上海市市北中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026学年第一学期高一第一次月考答案 一、填空题 1.{4,6,8}: 2.{(0,2),(1,1),(2,0: 3.(-4,7）: 4.-2: 5.3: 6.-5: 7.对于任意的x∈(L,+∞)，都有ax2+bx+c≥0： 8.0或1： 9.（-0,-2): 「141 10. 23 11.{0,8,10}: 12.-1. 二、选择题 13.B: 14.D: 15.C: 16.B. 三、解答题 17.(14分，第1小题7分，第2小题7分) (1)若a=1,则B={x|-1<x<3},又因为A={x-3≤x≤}， 故A∩B={x|-1<x≤1}，AUB={x-3≤x<3}.…(7分) (2)因为A={x-3≤x≤1}，故A={x<-3或x>1. 因为a-2<a+2恒成立，故B≠⑦ 因此，若B∈A,则有a+2≤-3或a-2≥1， 解得a≤-5或a23, 即a的取值范围为(-o,-5]U[3,+o).…(14分) 18.(14分，第1小题7分，第2小题7分) (1)①当x<0时，左边非负，右边为负，不等式显然成立： ②当x≥0时，两边平方，(1-2x)'>x2→3x2-4x+1>0→(3x-1)(x-1)>0, 解得x<3或x>1,结合x20,得0≤x<3或x>1, 综上，不等式解集为： （u+o).…分) (2)证明：假设a、b中至少有一个不为零， a≠0 ①当6=0时，a+bW5=0→a=0,与a40矛盾： ②当/a=0 b￥0时，a+bW5=0→b5=0→b=0,与b≠0矛盾： a≠0 ③ 60时，a+b5=0=5=分，但abeQ:则号cQ,矛语 综上，假设不成立，所以a=b=0.…(14分) 19.(1)甲队整体报价为：y=400×6x+2×300×6×24+28800=2400x+86400 +28800元 要求y≤600，即2400x+86400+280≤60000，化简得x+36≤13 由于x>0,则不等式化为x2-13x+36≤0→(x-4)(x-9)≤0， 解得，4≤x≤9， 所以前面墙体长x的取值范围为4≤x≤9.…(7分) (2)甲队整体报价： y=2400x+ 86400 +28800≥2 /2400x.86400 +28800=2√2400×86400+28800=57600 x 当且仅当2400x=86400 即x2=36,解得x=6(满足4≤x≤9)时等号成立， x 所以当仓库前面墙体的长度为6米时，甲工程队的整体报价最低，为57600元.… (14分) 20.(18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) (1)将a=1,b=4代入可得x2-10x+16≥0，即(x-8)(x-2)≥0， 解得x≥8或x≤2；所以解集为{xx≥8或x≤2}.…(4分) (2)由题意可知a,b是ax2-10x+4b=0两根，且a<b, 同时f(x)=ax2-10x+4b的开口向上可得a>0, a+b=10 a 「a=2 根据韦达定理可得 …(10分) 2.64b?角鲜得守b=3 a 3)由1是f()的零点，所以f)=a-10+4b=0,则a+4地=1， 10 因为>0,60，所以片+片4+9+片分 当且仅当即a号b时，等号成立 5 所以女片取到袋小位，且设小位为 。…（18分) a b 21.(18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) (1)S={2,4,6),T={0,2}.…(4分) (2)集合A={x,X2,x3,x4},x<X3<x3<x4,且T=A T中也只包含四个元素，即T={0,x2-,x3-X,x-x} 由集合中元素的互异性，易得x2-x=x3-x2=x4-x且x3-x=x4一x2 所以x+x4=x2+x.…(10分) (3)设集合A={a,a2,…,a}满足题意，其中a<4<…<a 则24<a+42<a+a4<…<4+a,<42+a<…<a-1+a,<2a S≥2k-1 又a-a<4-a<a-a<<a-a,T≥k .S∩T=0,∴SUT=lS+T≥3k-1 SUT中最小的元素为0，最大的元素为2a,SUT≤2a,+1 .3k-1≤2a%+1≤4053，k≤1351 事实上，当A=676,677,678,,2026时满足题意，证明如下： 设A={m,m+1,m+2,…,2026},m∈N 则S={2m,2m+1,2m+2,…,4052}，,T={0,1,2,…,2026-m} 由条件2026-m<2m,m>2026,m的最小值为676 即A={676,677,678,…,2026}时满足题意 综上所述，集合A中元素的个数最大值是1351.…(18分)2026学年第一学期高一第一次月考 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分. 要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分) 1.