专题01 推理与证明全章10大常考题型突破（期中专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

专题01 推理与证明全章常考题型汇总 基础·固本强基 题型1. 命题真假判断 题型2. 命题改写（如果…那么…） 题型3. 举反例判断假命题 题型4、写出命题的逆命题 题型5、判断是否为互逆命题 提升·进阶突破 题型6. 证明过程格式填空 题型7. 写出命题的已知、求证及证明过程 题型8. 三角形内角与外角证明 题型9.直角三角形的相关证明 题型10.反证法证明 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 命题真假判断 【模型】找出命题的条件和结论，代入实例验证是否恒成立。 【步骤】拆命题：分出已知条件、推出的结论； 尝试找反例：代入数值 / 情形，检验 “满足条件，但不满足结论”； 下结论：存在反例→假命题；找不到反例，可证明恒成立→真命题。 【易错】个别例子符合结论就判定为真命题，忽略只需一个反例即可证明命题为假。 1．下列命题中，属于假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 2．下列说法是真命题的为（     ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．两点之间直线最短 D．如果两直线平行，那么同旁内角相等 3．下列命题中：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．如果，，那么．此命题是______命题（填“真”或“假”）． 5．命题“若，则”是_______命题．（填“真”或“假”）． 题型2 命题改写（如果…那么…） 【模型】把原命题拆成条件、结论两部分，用 “如果 + 条件，那么 + 结论” 重组语句。 【步骤】先找出命题的条件和结论，补全省略文字，套入 “如果… 那么…” 句式。 【易错】个别例子符合结论就判定为真命题，忽略只需一个反例即可证明命题为假。 1．命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 2．对命题“同位角相等”的描述正确的是（    ） A．题设：两个角是同旁内角 B．结论：同位角相等 C．是真命题 D．不是定理 3．把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 4．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 5．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 题型3 举反例判断假命题 【模型】寻找满足命题条件，但不满足命题结论的例子推翻命题。 【步骤】先提取命题条件与结论，构造符合条件、与结论矛盾的实例。 【易错】举出的例子不满足命题条件，不能作为有效反例。 1．要说明命题“两个数相加，和一定大于或等于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（     ） A． B． C． D． 2．能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 3．已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例说明该命题是假命题．这个正数可以是（     ） A． B．2 C．3 D．4 4．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数、的值为______，______． 5．要证明命题“若，为有理数，且，则”为假命题，可以举的反例为__________．（写出一种情况即可） 题型4 写出命题的逆命题 【模型】交换原命题的条件与结论，得到新命题。 【步骤】先拆分原命题的条件和结论，互换二者，整理通顺语句。 【易错】交换条件结论时，随意删减或修改命题里的关键限定词语。 1．请你写出一个真命题，使其逆命题为假命题．真命题是______，它的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 2．已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） 3．若，则，它的逆命题是_________________________． 4．命题“如果，那么”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”） 5．命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 题型5 判断是否为互逆命题 【模型】两个命题，其中一个命题的条件与结论，恰好是另一个命题的结论与条件。 【步骤】分别拆分两个命题的条件、结论，对比是否互相交换。 【易错】只看语句相似，忽略必须完整互换条件和结论才是互逆命题。 1．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 2．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 3．下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果是有理数，那么是整数． 提升·进阶突破 题型6 证明过程格式填空 【模型】依据已知、定义、定理，补齐推理语句并填写对应推理依据。 【步骤】观察前后推导关系，推出中间结论，匹配对应的定理或理由。 【易错】推理依据乱写，因果逻辑颠倒，理由和推导过程不匹配。 1．完成下面证明过程，并在括号内填写理由．如图，已知于，于，，求证：． 证明：延长，相交于点， ，（已知）， ，（垂线的定义）， （_______①__________）， （_______②___________）， __③_____（_________④________）． 又（已知）， ∴______⑤_______（等量代换）， （_______⑥__________）． 2．如图，，，三点在一条直线上，，，．试说明：． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为（已知）， 所以① （内错角相等，两直线平行）． 因为（已知）， 所以② （③ ）， 所以（④ ）， 所以，． 又因为（已知）， 所以（⑤ ）． 3．补全下面证明过程． 如图，点在上，点在上，已知，，求证：． 