专题03 全等三角形的7大几何模型突破（期中专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03全等三角形的几何模型 题型图谱导航总览 模型1.公共边全等模型 模型2公共角全等模型 模型3X全等模型 提升进阶突破 模型4.角平分线全等模型 模型5.垂直全等模型 模型6.手拉手全等模型 模型7.倍长中线全等模型 题型精练·靶向突破 提升进阶突破 题型1公共边全等模型 【模型】图中存在公共边作为一组相等对应边，结合其他边角条件证明三角形全等。 【步骤】识别公共边相等，找出其余对应边角，选用合适判定定理完成全等证明。 【易错】略公共边是对应边，书写证明时遗漏公共边这一条件。 1.如图，△ABC的面积为9cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP于P,连接PC,则△PBC的面积为() 1/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P B A.3cm2 B.4cm2 C.4.5cm2 D.5cm2 2.如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC,若∠I=132°，则∠C的度数为() A.86° B.88 C.96 D.98 3.如图，△ABC中，AB=6,BC=5,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,在AB上截取AE=AC, 则△BDE的周长为」 A E 4.己知，如图△MBC中，AB=AC,∠A=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点E,∠BDC=90°， 求证：CE=2BD, B D E Q 5.如图是一个鱼尾形风筝的示意图，其中△ABC为风筝的主骨架，点E、F分别在边AB、AC上，AD、 DE、DF为三根支撑骨架，AD⊥BC于点O,DE=DF,且DA平分∠EDF, 2/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求证：AE=AF: (2)若B0=3dm,求BC的长. 题型2公共角全等模型 【模型】利用图形中公共角作为一组相等对应角，搭配其他边角条件证明三角形全等。 【步骤】找出图中的公共角确定等角，再寻找剩余对应边角，选择判定定理证全等。 【易错】误把公共角当成非对应角，证明过程不标注公共角这一已知条件。 1. 己知：如图，AB=AC,BD=CE.求证：BE=CD D B E 2.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AB和AC上，连接BE,CD,交点为F,且 AD=AB,E=4C.求证：DF=EF: 3 B 3.如图，∠A=∠B,CA=CB,△CAD和△CBE全等吗？CD和CE相等吗？试说明理由. 3/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4,如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为点D、E,求证：BD=CE, B 题型3X全等模型 【模型】X全等模型(8字型)，依靠对顶角相等，搭配边角条件证明两个三角形全等。 【步骤】识别8字结构得到对顶角相等，寻找其余一组边或角，选用判定定理证全等。 【易错】找错两组三角形的对应顶点，误将不对应的边角拿来证明全等。 ---------EE 1.如图， 在△ABC中，BE为边AC上的中线，延长BE到点D,连接AD,使得∠ADE=∠CBE,若 BD=8,则DE的长为() E A.8 B.3 C.4 D.5 2.如图，为了测量河两岸A,B两点的距离，过点B作BM1AB,在BM上取两点C,D,使得BC=CD 再过D点作BM的垂线DE,使得点B、C、A在同一直线上，若BD=12m,DE=8m,CE=10m,则 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A,B两点的距离是 M E 3.如图，在△ABC中，D为AC的中点，AE∥BC,连接ED并延长，交BC于点F. B (1)求证：△AED≌△CFD (2)已知BC=6,AE=2,求BF的长. 4.如图，在△ABC中，点D在AC边上，且AD=CD,AEI‖BC,ED的延长线交BC于点F,求证： ED=FD E D B 题型4角平分线全等模型 【模型】利用角平分线分出两个相等角，结合其他边角条件证明三角形全等。 【步骤】由角平分线得到一组等角，再找出剩余对应边角，选择判定定理证明全等。 【易错】只使用角相等，缺少边的条件误用判定，对应顶点匹配错误。 1.如图，OP平分∠AOB,PC1OA于点C,点D在OB上，若PC=4,OD=6,则aPOD的面积为 5/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A C D B A.4 B.8 C.12 D.18 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,BC=7,BD=5,则点D到AB的距离为， A D B 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB于点E,点F在AC上，CF=EB.求证： DF=DB. E B D 4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AC平分∠BAD,点E在边AB上，且∠B=∠BEC 求证：CE=CD 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型5垂直全等模型 【模型】先证三角形全等得到对应边相等，以此为基础进一步推导线段相等关系。 【步骤】梳理已知条件证明全等，利用全等对应边相等，结合线段和差推出目标线段相等。 【易错】全等对应边找错，未先证全等就直接判定线段相等，推理缺少依据。 1.如图，已知△ABC中，AD=BD,BH=5,H是高AD和BE的交点，EH=1,则△ABC的面积为 D A.13 B.15 C.26 D.28 2,如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E,过点C作 CF⊥AD交AD于点F,若BE=6,则CF的长为 E 3.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用 力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距 离BD,CE分别为l.3m和1.5m,∠BOC=90°，则爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是多少？ 