专题05 分式方程及其应用10大题型突破（期中专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

专题05 分式的运算常考题型 基础·固本强基 题型1. 分式方程识别 题型2. 列分式方程 题型3. 解分式方程 提升·进阶突破 题型4. 根据解的情况求参数取值 题型5. 含参数分式方程求解 题型6. 分式方程无解求参数 题型7. 工程问题分式方程应用题 题型8. 行程问题分式方程应用题 题型9. 销售单价类分式方程应用题 题型10. 分式方程和差倍分问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 分式方程识别 【模型】看方程中分母是否含有未知数，分母含未知数的方程就是分式方程。 【步骤】找出所有分母，检查分母里是否含有字母未知数。 【易错】注意区分分母是常数和含未知数；只看原式，不要化简后判断。 1．下列方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义判断即可，分式方程定义为分母中含有未知数的方程，据此可得出正确结果． 【详解】解：选项A：的分母是常数，不含未知数，是整式方程，不符合题意； 选项B：的分母为未知数，符合分式方程的定义，符合题意； 选项C：中所有分母都不含未知数，是整式方程，不符合题意； 选项D： 中，分母和都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合题意． 2．下列关于x的方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A.是一元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； B.分母中含有未知数，是分式方程，符合要求； C.分母为常数和，不含未知数，是一元一次整式方程，不符合要求； D.是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求． 3．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 4．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 5．给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】分式方程是分母中含有未知数的方程，判断每个方程是否含有分母且分母中含有未知数． 本题考查了分式方程的概念，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程① 中，右边分式分母含有未知数 ， ∴ ①是分式方程． ∵ 方程② 中，左边分式分母 含有未知数 ， ∴ ②是分式方程． ∵ 方程③ 中没有分式，是整式方程， ∴ ③不是分式方程． ∵ 方程④ 中， 是常数系数，没有分母含有未知数， ∴ ④不是分式方程． ∴ 是分式方程的是①②． 故选：B． 题型2 列分式方程 【模型】找准题目等量关系，设未知数，用分式表示数量，列出等式。 【步骤】审题找等量，设未知数，用含未知数式子表示量，列出分式方程。 【易错】分清已知量与未知量，不要混淆工作效率、速度这类倒数型数量关系。 1．甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同．设乙每小时搬运件货物，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设乙每小时搬运件货物，则甲每小时搬运件货物，根据甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同，建立方程即可． 【详解】解：设乙每小时搬运件货物，则甲每小时搬运件货物， 根据甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同，得． 2．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，再利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵规定时间为天， ∴慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 根据题意，得． 3．《九章算术》中记载这样一道问题：现将一份文书送往距离里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多天；若用快马递送，所需时间比规定时间少天．已知快马速度是慢马速度的倍，求规定的递送时间．设规定的递送时间为天，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别表示出快、慢马的速度，再根据快马速度是慢马速度的倍列方程即可． 【详解】解：∵规定时间为天，慢马所需时间比规定时间多2天，快马所需时间比规定时间少3天， ∴慢马走完全程的时间为天，快马走完全程的时间为天， ∵总路程为900里， ∴慢马速度为，快马速度为， ∵快马速度是慢马速度的2倍， ∴． 4．甲、乙二人从郑州出发到西安，甲乘坐高铁，乙乘坐普通列车，结果甲比乙少用．已知高铁的平均速度比普通列车快，求高铁、普通列车的平均速度分别是多少．假设从郑州到西安的高铁、普通列车线路长均为，高铁的平均速度为，则根据题意可列方程为__________． 【答案】 【分析】由题意可得普通列车的平均速度，再结合时间路程速度，列出分式方程即可． 【详解】解：∵高铁的平均速度为，高铁的平均速度比普通列车快， ∴普通列车的平均速度， 由题意可得． 5．小鹿两次购买相同药物的费用均为200元，第二次购买时每盒降价8元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为（元/盒），则可列方程为_________． 【答案】 【分析】设第一次购买时该药品的单价为（元/盒），则第二次购买每盒（元/盒），根据第二次比第一次多买2盒列出分式方程即可． 【详解】解：设第一次购买时该药品的单价为（元/盒），则第二次购买每盒（元/盒）， 根据题意可得出． 