证明：（已知）， （                    ）， （                    ）． ________（                    ）． ________（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （                    ）． ________（同位角相等，两直线平行）． （                    ）． 4．如图，已知：，．求证：． 将下面证明过程补充完整： 证明：（已知）， ∴____________________________（__________________）． 又∵（已知）， ∴____________________________（__________________）． （__________________）． 5．构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，平行线的本质作用是“移角（改变角的位置，不改变角的大小）”，具体来说，要转移角的位置，可以通过“过一点作已知直线的平行线”实现： 已知：如图1，直线，点在直线之间，试探究三者的数量关系． 分析：我们过点作的平行线．可以实现“移角”的功能． 解答过程： 解：过点作， ________．（依据是____________________________________） ， （依据是____________________________________）． _______．（依据是__________________________________） 又， _________． 题型7 写出命题的已知、求证及证明过程 【模型】将文字几何命题转化为图形符号语言，依据定理逻辑推导结论。 【步骤】根据命题画图，用符号写出已知条件和求证结论，再分步书写推理证明。 【易错】已知条件写进求证，画图特殊化，证明跳步或缺少推理依据。 1．如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 2．要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 3．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 4．如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 5．证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 题型8 三角形内角与外角证明 【模型】借助平行线转移角，利用角的和差关系建立内角、外角之间的等量关系。 【步骤】结合图形标注角，通过作辅助线或角的代换，一步步推导角的数量关系。 【易错】混淆外角定义，误用外角性质，忽略外角是三角形一边延长线形成的角。 1．在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来拼成一个平角来度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为，，．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ____________．（________________________________________________） __________（________________________________________________） 即． (1)任务一：补全小颖的说理过程； (2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 2．学习完七年级下册第86页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过撕、拼的方法，而是在的顶点处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程． 如图，在中，过点作直线， 根据_____________________________ 得到_________，_________， 根据平角定义，___________________________， 因此，，即． 3．某木材零件如图所示，图纸要求，，零件样品生产出来后，经测量得到，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否符合规格，并说明理由． 4．解答下列各题： 【任务解决】 如图①，点在的内部，且在线段BC的右侧． (1)求证：； (2)求证：． (3)【拓展延伸】 如图②，如果点在内部，且在线段的左侧，对于（2）中给出的4个角又会有怎样的结论？ 题型9直角三角形的相关证明 【模型】借助直角三角形两锐角相加等于 90° 的关系，推导角相等或角的度数。 【步骤】找到直角得到两角和为 90°，结合等角的余角相等，逐步推导目标角关系。 【易错】混淆余角、补角概念，推导时不写明 “直角三角形两锐角互余” 依据。 1．如图，在中，，是边上的高，求的度数． 2．如图，直线，连接、交于点，点、分别在线段、上，连接并延长至点，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 3．已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 4．如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 题型10反证法证明 【模型】先否定结论，推出矛盾，从而证明原命题成立的间接推理证明模型。 【步骤】假设命题结论不成立，经过推理得出矛盾，判定假设错误，肯定原结论正确。 【易错】假设写错（没有对结论全盘否定），推出矛盾后不回证原命题，理由书写不规范。 1．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”是真命题时，第一步应假设（     ） A．四边形中最多有一个钝角或直角 B．四边形中四个角全部是钝角或直角 C．四边形中至少有一个是锐角 D．四边形中没有一个角是钝角或直角 2．关羽、张飞、刘备举行了一场赛马比赛，赛后关羽对众人说：“我第一，”张飞说：“我第二，”刘备说：“我不是第一，”他们中仅有一个说了谎，那么第二名是______． 3．完成下面的证明过程：用反证法证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 已知：如图，直线，．求证：． 证明：假设 ，则与相交，设与相交于点，由已知条件 ， 得，过点有两条直线平行于直线，这与“ ”矛盾，所以，假设“ ”不成立，故 ． 4．用反证法证明命题：“若，且，则”． 