7/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 7777777777777777777 4,如图，△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线MN交AC于点N,交AC的平行线BM于点M, PD⊥MN,交AB于点P,连接PM,PN.求证： D D (1)BM =CN (2)BP+CN>PN 题型6手拉手全等模型 【模型】共顶点且两组邻边分别相等的两个三角形，利用顶角加减公共角得到等角，证明全等。 【步骤】识别共顶点等线段，推导夹角相等，选用SAS证明全等，再得到对应边、角相等。 【易错】找错旋转对应的边角，分不清顶角是加还是减公共角，对应顶点匹配错误。 1. 如图所示的正方形ABCD中，点E在边CD上，把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF,∠FAB=20° 旋转角的度数是() 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.110° B.90 C.70 D.20° 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF,延长BC交EF于点D,若 BD=5,BC=4,则DE=· 3.如图，已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,点D在边BC边上（不与B、C重 合)，且∠B=∠ADE,DE交AC于F. (1)试说明∠BAD与∠CAE相等的理由； (2)连接CE,若CD=CE,说明DF与EF相等的理由； (3)若∠BAD=20°，当△DAF是等腰三角形时，直接写出∠B的度数. 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是AB边上一点（点D与A,B不重合），连结CD, 将线段CD绕点C按逆时针方向旋转9O°得到线段CE,连结DE交BC于点F,连接BE. 求证：△ACD≌ABCE 9/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型7倍长中线全等模型 【模型】把三角形中线延长一倍，构造对顶角相等的一组全等三角形，实现边和角转移。 【步骤】延长中线至一点，使延长线段等于中线长，连接端点，证SAS全等。 【易错】不要只延长线段，必须标注倍长相等条件：注意区分对顶角，别误用SSA证全等。 1,如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5,AC=3,则AD的取值范围是() B A.1<AD<4 B.2<AD<8 C.3<AD<5 D.4<AD<8 2.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC=4,AD=5,AB的长度为偶数，则AB的所有可能 值为 3.倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若延长AD至点E, 使DE=AD,连接CE,可根据“SAS”证明△ABD≌aECD,则AB=EC. 10/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D B.e- B E 图① 图② (1)若AB=12,AC=8,则AD的取值范围是 (2)如图②，己知Rt△AB0和Rt△CD0中，∠AOB=∠COD=90,OA=OB,OC=OD,连接AC,BD,E是 BD的中点，连接OE,求证：OE=)4C 2 4.某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,D是BC 的中点，求BC边上的中线AD的取值范围 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,请补充完整证明“ △ABD2AECD”的推理过程 B (1)求证：△ABD≌2AECD 证明：延长AD到点E,使DE=AD, 在△ABD和△ECD中， AD=ED(己作)， ∠ADB=∠EDC(), CD=(中点定义)， :.△ABD≌aECD(): (2[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的 已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中. ” 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [问题解决] 如图，△ABC中，∠B=90°，AB=2,AD是△ABC的中线，CE⊥BC,CE=4,且∠ADE=90°，求AE 的长. 12/12专题03 全等三角形的几何模型 提升·进阶突破 模型1.公共边全等模型 模型2.公共角全等模型 模型3.X全等模型 模型4.角平分线全等模型 模型5.垂直全等模型 模型6.手拉手全等模型 模型7.倍长中线全等模型 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 提升·进阶突破 题型1 公共边全等模型 【模型】图中存在公共边作为一组相等对应边，结合其他边角条件证明三角形全等。 【步骤】识别公共边相等，找出其余对应边角，选用合适判定定理完成全等证明。 【易错】略公共边是对应边，书写证明时遗漏公共边这一条件。 1．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（    ） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 【答案】C 【分析】证△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出，代入求出即可． 【详解】延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ∠ABP＝∠EBP BP＝BP ∠APB＝∠EPB， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴， 故答案选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 2．如图，已知，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由全等三角形的性质得到，，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴． 3．如图，中，，，，平分交于点，在上截取，则的周长为_______． 