2026四南充一模)如.%过420)，5引.c月 的抛物线与y轴交于D,点E在 第四象限抛物线上，点F在线段CD上 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2（备用） (1)求抛物线的解析式： (2)当EF与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形AEBF的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E,F的坐标？若不存在，请说明理由. 题型模版 1.特征：动点在函数图象上，求三角形或四边形面积的最大值或最小值，常选水平底或铅锤高。 2方法：设动点坐标，用铅锤法或割补法表示面积，建立二次函数，配方求顶点最值并验证范围。 变式5-1(2026四川成都二模)如图，抛物线y=x+bx+C(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A, B两点， AL,0),AB=4,点P为线段4B上的动点且不与点4，B重合，过点P作POBC交1C于点2 B (1)求该抛物线的解析式： (2②)求△CP№面积的最大值，并求此时点P的坐标： (3)在(2)的条件下过点Q的直线与抛物线交于M,N两点，求△OMN面积的最小值. 变式5-2(2026宁夏中卫·一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于 点C,点B在x轴正半轴上，抛物线'=+2x+c(a≠0) 经过A,B,C三点，顶点为D. 10/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)点A的坐标 点C的坐标 (2)求抛物线的解析式及点B,D的坐标： (3)探究在△ABC内部能否截出面积最大的矩形EFGH(顶点E在AC上，点F、G在AB上，点H在BC 上)？若能，求出矩形面积的最大值；若不能，请说明理由 变式5-3(25-26九年级下海南海口阶段检测)如图，二次函数'=+r的图象经过点 3,0)、点 B(1,2) 经过AB的直线与y轴交于点C 图1 图2 (1)求二次函数的表达式 (2)点P是在直线AB上方二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E,与直线AB交于点 D,设点P的横坐标为m. ①当PD=3OC时，求m的值； ②连接OP,过点B作BO⊥x轴于点Q,BO与OP交于点F,连接DF.设四边形FQED的面积为S,求 S关于m的函数表达式，并求出S的最大值， (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为 5,请直接写出n的值. 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一支克高难压热，定威思绵上保 一、解答题 1。（25-26九年级上河南周口期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数”=-2x+3 图象（记为 G与x轴交于点A,B.与y轴交于点C,三次函数三x+6+0 G, 的图象（记为）经过点A,C.直线 x=1与两个图象G,G分别交于点MN,与x轴交于点P. (1)求b,c的值： (2)当点P在线段AO上时，求MN的最大值. 2.（2026河南周口模拟预测)已知抛物线》=ar+r+c经过4(-l,0)和B(4,0 两点，其顶点为D E B (①如图，当C=8时，求抛物线 y=ax+bx+c 的解析式。 (2)点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2，当BD-ED最大时，求点D的坐标. 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26九年级上云南唐请期末)如图，抛物线=+c+3与轴交于1(-1,0)，8(30)两点，与y 轴交于点C. B (1)求抛物线的解析式： (2)点D是抛物线上一点，且 △MBm=8 ,求点D的坐标： (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请 说明理由 y=x2+bx+c 4.(25-26九年级上天津东丽期末)已知：二次函数 的图象与x轴交于A,B两点，其中A 点坐标为 3,0),与y轴交于点C,点D(-2-3列 在抛物线上. B D (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线的对称轴上有一点P,使△PAD周长最小，求P点坐标； (3)O为直线BD下方抛物线上一点，求△BDO面积的最大值： 5.(25-26九年级上广东惠州期中)如图，抛物线'=四+r+3a≠0 与x轴交于A,B两点，与y轴交 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (-1,0) 于点C,已知点A的坐标是 抛物线的对称轴是直线x=1」 yx=1 y x=1 B B 备用图 (1)直接写出点B的坐标. (2)在对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标和PA+PC的最小值. (3)第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN⊥x轴，垂足为N,连接BC交MN于点Q.依题意补 全图形，当 MO+2C0 的最大值时，求点M的坐标 6(2026江苏镇江二模)如图，二次函数=-+x+C的图象与'销交于A、B4,0)两点(4在8的 0,4, 左侧)，与'轴交于点 点P在抛物线上，连接BC、BP 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： 如图1，若点P在第一象限，连接交BC于点D.记D8P的面积为，ADC1的面积为S.当 S1<S2 时，则点P的横坐标“的取值范围是 (3)如图2，直线OP交抛物线于另一点Q ①若点P、点的横坐标分别是m、n,则mn=】 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②连接CP、CO,记△PC2的面积为S,求S的最小值. 15/15 专题17 二次函数中线段、周长、面积最值问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：在抛物线背景下，求动点构成的线段长、图形周长或面积的最大/最小值，常涉及水平宽×铅垂高、将军饮马等模型。 - 解题方法：设动点坐标，用两点距离或铅垂高公式表示目标量，转化为二次函数；周长最值常用对称变换化折为直；面积最值可用割补法或水平宽×铅垂高。 - 易错提醒：忽略自变量取值范围致顶点处取不到；水平宽×铅垂高公式中铅垂高符号处理错误；将军饮马对称点选错；未区分线段与水平/竖直距离的代数表达。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 典例1（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)设点Q是线段上的动点，作直线轴于点D，交抛物线于点E，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）求出直线解析式为，设点，则点，根据二次函数的最值求法，可求的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴点， 设直线解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设点，如图， 则点， ， ∵， 当时，有最大值，最大值为． 题型模版 1.特征：在坐标系中，动点在函数图象上，求线段长度（如两点间距离）的最大值或最小值。 2.方法：设动点坐标，用两点距离公式表示线段长度的平方，转化为二次函数，配方求顶点得最值。 变式1-1（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． (1)求直线的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，过点作，垂足为．求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值是，此时的P点坐标是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）解：∵，， ∴． ∵在中， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴， ∴． 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时最大， ∴， 当时，， ∴， ∴的最大值是，此时的P点坐标是． 变式1-2（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C的坐标； (2)若点P为抛物线上一动点（点P不与点A，B，C重合）．设点P的横坐标为m． ①设抛物线上点P，C之间的部分（含P、C）为图象C，当图象C的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求m的值； ②如图2，点P在第四象限抛物线上，过点P作轴交直线于点E，求线段长的最大值； 【答案】(1)， (2)①或② 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数表达式，利用二次函数求线段长度的最值，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数表达式即可，然后根据函数表达式确定抛物线与轴的交点坐标； （2）①分两种情况进行讨论，根据最低点确定最高点的纵坐标，然后利用二次函数表达式进行求解即可； ②利用待定系数法求出直线的表达式，表示出点的坐标和线段的长度，最后利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ，解得 ∴， ∴； （2）解：①当点位于点左侧时，， ∴， 解得或（舍去）； 由得，抛物线顶点坐标为， 当点位于点右侧时，， ∴， 解得或（舍去）； 综上，或； ②设直线的表达式为， 将，代入得， ，解得， ∴， 根据题意得，，且， ∴， ∵该二次函数表达式中， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 此时，顶点横坐标为，符合取值范围， ∴当时，线段长取最大值， 为， 所以，线段长的最大值为． 变式1-3（25-26九年级下·河北·单元复习）已知二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点，顶点为D．如图，当时， (1)求该二次函数的解析式； (2)点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接相交于点Q，求的最大值； 【答案】(1) (2)最大值为； 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，过点作轴，交于点，则，设，则，可得，证明，得到，即，据此可得答案． 【详解】（1）解：当时，点C的坐标为， 把点A，点B和点C的坐标代入二次函数的解析式得， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）设直线的解析式为， 由题意可得， 解得， 直线的解析式为， 如图1所示，过点作轴，交于点，则， 设，则 ， ∵， ∴， ， ， ∵ 当时，有最大值，最大值为． 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 典例2（25-26九年级上·福建泉州·期末）抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上且位于第一象限，连接、，若的面积为10，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点Q是抛物线的对称轴上一点，连接、，当最小时，求Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，三角形面积计算，利用轴对称求最短路径问题，掌握二次函数的图象与性质及轴对称的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将已知两点坐标代入抛物线解析式，解二元一次方程组即可求出解析式． （2）先计算线段的长度，再根据三角形面积公式求出点的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，结合第一象限的条件确定点的坐标． （3）根据抛物线的对称性可知点与点关于对称轴对称，将转化为，当、、三点共线时，最小，求出直线与对称轴的交点即为点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵， ∴ 设点（，） ∵ ∴， 解得 将代入， 得 整理得， 解得或 ∵点在第一象限， ∴点的坐标为 （3）解：抛物线的对称轴为直线 ∵点、关于直线对称 ∴对于对称轴上任意一点，有 ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度 设直线的解析式为将、代入解析式 得 解得： ∴直线的解析式为 将代入， 得 ∴点的坐标为 题型模版 1.