5．在中，，，求证：．（用反证法证明） $专题01 推理与证明全章常考题型汇总 基础·固本强基 题型1. 命题真假判断 题型2. 命题改写（如果…那么…） 题型3. 举反例判断假命题 题型4、写出命题的逆命题 题型5、判断是否为互逆命题 提升·进阶突破 题型6. 证明过程格式填空 题型7. 写出命题的已知、求证及证明过程 题型8. 三角形内角与外角证明 题型9.直角三角形的相关证明 题型10.反证法证明 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 命题真假判断 【模型】找出命题的条件和结论，代入实例验证是否恒成立。 【步骤】拆命题：分出已知条件、推出的结论； 尝试找反例：代入数值 / 情形，检验 “满足条件，但不满足结论”； 下结论：存在反例→假命题；找不到反例，可证明恒成立→真命题。 【易错】个别例子符合结论就判定为真命题，忽略只需一个反例即可证明命题为假。 1．下列命题中，属于假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】D 【详解】解：对于选项A：两直线平行，同位角相等，为真命题，故A不符合题意； 对于选项B：同旁内角互补，两直线平行，为真命题，故B不符合题意； 对于选项C：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，为真命题，故C不符合题意； 对于选项D：只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，原命题缺少两直线平行的前提，为假命题，故D符合题意． 2．下列说法是真命题的为（     ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．两点之间直线最短 D．如果两直线平行，那么同旁内角相等 【答案】B 【分析】根据平行线的性质、对顶角的性质、线段的性质进行判断即可． 【详解】解：A． 同位角相等需以两直线平行为前提，原命题为假命题． B． 对顶角相等，为真命题． C． 两点之间线段最短，原命题中直线的表述错误，为假命题． D． 两直线平行时同旁内角互补，原命题中相等的表述错误，为假命题． 3．下列命题中：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】D 【分析】结合对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，以及两直线平行，同位角相等、两直线平行，同旁内角互补等内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：相等的角不一定是对顶角， 例如角平分线分成的两个角相等但不是对顶角， 故①是假命题． 两直线平行时同位角才相等，缺少前提条件， 故②是假命题． 若两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补， 例如与的角两边可分别垂直， 故③是假命题． 综上，真命题的个数为0． 4．如果，，那么．此命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【详解】解：∵，， ∴由等量代换可得， ∴该命题成立，是真命题． 5．命题“若，则”是_______命题．（填“真”或“假”）． 【答案】 假 【分析】利用平方的性质，通过举反例即可验证命题是否正确． 【详解】解：取，，计算得，， 此时满足，但，不满足， 因此原命题不成立，该命题是假命题． 题型2 命题改写（如果…那么…） 【模型】把原命题拆成条件、结论两部分，用 “如果 + 条件，那么 + 结论” 重组语句。 【步骤】先找出命题的条件和结论，补全省略文字，套入 “如果… 那么…” 句式。 【易错】个别例子符合结论就判定为真命题，忽略只需一个反例即可证明命题为假。 1．命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查命题的题设与结论的区分，命题可写为“如果……那么……”的形式，“如果”之后是题设，“那么”之后是结论，根据该规则判断即可． 【详解】解：∵本题中命题“如果，那么或”里，“那么”之后的内容是或， ∴该命题的结论是或． 2．对命题“同位角相等”的描述正确的是（    ） A．题设：两个角是同旁内角 B．结论：同位角相等 C．是真命题 D．不是定理 【答案】D 【分析】先将命题改写为“如果那么”的形式，明确题设与结论，再结合平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：将命题“同位角相等”改写为“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”由此可得题设为“两个角是同位角”，结论为“这两个角相等” ∵只有两直线平行时，同位角才相等，原命题未限定平行条件，因此原命题是假命题， 又∵定理是经过证明的真命题，原命题为假命题，因此它不是定理，再逐项判断选项： 、题设应为两个角是同位角，本选项错误； 、结论应为“这两个角相等”，本选项错误； 、原命题是假命题，本选项错误； 、原命题是假命题，因此不是定理，本选项正确． 3．把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【分析】将原命题拆分为题设和结论两部分，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：原命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”中， 题设为：两条直线垂直于同一条直线，结论为：这两条直线互相平行， 因此改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 4．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 【答案】如果在一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等 【详解】略 5．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】找出原命题的题设与结论，明确“如果”后接题设，“那么”后接结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中，题设为两个角是同一个角的余角，结论为这两个角相等， 因此可得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 题型3 举反例判断假命题 【模型】寻找满足命题条件，但不满足命题结论的例子推翻命题。 