专题02 全等三角形的判定与性质10大常考题型突破（期中专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

专题02 全等三角形的判定与性质常考题型 基础·固本强基 题型1. 直接利用全等性质求线段长 题型2. 直接利用全等性质求角度 题型3. 条件充足，证明三角形全等 题型4. 添加一个条件使两三角形全等 提升·进阶突破 题型5. 证全等后，再推导线段相等 题型6. 证全等后，再推导角相等 题型7. 线段和差转化的全等计算 题型8. 角度互余结合全等求角 拔高·压轴破难 题型9. 全等多结论判断 题型10. 全等动态动点几何题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 直接利用全等性质求线段长 【模型】借助全等三角形对应边相等，由已知边长求解目标线段长度。 【步骤】先确定全等三角形，找准对应边，代入已知线段长完成计算 【易错】找错对应顶点，误把非对应边当作相等线段直接计算。 1．如图，，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．7 D．10 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 2．如图，已知，，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】因为已知，根据全等三角形的性质，对应边相等，所以首先确定与所求线段相关的对应边关系．观察图形可知点E在上，所以，因此需要先求出的长度。根据全等三角形对应边相等的性质，找到的对应边，代入数值计算即可得到的长度． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴ 3．如图，，若，，则等于（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意求出的长，根据全等三角形的性质得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 4．如图，若，的长是5，则的长是_______． 【答案】5 【分析】根据全等三角形的对应边相等，即可得出结果． 【详解】解：∵，的长是5， ∴． 5．如图，在和中，，点在上．若，，，则________． 【答案】1 【分析】根据全等三角形“对应边相等”的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∴． 题型2 直接利用全等性质求角度 【模型】利用全等三角形对应角相等，结合已知条件计算目标角的度数。 【步骤】先锁定全等三角形，找准对应角，代入角度条件求解。 【易错】顶点对应出错，错把非对应角当成相等角计算。 1．已知图中的两个三角形全等，则度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是、两边的夹角，再根据全等三角形的性质可得． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等，是、两边的夹角， ∴度数是． 2．如图，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ． 3．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．如图，，，，则的度数__________． 【答案】 【分析】利用三角形的内角和定理与全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵， ∴． 5．如图，，若,，则________． 【答案】/60度 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形性质得出结论． 【详解】解：∵,， ， ∵， ∴． 题型3 条件充足，证明三角形全等 【模型】根据题干完整条件，选用 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 判定定理直接证明三角形全等。 【步骤】梳理已知边角条件，找准对应元素，选用合适判定定理规范书写证明过程。 【易错】边角不对应，使用 SSA 作为全等依据，证明缺少关键条件或漏写依据。 1．下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐一求出各选项的隐含条件，进而判断即可． 【详解】解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为，则顶角为，根据可证明和题干图全等； B．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； C．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； D．根据三角形内角和可知顶角为，但不知道腰长数据，无法证明全等． 2．如图，，，垂足分别为C，D，添加下列条件中的一个后，能判定与全等的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解． 【详解】解：∵， ∴①，可用判定与全等； ②，可用判定与全等即与全等； ③，可用判定与全等； ④，可用判定与全等． 故选：D． 3．如图，相交于点，且是和的中点．和全等吗？请说明理由． 【答案】解：， 理由：是和的中点， ， 在和中， ， ． 【分析】根据线段中点特点，对顶角性质，结合“”即可证明和全等． 【详解】略 4．如图，在和中，，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】先证，再根据“”证明即可． 【详解】证明：∵，即， ∴， 在和中， ， ∴． 5．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】根据，得到，利用即可得证. 【详解】略 题型4 添加一个条件使两三角形全等 【模型】根据已有边角条件，匹配全等判定定理，补充唯一合适条件使三角形全等。 【步骤】先找出图中已有相等边角，对照 SSS/SAS/ASA/AAS/HL，选出可添加的合理条件。 【易错】添加 SSA 类无效条件，混淆对应边、对应角，忽略题干要求只添加一个条件。 1．如图，，，欲证，则需补充的条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定出，结合，确定可以的条件即可． 【详解】解：∵ ∴，即 ∵ ∴时，或者时， 选项A、C的条件不能使得欲证， 故B符合题意． 