题型3 解分式方程 【模型】去分母转化为整式方程求解，再检验根是否让原分母为零。。 【步骤】找最简公分母，两边同乘公分母化为整式方程，解整式方程，检验。 【易错】去分母时常数项也要乘最简公分母；勿忘检验，增根要舍去。 1．解分式方程，去分母后正确的整式方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 两边同乘以，得：． 2．将分式方程去分母化为整式方程，所得的结果是________． 【答案】 【分析】将方程两边同时乘以最简公分母，即可解答． 【详解】解：方程两边同时乘以去分母，得． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； （2）解：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 4．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：方程两边同乘，得 ， 去括号得 ， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． （2）解：方程两边同乘，得 ， 去括号及合并得 ， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 5．解方程： (1)； (2)5． 【答案】(1)无解 (2) 【详解】（1）解： ， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是分式方程的增根， 所以原分式方程无解； （2）解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 提升·进阶突破 题型4 根据解的情况求参数取值 【模型】先解化为后的整式方程，结合分式方程解的限制条件，确定参数范围。 【步骤】去分母化成整式方程，用参数表示方程的解，结合解的要求列不等式求解参数。 【易错】求出参数范围后，要排除使原分式方程产生增根的参数值。 1．已知分式方程有增根，则的值为（    ） A．4 B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， 解得：， 原分式方程去分母得， 代入得． 2．若关于的分式方程有正整数解，且为正整数，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于a的表达式，再根据x为正整数解，a为正整数，结合分式方程分母不为0的条件，确定a的值． 【详解】解：原方程为 ， 变形得 ， ∵分式分母不为0， ∴， 方程两边同乘 得： ， 整理得 ， ∴， ∵x为正整数，a为正整数， ∴是2的正约数，且 ， 可得 ，解得 ， 此时 ，符合分式方程要求， 故a的值为1． 3．______时，关于的方程的解为． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将代入整式方程得到关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 把代入，得， 解得． 4．若关于x的方程有增根，则m的值为______． 【答案】 【分析】解分式方程，根据方程有增根计算即可． 【详解】解： 两边同时乘去分母得 整理得 ∵方程有增根 ∴ ∴ ∴． 5．关于的分式方程．若方程的增根为，求的值． 【答案】 【分析】先去分母、去括号、移项、合并同类项得到方程，结合分式方程的增根为，得到，解分式方程即可． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 方程的增根为，即是方程有解， ， 则方程的解为， ，解得， 经检验，是分式方程的解， ． 题型5 含参数分式方程求解 【模型】把参数当作已知常数，去分母转化为带参数的整式方程，再检验根。 【步骤】确定最简公分母，去分母化为整式方程，用参数表示未知数，检验增根。 【易错】用参数表示解后，要排除使分母为 0 的参数取值，不能省略检验。 1．已知分式方程的解为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．7 D．12 【答案】D 【分析】将代入分式方程，得到关于a的方程，即可求解． 【详解】解：将代入分式方程，得： ， 解得． 2．是分式方程的解，则a的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，已知是分式方程的解，将代入原方程即可求出的值． 【详解】解：∵是分式方程的解， ∴ 将代入原方程，得，化简得， 两边同乘，得， 解得． 3．已知关于的分式方程的解是2，则的值是_______． 【答案】0 【分析】根据方程的解的定义，把分式方程的解代入方程，得到关于m的方程，解方程即可解答． 【详解】解：∵关于的分式方程的解是2， ∴， 解得． 4．若关于的分式方程的解为，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原分式方程，得到关于的一元一次方程，求解后检验即可得到的值． 【详解】解：因为是分式方程的解，所以将代入原方程，得， 计算得： ， 整理得：， 经检验，当时，满足原方程分母不为0的条件，符合题意． 5．已知关于的分式方程的解与分式方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法和同解方程的应用，掌握解分式方程的步骤，以及利用同解建立等式求参数是解题的关键． 先分别求解两个分式方程，得到它们的解，再根据解相同的条件建立关于的方程，从而求出的值． 【详解】解：解分式方程，得． 解分式方程，得． 检验：当时，，， 是原方程的有效解． 它们的解相同， ， 解得． 当时，第一个方程为 检验：当时，， 是该方程的解，该解与第二个方程的解相同， 故符合题意． 题型6 分式方程无解求参数 【模型】分式方程无解包含整式方程无解，或者整式方程的根是原分式方程增根两种情况。 【步骤】去分母化为整式方程，分整式方程无解、整式方程解为增根两类讨论求参数。 【易错】容易漏掉整式方程本身无解这一情况，只考虑增根求参数。 1．若分式方程无解，则a的值是（     ） A．1或0 B．或0 C．或2 D．