特征：求两条或多条线段和的最小值，常含动点，需化曲为直或构造函数。 2.方法：将军饮马作对称化折线为直线；或用二次函数表示线段和，配方求顶点，注意取值范围。 变式2-1（25-26九年级上·青海海东·期末）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知点为抛物线上一动点（不与重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上运动时，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）设点，可得，，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：∵直线过点，点在轴上， ，   又， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设点， ∵轴，轴， ∴，， ，， ， ∵点在直线上方的抛物线上运动， ， ∴当时，取得最大值，最大值为． 变式2-2（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一点（点不与点重合），过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为． (1)直接写出点的坐标为___________；点的坐标为___________； (2)当时，求点的坐标； (3)若点的横坐标为2，点是轴上的一个动点，连接，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)的最小值为，此时点G的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）求出点B，C的坐标，可求出直线的解析式，即可求解； （2）证明为等腰直角三角形，可得，再由，可得，即可求解； （3）作点B关于y轴的对称点F，连接交y轴于点G，则点G即为所求，此时，点，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 当时，， 解得：， ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入得∶ ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，轴， ∴点P的坐标为，点E的坐标为； 故答案为：，； （2）解：由（1）得：，，， ∴为等腰直角三角形， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵点为直线上方抛物线上一点， ∴， 当时， ∴点的坐标为； （3）解：如图，作点B关于y轴的对称点F，连接交y轴于点G，则点G即为所求，此时，点， ∵点的横坐标为2， ∴点， ∴， 即的最小值为； 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点G的坐标为， 综上所述，的最小值为，此时点G的坐标为． 变式2-3（2026·四川德阳·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线 ，图象与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)3． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求解即可； （3）过点作于点，作于点，求得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，对称轴是直线， ∴，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作平行线，交抛物线于点，此时， 令， 则， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴设直线的解析式为， 联立解析式：， 解得：，， ∴点的坐标为； （3）解：如图，过点作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为3． 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 典例3（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线经过和两点，其顶点为D． (1)如图，当时，求抛物线的解析式． (2)点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2，当最大时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交点式设抛物线解析式，代入点求出． （2）利用抛物线的对称性可知对称轴上的点到、的距离相等，将转化为，利用三角形两边之差小于第三边，当、、三点共线时取得最大值，求出直线与对称轴的交点即可． 【详解】（1）解：抛物线经过和， 设抛物线的解析式为， ，即抛物线过点， ， ， ． （2）解：点在轴正半轴上，且到原点的距离为， ， 抛物线经过和， 对称轴为直线， 点为抛物线的顶点，且在对称轴直线上， 又对称轴直线是线段的垂直平分线， 对称轴上的任意一点到、两点的距离相等，即， ， 在中，， 当且仅当、、三点共线，且点在线段上时，取得最大值， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 点在对称轴上， ， ． 题型模版 1.特征：求两条线段差的最大值，动点在函数图象上，常利用三角形三边关系或函数建模。 2.方法：作对称点转化为共线问题（差最大用三角形三边关系），或用坐标表示差为二次函数求最值。 变式3-1（2026·江苏宿迁·二模）抛物线经过点、、，已知，．       (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线对称轴上一动点，求当取最大值时，点的坐标； (3)如图2，将抛物线平移，使其顶点与原点重合，直线与抛物线相交于点、（点在左边），过点作轴平行线交抛物线于点，当发生改变时，请说明直线过定点，并求定点坐标． 【答案】(1) (2) (3)过定点，且定点坐标为，见解析 【分析】（1）先根据点B坐标，点C坐标，利用待定系数法求解可得； （2）连接，并延长交对称轴直线于点M，因为，所以当A，C，D三点共线时，取得最大值，且最大值为，求解即可； （3）设，，得到是方程的两个根，所以；确定，设直线的解析式为，根据题意，得，得到直线的解析式为，当时，，故发生改变时，直线过定点，且定点坐标为． 