专题07 等腰、等边三角形8大常考题型突破（期中专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

专题07 等腰、等边三角形常考题型 基础·固本强基 题型1. 等腰三角形边角计算（等边对等角、等角对等边） 题型2. 等腰三角形周长与分类讨论 题型3. 等腰三角形三线合一基础应用 题型4. 等边三角形边角基础计算 提升·进阶突破 题型5. 等腰三角形多解分类讨论（角度、边长） 题型6. 三线合一构造全等 题型7. 等边三角形手拉手模型 题型8. 等腰等边综合证明题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 等腰三角形边角计算（等边对等角、等角对等边） 【模型】在同一个等腰三角形中，等边对应等角，等角对应等边，实现边与角之间互相转化。 【步骤】先找相等边 / 相等角，设未知角为未知数，利用三角形内角和列方程求解。 【易错】必须限定在同一个三角形内，跨三角形不能直接使用等边对等角、等角对等边。 1．若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，结合三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴两底角的和为， ∵等腰三角形两底角相等， ∴底角度数为． 2．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边对等角、三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 3．如图，在中，，D为的中点，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等角对等边得出，根据三线合一得出，，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， 又D为的中点， ∴，，， 故A、C、D选项正确，但不符合题意； B选项无法证明，故错误，符合题意． 4．如图，在中，点在边上，连接，且，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边得出，结合已知则可求出，最后求出的周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴的周长是， 故选：A． 5．如图，点在上，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据平行线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出． 【详解】证明：略 题型2 等腰三角形周长与分类讨论 【模型】等腰三角形两腰相等，已知两边长，分两种情况判定腰与底，再结合三边关系求周长。 【步骤】先分类假设哪条边为腰，算出三边，再用三角形三边关系检验能否构成三角形。 【易错】忘记用三边关系取舍，直接两种情况都保留，忽略不满足三边关系的舍去。 1．已知一个等腰三角形两边的长分别为6和4，那么它的周长是（    ） A．16 B．14 C．10或16 D．16或14 【答案】D 【分析】分情况讨论腰长，验证三边能否构成三角形后计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长为6和4， ∴分两种情况分析： ①当腰长为6，底边长为4时， ∵，满足三角形两边之和大于第三边的关系， ∴周长为； ②当腰长为4，底边长为6时， ∵，满足三角形两边之和大于第三边的关系， ∴周长为； ∴该等腰三角形的周长为16或14． 2．已知等腰三角形的两边分别是3，6，则该三角形的周长为（    ） A．12 B．13 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分两种情况：腰长为6和腰长为3，根据等腰三角形的定义得到该三角形的三边长，再根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：当腰长为6时，则该三角形的三边长分别为3，6，6， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 当腰长为3时，则该三角形的三边长分别为3，3，6， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，该三角形的周长为15． 故选：C． 3．如果等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为（   ） A．9或12 B．12 C．15 D．12或15 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形定义和三角形三边关系，注意分类讨论和验证三边关系．等腰三角形有两边相等，需分两种情况讨论，并验证是否满足三角形三边关系，然后求出周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形两边长分别为3和6， ∴可能腰为3、底为6或腰为6、底为3， 当腰为3、底为6时，三边为3，3，6， ∵，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形； 当腰为6、底为3时，三边为6，6，3， ∵，满足三边关系， ∴周长为． 故选：C． 4．等腰三角形周长为20，一边长为6，则腰长为______． 【答案】6或7 【分析】结合等腰三角形的性质及三角形三边关系，由题意得，已知边未明确是底边还是腰，需分类讨论，再根据三角形三边关系判断结果是否符合题意． 【详解】解：①当等腰三角形的底边长为时， 腰长， 此时三角形三边长为， ，符合三角形三边关系， 能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为时， 底边长， 此时三角形三边长为 ，符合三角形三边关系， 能构成三角形； 综上，等腰三角形的腰长为或． 5．等腰三角形的两条边长分别为3和4，则周长为_________． 【答案】 10或11 【分析】此题考查等腰三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键 分腰长为3或腰长为4两种情况讨论，利用三角形三边关系判断是否能组成三角形，再计算周长． 【详解】解：当腰长为3时，底边长为4，三边分别为3、3、4，∵，∴能组成三角形，周长为； 当腰长为4时，底边长为3，三边分别为4、4、3，∵，∴能组成三角形，周长为； 故答案为10或11． 