专题06 轴对称性质与作图9大题型突破（期中专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06轴对称性质与作图 题型图谱导航总览 题型1.轴对称图形识别 题型2.找对称轴 基础固本强基 题型3.利用轴对称性质求线段长度 题型4.利用轴对称性质求角度 题型5.线段垂直平分线的判定与性质 题型6.角平分线的判定与性质 提升进阶突破 题型7.折叠问题求线段、角度 题型8.作图形关于直线的轴对称图形 题型9.最短路径（两定一动）作图与计算 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1轴对称图形识别 【模型】存在一条直线，沿直线对折后直线两侧图形能够完全重合。 【步骤】观察图形，尝试寻找一条直线，对折检验两边能否重合。 【易错】区分轴对称图形（一个图形）和成轴对称（两个图形），不要混淆概念。 1. 下列图案中，是轴对称图形的是() 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. M .& 2.下列交通标志图案是轴对称图形的是( A· 0 3.下列图形中不是轴对称图形的是() 灯·养 4.下列图形中，不是轴对称图形的是() 5.下列图案中，是轴对称图形的是() :米 题型2找对称轴 【模型】寻找一条直线，沿直线对折，直线两侧部分能够完全重合。 【步骤】观察图形，尝试画线对折验证，数清全部对称轴数量。 【易错】部分图形有多条对称轴，容易漏数；对称轴是直线，不是线段。 1.下面的四个图形中，对称轴条数最多的是() 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ● 2.下面这个图形有()条对称轴. A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 3.下面图标中，不只有一条对称轴的是() B D 4.如图，图中雪花的对称轴条数是() A.3 B.4 C.6 12 D. 5.如图所示的图案，它的对称轴有() A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 题型3利用轴对称性质求线段长度 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型】轴对称对应线段相等，将所求线段等量转移，转化为已知线段求解。 【步骤】确定对称点，找出对应相等线段，代换线段列式计算 【易错】找准对应线段，不要误把非对应线段当成相等线段。 1.如图，在△ABC中，直线CD交AB于点D,点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE 若AB=10,AC=4,BC=9,则△BDE的周长是() D E A.13 B.15 C.17 D.23 2.如图， ∠AOB 内点卫，片.B分别是P关于O1、0B 的对称点， PB交OA于M交OB于N,若 PB=6cm △PMN ,则 的周长是() A.3cm B 6cm C.12cm D.18cm 3.如图，点O为∠ABC内部一点，且OB=5,E,F分别为点O关于射线BA,射线BC的对称点，当 ∠ABC=90°时，则EF的长为 F B E A 4.如图，在物理实验课上，小华所在小组用两块平面镜和进行成像研究.两块镜子互相平行放置， 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小球放在两镜之间，其球心为点1，点4在平面镜中的像为1，在平面镜中的像为4”.已知点A到 的距离为 m,到的距离为40cm,则44'= 20cm cm -A" 5.如图，已知△ABC与△DCB关于直线MN对称，直线MN分别与BD、BC交于点E,F,EF=3, AC=7.5,BC=8,3DE=AC, F (1)求BE的长. (2)求△EBC的面积. (3)求△DBC的面积. 题型4利用轴对称性质求角度 【模型】轴对称对应角相等，通过角的等量转移，结合三角形内角和计算。 【步骤】找到对称点，标出相等对应角，利用角度关系列式求解。 【易错】折叠轴对称时，不要漏看重合产生的两组相等角。 1.如图，△ABC与△AB'C'关于直线I对称，则LB的度数是（) 5/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A' 7 509 B 30 A.50° B.30° C.100° D.无法确定 ABCD 2.如图，直线是正五边形 过点B的对称辅，过点作 且与B相交于点F,则∠AFE的度 数为() y F E 12 41 D C A.45° B.54° C.60° D.72° 3.如图，△MBC与△DEF关于直线I对称，若∠A=6S°，∠B=85°，则∠F= D 4.如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知OC是对称轴，∠A=35°，∠BC0=30°，则∠AOC= 5.如图，△ABC与△ABD关于直线MN成轴对称.己知∠CBN=60°，∠D=25°，求∠CAD的度数. 6/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 提升进阶突破 题型5线段垂直平分线的判定与性质 【模型】线段垂直平分线的判定与性质模型、步骤、易错分别总结一句话 【步骤】性质：点在垂直平分线上→得两条线段相等；判定：两点到端点距离相等→确定垂直平分线。 【易错】判定需要两个点才能确定直线，单个点不能直接得出垂直平分线。 