【详解】（1）解：抛物线经过点、、，且，． ， 解得， 故抛物线解析式为； （2）解：因为抛物线解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 令，得， 解得，， 故， 连接，并延长交对称轴直线于点M， 因为， 所以当A，C，D三点共线时，取得最大值，且最大值为， 故当点D与点M重合时，取得最大值， 设的解析式为，将点A的坐标代入得：，解得， 直线的解析式为． 当时，， 此时， 故点的坐标为； （3）解：因为抛物线解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 因为抛物线平移，使其顶点与原点重合， 所以新抛物线的解析式为， 设，， 因为直线与抛物线相交于点、（点在左边）， 所以是方程的两个根， 所以是方程的两个根， 所以； 因为过点作轴平行线交抛物线于点， 所以点P，点R关于y轴对称， 所以， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 所以， 所以， 所以， 解得， 所以 ， ∴直线的解析式为， 当时，， 故发生改变时，直线过定点，且定点坐标为． 变式3-2（2026·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）用待定系数法即可解答； （2）求出直线解析式，设，则， 根据轴于点D，点C为中点，列出等式，即可解答； （3）①先求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，再进行分类讨论即可；②根据①中的解析式，结合二次函数的增减性进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∵轴于点D，点C为中点， ∴， 解得：（负值舍去）； （3）解：①当时， 解得：（负值舍去）， ∴抛物线交x轴正半轴于点， 设，则， ， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 综上：； ②当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小； 当时，； 开口向上，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小，不符合题意，舍去； 当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当时，d随m的增大而减小． 综上：或． 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 典例4（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，对称轴是直线列出方程组，解方程组求出、的值即可； （2）利用配方法，把抛物线解析式转化为顶点式即可； （3）因为点与点关于对称，根据轴对称的性质，连接与直线交于点，则点即为所求，求出直线与直线的交点即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 所以顶点坐标为； （3）解：存在， 点与点关于直线对称， 连接与直线交于点，则点即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点的坐标为， 与轴的交点为， 设直线的解析式为：， ， 解得，，， 直线的解析式为：， 则直线与直线的交点坐标为： 点的坐标为． 题型模版 1.特征：动点形成图形，求周长最大值或最小值，常需用函数表示各边之和。 2.方法：设动点坐标，用两点距离公式表示各边，建立周长的二次函数，配方求顶点最值，注意几何约束。 变式4-1（2026·浙江绍兴·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴正半轴交于点，与轴交于点，对称轴直线与轴交于点．点为抛物线上第一象限内的动点，设点的横坐标为． (1)求的值． (2)当时，记二次函数的最大值、最小值分别为，．若，求的值． (3)过点分别作轴和对称轴的垂线，垂足分别为点，，当矩形的周长最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据对称轴公式，即可求解； （2）先求得抛物线与轴的交点坐标，进而由，得出，分两种情况：①若，则，②若，则，分别求得，根据，列出一元二次方程，解方程，即可求解； （3）由题意得，，设矩形的周长为L，分两种情况讨论，①点P在对称轴左侧时，②点P在对称轴右侧时，表示出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由，得． （2）由（1）得，令，得，， 所以． 分两种情况： ①若，则， 当时，； 当时，； 因为，所以， 解得（舍去），． ②若，则，当时，；因为，所以． 又因为当时，，所以该情况不存在满足条件的点P． 综上所述， （3）由题意得，，设矩形的周长为L，则： ①点P在对称轴左侧时，如图，， 时L最大． 当L最大时，点． ②点P在对称轴右侧时，根据对称性得． 所以点P坐标为或． 变式4-2（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图1，抛物线交轴于点，点，交轴于点 (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)当时，的取值范围为___________；（直接写出答案） (3)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (4)如图2，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为，求证：是一个定值． 【答案】(1)抛物线的表达式为，顶点的坐标为； (2) (3) (4) 解：设过原点O的直线为， 与抛物线联立，得， 整理得：， ∵过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴该方程的两个根即为M，N的横坐标m，n， ∴， 由于−3是与k无关的常数， ∴是一个定值． 【分析】（1）将A、B两点的坐标代入抛物线表达式中，求得待定系数，从而可得抛物线的表达式，再配方求得顶点坐标； （2）根据自变量的范围，结合对称性求得函数值的范围； （3）利用轴对称的性质，根据两点之间线段最短求得当的周长最小时，P点的坐标； （4）设过原点O的直线为，与抛物线联立得到关于x的方程，再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向下，对称轴在范围内， ∴在处取得最大值． 