题型3 等腰三角形三线合一基础应用 【模型】等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线三条线段重合，知其一可得另外两个结论。 【步骤】先确认三角形为等腰三角形，找到底边，再看给出三线中任意一条，直接推出另外两条性质。 【易错】三线合一只针对等腰三角形的底边和顶角，腰上的高、中线不适用该结论。 1．新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形等边对等角求出顶角度数，结合三线合一性质计算即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，为的中点， 平分， ． 2．如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的性质逐一判断． 【详解】解：， ，故A正确； ，是的中点， ，平分，故B、C正确； 与的数量关系不确定，故D不正确，符合题意． 3．如图，在中，，是的中线，，，则的面积为________． 【答案】7.5 【分析】由“三线合一”可得，再根据三角形的面积公式计算即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∴． 4．如图，在中，，，若，则的长为________． 【答案】6 【分析】由等角对等边得，根据等腰三角形三线合一得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图，在中，，于点D，E为上一点，且，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ． 题型4 等边三角形边角基础计算 【模型】等边三角形三边相等，三个内角都是 60°，可直接进行边、角等量代换。 【步骤】判定等边三角形后，直接得到边长相等、内角 60°，结合内角和求相关角度或线段长。 【易错】不要默认有一个角是 60° 的三角形就是等边三角形，需要前提是等腰三角形。 1．如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，根据等边三角形的性质可知，根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ． 故选：C． 3．如图，为等边三角形，，点E为延长线上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，是等边的高，若，则的长为_________． 【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质以及三线合一求解． 【详解】解：∵是等边的高， ∴． 5．如图，已知在等边三角形中，是边上的高，，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了等边三角形的性质及等腰三角形三线合一定理，先利用等边三角形的性质得出，再由是边上的高，利用等腰三角形三线合一定理可得出点D是中点，即可求得的值． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵是边上的高， ∴， 故答案为：1． 提升·进阶突破 题型5 等腰三角形多解分类讨论（角度、边长） 【模型】等腰三角形未指明腰 / 底、顶角 / 底角时，分两类情况讨论，再结合三角形内角和、三边关系筛选。 【步骤】先分情况假设已知角为顶角或底角（已知边为腰或底边），再代入定理验算，舍去不符合条件的解 【易错】角度讨论时忽略底角必须小于 90°，边长讨论忘记验证三边关系，出现增根不剔除。 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分类讨论，画出图形，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和外角的性质即可求解． 【详解】解：当这个三角形是锐角三角形时，如图所示： ∵高与另一腰的夹角为，即， ∴顶角， ∵， ； （2）当这个三角形是钝角三角形时，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为或． 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则这个等腰三角形的底角度数是（  ） A．70° B．55° C．35° D．55°或35° 【答案】D 【详解】试题解析：①如图1，∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC， ∴∠A=70°， ∴∠ABC=∠C=（180°-70°）÷2=55°． ②如图2， ∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC， ∴∠BAC=20°+90°=110° ∴∠ABC=∠C=（180°-110°）÷2=35°． 故选D． 3．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 4．等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的底角为______． 【答案】或 【分析】题考查等腰三角形的性质，分情况讨论这个的角是顶角还是底角．解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 【详解】解：若的角是顶角，则这个等腰三角形的底角为； 若的角是底角，则这个等腰三角形的底角为， 综上所述， 这个等腰三角形的顶角为或． 故答案是：或． 题型6 三线合一构造全等 【模型】等腰三角形作底边的高（中线 / 顶角平分线），利用三线合一拆分出一对全等直角三角形。 【步骤】遇等腰三角形，向底边作垂线，得到相等线段、相等角，再找条件证明三角形全等。 【易错】任意三角形不能作一条线就直接当成三线，必须先有等腰这个前提条件。 1．如图，在中，，点是的中点，点E在上，则图中的全等三角形有（     ） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】D 【分析】利用三线合一可得，推出，再证明相关三角形全等即可解答． 【详解】解：，点是的中点， ， ， 在与中， ， ， 在与中， ， ， 在与中， ， ， 所以图中的全等三角形有对． 2．如图，在四边形中，，，连接，若，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】作于点，证明，求得，，根据列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．已知，在中，，于点H． (1)求证：； (2)点D为外一点，，若平分，求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， (2)证明：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先证明，进而证明； （2）先证明，再证明，得出，则，即可得出结论； 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证： (2)直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)解：，理由如下， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴． 【分析】（1）根据平行线的性质得到内错角相等，再根据即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得到． 【详解】（1）证明：略 （2）解：，理由略 5．在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； (2)证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． 【分析】(1) 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； (2) 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得． 【详解】（1）略 （2）略 题型7等边三角形手拉手模型 【模型】共顶点的两个等边三角形，两组等边夹角相等，可证一对旋转全等三角形。 【步骤】找到公共顶点，写出两组等边，推导夹角相等，利用 SAS 证明三角形全等。 【易错】注意识别公共顶点，不是随便两个等边三角形都能构成手拉手，要共用顶点。 1．如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质得，，，再结合角的转换可证明，得．结合，推出，再由内角和得，最终由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵ ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题以共顶点等边三角形为模型，通过“”全等实现角度转化，将已知角与目标角建立关联，再结合三角形内角和定理完成求解，凸显了全等变换在几何角度计算中的核心作用． 2．如图，是等边三角形，边长为6，点D为中点，连接，点E为线段上一动点（不与A，D重合），连接，以为边在下方作等边，连接，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形性质、全等三角形判定与性质，直角三角形的性质及垂线段最短，解题关键是通过证明全等确定点的运动轨迹，易错点是对全等条件或轨迹分析错误，解题思路为：先证确定的运动轨迹，再根据垂线段最短求的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴； ∴； ∵点D为中点，， ∴是的角平分线，是等边的高，， ∴， ∴点在与成角的直线上运动， 根据 “垂线段最短”，当时，最小， 在中，，则． 故答案为：． 3．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数． 【答案】(1)， (2) 且， 理由如下：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且． (3)， 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出得，，求出，即可根据求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是． 故答案为：，； （2）略 （3）和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，， ∴ ， ∴． 4．综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． (1)如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：______；线段和的数量关系是______； 【探究】 (2)如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ①； ②； 【拓展】 (3)如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 【答案】(1)， (2)证明：①与均为等边三角形， ， ，， ， 在与中， ， ； ； ②在等边三角形中，， ， ， ； (3) 【分析】（1）由两个三角形全等的判定与性质求解即可； （2）由等边三角形的性质，结合两个三角形全等的判定与性质求解即可； （3）延长，并在延长线上截取，如图所示，构造“手拉手”模型，通过推导，得出，最后结合等边三角形性质求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 在与中， ， ； ； （2）略 （3）解：延长，并在延长线上截取，如图所示： ， 是等边三角形， 与均为等边三角形， ， ，， ， 在与中， ， ； ， ， 则在等边三角形中，． 题型8 等腰等边综合证明题 【模型】共顶点的两个等边三角形，两组等边夹角相等，可证一对旋转全等三角形。 【步骤】找到公共顶点，写出两组等边，推导夹角相等，利用 SAS 证明三角形全等。 【易错】注意识别公共顶点，不是随便两个等边三角形都能构成手拉手，要共用顶点。 1．已知：如图，点C为线段上一点，、是等边三角形．下列说法：①；②；③平分；④；⑤，正确的有几个？（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先利用手拉手模型证，即可得，①正确；再证，说明⑤正确，根据全等三角形的性质可得，，，证明是等边三角形，得出，根据平行线的判定说明②正确；过点C作于点P，于点Q，证明，说明点C在的角平分线上，可得③正确；无法证明④正确． 【详解】解：和是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， 即， 点C为线段上一点， 且， ∴， ， 在和中， ， ，故⑤正确； ，，， ，且， 是等边三角形， ， ，故②正确； 过点C作于点P，于点Q，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴点C在的角平分线上， ∴平分，故③正确； 无法证明，故④错误； 综上，正确的是①②③⑤共4个． 2．如图， 和 均是等边三角形， 、、在一条直线上，、分别与、交于点 、，有如下结论：① ；②；③④ ⑤．其中正确的结论是_______________(填序号) ． 【答案】①②④⑤ 【分析】①利用等边三角形的边、角性质，通过判定，证明结论①正确；②由等边三角形角度计算得与互补，根据同旁内角互补，两直线平行，证明，在证明后，由全等三角形对应边相等得到，据此判定结论②正确；③先通过证得，再用三角形外角性质推出，从而证，说明原结论错误；④在证得后直接判定结论④正确；⑤先由、判定为等边三角形，再根据等边三角形性质得到，判定结论⑤正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ， 在和中 ， ， ∴， ∴， 根据三角形外角性质得到，则， ∴， ∴，故③错误； ∵由②中， 可得， ， ∴， ∴，故④正确； ⑤，，， 因此是等边三角形，，⑤正确； 综上，正确结论为①②④⑤． 3．按要求解题： (1)【问题】：如图1，等边，点E是射线上一个动点，延长至点D，使，当时，探究与之间的数量关系，并证明． 【分析】：小胖同学认为，通过轴对称变换的学习，借助的条件，可构造轴对称图形（如图2），使得和全等，进而补全等边，利用等边三角形的三条边的等量关系，可解此题． 【解答】：请按照小胖同学的想法，补全辅助线的说明，并继续完成上面问题： (2)参考上面问题中小胖的解题思路，解答下面问题： 如图3，在中，，以为边做等边，点D在上方，连接，若，探索数量关系，并证明． 【答案】(1)解：，证明如下： 延长到点F，使得．连接． ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴； ∴； ∴； (2)解：，证明如下： 作的平分线，使，连接，设， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 延长至点E，使，连接， 设， 同理可得 ∴， ∴， ∴是等边三角形 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【分析】（1）根据给出的思路，进行证明即可； （2）作的平分线，使，连接，设，证明，得到，延长至点E，使，连接，证明，推出是等边三角形，推出，等边对等角结合角的和差关系求出，进而求出的度数，求出，得到为等腰直角三角形，即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 4．根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】(1)； (2)解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等腰直角三角形， ∴平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）在上截取，连接，与交于点，然后证明，则有，再由等腰三角形的三线合一定理可得，从而有，即， （2）在上截取，连接，由等边三角形的性质可得，，，则有，再通过等边对等角可得，证明，所以，再证明为等边三角形，所以，则； （3）过作于点，证明，所以，，则有，然后证明，所以，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，在上截取，连接，与交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）略； （3）解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的面积为． 5．已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 【答案】(1)证明：①，，平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ； ②如图，在上取一点H，使，连接， 由（1）知， 是等边三角形， ，， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）①根据角平分线的定义得，结合证明是等边三角形，推出，即可证明；②在上取一点H，使，连接，构造等边，再证，推出，可得； （2）连接，作于点M，交的延长线于点N，由轴对称的性质得，，，，根据三角形面积公式计算出，根据等腰三角形三线合一推出，，进而证明是等腰直角三角形，推出，即可求解． 【详解】（1）①略．②略． （2）解：如图，连接，作于点M，交的延长线于点N， 点与关于射线对称， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． $专题07 等腰、等边三角形常考题型 基础·固本强基 题型1. 等腰三角形边角计算（等边对等角、等角对等边） 题型2. 等腰三角形周长与分类讨论 题型3. 等腰三角形三线合一基础应用 题型4. 等边三角形边角基础计算 提升·进阶突破 题型5. 等腰三角形多解分类讨论（角度、边长） 题型6. 三线合一构造全等 题型7. 等边三角形手拉手模型 题型8. 等腰等边综合证明题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 等腰三角形边角计算（等边对等角、等角对等边） 【模型】在同一个等腰三角形中，等边对应等角，等角对应等边，实现边与角之间互相转化。 【步骤】先找相等边 / 相等角，设未知角为未知数，利用三角形内角和列方程求解。 【易错】必须限定在同一个三角形内，跨三角形不能直接使用等边对等角、等角对等边。 1．若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，D为的中点，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点在边上，连接，且，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 5．如图，点在上，，．求证：． 题型2 等腰三角形周长与分类讨论 【模型】等腰三角形两腰相等，已知两边长，分两种情况判定腰与底，再结合三边关系求周长。 【步骤】先分类假设哪条边为腰，算出三边，再用三角形三边关系检验能否构成三角形。 【易错】忘记用三边关系取舍，直接两种情况都保留，忽略不满足三边关系的舍去。 1．已知一个等腰三角形两边的长分别为6和4，那么它的周长是（    ） A．16 B．14 C．10或16 D．16或14 2．已知等腰三角形的两边分别是3，6，则该三角形的周长为（    ） A．12 B．13 C．15 D．16 3．如果等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为（   ） A．9或12 B．12 C．15 D．12或15 4．等腰三角形周长为20，一边长为6，则腰长为______． 5．等腰三角形的两条边长分别为3和4，则周长为_________． 题型3 等腰三角形三线合一基础应用 【模型】等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线三条线段重合，知其一可得另外两个结论。 【步骤】先确认三角形为等腰三角形，找到底边，再看给出三线中任意一条，直接推出另外两条性质。 【易错】三线合一只针对等腰三角形的底边和顶角，腰上的高、中线不适用该结论。 1．新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 3．如图，在中，，是的中线，，，则的面积为________． 4．如图，在中，，，若，则的长为________． 5．如图，在中，，于点D，E为上一点，且，连接．若，求的度数． 题型4 等边三角形边角基础计算 【模型】等边三角形三边相等，三个内角都是 60°，可直接进行边、角等量代换。 【步骤】判定等边三角形后，直接得到边长相等、内角 60°，结合内角和求相关角度或线段长。 【易错】不要默认有一个角是 60° 的三角形就是等边三角形，需要前提是等腰三角形。 1．如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，为等边三角形，，点E为延长线上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，是等边的高，若，则的长为_________． 5．如图，已知在等边三角形中，是边上的高，，则________． 提升·进阶突破 题型5 等腰三角形多解分类讨论（角度、边长） 【模型】等腰三角形未指明腰 / 底、顶角 / 底角时，分两类情况讨论，再结合三角形内角和、三边关系筛选。 【步骤】先分情况假设已知角为顶角或底角（已知边为腰或底边），再代入定理验算，舍去不符合条件的解 【易错】角度讨论时忽略底角必须小于 90°，边长讨论忘记验证三边关系，出现增根不剔除。 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则这个等腰三角形的底角度数是（  ） A．70° B．55° C．35° D．55°或35° 3．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 4．等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的底角为______． 题型6 三线合一构造全等 【模型】等腰三角形作底边的高（中线 / 顶角平分线），利用三线合一拆分出一对全等直角三角形。 【步骤】遇等腰三角形，向底边作垂线，得到相等线段、相等角，再找条件证明三角形全等。 【易错】任意三角形不能作一条线就直接当成三线，必须先有等腰这个前提条件。 1．如图，在中，，点是的中点，点E在上，则图中的全等三角形有（     ） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 2．如图，在四边形中，，，连接，若，，则四边形的面积为________． 3．已知，在中，，于点H． (1)求证：； (2)点D为外一点，，若平分，求证：． 4．如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证： (2)直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 5．在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 题型7等边三角形手拉手模型 【模型】共顶点的两个等边三角形，两组等边夹角相等，可证一对旋转全等三角形。 【步骤】找到公共顶点，写出两组等边，推导夹角相等，利用 SAS 证明三角形全等。 【易错】注意识别公共顶点，不是随便两个等边三角形都能构成手拉手，要共用顶点。 1．如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是等边三角形，边长为6，点D为中点，连接，点E为线段上一动点（不与A，D重合），连接，以为边在下方作等边，连接，则的最小值为_____________． 3．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数． 4．综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． (1)如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：______；线段和的数量关系是______； 【探究】 (2)如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ①； ②； 【拓展】 (3)如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 题型8 等腰等边综合证明题 【模型】共顶点的两个等边三角形，两组等边夹角相等，可证一对旋转全等三角形。 【步骤】找到公共顶点，写出两组等边，推导夹角相等，利用 SAS 证明三角形全等。 【易错】注意识别公共顶点，不是随便两个等边三角形都能构成手拉手，要共用顶点。 1．已知：如图，点C为线段上一点，、是等边三角形．下列说法：①；②；③平分；④；⑤，正确的有几个？（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图， 和 均是等边三角形， 、、在一条直线上，、分别与、交于点 、，有如下结论：① ；②；③④ ⑤．其中正确的结论是_______________(填序号) ． 3．按要求解题： (1)【问题】：如图1，等边，点E是射线上一个动点，延长至点D，使，当时，探究与之间的数量关系，并证明． 【分析】：小胖同学认为，通过轴对称变换的学习，借助的条件，可构造轴对称图形（如图2），使得和全等，进而补全等边，利用等边三角形的三条边的等量关系，可解此题． 【解答】：请按照小胖同学的想法，补全辅助线的说明，并继续完成上面问题： (2)参考上面问题中小胖的解题思路，解答下面问题： 如图3，在中，，以为边做等边，点D在上方，连接，若，探索数量关系，并证明． 4．根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 5．已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． $