1.如图，在。ABC中，分别以顶点A,B为圆心，大于2AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N,连 接MN,分别与边AB,BC相交于点D,E.若AD=4,△AEC的周长为l7,则△ABC的周长为() A.20 B.21 C.25 D.30 2.如图，在△ABC中，点E是BC边上的点，DE垂直平分AB,若△ABC与△AEC的周长之差为I0,则 AB的长为() E A.6 B.10 C.12 D.16 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,F,若AD=3,△CBF的周长为7，则 △ABC的周长为 4.如图，在△ABC中，AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是TCm,则BC的 长为cm B 5.如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC,D为CE的中点.求证：BE=AC. E\D 题型6角平分线的判定与性质 【模型】角平分线上的点到角两边距离相等（性质）；在角内部，到角两边距离相等的点在角平分线上 (判定)。 【步骤】性质：点在角平分线上作垂线段得距离相等：.判定：角内一点到两边垂距相等证点在角 8/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分线上。 【易错】性质与判定必须是垂线段的长度，不是到边上任意点的线段。 1,如图，在△ABC中，点O是ZABC,∠ACB的平分线的交点，AB+BC+AC=15,过O作OD I BC于 点D,且OD=2,则△ABC的面积是() D A.15 B.18 C.30 D.36 2,如图，在△ABC中，AB=9,AC=3,BC=7,点D在边BC上，点D到边AB,AC的距离相等，且 AE=AC,则△BDE的周长等于() C B A.10 B.13 C.16 D.19 3.如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AD=2,点E是BC边上的动点，连接AC、AE,若CA平分 ∠BCD,则AE的最小值为一· 4.如图，∠A=∠B=90°，BM=5,当AM=时，点M在∠ANB的平分线上. 9/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M 5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,E为线段AC上一点，连接DE,且 ∠B=∠CED,若AB=32,CE=I1,求AE的长. 题型7折叠问题求线段、角度 【模型】折叠本质是轴对称，折叠前后对应边相等、对应角相等。 【步骤】找准折叠前后的对应边与对应角，标记等量，结合几何定理列式求解。 【易错】折叠产生的隐藏相等关系容易遗漏，注意重合角、重合边不要找错对应。 1. 折纸是几何学习中的一种重要操作.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B处，DB 交BC于点F.己知∠A=90°，若AC∥DB,则∠CEB的度数为() D A.45 B.45+2C C.135°-∠C D.2∠C-90° 2.如图，△ABC中，∠A=2I°，点D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠得到△FDE,点A对应 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点F,∠BDF=122°，则∠CEF的度数为() D A.90° B.85° C.80° D.78 3.如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D,C分别落在D',C的位置上，ED'的延长线与BC的 交点为G.若∠DEF=70°，则∠BFC'的度数为 A D B G 4.如图，将△ABC沿着直线1折叠，点C落在点D的位置，若∠C=46°，则∠I-∠2的度数是 D 5.如图，在△ABC中，∠B=4O°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD对折后，点C落到点E处， AE与BC相交于点F,∠ADC=110°. (1)求证：AB∥DE: (2)若△ACF的周长为12，△DEF的周长为4，求AF的长. 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型8作图形关于直线的轴对称图形 【模型】沿一条直线对折，直线两侧图形能够完全重合，对应点连线被对称轴垂直平分。 【步骤】先找图形关键点，画出各点关于对称轴的对称点，再按原图顺序依次连接对称点。 【易错】容易漏画关键点、对称点连线与对称轴不垂直，或连接点顺序错乱导致图形变形。 1.如图，已知△ABC与直线1，用数学工具作图 (1)画BC边上的高线AD: (2)作△ABC关于直线I的对称图形. 2.如图，根据对称轴（虚线）补全下面的轴对称图形 3.如图，在网格图中作出△ABC关于直线I对称的△4BG. 4.如图，以直线MN为对称轴画出图形的另一半， 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 题型9最短路径（两定一动)作图与计算 【模型】两定一动最短路径：两个定点、一个动点在定直线上，利用轴对称转化线段，两点之间线段最 短求最小值。 