已知集合A=[4,+0),B={2,4,6,8},则A∩B= 2.用列举法写出下列集合{(x,y)川x+y=2,x∈N,y∈N= 3.已知实数x满足？二>0，则x的取值范围是 x+4 1 4.已知x、x,为方程2x2+6x+3=0的两个实数根，则二+一 5.已知y=x-2+x-5,x∈R,则y的最小值为 6.对任意实数x,等式ax+bx3+cx2+d+e=x(x-2)(x2+3)恒成立，则b+c+d= 7.命题：“存在x∈(1，+n),使得ax2+bx+c<0”的否定形式是 8.已知集合A={刘x2-2x+1=0,x∈R}有且仅有两个子集，则实数m= 9.设a、b∈R,已知关于x的不等式(a+b)x+(b-3a)<0的解集为(2，+o),则不等式 (a-2b)x+5b-a>0的解集为 10已知不等式k-小水k1成立的充分不必要条件是女x<分，则实数a的取值范国是 11.定义AVB={2=y+X,x∈A,y∈B,设集合A=0,2},B={L,2},C={钙，则集合 (AVB)VC= 12.已知集合M={66,-13,√2,2026,991，-1，-19,100,0，π}有10个元素，设M的所有非 空子集为M(i=1,2,3,…,1023),每一个M,中所有元素乘积为m,(i=1,2,3,…,1023), 则m+m2十…+123= 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分. 每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内 的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分) 13.下列说法中，正确说法的个数是(). ①联合国安理会常任理事国能组成一个集合： ②市北中学很喜欢足球的同学能组成一个集合： ③实数1,0,5， 136 2’2’4’V4 组成的集合中有6个元素。 A.0: B.1: C.2: D.3. 4已知全集U=R,集合A三红，xN,集合Br-7x+2≤0，则正确表示 集合A与集合B关系的文氏图是() U U A B B A B U C. A D. 15.已知a,b,c∈R,则下列四个命题中正确的个数是() ①若ac2>bc2,则a>b; ②若1a-2b-2|,则(a-2)2>(b-2)2: ③若a>b>c>0,则9>a+c bb+ci ④若a>0,b>0,a+b>4,ab>4,则a>2,b>2. A.1: B.2: C.3: D.4. 16.己知实数a<b,关于x的不等式x2-(a+b)x+ab-1<0的解集为(x,x),则实数a、 b、x、x2从小到大的排列是() A.x<a<x<b;B.X<a<b<x;C.a<x<b<xi D.a<x<x<b. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分.解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出 必要的步骤) 17.设全集U=R,已知集合A={x-3≤x≤}，B={xa-2<x<a+2,a∈R}. (1)当a=1时，求A∩B,AUB: (2)若B三A,求a的取值范围. 18.(1)解不等式1-2x>x; (2)已知a、b都是有理数，满足a+b√5=0，请用反证法证明：a=b=0. 19.某物流公司为了扩大业务量，计划建造一间高为6米，底面积为24平方米，且 背面靠墙的长方体形状的仓库.仓库的背面靠墙，无须建造费用，因此甲工程队 给出的报价为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米 300元，屋顶和地面以及其他共计28800元. (1)设仓库前面墙体的长为x米(x>0),甲工程队的整体报价为y元.若该物流公司计 划投入的改造资金不超过60000元，求前面墙体长x的取值范围， (2)在(1)的条件下，当仓库前面墙体的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？ 20.已知函数f(x)=ax2-10x+4b. (1)当a=1,b=4时，求不等式f(x)≥0的解集： (2)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(a,b),求实数a、b的值： 1.1 (3)若f(1)=0,且a>0,b>0,则当a、b取何值时，-+三值最小？最小值是多少？ ab 21.己知集合A为非空数集，定义：S={x|x=a+b,a∈A,b∈A}, T={x|x=a-bl,a∈A,b∈A} (1)若集合A=红，3}，直接写出集合S、T(不必写出计算过程) (2)若集合A={x,x2,X,x4},x<x2<x3<x4,且T=A,求证：x+x4=x3+x3: (3)若集合Ac{x|0≤x≤2026，x∈N},S∩T=0,记|A|为集合A中元素的个数，求 |A的最大值