2．如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、和的对边分别是和，符合，不能判定，故A符合题意； B、由推出，而，，由判定，故B不符合题意； C、，而，，由判定，故C不符合题意； D、，而，，由判定，故D不符合题意． 3．如图，已知是的边上的高，下列能使的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的边上的高 ∴ ∵ ∴若添加条件， ∴，故A符合题意； 若添加条件，无法证明，故B不符合题意； 若添加条件，无法证明，故C不符合题意； 若添加条件，无法证明，故D不符合题意． 4．如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理“边角边”，已知一组对应角相等和一组公共边，需补充夹角的另一组对应边相等． 【详解】解：∵要用“边角边（）”判定，已知一组对应角相等和一组公共边， ∴需补充夹角的另一组对应边相等， 即． 5．如图，在与中，，要使，还需要添加一个条件：______． 【答案】或 【详解】解：根据全等三角形判定可知，在两个直角三角形中，有一组斜边相等和一组直角边相等的三角形全等； ∵图中可知，两直角三角形的斜边是公共边， ∴只需要再有一组直角边相等即可， ∴或均可． 提升·进阶突破 题型5 证全等后，再推导线段相等 【模型】先证三角形全等得到对应边相等，以此为基础进一步推导线段相等关系。 【步骤】梳理已知条件证明全等，利用全等对应边相等，结合线段和差推出目标线段相等。 【易错】全等对应边找错，未先证全等就直接判定线段相等，推理缺少依据。 1．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据“”，证明得出相等的边，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，平分交于点，若的面积等于6，则________． 【答案】2 【分析】过点作交于点，证明得到，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作交于点， 平分交于D， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ， ， ∴． 3．如图，在四边形中，，，且，，则线段的长为________． 【答案】3 【分析】连接，证明即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 4．如图，在中，，，分别是边，上的高线，两条高线相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵，分别是边，上的高线， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． (2)证明：由（1）可得， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）证明即可得证； （2）由（1）可得，从而得出，，再证明即可． 【详解】（1）略； （2）略． 5．如图，在四边形中，E为对角线上一点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， 在和中，， ， ． (2)6 【分析】（1）证明，即可得证； （2）根据全等三角形的性质结合线段的和差关系进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：， ． 又， ， ． 题型6 证全等后，再推导角相等 【模型】先证三角形全等得到对应角相等，再以此为依据推导出目标角相等。 【步骤】整理已知条件证明全等，利用全等对应角相等，结合角的和差或平行线等推导目标角相等。 【易错】找错对应角，跳过全等证明直接判定角相等，推理过程不写理由。 1．如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，，若，则_____ 度． 【答案】65 【分析】由三角形的内角和可得，根据可得，进而可得，再根据角的等量代换即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 3．如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】先由三角形内角和得出，再通过证明,进而得出． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 4．如图，在中，，是边上的一点，，过作交于点，连接、，交于点． (1)求证：； (2)若点为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴与都是直角三角形． 在与中 ∴ ∴ (2) 【分析】（1）直接证明，即可解决问题． （2）首先证明，进而证明，即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴． ∵点D为的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵∠， ∴． 题型7 线段和差转化的全等计算 【模型】借助全等得到对应边相等，将分散线段替换，利用线段的和差关系列式计算。 【步骤】先证全等转化对应边，把目标线段用已知线段表示，结合线段加减求出长度。 【易错】线段和差关系分析错误，全等对应边判断失误，忽略线段在同一直线的前提。 1．如图，在中，D是上一点，，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ； (2)2 【分析】（1）根据定理即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质得到，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ． 2．如图，在四边形中，，E为对角线上一点，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)4 【分析】（1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． ∴． 3．如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)7 【分析】（1）首先根据“两直线平行，内错角相等”可得，然后利用“”证明，根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得，，然后由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且，， ∴，， ∴． 