当时，； 当时，． ∴的最小值为0． ∴， 故答案为：； （3）解：的周长． 其中的长度一定， 当最小时，的周长最小． ∴点A关于对称轴的对称点为， ∴． ∴只需在对称轴上找一点P，使最小． 当B，P，C三点共线时，最小，即为的长． 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为． 当时，， ∴； （4）略 变式4-3（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于、两点，与y轴交于点C，顶点为点G，连接、，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点M． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)如图2，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方），连接、，当四边形周长取最小值时，直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点P坐标为 (3) 【分析】（1）将，代入函数表达式，求出和的值； （2）分别过点A、P作x轴的垂线，交直线于点、，设点P坐标为．根据二次函数的表达式求出点C坐标为，进而求出直线的函数表达式为．根据点A和点P的坐标，计算出点D坐标为，点H坐标为，因此，．由可得，则，使用配方法求出的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）过点F作的平行线，交轴于点，连接，，四边形中，和为固定长度，因此当最小时，四边形周长最小．通过轴对称的性质和平行四边形的性质可得，，当I、F、B三点共线时，取到最小值，计算出此时点E的坐标即可． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：分别过点A、P作x轴的垂线，交直线于点、，设点P坐标为， 将，代入，得， ∴点C坐标为， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得，， ∴直线的函数表达式为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点D坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴点H坐标为， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，取最大值， 此时点P坐标为，在直线上方，符合题意． ∴的最大值为，点P坐标为． （3）解：如图，过点F作的平行线，交轴于点，连接，， ∵，，， ∴，，， 在直角中，， 四边形周长为， ∴当最小时，四边形周长最小， ∵点A和点B关于对称， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴点I的坐标为， 在直角中，， ∵， ∴当I、F、B三点共线时，取到最小值，此时四边形周长最小， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得，， ∴直线的函数表达式为， 由抛物线对称轴公式可得，的对称轴为直线， 将，代入，得， ∴点F的坐标为， ∵线段在抛物线对称轴上，长度为2，且点E在点F上方， ∴点的坐标为， ∴当四边形周长取最小值时，点E的坐标为． 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 典例5（2026·四川南充·一模）如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，再表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）可证明，则为定值，则可证明当有最大值时，有最大值；根据，推出，仿照（2）求出取得最大值时点E的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H， 同理可得直线的解析式为， 由（2）得直线的解析式为， ∴， ∴点F到的距离为定值， ∴为定值， ∵， ∴当有最大值时，有最大值； 设，则， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值，即此时有最大值， 由（2）可知，此时， ∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 题型模版 1.特征：动点在函数图象上，求三角形或四边形面积的最大值或最小值，常选水平底或铅锤高。 2.方法：设动点坐标，用铅锤法或割补法表示面积，建立二次函数，配方求顶点最值并验证范围。 变式5-1（2026·四川成都·二模）如图，抛物线，是常数的顶点为，与轴交于，两点，，，点为线段上的动点且不与点，重合，过点作交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)求面积的最大值，并求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下过点的直线与抛物线交于，两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时 (3)面积最小值为 【分析】（1）用待定系数法将，的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式； （2）分别求出点坐标，直线，的解析式，的解析式为：，进而求出，的坐标以及的取值范围，由列出函数式求解即可； （3）由（2）可得，设直线的解析式为，，联立直线和抛物线解析式，得出，根据得出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：点，， 点的坐标为， 将点，代入函数解析式中得： ， 解得：，， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 则点坐标为：， 由， 设直线的解析式为 解得： 直线的解析式为：， 由， 设直线的解析式为 解得： 直线的解析式为：， ， 设直线的解析式为：，与轴交点， 由解得：， 在线段上， ， 的取值范围为， 则 当时，即时，最大，最大值为． （3）由（2）可得， 如图，设直线的解析式为， 设 ∴ 联立 即 ∴ ∴ ∴当时，的最小值为 ∴面积最小值为 变式5-2（2026·宁夏中卫·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与y轴交于点C，点B在x轴正半轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为D． (1)点A的坐标____________，点C的坐标____________ (2)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E在上，点F、G在上，点H在上）？