【步骤】作其中一个定点关于定直线的对称点，连接对称点与另一定点，连线和直线交点即为动点位 置，线段长就是最短路径。 【易错】分不清该作哪个点的对称点，误直接连接两定点，忽略验证动点是否在指定直线上。 1.如图，在正方形网格中，A、B、C、M、N为网格中的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成 下列作图： M (1)作线段BC关于直线MN对称的线段B'C': (2)在直线MN上作一点P,使PA+PB的值最小. 2.如下图，军营A和军营B在河岸1的同一侧，将军骑马从军营A到河岸1上的点E处，沿河岸1向东遛马 至点F处后骑马去军营B,遛马的距离EF同图中MN的长度，遛马点E,F如何设置才能使军营A到点 E与军营B到点F的距离之和最短？请画出示意图，并说明原因. 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 十→东 ·B A· M N 3.如图，要在高压输电线的旁边修一个小型变电站.该变电站建在输电线旁边的什么地方，才能使变电 站到A村和B村架设的电线线路最短？ ●B 、 ●A 高压输电 4.如图，三条公路两两相交于点A、B、C,现在要在公路边建一所加油站P,要求加油站P的位置到三条 公路的距离都相等， (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是_· 5.如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔.按照设计要求，发射塔到两个城镇A,B的距离必 须相等，到两条高速公路OM和ON的距离也必须相等.发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置 P,并简要写出作法及作图依据。 M B A 14/14专题06 轴对称性质与作图 基础·固本强基 题型1. 轴对称图形识别 题型2. 找对称轴 题型3. 利用轴对称性质求线段长度 题型4. 利用轴对称性质求角度 提升·进阶突破 题型5.线段垂直平分线的判定与性质 题型6.角平分线的判定与性质 题型7. 折叠问题求线段、角度 题型8. 作图形关于直线的轴对称图形 题型9. 最短路径（两定一动）作图与计算 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 轴对称图形识别 【模型】存在一条直线，沿直线对折后直线两侧图形能够完全重合。 【步骤】观察图形，尝试寻找一条直线，对折检验两边能否重合。 【易错】区分轴对称图形（一个图形）和成轴对称（两个图形），不要混淆概念。 1．下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图案是轴对称图形，故此选项符合题意； C、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意. 2．下列交通标志图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意． 3．下列图形中不是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形， 选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形． 4．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：B，C，D选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 5．下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形是轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，符合题意. 题型2 找对称轴 【模型】寻找一条直线，沿直线对折，直线两侧部分能够完全重合。 【步骤】观察图形，尝试画线对折验证，数清全部对称轴数量。 【易错】部分图形有多条对称轴，容易漏数；对称轴是直线，不是线段。 1．下面的四个图形中，对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称轴的定义，确定对称轴条数，然后比较大小即可求出答案． 【详解】解：A选项、对称轴的条数有3条， B选项、对称轴有无数条， C选项、对称轴有3条， D选项、对称轴有4条． ∴对称轴条数最多的是B选项． 2．下面这个图形有（     ）条对称轴． A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：如图所示，共有3条对称轴， 故选：C． 3．下面图标中，不只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是轴对称图形，没有对称轴，不符合题意； B、有3条对称轴，符合题意； C、有1条对称轴，不符合题意； D、有1条对称轴，不符合题意． 4．如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴． 【详解】解：依据轴对称图形的意义，沿着对称轴所在的直线对折，对折后的两部分能够完全重合， 雪花有6条对称轴． 故选C． 5．如图所示的图案，它的对称轴有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【详解】解：如图所示： 该图形有3条对称轴． 