1或 【答案】D 【分析】先将分式方程转化为整式方程，再从整式方程无解和整式方程有解，但该解让原分式方程的最简公分母为零两种情况讨论． 【详解】解：对于方程， 两边同乘，得， 整理得． 当，即时，整式方程无解，故原分式方程无解． 当时，． ∵原分式方程无解， ∴当时，，即，解得． 综上，的值为或． 2．若分式方程 有增根，则增根为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据分式方程增根的定义，增根是使分式方程分母为零的未知数的值，先结合分母得到增根的可能，再解方程验证即可． 【详解】解：∵原分式方程的分母为，增根会使分式分母为零， ∴令，得． 给方程两边同乘去分母，得， 展开计算得， 移项解得， ∵当时，原分式的分母为，分式无意义， ∴原分式方程的增根为． 3．若关于x的分式方程无解，那么实数m的值是______ 【答案】 或 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根，分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母， 去分母，得，整理得：， 情况1：若整式方程无解， ∵当一次项系数为时，整式方程无解， ∴，解得，此时原分式方程无解； 情况2：若整式方程有解，且解为原分式方程的增根， ∵原分式方程的增根满足，即， ∴把代入，得， 解得，此时原分式方程无解； 综上，的值为或． 4．若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 【答案】0或1 【分析】首先可将转化为，消去分母将分式方程转化为整式方程；再分类讨论分式方程无解的情况，第一种是化简后的整式方程无解，第二种是使原分式方程的分母为0的情况，进而求解a的值． 【详解】解：去分母得：， 整理得：． 当时， 解得． 此时整式方程为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程也无解，符合要求． 当时， 解得， 则有， 解得．此时整式方程的解为，是原分式方程的增根，因此原分式方程无解，符合要求． 综上，a的值为0或1． 【点睛】分式方程无解包含两种情况：整式方程本身无解，或整式方程的解为原分式方程的增根． 5．若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】或 【分析】解分式方程，然后根据分式方程无解，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得： ， ∵关于x的分式方程无解， ∴或， ∴或， ∴或， 解得：或． 题型7工程问题分式方程应用题 【模型】依托工作总量 = 工作效率 × 工作时间，常设总工程量为 1，用分式表示工作效率构建方程。 【步骤】设未知数，表示各自工作效率，根据合作 / 先后完工的等量关系列分式方程，求解检验作答。 【易错】工作效率是时间的倒数，合作效率为各效率相加，不要误把时间直接相加。 1．甲、乙两个植树队参加植树造林活动．已知乙队每小时比甲队多种棵树．甲队种棵树与乙队种棵树所用的时间相同．求甲队每小时种多少棵树？ 【答案】甲队每小时种棵树 【分析】利用甲队种棵树与乙队种棵树所用时间相同的等量关系，列分式方程求解即可． 【详解】解：设甲队每小时种棵树，则乙队每小时种棵树． 由题意得，， 解得， 检验：当时，，是原分式方程的解． 答：甲队每小时种30棵树． 2．随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用小时，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 【答案】9吨货物 【分析】设普通机器人每小时可以装载吨货物，则智能机器人每小时可以装载吨货物，根据“两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用小时”列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设普通机器人每小时可以装载吨货物，则智能机器人每小时可以装载吨货物， 由题意可得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：智能机器人每小时可以装载9吨货物． 3．某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 【答案】(1)每人每小时运送，包装 (2)运送的第一组有12人，包装的第二组有8人 【分析】（1）先求出工作时间，根据每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且每人每小时可采摘，6人采摘，8人运送，6人包装，刚好各项工作完成的时间相等，列式计算即可； （2）设负责包装的人数为y人，则负责运送人数为人，根据当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知采摘、运送、包装的人数为6、8、6. 设采摘了x小时，根据题意得： ， 解得：， 每人每小时包装：； 每人每小时运送：； （2）解：设负责包装的人数为y人，则负责运送的人数为人， 依题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， （人）， 答：运送的第一组有12人，包装的第二组有8人． 4．解决问题 (1)有160个零件，平均分配给甲、乙两个车间加工，乙车间因另有紧急任务，所以在甲车间加工3小时后才开始加工，因此比甲车间迟20分钟完成，已知甲、乙两车间的生产效率的比是，则甲、乙两车间每小时各能加工多少零件？ (2)如果零件总数为a件，其它条件不变，你能求出甲、乙两个车间的生产时间吗？并用含a的代数式表示甲、乙两车间每小时各能加工多少零件． 【答案】(1)甲每小时加工20个零件，乙每小时加工60个零件 (2)甲需要4小时，乙要小时． 甲每小时加工零件个，乙每小时加工零件个 【分析】（1）根据有160个零件，平均分给甲、乙两车间加工，得出每个车间加工80个零件，再利用甲车间加工3小时后，乙才开始加工，因此比甲车间迟20分钟完成，根据时间得出等式方程求出即可； （2）根据有a个零件，平均分给甲、乙两车间加工，得出每个车间加工个零件，再利用甲车间加工3小时后，乙才开始加工，因此比甲车间迟20分钟完成，根据时间得出等式方程求出即可． 