若能，求出矩形面积的最大值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，， (3)能，矩形面积的最大值为 【分析】（1）将与分别代入，求出相应的y值，x值，即可解答； （2）将，分别代入，得到抛物线的解析式为，令，求出，得到，再根据，得到顶点的坐标为，即可解答； （3）先求出直线的解析式为，设，则点E的纵坐标为，得到，继而推导出，得到矩形的宽，设矩形面积为，则，再根据抛物线的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， 当时，， 解得， ∴点 （2）解∶将，分别代入代入，得∶， 解得∶ 抛物线的解析式为． 令，得，即． 解得， ∴， ， 顶点的坐标为． （3）解：能．理由如下： 设直线的解析式为． 将代入得： 解得 ∴直线的解析式为． 由矩形的边在x轴上，E在上，H在上，如图 设，则点E的纵坐标为， ∵点E在直线上， ， 解得， ∵点H在直线上，且H的纵坐标也为， ， 解得， ∴矩形的宽， 设矩形面积为，则： ，抛物线开口向下，对称轴为 ∴当时，S取得最大值，为 答：矩形面积的最大值为． 变式5-3（25-26九年级下·海南海口·阶段检测）如图，二次函数的图象经过点、点，经过的直线与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式． (2)点是在直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出的最大值． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①②，的最大值为 (3)或 【分析】（1）将、代入二次函数，列方程求解即可； （2）①设直线的解析式为，将、代入，求出，从而得到，结合点横坐标为求出，根据即可求出的值；②先证明四边形为矩形，结合图形分析得到，，从而得到，即可解答； （3）先根据原二次函数解析式，得到平移后新解析式为，对称轴为，根据对称轴的位置分情况讨论最大值和最小值即可解答． 【详解】（1）解：将、代入二次函数， 得， 解得， 二次函数的表达式为； （2）设直线的解析式为， 将、代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 令，得， 直线与轴交点的坐标为，， ①由题意，点的横坐标为，则点坐标为，点坐标为， 则， ，， ，即， 解得； ②如图，由①得，，，， 轴于点，交于点， 点坐标为，， 点在直线上方， ， 轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 轴， 四边形为矩形， ， ， 当时，取得最大值，最大值为； （3）原二次函数，顶点为，开口向下， 将二次函数的图象向右平移个单位长度后，解析式变为：， 对称轴为， 当时，分情况讨论： ①当，即时， 最大值在处，此时， 最小值在处，此时， 最大值与最小值的差为， 则，解得，与矛盾，舍去； ②当，即时， 最大值在处，此时， 最小值在处，此时， 最大值与最小值的差为， 则，解得，与矛盾，舍去， 故； 当，即时， 最大值在处，此时， 最小值在处，此时， 最大值与最小值的差为， 则，解得，与矛盾，舍去， 故； ③当，即时， 最小值在处，此时， 最大值在处，此时， 最大值与最小值的差为， 则，解得，与矛盾，舍去； 综上所述，的值为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数的图象（记为）经过点A，C．直线与两个图象，分别交于点M，N，与x轴交于点P． (1)求b，c的值； (2)当点P在线段上时，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—线段问题，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）先求出点、的坐标，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）知的表达式为，结合题意可得，，其中，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：对于二次函数，当时，， 解得：，， ，，                 当时，， ，                 ∵二次函数的图象经过点A，C． ∴， 解得； （2）解：由（1）知的表达式为， ∵直线与x轴垂直， ，，其中， ，             ， ∴当时，取得最大值． 2．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线经过和两点，其顶点为D． (1)如图，当时，求抛物线的解析式． (2)点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2，当最大时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交点式设抛物线解析式，代入点求出． （2）利用抛物线的对称性可知对称轴上的点到、的距离相等，将转化为，利用三角形两边之差小于第三边，当、、三点共线时取得最大值，求出直线与对称轴的交点即可． 【详解】（1）解：抛物线经过和， 设抛物线的解析式为， ，即抛物线过点， ， ， ． （2）解：点在轴正半轴上，且到原点的距离为， ， 抛物线经过和， 对称轴为直线， 点为抛物线的顶点，且在对称轴直线上， 又对称轴直线是线段的垂直平分线， 对称轴上的任意一点到、两点的距离相等，即， ， 在中，， 当且仅当、、三点共线，且点在线段上时，取得最大值， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 点在对称轴上， ， ． 3．