【答案】 【分析】先利用角平分线得到相等角，结合、公共边证明，得到；再把周长转化为，算出长度后代入求值即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 4．已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 【答案】 证明：如图， 延长交的延长线于， 平分 【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再证△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可． 【详解】略． 【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键． 5．如图是一个鱼尾形风筝的示意图，其中为风筝的主骨架，点、分别在边、上，、、为三根支撑骨架，于点，，且平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， 又∵ ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据证明即可得出结论； （2）根据证明得出，即可得出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵于点， ∴ 又， ∴， ∴， ∴． 题型2 公共角全等模型 【模型】利用图形中公共角作为一组相等对应角，搭配其他边角条件证明三角形全等。 【步骤】找出图中的公共角确定等角，再寻找剩余对应边角，选择判定定理证全等。 【易错】误把公共角当成非对应角，证明过程不标注公共角这一已知条件。 1．已知：如图，，．求证：． 【答案】证明：，， ，即， 在和中， ， ． 【分析】利用证明，根据全等三角形的性质可证结论成立． 【详解】略 2．如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】先证出，则可得，再证出，由此即可得证． 【详解】略． 3．如图，和全等吗？和相等吗？试说明理由． 【答案】 和全等，和相等，理由如下： 在和中， ， ， ． 【分析】根据题干中给出条件和公共角即可证明，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题． 【详解】略 4．如图，在中，，垂足分别为点，求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【分析】证明， 即可得证． 【详解】略 题型3 X全等模型 【模型】X 全等模型（8 字型），依靠对顶角相等，搭配边角条件证明两个三角形全等。 【步骤】识别 8 字结构得到对顶角相等，寻找其余一组边或角，选用判定定理证全等。 【易错】找错两组三角形的对应顶点，误将不对应的边角拿来证明全等。 1．如图，在中，为边上的中线，延长到点D，连接，使得，若，则的长为（     ） A．8 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】证明，即可得出结果. 【详解】解：为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是______． 【答案】/米 【分析】直接利用已知结合得出，进而得出． 【详解】解： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．如图，在中，为的中点，，连接并延长，交于点． (1)求证：． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）由平行线的性质可得，进而可使用角角边的判定定理证明全等； （2）由全等三角形的性质可得，作差即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 4．如图，在中，点在边上，且，，的延长线交于点．求证：． 【答案】证明：， ， 在和中， ， ． 【分析】根据平行线的性质可得，进而可证明，即可得到结论． 【详解】见答案处． 题型4 角平分线全等模型 【模型】利用角平分线分出两个相等角，结合其他边角条件证明三角形全等。 【步骤】由角平分线得到一组等角，再找出剩余对应边角，选择判定定理证明全等。 【易错】只使用角相等，缺少边的条件误用判定，对应顶点匹配错误。 1．如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（     ） A．4 B．8 C．12 D．18 【答案】C 【分析】过点作于点，证明出，则，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 平分， ， ，， ， 又， ， ， 的面积． 2．如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为_________． 【答案】2 【分析】过点D作于点E，可证明，得到，由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点D到的距离为2． 3．如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【详解】略 4．如图，在四边形中，，平分，点E在边上，且．求证：． 【答案】证明：∵在四边形中， ∴ ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴． 【分析】通过四边形内角和定理得到，然后结合已知条件证明即可． 【详解】略 题型5 垂直全等模型 【模型】先证三角形全等得到对应边相等，以此为基础进一步推导线段相等关系。 【步骤】梳理已知条件证明全等，利用全等对应边相等，结合线段和差推出目标线段相等。 【易错】全等对应边找错，未先证全等就直接判定线段相等，推理缺少依据。 1．如图，已知中，，H是高和的交点，，则的面积为（     ） A．13 B．15 C．26 D．28 【答案】B 【分析】根据已知条件证明，得到，再根据三角形面积计算即可． 【详解】解：是边上的高， ，， 是边上的高， ， 在中，， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用判定，从而得出对应边相等． 【详解】解：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 3．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，则爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是多少？ 