【详解】（1）解：设甲每小时加工x个零件，乙每小时加工个零件，由题意，得 ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴乙每小时加工60个零件． 答：甲每小时加工20个零件，乙每小时加工60个零件； （2）解：设甲每小时加工y个零件，乙每小时加工个零件，由题意，得 ， 解得：， 经检验，是原方程的解． ∴乙每小时加工个零件． ∴甲的生产时间为：小时， 乙的生产时间为：小时， 答：甲需要4小时，乙要小时；甲每小时加工零件个，乙每小时加工零件个． 5．某公司购进两台机器进行零件加工，通过使用发现甲机器比乙机器每小时多加工2个，甲机器加工25个零件与乙机器加工20个零件的时间相同． (1)求甲机器每小时加工多少个零件； (2)若同时加工若干小时后，甲机器加工的零件中有4个不合格，乙机器加工的零件中有5个不合格．这批零件的合格率为95%，求此次加工了多少个零件． 【答案】(1) 10个零件 (2) 180个零件 【分析】（1）以甲、乙加工零件的时间相等为等量关系，设未知数列方程求解； （2）结合第一问的加工效率，根据合格率的定义列方程求解总加工数. 【详解】（1）解：设甲机器每小时加工个零件，则乙机器每小时加工个零件， 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意. 答：甲机器每小时加工10个零件； （2）解：设两台机器同时加工了小时， 由（1）得，甲每小时加工10个零件，乙每小时加工个零件， ∴总加工零件数为， 合格零件数为， 由题意，得， 解得， ∴总零件数为（个）， 答：此次加工了180个零件. 题型8 行程问题分式方程应用题 【模型】依据路程 = 速度 × 时间，利用速度或时间差建立等量关系列出分式方程。 【步骤】设速度（或时间），表示出两段时间 / 速度，根据时间差或路程等量列方程，求解检验作答。 【易错】看清谁比谁快 / 慢，时间差不要写反单位，检验根是否符合实际意义。 1．某地铁线路全长约，若选择地上交通，私家车行驶同样的路线比乘坐地铁多耗时约分钟，地铁的平均速度是私家车平均速度的倍，问地铁和私家车的平均速度分别是多少？ 【答案】地铁的平均速度为，私家车的平均速度为 【分析】根据速度=路程时间，设未知数，找等量关系，列分式方程求解． 【详解】解：设私家车速度为． . 解得.                                                    经检验是原方程的解，且符合题意． 地铁速度为． 答：地铁的平均速度为，私家车的平均速度为． 【点睛】分式方程的解要注意检验，要符合实际意义． 2．近日，长春市教育局发布了《2027年长春市初中毕业生体育考试实施方案》，其中男生1000米和女生800米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即男生跑进4分05秒、女生跑进3分55秒即可得到满分．一次测试中，一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少50秒．按照2027年中考考核标准来看，这名女生能否拿到满分？ 【答案】能 【分析】设男生跑1000米用时t秒，则女生跑800米用时秒，根据两人的平均速度相同，列出方程求解即可． 【详解】解：设男生跑1000米用时t秒，则女生跑800米用时秒．根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，并符合实际， ∴女生用时：（秒）=3分20秒    ∵3分20秒分55秒， ∴这名女生能拿到满分 3．有一个正在向上匀速移动的自动扶梯，旅客A从其顶端往下匀速行至其底端，共走了60级，旅客B从其底端往上匀速行至其顶端，共走了30级（扶梯行驶，两人也在梯上行走，且每次只跨1级），且A的速度（即单位时间所走的级数）是B的速度的3倍，那么自动扶梯露在外面的级数是多少？ 【答案】自动扶梯露在外面的级数是48． 【分析】设扶梯速度和外面级数为未知数，分别以A、B为参照，利用“人走的级数 ÷ 人速度 = 扶梯移动的级数 ÷ 扶梯速度”列方程，两式相除消去扶梯速度，解出外面级数即可． 【详解】解：设扶梯的速度为x级/分，旅客B的速度为y级/分，扶梯露在外面的级数为n， 则， 两式相除得：， 解得：n＝48， 经检验得n＝48是方程的根． 答：自动扶梯露在外面的级数是48． 4．为了对学生进行革命传统教育，某中学开展了“清明节祭扫”活动．全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆．学校要求九（1）班提前到达目的地，做好活动的准备工作．行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达．求其他班步行的平均速度． 【答案】其他班步行的平均速度为80米/分 【分析】设其他班步行的平均速度为x米/分，则九（1）班步行的平均速度为米/分，根据时间路程速度结合九（1）班比其他班提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设其他班步行的平均速度为米/分， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：其他班步行的平均速度为80米/分． 5．4月13日上午，“行走是吾乡”2025河南省自行车公开赛（济源站）暨济源黄河公路自行车赛在济源发车．甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地60千米的地，已知甲骑行的速度是乙的倍．乙先骑行分钟，甲才从地出发，甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度． 【答案】甲骑行的速度是千米/时 【分析】根据时间、速度、路程之间的等量关系列方程即可 【详解】解：设乙骑行的速度是千米/时，则甲骑行的速度是千米/时． 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲骑行的速度是18千米/时． 