题型3 利用轴对称性质求线段长度 【模型】轴对称对应线段相等，将所求线段等量转移，转化为已知线段求解。 【步骤】确定对称点，找出对应相等线段，代换线段列式计算 【易错】找准对应线段，不要误把非对应线段当成相等线段。 1．如图，在中，直线交于点D，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质，三角形的周长，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴． 2．如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质得到，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵、分别是P关于、的对称点， ∴， ∵的周长， ∴的周长 ． 3．如图，点O为内部一点，且，E，F分别为点O关于射线，射线的对称点，当时，则的长为_______． 【答案】10 【分析】先求出，，再得出点三点共线，根据解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点分别为点关于射线，射线的对称点， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∴． 4．如图，在物理实验课上，小华所在小组用两块平面镜和进行成像研究．两块镜子互相平行放置，小球放在两镜之间，其球心为点，点在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是镜面反射的性质，解决本题的关键是理解实物与像关于镜面对称．那么到镜面的距离相等．根据经过反射后，，得出，即可求解． 【详解】解：经过反射后，， 故， 根据题意可得，， 故，， ∴． 故答案为：． 5．如图，已知与关于直线对称，直线分别与、交于点，，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． (3)求的面积． 【答案】(1)5 (2)12 (3)18 【分析】（1）先得出，再求出的长，由此即可得； （2）先得出，再根据三角形的面积公式计算即可； （3）先求出，再根据的边上的高与的边上的高相等可得的面积与的面积之间的关系，由此即可得． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称，且， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵与关于直线对称， ∴，即， ∵，， ∴的面积为． （3）解：由（1）已得：，，的面积为12， ∴， 又∵的边上的高与的边上的高相等， ∴的面积为． 题型4 利用轴对称性质求角度 【模型】轴对称对应角相等，通过角的等量转移，结合三角形内角和计算。 【步骤】找到对称点，标出相等对应角，利用角度关系列式求解。 【易错】折叠轴对称时，不要漏看重合产生的两组相等角。 1．如图，与关于直线对称，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质及三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，且， ∴． 2．如图，直线是正五边形过点的对称轴，过点作且与相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的内角和公式求出正五边形的内角度数，利用轴对称的性质得出直线与的夹角，最后根据平行线的性质求出的度数． 【详解】解：如图， 五边形是正五边形， ， 直线是正五边形过点的对称轴， 平分， ， ， ， ． 3．如图，与关于直线对称，若，，则________． 【答案】30 【详解】解：与关于直线对称， ，， ． 4．如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 【答案】/115度 【分析】先由轴对称性质得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由轴对称性质得， ∵， ∴． 5．如图，与关于直线成轴对称．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】首先，根据轴对称的性质得到，，再由，，三角形的内角和为即可得出的度数． 【详解】解：∵与关于直线成轴对称，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 提升·进阶突破 题型5 线段垂直平分线的判定与性质 【模型】线段垂直平分线的判定与性质模型、 步骤 、易错分别总结一句话 【步骤】性质：点在垂直平分线上→得两条线段相等；判定：两点到端点距离相等→确定垂直平分线。 【易错】判定需要两个点才能确定直线，单个点不能直接得出垂直平分线。 1．如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，．若，的周长为，则的周长为（     ） A．20 B．21 C．25 D．30 【答案】C 【分析】由尺规作图可知是线段的垂直平分线，利用垂直平分线性质得到、，再结合周长，等量代换求出周长． 【详解】解：由作图可得是的垂直平分线， ∴，． ∴， ∵， ∴，即， ∴． 2．