【答案】爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 【分析】由题意可得，，，，，证明得出，，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是． 4．如图，中，点D是的中点，过点D的直线交于点N，交的平行线于点M，，交于点P，连接，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵点D是的中点， ． ， ． 又， ． ． (2)证明：， ． ， ∴． 又， ． ． 在中，， ，， ． 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）证明，得到，根据三角形的三边关系结合等量代换，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型6 手拉手全等模型 【模型】共顶点且两组邻边分别相等的两个三角形，利用顶角加减公共角得到等角，证明全等。 【步骤】识别共顶点等线段，推导夹角相等，选用 SAS 证明全等，再得到对应边、角相等。 【易错】找错旋转对应的边角，分不清顶角是加还是减公共角，对应顶点匹配错误。 1．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=， 由旋转得≌， ∴∠FAB=∠EAD， ∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴∠FAE=∠BAD=， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．    【答案】3 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 【详解】解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴ 又∵，， ∴； ∴， ∴. (2) 证明：如图， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. (3)或 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据等边对等角可知，，再由三角形的内角和定理即可得到，由此即可证明结论； （2）证明，可得，再根据等腰三角形三线合一即可证明结论； （3）设，则，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得，，再分三种情况讨论即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当是等腰三角形时，有三种情况讨论： 当时，，，解得：； 当时，，，解得：； 当时，，，此方程无解； 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 4．如图，在中，，，是边上一点（点与不重合），连结，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结交于点，连接． 求证：． 【答案】证明：由旋转可知CD=CE，∠DCE=90°， ， ， ， 在和中 ， （SAS）． 【分析】由旋转可知，再结合，可得，从而可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及图形旋转的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 题型7 倍长中线全等模型 【模型】把三角形中线延长一倍，构造对顶角相等的一组全等三角形，实现边和角转移。 【步骤】延长中线至一点，使延长线段等于中线长，连接端点，证 SAS 全等。 【易错】不要只延长线段，必须标注倍长相等条件；注意区分对顶角，别误用 SSA 证全等。 1．如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定及性质；延长至，使，由判定，由三角形的三边关系得，即可求解． 【详解】解：延长至，使， 是边上的中线， ， ， （）， ， ， ， ， 故选：A． 2．如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【答案】8，10，12 【分析】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至，使，连接，证明，得到，在中根据三角形的三边关系求出的取值范围，从而得到的取值范围，即可解答． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ∴． 为偶数， ∴，10，12． 故答案为：8，10，12 3．倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． (1)若，则的取值范围是_______． (2)如图②，已知和中， ，连接 是的中点，连接，求证： ． 【答案】(1) (2)证明：如图，延长至点F，使得，连接． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ． ． 【分析】（1）如图①，证明，再由三角形的三边关系求解即可； （2）延长至点F，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，即可得证． 【详解】（1）解：如图①， ∵是边上的中线， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）略 4．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证：． 证明：延长到点E，使， 在和中， ∵（已作）， （ ）， （中点定义）， ∴（ ）； (2)[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [问题解决] 如图，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】(1)对顶角相等；； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键： （1）根据对顶角相等，线段中点的定义以及证明三角形全等作答即可； （2）延长交的延长线于F，证明，得到，，再证明，得到，利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：延长到点E，使， 在和中， ∵（已作）， （对顶角相等）， （中点定义）， ∴； （2）解：如图，延长交的延长线于F， ，， ， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ， ， ． $