4．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线两侧，，，．求证：． 【答案】证明：∵， （两直线平行，内错角相等）． ， ， 得到， ∵， （）， ． 【分析】因为，所以根据平行线的性质可得．因为，所以对等式两边同时加上，可推出．结合已知，利用全等判定定理证明和全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证． 【详解】略 题型8 角度互余结合全等求角 【模型】利用全等得对应角相等，搭配直角带来的两角互余关系，求解目标角度。 【步骤】先证全等得到等角，找到直角确定互余关系，代入角度完成计算。 【易错】互余角识别错误，对应角找错，推理时漏写 “直角三角形两锐角互余” 依据。 1．如图所示，已知等腰中，，与互余，．    (1)试说明：； (2)若cm，cm，求的长度． 【答案】(1) 证明：与互余， ， 又， ，， ， 在和中，，，， ； (2)． 【分析】（1）先证明，可得，从而可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，，则，从而可得答案． 【详解】（1）略 （2）， ，， ， ，， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练的利用证明三角形全等是解本题的关键． 2．如图，若两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等．试说明两个滑梯的倾斜角和互余． 【答案】 ∵两个滑梯长度相同， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 即：两个滑梯的倾斜角和互余． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意可证得，结合，即可求证； 【详解】解：略． 3．如图，于点，是上一点，交于点，与互余． (1)试说明：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ； (2)4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）根据同角的余角相等即可证明； （2）由，推出，由，，推出，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ， ，， ， ． 4．如图，，与互余，，垂足为点，，请说明平分． 【答案】见解析 【分析】先根据平行线的判定与性质可得出∠B=∠2，然后根据垂直的定义以及余角的性质可得出∠B=∠1，再证明△DFC≌△BFA即可解决问题． 【详解】解：∵∠1=∠E，∴AE∥BD， ∴∠B=∠2， ∵BD⊥AC，∴∠DFC=90°， ∴∠1+∠C=90°， ∵∠2+∠C=90°，∴∠1=∠2， ∴∠B=∠1． 在△DFC与△BFA中， ， ∴△DFC≌△BFA(AAS)， ∴DF=BF， ∴AC平分DB． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、线段的垂直平分线的定义、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 拔高·压轴破难 题型9 全等多结论判断 【模型】依托全等三角形性质与判定，对多个结论逐一推理验证，判断正误。 【步骤】结合已知证明全等，逐个分析每条结论，利用几何定理判断对错。 【易错】仅凭直观看图下结论，漏检验部分结论，混淆判定、性质定理。 1．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①先证明，再证明，进而可依据“”判定；由此可对结论①进行判断；②根据①的结论正确得，再证明，进而可依据判定，进而根据全等三角形的性质可对结论②进行判断；③根据全等三角形性质得，再根据已知得，则，由此可得出的面积，进而可对结论③进行判断；④根据，，可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴为等腰直角三角形, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论②正确， ③∵， ∴，， ∴， ∵，，． ∴， ∴， ∴，故结论③正确， ④在中，， ∵， ∴， 故结论④正确， 综上所述：正确得结论是①②③④． 2．已知，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（     ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】若，点运动路程为，点运动路程为，据此可判断①；求出此时点P和点Q的路程，根据二者的运动时间相同建立方程求解即可判断②；可证明，则可推出，进而得到，据此可判断③；若与全等，则或，据此建立方程组求解即可判断④． 【详解】解：若，点运动路程为，点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的2倍，故①的说法正确； 若两点同时到达点，点运动路程为6，点运动路程为， ， ，故②的说法正确； 若，如图， 此时，， ∴， ∵， ∴与不全等， ∴， ， ∴， ， ， 与不垂直，故③的说法不正确； 如图， 由题意得：， 若与全等，则或， 或． 或． 或，故④的说法正确． 综上，正确说法有：①②④． 3．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 4．如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先通过角的等量代换得到，利用证明，由此推出，再结合全等三角形对应角相等、三角形内角和、对顶角性质，分别验证度数与是否成立，逐一判断4个结论正误． 【详解】解：已知， ， 即， 在和中： ， ，结论①正确； 由全等三角形对应边相等，得，结论③正确； 由，得， 已知， ， ∵， ， 即， 代入，得， 在中，，结论②错误； 延长交于点，交于点， 由，得， 又，， ， ，即， ，结论④正确， 综上，①③④正确，共3个正确结论． 题型10全等动态动点几何题 【模型】在点运动变化背景下，分情况讨论，找到满足全等条件的位置求解。 【步骤】设动点运动时间，表示出动点线段长度，分类列出全等对应关系并列式计算。 