题型9 销售单价类分式方程应用题 【模型】利用总价 = 单价 × 数量，以数量相等或数量差建立等量关系列分式方程。 【步骤】设单价，表示对应数量，根据数量的等量关系列分式方程，求解、检验、写答。 【易错】分清涨价、降价前后单价与数量，不要混淆单价差和数量差。 1．骑电动自行车时佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销甲、乙两种安全头盔，销售时，甲头盔的单价比乙头盔的单价贵15元．某日，甲头盔的销售额为450元，乙头盔的销售额为600元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的2倍，求甲、乙两种头盔的销售单价． 【答案】甲头盔的销售单价为45元，乙头盔的销售单价为30元 【分析】设甲头盔的销售单价为元，则乙头盔的销售单价为元，利用数量销售额单价，用分别表示出甲和乙的销量，根据等量关系“乙头盔的销量恰好是甲头盔的2倍”，即可列关于的分式方程，即可求出甲、乙两种头盔的销售单价． 【详解】解：设甲头盔的销售单价为元，则乙头盔的销售单价为元， 根据题意列方程得， 将分式方程化为整式方程得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 经检验是原分式方程的解， ， 甲头盔的销售单价为45元，乙头盔的销售单价为30元． 2．重庆某特产商铺售卖奉节脐橙礼盒与合川桃片，两款本地特产销量可观．已知一盒奉节脐橙礼盒的售价比一盒合川桃片售价高15元，且购买三盒奉节脐橙礼盒和两盒合川桃片共需100元． (1)求一盒奉节脐橙礼盒和一盒合川桃片的售价分别是多少元？ (2)店庆促销期间，奉节脐橙礼盒每盒降价元，合川桃片每盒降价元，促销后奉节脐橙礼盒总销售额为3500元，合川桃片总销售额为1000元，且奉节脐橙礼盒的销量比合川桃片多，求的值． 【答案】(1)一盒合川桃片的售价是11元，一盒奉节脐橙礼盒的售价是26元； (2)的值是3 【分析】（1）设一盒合川桃片的售价为元，一盒奉节脐橙礼盒的售价比一盒合川桃片售价高15元，且购买三盒奉节脐橙礼盒和两盒合川桃片共需100元．据此列出方程并解方程即可； （2）根据奉节脐橙礼盒的销量比合川桃片多列分式方程并解分式方程，检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设一盒合川桃片的售价为元， 由题意，得：， 解得； （元）． 答：一盒合川桃片的售价是11元，一盒奉节橙礼盒的售价是26元； （2）解：由题意可得 ， 解得； 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：的值是3． 3．列方程解决下列问题： 以“科技改变生活，创新赢得未来”为主题组织开展年全国科普月活动．某校举办校园科创节，小西采购航天拼装模型和科创实验套装两类物资，奖励科创比赛获奖学生．已知购买套航天拼装模型和套科创实验套装共花费元；购买套航天拼装模型和套科创实验套装共花费元． (1)求套航天拼装模型和套科创实验套装的价格分别为多少元？ (2)学校计划追加采购一批航天拼装模型和科创实验套装．某电商平台开展促销活动：航天拼装模型每套降价元，科创实验套装每套降价元．用元在电商平台购买航天拼装模型的数量与用元在电商平台购买科创实验套装的数量相同，求的值． 【答案】(1)套航天拼装模型的价格为元，1套科创实验套装的价格为元 (2)的值为 【分析】（1）设套航天拼装模型价格为元，套科创实验套装价格为元，根据已知条件列二元一次方程组，解方程即可得到答案． （2）根据元买航天模型的数量等于元买科创套装的数量列分式方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设套航天拼装模型价格为元，套科创实验套装价格为元， 根据题意可列方程：， 解得：， 答：套航天拼装模型的价格为元，1套科创实验套装的价格为元； （2）解：∵航天拼装模型每套降价元，科创实验套装每套降价元， ∴航天模型现价为元/套，科创套装现价为元/套， 根据题意可列方程：， 化简得：， 去分母，得：， 解得：， 检验：把代入分母， ∴是原方程的根， ∴的值为． 4．随着我国人工智能的高速发展，智能机器人一跃成为学生最喜爱的研究对象．某中学计划购进A型和B型两款智能机器人供社团使用．学校第一次购买了A型机器人5台、B型机器人3台，一共花费41000元．已知每台A型机器人比每台B型机器人多1000元． (1)求每台A型、B型机器人的单价分别是多少元？ (2)学校第二次准备分别用72000元再次采购A、B型机器人．商家推出优惠活动，降低了两种机器人的售价．已知降价后，每台A型机器人的售价是每台B型机器人售价的1.2倍．此次采购中，用72000元购买的B型机器人数量，比相同金额购买A型机器人的数量多3台．求优惠后每台B型机器人的单价． 【答案】(1)每台A型机器人的单价是5500元，每台B型机器人的单价是4500元 (2)优惠后每台B型机器人的单价是4000元 【分析】（1）设每台A型机器人的单价是x元，每台B型机器人的单价是y元，根据题意列方程组并求解即可； （2）设优惠后每台B型机器人的单价是m元，则优惠后每台A型机器人的单价是元，根据题意列分式方程并求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型机器人的单价是x元，每台B型机器人的单价是y元， 根据题意，得 解得 答：每台A型机器人的单价是5500元，每台B型机器人的单价是4500元； （2）解：设优惠后每台B型机器人的单价是m元，则优惠后每台A型机器人的单价是元， 根据题意，得 解得 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：优惠后每台B型机器人的单价是 4000元． 5．某超市用2000元购进某种水果销售，由于销售状况良好，很快售完．超市又调拨6000元资金购进该种水果，但这次的进价比第一次提高了，购进的数量比第一次的2倍还多200千克，超市此时按每千克10元的价格出售，当大部分售出后，余下的100千克按售价的8折售完． (1)该种水果的第一次的进价是每千克多少元？ (2)超市第二次销售该种水果盈利了多少元？ 