如图，在中，点是边上的点，垂直平分，若与的周长之差为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再根据与的周长之差为列式计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵与的周长之差为， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 【答案】13 【分析】首先根据垂直平分线的定义和性质可得，，再由的周长为7，易得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为7，即， ∴， ∴的周长． 4．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是，则的长为______． 【答案】3 【分析】由线段垂直平分线的性质得，则，由的周长即可求解． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点N， ∴， ∴， ∵的周长是， 即， ∴． 5．如图，在中，是的垂直平分线，，为的中点．求证：． 【答案】证明：如图，连接， 是的垂直平分线， ． ，为的中点， 是的垂直平分线， ， ， ． 【分析】根据垂直平分线的性质推出，利用垂直平分线的判定和性质推出，通过等量代换即可证明． 【详解】略 题型6 角平分线的判定与性质 【模型】角平分线上的点到角两边距离相等（性质）；在角内部，到角两边距离相等的点在角平分线上（判定）。 【步骤】性质：点在角平分线上→作垂线段得距离相等；判定：角内一点到两边垂距相等→证点在角平分线上。 【易错】性质与判定必须是垂线段的长度，不是到边上任意点的线段。 1．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．15 B．18 C．30 D．36 【答案】A 【分析】作于点，作于点，连接，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，作于点，连接， ∵在中，点是，的平分线的交点，， ∴，， ∴ ． 2．如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（     ） A．10 B．13 C．16 D．19 【答案】B 【分析】先根据角平分线的判定得出，根据证明，得出，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵点D 到边，的距离相等， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴的周长等于． 3．如图，在四边形中，，，点是边上的动点，连接、，若平分，则的最小值为______． 【答案】2 【分析】过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 又∵平分，， ∴， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，，取得最小值，最小值为． 4．如图，，，当________时，点在的平分线上． 【答案】5 【分析】到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上，据此结合题意可得答案． 【详解】解：∵，即， ∴当时，点在的平分线上． 5．如图，中，，平分交于点，为线段上一点，连接，且，若，，求的长． 【答案】10 【分析】过点作于点，先证出，则，进而可得，再证出，则，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型7折叠问题求线段、角度 【模型】折叠本质是轴对称，折叠前后对应边相等、对应角相等。 【步骤】找准折叠前后的对应边与对应角，标记等量，结合几何定理列式求解。 【易错】折叠产生的隐藏相等关系容易遗漏，注意重合角、重合边不要找错对应。 1．折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．已知，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得出，再根据，推出，从而得出，结合折叠，得出，最后根据是的外角，根据即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴，即， 由折叠性质可知：， ∵是的外角， ∴， ∴． 2．如图，中，，点D、E分别在、上，将沿折叠得到，点A对应点F，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠确定，，利用邻补角的关系求出，进而求出，的度数，再根据三角形外角的定义求出，又利用邻补角的关系求出，即得，问题随之得解． 【详解】解：由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置上，的延长线与的交点为．若，则的度数为______． 【答案】/40度 【分析】根据长方形对边平行得到，利用平行线性质求出相关角的度数，再结合折叠前后角相等，进而求出的度数． 【详解】解：四边形为长方形， ． ，． 由折叠的性质可知：， ． 4．如图，将沿着直线 l 折叠，点C落在点D的位置，若，则的度数是_________ 【答案】 【分析】由折叠的性质得：，根据外角性质得：，，然后把代入计算即可． 【详解】解：由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， 则， 则． 5．如图，在中，，点D为边上一点，将沿直线对折后，点C落到点E处，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若的周长为12，的周长为4，求的长． 