【易错】漏掉多种分类情况，对应顶点匹配错误，忽略动点运动范围与时间取值限制。 1．如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（　　）秒时，与全等．（注：点与不重合） A． B．、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键． 分类讨论：①当在线段上，时，，②当在上，时，，③当在上，时，，根据全等的性质分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ②当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ③当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）， 综上所述的值为：4，12，16． 故选：D． 2．如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，，动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持，若点的运动时间为，则当______ 秒时，与全等． 【答案】或或 【分析】本题考查直角三角形全等的判定及动点问题的分类讨论，根据动点的位置分情况讨论，结合全等条件列出方程求解． 【详解】解：∵动点的速度为，运动时间为， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴与全等有两种对应情况： ①当时，需． 若在线段上，则， 由，解得； 若在的延长线上，则， 由，解得； ②当时，需． 若在线段上，则，解得(舍去)； 若在的延长线上，则，解得； 综上，当或或秒时，与全等． 故答案为：4或8或． 3．根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 4．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 【答案】(1)8 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点、所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， ∴当时，点在点处，此时． （2）解：在中，，，，， ∴． ∵的面积等于面积的一半， ∴． 如图，当点在上时，， ∴，解得． 如图，当点在上时，过点作于点， 此时， ∵， ∴． ∴，解得． 综上所述，当的面积等于面积的一半，或． （3）解：设点的运动速度为， ①当点在上，点在上时，， ，， ． ②当点在上，点在上时，， ，， ． ③当点在上，点在上时，， ，， ， ∴． ④当点在上，点在上时，， ，， ∴点的运动时间， ∴． 综上可知，点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02全等三角形的判定与性质常考题型 题型图谱导航总览 题型1.直接利用全等性质求线段长 题型2.直接利用全等性质求角度 基础固本强基 题型3.条件充足，证明三角形全等 题型4.添加一个条件使两三角形全等 题型5.证全等后，再推导线段相等 题型6.证全等后，再推导角相等 提升进阶突破 题型7.线段和差转化的全等计算 题型8.角度互余结合全等求角 题型9.全等多结论判断 拔高·压轴破难 题型10.全等动态动点几何题 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1直接利用全等性质求线段长 【模型】借助全等三角形对应边相等，由已知边长求解目标线段长度。 【步骤】先确定全等三角形，找准对应边，代入已知线段长完成计算 1/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】找错对应顶点，误把非对应边当作相等线段直接计算。 1,如图，△ABC≌△DBE,若AB=7,BE=3,则CD的长为() D A.3 B.4 c.7 D.10 2.如图，已知△ABC≌△ADE,AB=10,AC=4,则BE的长为() A B D A.4 B.5 C.6 D.8 3.如图，△ABC≌aEFD,若EC=3,CD=2,则AC等于() B E D A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，若△ABD≌aACD,BD的长是5，则CD的长是 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.如图，在△ABC和△EDB中，∠C=∠EBD=90°，点E在AB上.若△ABC≌aEDB,AC=4,DE=5, 则AE=】 D B 题型2直接利用全等性质求角度 【模型】利用全等三角形对应角相等，结合己知条件计算目标角的度数。 【步骤】先锁定全等三角形，找准对应角，代入角度条件求解。 【易错】顶点对应出错，错把非对应角当成相等角计算。 1. 已知图中的两个三角形全等，则∠“度数是() 509 b K58° a A.72° B.60° C.58 D.50° 2.如图，△ABC≌aDEF,∠B=40°，∠D=80°，则∠E的度数是() 80° B40° A.100° B.80° C.60° D.40° 3.己知△ABC≌aDEF,∠A=70,∠E=60°，则∠F的度数为() A.50° B.60° C.70° D.80 4.如图，△0CA≌a0BD,∠1=40°，∠C=110°，则∠D的度数 3/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 5.如图，△ABC2△EDC,若∠ACB=90°，∠B=30°，则∠E= 题型3条件充足，证明三角形全等 【模型】根据题干完整条件，选用SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定定理直接证明三角形全等。 【步骤】梳理己知边角条件，找准对应元素，选用合适判定定理规范书写证明过程。 【易错】边角不对应，使用S$A作为全等依据，证明缺少关键条件或漏写依据。 1.下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是() 0 6 409 B 6 709 700 40 6 70 0 70° 70°/6 2.如图，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,添加下列条件中的一个后，能判定△ABC与△BAD全 等的有() 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①∠ABC=∠BAD;②LBAC=∠ABD;③AD=BC:④AC=BD D B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，AB,CD相交于点E,且E是AB和CD的中点.△AEC和aBED全等吗？请说明理由. D B 4.如图，在△ABC和△BDE中，BA=BC,BE=BD,∠ABC=∠DBE=90°，连接AE、DC,求证： △ABE≌ACBD E D 5.己知：如图，A、C、R、D在同一直线上，AF=DC,AB=DE,∠A=∠D.求证：△ABC≌△DEF, A B D 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型4添加一个条件使两三角形全等 【模型】根据已有边角条件，匹配全等判定定理，补充唯一合适条件使三角形全等。 【步骤】先找出图中己有相等边角，对照SSS/SAS/ASA/AAS/HL,选出可添加的合理条件。 【易错】添加S$A类无效条件，混淆对应边、对应角，忽略题干要求只添加一个条件。 1.如图，∠I=∠2，AE=DC,欲证△ABE≌△DBC,则需补充的条件可以是() D 2 B A.AB=DB B.∠A=∠D C.BE=BC D.∠A=∠E 2.如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，己知∠ACB=∠E,BC=CE,添加以下条件 后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是() A.AB=CD B.AB∥DE C.AC=DE D.∠B=∠DCE 3.如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是() A.∠B=∠C B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45° 4.如图，已知∠ABC=∠DCB,要用“边角边(SAS)”判定△ABC≌△DCB,还需添加一个条件，这 个条件是一·（只需添加一个条件，不添加辅助线） 6/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 5.如图，在△1BC与△MDC中，∠B=∠D=90°，要使5 RtAABC≌Rt△ADC(HL) 还需要添加一个条件：一 提升进阶突破 题型5证全等后，再推导线段相等 【模型】先证三角形全等得到对应边相等，以此为基础进一步推导线段相等关系。 【步骤】梳理已知条件证明全等，利用全等对应边相等，结合线段和差推出目标线段相等。 【易错】全等对应边找错，未先证全等就直接判定线段相等，推理缺少依据。 1.如图，AB=AC,AE=CD,BE⊥AD于点E,CD1AD于点D,若BE=8,CD=3,则DE的长是 ( ) B A.3 B.4 c.5 D.6 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=6,AD平分∠BAC交BC于点D,若△ABD的面积等于6，则 ”· 7/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DC= A B D C 3.如图，在四边形BEDF中，DE⊥BE,DF⊥BF,且DE=DF,BF=3,则线段BE的长为 F B E 4.如图，在△ABC中，AB=AC,CE,BD分别是边AB,AC上的高线，两条高线相交于点O. D d E B (1)求证：CE=BD: (2)求证：D0=E0, 5.如图，在四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，ADI‖BC,∠A=∠BEC,AD=BE. A E (1)求证：∠ABD=∠ECB； (2)若BC=15,DE=9,求AD的长. ”” 8/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型6证全等后，再推导角相等 【模型】先证三角形全等得到对应角相等，再以此为依据推导出目标角相等。 【步骤】整理已知条件证明全等，利用全等对应角相等，结合角的和差或平行线等推导目标角相等。 【易错】找错对应角，跳过全等证明直接判定角相等，推理过程不写理由。 1.如图，∠B=∠D=90°，BC=CD,∠1=55°，则∠2的度数为(） A.20° B.25° C.30° D.35 2.如图，在△ABC中，∠B=∠C,BD=CE,CD=BF,若∠A=50°，则∠EDF=—度. A E B D 3.如图，在△ABC和△DEF中，点A,D,B,E在同一条直线上，己知AC=DF,AC∥DF, ∠A=42°，∠C=∠F=60°，求∠E的度数. D B 4.如图，在RIAABC中，∠ACB=9O°，D是AB边上的一点，BD=BC,过D作DE⊥AB交AC于点E, 连接CD、BE,CD交BE于点F. 9/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B (1)求证：CE=DE: (2)若点D为AB的中点，求∠AED的度数. 题型7线段和差转化的全等计算 【模型】借助全等得到对应边相等，将分散线段替换，利用线段的和差关系列式计算。 【步骤】先证全等转化对应边，把目标线段用已知线段表示，结合线段加减求出长度。 【易错】线段和差关系分析错误，全等对应边判断失误，忽略线段在同一直线的前提。 1.如图，在△ABC中，D是AC上一点，∠C=∠EBF,DF交BC于点B,DE=EF. (1)求证：△CDE≌△BFE: (2)若AC=10,BF=8,求AD的长， 2.如图，在四边形ABCD中，ADI‖BC,E为对角线BD上一点，∠A+∠CED=180°，且AD=BE. B (1)求证：△ABD≌△ECB: (2)若BC=12,DE=8,求AD的长， 3.如图，点A在线段CD上，已知BC∥DE,BC=CD,∠CAB=∠E 10/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：AC=DE (2)若DE=5,BC=12,求AD的长 4.如图，点M,E,O,N在同一条直线上，点P,F分别在直线MN两侧，MPI FN,ME=QN, ∠P=∠F.求证：PQ=EF P -N 题型8角度互余结合全等求角 【模型】利用全等得对应角相等，搭配直角带来的两角互余关系，求解目标角度。 【步骤】先证全等得到等角，找到直角确定互余关系，代入角度完成计算。 【易错】互余角识别错误，对应角找错，推理时漏写“直角三角形两锐角互余”依据。 