【答案】(1)该种水果第一次进价是每千克5元 (2)超市第二次销售该种水果盈利了3800元 【分析】（1）设该种水果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）利用（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：设该种水果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克元， 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该种水果第一次进价是每千克5元； （2）解：（千克）， （元）． 答：超市第二次销售该种水果盈利了3800元． 题型10 分式方程和差倍分问题 【模型】根据数量之间和、差、倍、分关系，用分式表示两个量，列出等式。 【步骤】审题找准和差倍分关系，设未知数，用分式表示相关量，列分式方程，求解检验。 【易错】仔细区分谁是谁的几倍，不要颠倒分子分母，解要符合实际意义。 1．某工厂在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30，A型机器人搬运750所用时间与B型机器人搬运500所用时间相等，A型机器人每小时搬运多少千克原材料？ 【答案】A型机器人每小时搬运90原料 【分析】设A型机器人每小时搬运x原料．根据“A型机器人搬运750所用时间与B型机器人搬运500所用时间相等”列分式方程，求解即可． 【详解】解：设A型机器人每小时搬运x原料． 根据题意，得． 解得． 检验：当时，． 是原方程的解． 答：A型机器人每小时搬运90原料． 2．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等．求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． 【答案】A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料 【详解】解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解， ， 答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料． 3．某非遗工坊的两位匠人制作传统油纸伞，匠人甲比匠人乙每天多制作10把油纸伞，匠人甲制作300把油纸伞所用的时间是匠人乙制作120把油纸伞所用时间的2倍，求匠人甲和匠人乙每天各制作多少把油纸伞． 【答案】匠人甲每天制作50把油纸伞，匠人乙每天制作40把油纸伞． 【分析】设匠人乙每天制作x把油纸伞，则匠人甲每天制作把油纸伞，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设匠人乙每天制作x把油纸伞，则匠人甲每天制作把油纸伞， 由题意可得：，解得：， 经检验，是分式方程的解． 所以． 答：匠人甲每天制作50把油纸伞，匠人乙每天制作40把油纸伞． 4．随着科技创新，人形机器人融合多种先进技术，极具发展潜力与应用前景．为了提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运货物．已知A型机器人每小时搬运货物的质量是B型机器人的1.5倍，A型机器人搬运货物的时间比B型机器人搬运货物的时间少，A，B两种机器人每小时分别搬运多少货物？ 【答案】A型机器人每小时搬运货物，B型机器人每小时搬运货物 【分析】利用工作时间工作总量工作效率的关系，设B型机器人每小时搬运货物质量为未知数，根据倍数关系得到A型的搬运效率，再根据时间差为列方程，求解检验后得到结果． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运货物，则A型机器人每小时搬运货物， 根据题意列方程得， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程的解，符合题意， ， 答：A型机器人每小时搬运货物，B型机器人每小时搬运货物． 5．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学同时分别读420页和300页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的1.2倍，结果乙同学比甲同学提前1天完成．求乙同学每天读书多少页？ 【答案】乙同学每天读书页 【分析】设乙同学每天读书x页，可表示出甲同学每天读书的页数，根据读书天数等于总页数除以每天读的页数，结合乙比甲提前1天完成得到天数差，列出分式方程，求解检验即可得到答案． 【详解】解：设乙同学每天读书x页，则甲同学每天读书为页， 由题意知，， 解得：， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴乙同学每天读书50页． $专题05 分式的运算常考题型 基础·固本强基 题型1. 分式方程识别 题型2. 列分式方程 题型3. 解分式方程 提升·进阶突破 题型4. 根据解的情况求参数取值 题型5. 含参数分式方程求解 题型6. 分式方程无解求参数 题型7. 工程问题分式方程应用题 题型8. 行程问题分式方程应用题 题型9. 销售单价类分式方程应用题 题型10. 分式方程和差倍分问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 分式方程识别 【模型】看方程中分母是否含有未知数，分母含未知数的方程就是分式方程。 【步骤】找出所有分母，检查分母里是否含有字母未知数。 【易错】注意区分分母是常数和含未知数；只看原式，不要化简后判断。 1．下列方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列关于x的方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 5．给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 题型2 列分式方程 【模型】找准题目等量关系，设未知数，用分式表示数量，列出等式。 【步骤】审题找等量，设未知数，用含未知数式子表示量，列出分式方程。 【易错】分清已知量与未知量，不要混淆工作效率、速度这类倒数型数量关系。 1．甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同．设乙每小时搬运件货物，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中记载这样一道问题：现将一份文书送往距离里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多天；若用快马递送，所需时间比规定时间少天．已知快马速度是慢马速度的倍，求规定的递送时间．设规定的递送时间为天，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．甲、乙二人从郑州出发到西安，甲乘坐高铁，乙乘坐普通列车，结果甲比乙少用．已知高铁的平均速度比普通列车快，求高铁、普通列车的平均速度分别是多少．假设从郑州到西安的高铁、普通列车线路长均为，高铁的平均速度为，则根据题意可列方程为__________． 5．小鹿两次购买相同药物的费用均为200元，第二次购买时每盒降价8元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为（元/盒），则可列方程为_________． 题型3 解分式方程 【模型】去分母转化为整式方程求解，再检验根是否让原分母为零。。 【步骤】找最简公分母，两边同乘公分母化为整式方程，解整式方程，检验。 【易错】去分母时常数项也要乘最简公分母；勿忘检验，增根要舍去。 1．解分式方程，去分母后正确的整式方程是（     ） A． B． C． D． 2．将分式方程去分母化为整式方程，所得的结果是________． 3．解方程： (1)； (2)． 4．解方程 (1) (2) 5．解方程： (1)； (2)5． 提升·进阶突破 题型4 根据解的情况求参数取值 【模型】先解化为后的整式方程，结合分式方程解的限制条件，确定参数范围。 【步骤】去分母化成整式方程，用参数表示方程的解，结合解的要求列不等式求解参数。 【易错】求出参数范围后，要排除使原分式方程产生增根的参数值。 1．已知分式方程有增根，则的值为（    ） A．4 B． C．0 D．2 2．若关于的分式方程有正整数解，且为正整数，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．______时，关于的方程的解为． 4．若关于x的方程有增根，则m的值为______． 5．关于的分式方程．若方程的增根为，求的值． 题型5 含参数分式方程求解 【模型】把参数当作已知常数，去分母转化为带参数的整式方程，再检验根。 【步骤】确定最简公分母，去分母化为整式方程，用参数表示未知数，检验增根。 【易错】用参数表示解后，要排除使分母为 0 的参数取值，不能省略检验。 1．已知分式方程的解为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．7 D．12 2．是分式方程的解，则a的值是（     ） A． B． C． D． 3．已知关于的分式方程的解是2，则的值是_______． 4．若关于的分式方程的解为，则的值是__________． 5．已知关于的分式方程的解与分式方程的解相同，求的值． 题型6 分式方程无解求参数 【模型】分式方程无解包含整式方程无解，或者整式方程的根是原分式方程增根两种情况。 【步骤】去分母化为整式方程，分整式方程无解、整式方程解为增根两类讨论求参数。 【易错】容易漏掉整式方程本身无解这一情况，只考虑增根求参数。 1．若分式方程无解，则a的值是（     ） A．1或0 B．或0 C．或2 D．1或 2．若分式方程 有增根，则增根为（     ） A． B． C．3 D． 3．若关于x的分式方程无解，那么实数m的值是______ 4．若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 5．若关于x的分式方程无解，求m的值． 题型7工程问题分式方程应用题 【模型】依托工作总量 = 工作效率 × 工作时间，常设总工程量为 1，用分式表示工作效率构建方程。 【步骤】设未知数，表示各自工作效率，根据合作 / 先后完工的等量关系列分式方程，求解检验作答。 【易错】工作效率是时间的倒数，合作效率为各效率相加，不要误把时间直接相加。 1．甲、乙两个植树队参加植树造林活动．已知乙队每小时比甲队多种棵树．甲队种棵树与乙队种棵树所用的时间相同．求甲队每小时种多少棵树？ 2．随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用小时，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 3．某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 4．解决问题 (1)有160个零件，平均分配给甲、乙两个车间加工，乙车间因另有紧急任务，所以在甲车间加工3小时后才开始加工，因此比甲车间迟20分钟完成，已知甲、乙两车间的生产效率的比是，则甲、乙两车间每小时各能加工多少零件？ (2)如果零件总数为a件，其它条件不变，你能求出甲、乙两个车间的生产时间吗？并用含a的代数式表示甲、乙两车间每小时各能加工多少零件． 5．某公司购进两台机器进行零件加工，通过使用发现甲机器比乙机器每小时多加工2个，甲机器加工25个零件与乙机器加工20个零件的时间相同． (1)求甲机器每小时加工多少个零件； (2)若同时加工若干小时后，甲机器加工的零件中有4个不合格，乙机器加工的零件中有5个不合格．这批零件的合格率为95%，求此次加工了多少个零件． 题型8 行程问题分式方程应用题 【模型】依据路程 = 速度 × 时间，利用速度或时间差建立等量关系列出分式方程。 【步骤】设速度（或时间），表示出两段时间 / 速度，根据时间差或路程等量列方程，求解检验作答。 【易错】看清谁比谁快 / 慢，时间差不要写反单位，检验根是否符合实际意义。 1．某地铁线路全长约，若选择地上交通，私家车行驶同样的路线比乘坐地铁多耗时约分钟，地铁的平均速度是私家车平均速度的倍，问地铁和私家车的平均速度分别是多少？ 2．近日，长春市教育局发布了《2027年长春市初中毕业生体育考试实施方案》，其中男生1000米和女生800米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即男生跑进4分05秒、女生跑进3分55秒即可得到满分．一次测试中，一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少50秒．按照2027年中考考核标准来看，这名女生能否拿到满分？ 3．有一个正在向上匀速移动的自动扶梯，旅客A从其顶端往下匀速行至其底端，共走了60级，旅客B从其底端往上匀速行至其顶端，共走了30级（扶梯行驶，两人也在梯上行走，且每次只跨1级），且A的速度（即单位时间所走的级数）是B的速度的3倍，那么自动扶梯露在外面的级数是多少？ 4．为了对学生进行革命传统教育，某中学开展了“清明节祭扫”活动．全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆．学校要求九（1）班提前到达目的地，做好活动的准备工作．行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达．求其他班步行的平均速度． 5．4月13日上午，“行走是吾乡”2025河南省自行车公开赛（济源站）暨济源黄河公路自行车赛在济源发车．甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地60千米的地，已知甲骑行的速度是乙的倍．乙先骑行分钟，甲才从地出发，甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度． 题型9 销售单价类分式方程应用题 【模型】利用总价 = 单价 × 数量，以数量相等或数量差建立等量关系列分式方程。 【步骤】设单价，表示对应数量，根据数量的等量关系列分式方程，求解、检验、写答。 【易错】分清涨价、降价前后单价与数量，不要混淆单价差和数量差。 1．骑电动自行车时佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销甲、乙两种安全头盔，销售时，甲头盔的单价比乙头盔的单价贵15元．某日，甲头盔的销售额为450元，乙头盔的销售额为600元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的2倍，求甲、乙两种头盔的销售单价． 2．重庆某特产商铺售卖奉节脐橙礼盒与合川桃片，两款本地特产销量可观．已知一盒奉节脐橙礼盒的售价比一盒合川桃片售价高15元，且购买三盒奉节脐橙礼盒和两盒合川桃片共需100元． (1)求一盒奉节脐橙礼盒和一盒合川桃片的售价分别是多少元？ (2)店庆促销期间，奉节脐橙礼盒每盒降价元，合川桃片每盒降价元，促销后奉节脐橙礼盒总销售额为3500元，合川桃片总销售额为1000元，且奉节脐橙礼盒的销量比合川桃片多，求的值． 3．列方程解决下列问题： 以“科技改变生活，创新赢得未来”为主题组织开展年全国科普月活动．某校举办校园科创节，小西采购航天拼装模型和科创实验套装两类物资，奖励科创比赛获奖学生．已知购买套航天拼装模型和套科创实验套装共花费元；购买套航天拼装模型和套科创实验套装共花费元． (1)求套航天拼装模型和套科创实验套装的价格分别为多少元？ (2)学校计划追加采购一批航天拼装模型和科创实验套装．某电商平台开展促销活动：航天拼装模型每套降价元，科创实验套装每套降价元．用元在电商平台购买航天拼装模型的数量与用元在电商平台购买科创实验套装的数量相同，求的值． 4．随着我国人工智能的高速发展，智能机器人一跃成为学生最喜爱的研究对象．某中学计划购进A型和B型两款智能机器人供社团使用．学校第一次购买了A型机器人5台、B型机器人3台，一共花费41000元．已知每台A型机器人比每台B型机器人多1000元． (1)求每台A型、B型机器人的单价分别是多少元？ (2)学校第二次准备分别用72000元再次采购A、B型机器人．商家推出优惠活动，降低了两种机器人的售价．已知降价后，每台A型机器人的售价是每台B型机器人售价的1.2倍．此次采购中，用72000元购买的B型机器人数量，比相同金额购买A型机器人的数量多3台．求优惠后每台B型机器人的单价． 5．某超市用2000元购进某种水果销售，由于销售状况良好，很快售完．超市又调拨6000元资金购进该种水果，但这次的进价比第一次提高了，购进的数量比第一次的2倍还多200千克，超市此时按每千克10元的价格出售，当大部分售出后，余下的100千克按售价的8折售完． (1)该种水果的第一次的进价是每千克多少元？ (2)超市第二次销售该种水果盈利了多少元？ 题型10 分式方程和差倍分问题 【模型】根据数量之间和、差、倍、分关系，用分式表示两个量，列出等式。 【步骤】审题找准和差倍分关系，设未知数，用分式表示相关量，列分式方程，求解检验。 【易错】仔细区分谁是谁的几倍，不要颠倒分子分母，解要符合实际意义。 1．某工厂在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30，A型机器人搬运750所用时间与B型机器人搬运500所用时间相等，A型机器人每小时搬运多少千克原材料？ 2．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等．求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． 3．某非遗工坊的两位匠人制作传统油纸伞，匠人甲比匠人乙每天多制作10把油纸伞，匠人甲制作300把油纸伞所用的时间是匠人乙制作120把油纸伞所用时间的2倍，求匠人甲和匠人乙每天各制作多少把油纸伞． 4．随着科技创新，人形机器人融合多种先进技术，极具发展潜力与应用前景．为了提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运货物．已知A型机器人每小时搬运货物的质量是B型机器人的1.5倍，A型机器人搬运货物的时间比B型机器人搬运货物的时间少，A，B两种机器人每小时分别搬运多少货物？ 5．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学同时分别读420页和300页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的1.2倍，结果乙同学比甲同学提前1天完成．求乙同学每天读书多少页？ $