【答案】(1)证明：由对折可知，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴； (2)4 【分析】（1）由对折可知，，可求得，再求出，由，判定； （2）由对折可知，，根据全等三角形性质，将转化为，根据已知的周长为12，的周长为4，构造方程求即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵的周长为12，的周长为4， ∴，． ∵， ∴，． ∴ ， 即． 解得． 题型8 作图形关于直线的轴对称图形 【模型】沿一条直线对折，直线两侧图形能够完全重合，对应点连线被对称轴垂直平分。 【步骤】先找图形关键点，画出各点关于对称轴的对称点，再按原图顺序依次连接对称点。 【易错】容易漏画关键点、对称点连线与对称轴不垂直，或连接点顺序错乱导致图形变形。 1．如图，已知与直线，用数学工具作图． (1)画边上的高线； (2)作关于直线的对称图形． 【答案】(1)如图，高线即为所求： (2)如图，即为所求， 【分析】（1）以点为圆心，适当长度为半径画弧交直线于点、，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线交的延长线于点，则高线即为所求； （2）作轴对称图形的核心是找到原图形各顶点关于对称轴的对称点，再顺次连接对称点即可． 【详解】（1）略 （2）略． 2．如图，根据对称轴（虚线）补全下面的轴对称图形． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的定义（一个图形沿着一条直线对折，两条直线完全重合）即可画出轴对称图形． 【详解】解：依次找出每个图形的每条线段关于虚线对称的顶点，进行描点，连线，即可画出对应的轴对称图形． 3．如图，在网格图中作出关于直线l对称的． 【答案】如图，即为所求， 【分析】根据轴对称的性质作图即可． 【详解】略． 4．如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 【答案】 解：如下图即为所求， 【分析】分别作出特殊点关于直线的对称点，顺次连接对应点得到的图形即为所求． 【详解】略 题型9 最短路径（两定一动）作图与计算 【模型】两定一动最短路径：两个定点、一个动点在定直线上，利用轴对称转化线段，两点之间线段最短求最小值。 【步骤】作其中一个定点关于定直线的对称点，连接对称点与另一定点，连线和直线交点即为动点位置，线段长就是最短路径。 【易错】分不清该作哪个点的对称点，误直接连接两定点，忽略验证动点是否在指定直线上。 1．如图，在正方形网格中，、、、、为网格中的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图： (1)作线段关于直线对称的线段； (2)在直线上作一点，使的值最小． 【答案】(1)线段即为所求 (2)点即为所求 【分析】（1）根据网格的特征分别作出点、关于直线的对称点、，连接即可； （2）连接，与直线的交点即为所求． 【详解】（1）略 （2）理由：如图： ∵垂直平分， ∴， 故，即此时的值最小． 2．如下图，军营和军营在河岸的同一侧，将军骑马从军营到河岸上的点处，沿河岸向东遛马至点处后骑马去军营，遛马的距离同图中的长度，遛马点，如何设置才能使军营到点与军营到点的距离之和最短？请画出示意图，并说明原因． 【答案】 点，的位置如图所示．理由如下： 将点向东平移的长度得到点，作点关于直线的对称点， 连接交直线于点，在直线上任取一点，连接，，． 连接，将向西平移的长度得到． 由作图可得，，，． 要求的最小值，即求的最小值． ， 当点，，在同一条直线上时，取得最小值， 即点与点重合时，最小， 故点，即为所求． 【分析】本题主要考查轴对称的性质，解题关键是利用轴对称的性质得出线段相等，进而将问题转化为在直线上找一点，使得最小． 将点向东平移的长度得到点，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，在直线上任取一点，连接，，，将问题转化为求的最小值，当点，，在同一条直线上时，取得最小值，由此即可得到点，的位置． 【详解】略 3．如图，要在高压输电线的旁边修一个小型变电站．该变电站建在输电线旁边的什么地方，才能使变电站到村和村架设的电线线路最短？ 【答案】 如图，点即为所求． 【分析】本题考查了轴对称的性质，作点关于高压输电线的对称点，再连接交高压输电线于点，则，此时最短，点即为所求． 【详解】略 4．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2)到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】（1）利用角平分线的性质作出图形即可； （2）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据． 【答案】解：如图所示，作线段的垂直平分线，再作的角平分线交线段的垂直平分线于点P，则点P即为所求； 由线段垂直平分线的性质可得点P到两个城镇A，B的距离相等，由角平分线的性质可得点P到两条高速公路和的距离也相等． 【分析】点P到两个城镇A，B的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，点P到两条高速公路和的距离相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． 【详解】略 $