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上一点，且，求点D的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D坐标为或或 (3)存在，点P坐标为 【分析】本题考查了二次函数综合——面积问题和周长问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点D坐标为，求得，可得，即，解方程即可得答案； （3）连接，，利用抛物线点对称性可知当点B、P、C三点共线时，此时的周长最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：设点D坐标为， ∵， ∴， ∴， 即 ∴或， 解得：，此时； 解得：，此时或 ∴点D坐标为或或； （3）解：存在， 如图所示，连接，， ∵点A、B关于抛物线对称轴对称， ∴， ∴的周长， 即当点B、P、C三点共线时，此时的周长最小， 对于，令，则， ∴， 设直线解析式为，将，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴对于，当时，， ∴点P坐标为． 4．（25-26九年级上·天津东丽·期末）已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标； (3)Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； 【答案】(1) (2)点P (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质. （1）由待定系数法即可求解； （2）点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，然后求出点P的坐标即可； （3）过点Q作轴交于点H，求出直线的表达式为：，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：把代入得：， ∴， ∵， ∴点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图所示： 则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， 则点P为所求点， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， 即点； （3）解：过点Q作轴交于点H，如图所示： 令， 解得：，， ∴点， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 5．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点B的坐标． (2)在对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标和的最小值． (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q．依题意补全图形，当的最大值时，求点M的坐标 【答案】(1) (2)点，的最小值为． (3) 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用、求出函数解析式、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的对称性以及数形结合的思想是解题的关键． （1）根据抛物线的对称性求解即可； （2）根据抛物线的对称性得到，得到当三点共线时，的值最小，且为的长，求出直线的解析式，其与对称轴的交点即为点P的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）先根据题意补全图形，设，则，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点B，对称轴为直线， ∴点B为． （2）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴， 如图：连接交对称轴于点P，连接， ∵点A关于对称轴的对称点为点B， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，且为的长， ∵， ∴； 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵点P在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为． （3）解：如图：过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q． ∵， ∴设抛物线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴， 设，则， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 6．（2026·江苏镇江·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点在抛物线上，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在第一象限，连接交于点．记的面积为，的面积为．当时，则点的横坐标的取值范围是______； (3)如图2，直线交抛物线于另一点． ①若点、点的横坐标分别是、，则______； ②连接、，记的面积为，求的最小值． 【答案】(1)； (2) (3)①；②的最小值为8． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由，得到，得到，，由题意得，据此求解即可； （3）①联立得，利用根与系数的关系即可求得； ②求得，利用不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线经过点和， 将代入，得， 将代入，得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：先求解抛物线与x轴的另一个交点A， 令，即， 解得或， 结合A在B左侧得； ∵， ∴， ∴， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，整理得， ∵点在第一象限， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 联立直线与抛物线方程得，， 整理得：， 该方程的两个根为点P、Q的横坐标m、n， 由一元二次方程根与系数的关系得； ②∵点，， ∴， ∵， ∴m、n异号，设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（当且仅当，即时取等号）， ∴， 答：的最小值为8． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $