专题04 分式的运算9大常考题型突破（期中专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

专题04 分式的运算常考题型 基础·固本强基 题型1. 分式化简 题型2. 分式乘除运算 题型3. 分式加减（同分母） 题型4. 分式加减（异分母） 题型5. 分式乘方运算 题型6. 简单分式混合运算 提升·进阶突破 题型7. 含括号分式混合运算 题型8. 分式化简求值 题型9. 整体代入求值 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 分式化简 【模型】依靠因式分解，约分、通分，把复杂分式化成最简分式。 【步骤】先因式分解，再算乘除后加减，最后约去公因式化为最简 【易错】找化简求值时，要保证原式分母不为 0，不能直接约掉含字母的因式而忽略限制条件。 1．下列分式化简的过程中，化简为最简分式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质、因式分解、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据分式的基本性质计算解答即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不合题意； D、，故该选项不合题意． 故选：B ． 2．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简，解题关键是利用平方差公式进行因式分解．用平方差先把分子因式分解，再和分母约分即可得解． 【详解】解：． 故选：A ． 3．化简分式：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简． 通过约去分子和分母的公因式进行化简即可． 【详解】解：原分式为， 分子和分母的公因式为， 约分后得． 故答案为：． 4．化简___________． 【答案】 【分析】先对分子运用平方差公式因式分解，再约去分子分母的公因式，即可得到结果． 【详解】解：． 5．判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 【答案】①是；②不是，；③不是，；④不是， 【分析】本题主要考查了最简分式，即一个分式的分子与分母没有公因式，解题的关键是熟练掌握最简分式的形式． 根据最简分式的形式进行判断，分子分母进行因式分解，再进行约分，化成最简分式． 【详解】解： ①是最简分式； ②，不是最简分式； ③，不是最简分式； ④，不是最简分式． 题型2 分式乘除运算 【模型】分式乘除转化为因式相乘，通过因式分解后约去公因式，得到最简分式。 【步骤】除法变乘法，分子分母因式分解，约去相同因式，最后相乘。 【易错】乘除同级运算，不能随意先算后面乘法；约分时不可约去为 0 的因式。 1．计算的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】分式乘除属于同级运算，按照从左到右的顺序计算，除法转化为乘以除数的倒数，再约分得到结果． 【详解】解： ． 2．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 3．计算：=________． 【答案】 【详解】解：． 4．_________． 【答案】 【分析】先算乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 5．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 题型3 分式加减（同分母） 【模型】分母不变，分子相加减，转化为整式运算后再化简分式。 【步骤】分母保持不变，分子相加减，合并分子，因式分解约分。 【易错】分子是多项式相加减时，记得给分子整体加括号，避免符号出错。 1．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 2．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．计算的结果是__________． 【答案】 【分析】利用同分母分式的减法法则计算，约分后即可得到结果． 【详解】解：原式． 4．计算：=_________． 【答案】 【分析】两个分式为同分母分式，先按同分母分式减法法则合并分子，再对分子因式分解后约分得到结果． 【详解】解： ． 5．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型4 分式加减（异分母） 【模型】通过通分转化为同分母分式加减，再合并分子化简。 【步骤】先确定最简公分母，分式通分，同分母相加减，最后约分。 【易错】通分时分子要同步乘对应式子；不要直接分母、分子分别相加。 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 2．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 3．计算__________． 【答案】 【分析】先通分，然后再按照同分母分式加减运算并化简即可． 【详解】解： ． 4．计算的结果是_____． 【答案】 【分析】先对异分母分式进行通分，转化为同分母分式后进行加减计算，最后化简得到最简分式． 【详解】解： ． 5．计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型5 分式乘方运算 【模型】分式乘方等于分子、分母分别乘方，转化为幂的运算。 【步骤】给分子、分母整体同时乘方，再化简幂，最后约分。 【易错】全乘方时不要只给分子或分母单独乘方；注意负号的乘方符号变化。 1．计算的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式乘方法则和积的乘方法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 2．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：. 3．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 4．计算：______． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 5．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． 题型6 简单分式混合运算 【模型】结合分式乘除、加减、乘方，按运算顺序转化为因式分解、通分约分，化为最简分式。 【步骤】先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，因式分解后约分。 【易错】运算顺序不能乱；括号前是负号，去掉括号后分子各项要变号。 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对分子、分母进行因式分解，把分式除法运算转变为乘以除式的倒数，再交叉约分，消掉所有公因式，直接得到化简结果． （2）先因式分解，做分式乘法并且约分，得到一个最简分式，之后按照同分母分式加法法则，分母保持不变，分子相加合并，最后化简得到答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．化简： 【答案】 【分析】先对分子或分母进行因式分解，再根据分式的乘法法则进行计算，最后进行分式的减法运算． 【详解】解：原式                               ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键； 根据分式加减乘除运算法则和运算步骤求解即可． 【详解】解：， ． 4．化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式运算的综合化简，涉及分式的乘法、除法以及因式分解与约分技巧．首先应将原式中的除法转化为乘法，统一为乘法运算，然后对各个分式进行因式分解，寻找可以约去的公因式，最后化简得到最简形式． 【详解】解： ． 5．化简： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，根据分式运算法则求解即可． 【详解】原式 提升·进阶突破 题型7含括号分式混合运算 【模型】先把括号内异分母分式加减通分化简，再将括号外乘除因式分解约分，整体化为最简分式。 【步骤】先算括号里面，通分合并；括号外除法变乘法，因式分解，约去公因式。 【易错】去括号时负号要分配到括号内每一项；不要提前约分括号内未合并的式子。 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算即可． 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】根据分式的性质和运算法则计算即可；本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解： ． 4．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 5．化简：÷ ． 【答案】 【分析】先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算，然后根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型8 分式化简求值 【模型】先化简分式，再代入字母数值计算，简化运算。 【步骤】因式分解化简原式，确定字母取值限制，代入求值。 【易错】代值前必须保证原分式分母不为 0，不能代入使分母等于 0 的数。 1．先化简：，然后选择一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式值为​ 【分析】先根据分式的运算法则化简，再选一个使原分式有意义的数代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵、、、， ∴不能取、、．只要选这三个数之外的任意数代入​计算都正确， 比如选时，原式值为​． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果：；值： 【分析】首先，利用分式的混合运算， 进行化简，然后，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 4．先化简，再选择一个合适的的值代入求值． 【答案】，当时，值为． 【分析】先对括号内的分式通分并因式分解，再将整个式子约分得到最简结果，选取使原分式有意义的m值代入计算． 【详解】解： ， 原分式有意义时分母不为0， 且，即且， 取，则原式． 5．先化简，再求值：从0，1，2，3中选一个适当的数x，代入求值． 【答案】，选择代入，值为 【分析】先根据分式运算法则、完全平方公式和平方差公式化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的的值，代入计算得到结果． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件，得，，， ∴只能选取， 将代入得，原式． 题型9 分式整体代入求值 【模型】不单独求字母，把已知代数式整体替换进化简后的分式求解。 【步骤】先化简分式，对已知条件变形构造整体，整体代入计算。 【易错】变形等式时注意等号两边同乘除不能为 0，别拆分整体条件。 1．阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明：左边 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先根据分式的加法法则把原式进行化简，再把，代入进行计算即可； （2）把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：， =1． 2．（1）化简：；请你从，0，1，2中选一个合适的的值代入求值． （2）阅读材料： “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 尝试应用： 把看成一个整体，化简：； 已知，求的值． 【答案】（1）；当时，原式或当时，原式；（2）； 【分析】本题考查了分式化简求值，利用整体思想化简和求代数式的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）异分母分式通分后化简得原式，根据分母不为0，推出，则当或时，原式的值可求； （2）仿照例题利用整体思想对同类项的系数进行合并，即可将代数式化简； 利用整体思想将多项式前两项提取公因数，即可整体代入求值． 【详解】解：（1） ； ， 当时，原式或当时，原式． （2） ； ， ． 3．对于题目：“已知，求代数式的值”，采用“整体代入”的方法（换元法），可以比较容易的求出结果． （1）设，则 （用含的代数式表示）； （2）根据，得到，所以的值为 ； （3）用“整体代入”的方法（换元法），解决下面问题： 已知，求代数式的值． 【答案】（1）； （2）2023；（3），1 【分析】（1）把所求代数式中的变形为，然后再整体代入即可得解； （2）把y=1代入即可得解； （3）设，则条件可变形为b-5=0，从而得b=5，再把变形为，再把b=5代入求值即可. 【详解】（1）∵ ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：2023； （3）解：设 ，则 ． ∵， ∴，解得：b=5． ∴． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握“整体代入法”是解答此题的关键． 4．阅读材料： 见微知著谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 例如：已知，求的值． 解：原式 问题解决： (1)已知． ①代数式的值为 ． ②求证． (2)已知，，且，求的值． 【答案】(1)①1； ②证明：∵， ∴， ∴ = = = = =1； (2)0 【分析】本题考查分式的化简求值，分式的混合运算． （1）①把代入，分母提取公因式，约分，再根据分式加法法则计算即可得答案；②由可得，同①的方法计算即可得结论； （2）将已知等式变形，分别得到含有的等式，再整体代入化简求值即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴ = = = =1； 故答案为：1 ②略 （2）解：，且， ， ， 同理可得：，， ． $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04分式的运算常考题型 题型图谱导航总览 题型1.分式化简 题型2.分式乘除运算 题型3.分式加减（同分母） 基础固本强基 题型4.分式加减（异分母） 题型5.分式乘方运算 题型6.简单分式混合运算 题型7.含括号分式混合运算 提升进阶突破 题型8.分式化简求值 题型9.整体代入求值 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1分式化简 【模型】依靠因式分解，约分、通分，把复杂分式化成最简分式。 【步骤】先因式分解，再算乘除后加减，最后约去公因式化为最简 【易错】找化简求值时，要保证原式分母不为0，不能直接约掉含字母的因式而忽略限制条件。 1.下列分式化简的过程中，化简为最简分式正确的是() 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x-y)=3x-y -2x+3x A.x-y B.2x =-1+2 9x2-13x-1 x2+y2 x+y C.6xy-2y 2y D.x-y-x-y 1-a2 2.化简-a-的结果为（） A.a+1 B.a-1 c.1-a D.-a-1 9xy 3.化简分式：27 a2-9 4.化简 a+3 5.判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式. x2-1 x+1 x2-2xy+y2 x2-36 ①x2+1②x2-1 ③x2-xy ④2x+12 题型2分式乘除运算 【模型】分式乘除转化为因式相乘，通过因式分解后约去公因式，得到最简分式。 【步骤】除法变乘法，分子分母因式分解，约去相同因式，最后相乘。 【易错】乘除同级运算，不能随意先算后面乘法：约分时不可约去为0的因式。 .x I X 1.计算yx的结果是() A.1 B.xy C.x D.y 2a a-b 2,化简6-a2b的结果是（） b B.-a A.a C.b 、 D.b 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-16÷a-4 3.计算：a+40 4（点)（- x-1.x2-1 5.计算：x2-4x+4x2-41 题型3分式加减（同分母） 【模型】分母不变，分子相加减，转化为整式运算后再化简分式。 【步骤】分母保持不变，分子相加减，合并分子，因式分解约分。 【易错】分子是多项式相加减时，记得给分子整体加括号，避免符号出错。 a 1.化简。一a的结果是(） a-1 A.a+1 B.a-1 c.a+1 D.1 1a-2 2.计算a+1 a+1的结果是() A.9-1 a-3 a+3 B. a+1 C. a+1 a+1 0.1 1x+1 3,计算xx的结果是 3x2 3xy 4.计算：x-yx-y= 5.计算： 21 (1)xx x21 2x-1x-1 题型4分式加减（异分母） 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型】通过通分转化为同分母分式加减，再合并分子化简。 【步骤】先确定最简公分母，分式通分，同分母相加减，最后约分。 【易错】通分时分子要同步乘对应式子；不要直接分母、分子分别相加。 2 1,计算a-+a+i的结果是（) 1 1 A.a+1 1 2 B.d2-1 C. a-1 D. a+1 12 2.计算x-x2-的结果等于(） A.1 B.x-1 c D.x2-1 1 、a2 3.计算a-11-a 11 4.计算m+m+m+的结果是一 5.计算： +2 (1)2-44-x: x2+y2 x-y (2)x2-y22x+2y 题型5分式乘方运算 【模型】分式乘方等于分子、分母分别乘方，转化为幂的运算。 【步骤】给分子、分母整体同时乘方，再化简幂，最后约分。 【易错】全乘方时不要只给分子或分母单独乘方：注意负号的乘方符号变化。 -2a 1.计算(c的结果正确的是() -4a2 4a2 4a2 A. B. C. D. 2c2 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)2 2.计算m)的结果是() 9 A.m 9 6 B. C. D. m 3.计算： 4.计算： 5.计算 o), al"). 题型6简单分式混合运算 【模型】结合分式乘除、加减、乘方，按运算顺序转化为因式分解、通分约分，化为最简分式。 【步骤】先乘方，再乘除，最后加减：有括号先算括号内，因式分解后约分。 【易错】运算顺序不能乱：括号前是负号，去掉括号后分子各项要变号。 1.计算： (1)-2a+1.a-1 d-Iara: x-1x2-1+1 2)2+2x+1x-1x+1 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2a-11 2.化简：a2-2a+1aa-1 a 3.计算：1+d-93-a 2x+6x-21 4.化简：x2-4x+4x2+3xx-2 1 a+2 a 5.化简：a-1a2-2a+1a+2 提升进阶突破 题型7含括号分式混合运算 【模型】先把括号内异分母分式加减通分化简，再将括号外乘除因式分解约分，整体化为最简分式。 【步骤】先算括号里面，通分合并；括号外除法变乘法，因式分解，约去公因式。 【易错】去括号时负号要分配到括号内每一项：不要提前约分括号内未合并的式子。 3m m 2m 1.计算： （m-2m-2m2-4 28品 3.计算： (2品-小4 a-1 4.化简： x-1 5.化简： 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型8分式化简求值 【模型】先化简分式，再代入字母数值计算，简化运算。 【步骤】因式分解化简原式，确定字母取值限制，代入求值。 【易错】代值前必须保证原分式分母不为0，不能代入使分母等于0的数。 x+2 x x-3 1,先化简：2-6x+93-xx+2,然后选择一个合适的数代入求值. a-2 5 2 2.先化简，再求值： a2-4a+4a-2a2-2a,其中a=3. x+1 3.先化简，再求值： 3）2m-4 m+2+ 4.先化简 m-2 m-1,再选择一个合适的m的值代入求值. x2+9 x2-92x-x2 6 5.先化简， x2-3xx-2再求值：从0,1,2,3中选一个适当的数x,代入求值， 题型9分式整体代入求值 【模型】不单独求字母，把已知代数式整体替换进化简后的分式求解。 【步骤】先化简分式，对已知条件变形构造整体，整体代入计算。 【易错】变形等式时注意等号两边同乘除不能为O,别拆分整体条件。 1. 阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构 和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法.常用的途径有：整体代入，整体设 元等 1 1 例如：ab=1,求证：1+a++b=l 7/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正明大这06d。i6 请根据阅读材料解答下列问题： 33 (1)已知a+b=-1”b=3,求。+6的值： 11 (2)若b=1,求1-ab2-1的值. x+14x 2,(1)化简：x-x2-一1：请你从-1,0,1,2中选一个合适的x的值代入求值. (2)阅读材料： “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我 (a+b) 们把 看成一个整体，4(a+)-2a+b)+(a+)=(4-2+(a+b)=3a+b) 尝试应用： ①拒(m-n心看成一个整体，化简：7m-川-(m-+3(m-: ② 2-2y=2.6y-3x2-2026 已知 ,求 的值 3.对于题目：“已知x2-2x-1=0,求代数式3x2-6x+2020的值”，采用“整体代入”的方法（换元 法)，可以比较容易的求出结果. (1)设 -2x=y3x-6x+2020=_(用含’的代数式表示)： y ,则 (2)根据x2-2x-1=0,得到y=1,所以3x2-6x+2020的值为： (3)用“整体代入”的方法（换元法），解决下面问题： 己知a+。5=0,求代数式 a2-4a+1 Q 的值， 4.阅读材料： 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维 到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法： 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 例如：己知y=1,求1+x+1+y的值. y+1=y+1=y+=1 解：原式y+x1+y1+y1+yy+1 问题解决： (1)已知炒=1. 1 1 ①代数式+文++少的值为， 11 ②求证1+@+1+y0=1. x+y+=1 +y+ (2)已知，y+z'z+xx+y,且x+y+z≠0，求y+zz+xx+y的值. 9/9