1,如图所示，已知等腰△ABC中，AC=BC,∠ACE与LBCF互余，∠AEC=∠CFB=90° F B (1)试说明：△ACE≌△CBF: (2)若AE=4cm,BF=10cm,求EF的长度 2.如图，若两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.试说明两个 滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE互余， 11/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Y似 8 B 3.如图，AC⊥BD于点C,F是AB上一点，FD交AC于点E,∠B与∠D互余. E 口 C (1)试说明：∠A=∠D: (2)若AE=1,AC=CD=2.5,求BD的长. 4.如图，∠1=∠E,∠2与∠C互余，DB⊥AC,垂足为点F,AF=CF,请说明AC平分DB, D C 1 拔高压轴破难 题型9全等多结论判断 【模型】依托全等三角形性质与判定，对多个结论逐一推理验证，判断正误。 【步骤】结合己知证明全等，逐个分析每条结论，利用几何定理判断对错。 【易错】仅凭直观看图下结论，漏检验部分结论，混淆判定、性质定理。 1如图，在△ABC中，AB=AC,ZB=乙ACB=45°，D、B是斜边BC上两点，且ZDAE=45°，过点A 作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点F,连接EF,下列结论：① 12/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABD≌△ACF ,②DE=BF:③若 SAAEF=15 SACEF =6SAABC=36 BD+CE>DE ,则 :④ 其中正确 的是() D A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②③④ 2.已知AB=10,AC=6,BD=8,其中∠CAB=∠DBA=a,点P以每秒2个单位长度的速度，沿着 C→A→B路径运动.同时，点卫以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终 点后另一个点随即停止运动.它们的运动时间为秒. ①若x=1,则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍： ②当P、两点同时到达A点时，x=6: ③若a=90°，t=5,x=1时，PC与P2垂直； ④若运动过程中存在AACP与△BPQ全等，则x=0.8或i: 以上说法正确的选项为() D B A.①③ B.①② C.①②④ D.①②③④ 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，过点 A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点F,连接EF,下列结论：① AMBD≌AMCF:②DE=EF,③若S SADE=15 SACEF=6 SAAWC=36 ,则 ④BD+CE=DE 其中正确的 是() 13/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④ 4.如图，己知：AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°，∠EBD=38°，现有下列结论：① △BDC≌△AEC:②∠AEB=135°：③BD=AE;④AE⊥BD.其中正确的有(). B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型10全等动态动点几何题 【模型】在点运动变化背景下，分情况讨论，找到满足全等条件的位置求解。 【步骤】设动点运动时间，表示出动点线段长度，分类列出全等对应关系并列式计算。 【易错】漏掉多种分类情况，对应顶点匹配错误，忽略动点运动范围与时间取值限制。 1.如图，CA1AB,垂足为点A,AB=24cm,AC=12cm,射线BM⊥AB,垂足为点B,一动点E从 A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持 ED=CB,当点E经过()秒时，△DEB与△BCA全等.（注：点E与A不重合） M D B A.4 B.4、8 C.4、8、12 D.4、12、16 14/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，AC⊥BC,垂足为点C,射线BM⊥BC,垂足为点B,BC=12cm,AC=4cm,动点E从C 点出发以2Cm/s的速度沿射线CN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=AB, 若点E的运砖时间为s化>0，则当一— 秒时，△DEB与△BCA全等 M D E B N 3.根据图形解决以下问题 B 图1 E 图2 图3 (1如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,直线I经过点C,过点A作AD⊥I于点D,过点 B作BE⊥I于点E,求证：△ADC≌△CEB: (2)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D是直线AB上一动点，分别过点A,B作直线CD的 垂线，垂足分别为点E,F: ①如图2，点D在线段AB上，△AEC与△CFB是否全等？请说明理由： ②如图3，点D在线段AB延长线上，若BF=1,AE=3,请直接写出线段EF的长. 4.如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm,现有一动点P从点A出发， 沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为4cm/s,设运动时间为t秒. 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 图① 图② (1)如图①，当t=2时，AP=cm; (2)如图①，当△MPC的面积等于△ABC面积的一半，求运动时间的值： (3)如图②，在aDEF中，∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,EF=3cm,∠D=∠A,在△ABC的边上， 若另外有一个动点Q,与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止，在两点运动 过程中的某时刻，恰好以A、P、Q为顶点的三角形与△DEF全等，请直接写出点Q的运动速度. 16/16