【步骤】先提取命题条件与结论，构造符合条件、与结论矛盾的实例。 【易错】举出的例子不满足命题条件，不能作为有效反例。 1．要说明命题“两个数相加，和一定大于或等于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要说明一个命题是假命题，只需找出满足命题条件但不满足命题结论的反例即可，本题只需判断哪个选项中两个数相加的和小于两个加数，即可得到答案. 【详解】解：∵命题的条件是“两个数相加”，结论是“和一定大于或等于其中一个加数”， ∴反例需要满足“两个数相加，和小于任意一个加数”， 逐个判断选项： 选项A ：，且，满足命题结论，不是反例. 选项B ：，，满足命题结论，不是反例. 选项C ：，且，满足命题结论，不是反例. 选项D ：，且，不满足命题结论，可以作为反例. 2．能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】找出满足但的的值即可． 【详解】解：A、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； B、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； C、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； D、，满足，且，不满足，可以说明该命题是假命题． 3．已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例说明该命题是假命题．这个正数可以是（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查假命题的反例，解题思路是找出满足“正数的平方不大于这个数本身”的数，计算后比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 原命题为“任何正数的平方都大于这个数本身”，反例需要满足：为正数，且． ∴对选项A，当时，． ∵，即，不符合原命题结论． ∴是原命题的反例． 4．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数、的值为______，______． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时，满足条件，此时，，可得，不满足，因此可以说明原命题是假命题． 5．要证明命题“若，为有理数，且，则”为假命题，可以举的反例为__________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要证明该命题为假命题，只需举出满足命题条件，不满足命题结论的反例即可． 命题条件为为有理数且，命题结论为，因此只需找到满足条件不满足结论的一组即可． 【详解】解：取，， ，都是有理数， ，， 满足， 但，即不满足， ∴可作为该命题的反例． 题型4 写出命题的逆命题 【模型】交换原命题的条件与结论，得到新命题。 【步骤】先拆分原命题的条件和结论，互换二者，整理通顺语句。 【易错】交换条件结论时，随意删减或修改命题里的关键限定词语。 1．请你写出一个真命题，使其逆命题为假命题．真命题是______，它的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】 对顶角相等 假 【分析】写出一个真命题，交换命题的条件与结论得到逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”是真命题； 交换原命题的条件和结论，得到逆命题：相等的角是对顶角； 等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角，因此该逆命题不成立，是假命题． 2．已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） 【答案】假 【分析】交换原命题的条件和结论得到逆命题，再通过举反例即可判断逆命题的真假． 【详解】解：交换条件和结论，可得逆命题：如果一个三角形的两个内角是锐角，那么这个三角形是钝角三角形． 举反例：若三角形的三个内角分别为，，，这个三角形有两个内角是锐角，但它是锐角三角形，不是钝角三角形， 故该逆命题是假命题． 3．若，则，它的逆命题是_________________________． 【答案】若，则 【分析】交换原命题的条件和结论即可得到逆命题． 【详解】解：原命题的条件为，结论为．，交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则． 4．命题“如果，那么”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】先根据逆命题定义得到原命题的逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假． 【详解】解 原命题的条件是，结论是， 根据逆命题的定义，将条件和结论互换，得到逆命题为： 如果，那么， 取，，此时，，满足， 但，， 可得， 因此“如果，那么”的逆命题是假命题． 5．命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 【答案】两锐角相等的三角形是直角三角形 【分析】先确定原命题的条件与结论，再将条件和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】原命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题为：两个锐角相等的三角形是直角三角形． 题型5 判断是否为互逆命题 【模型】两个命题，其中一个命题的条件与结论，恰好是另一个命题的结论与条件。 【步骤】分别拆分两个命题的条件、结论，对比是否互相交换。 【易错】只看语句相似，忽略必须完整互换条件和结论才是互逆命题。 1．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 2．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 3．下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果是有理数，那么是整数． 【答案】是互逆命题 【分析】互逆命题是指两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．‌ 【详解】解：是互逆命题，理由如下： 命题（1）的条件为“是整数”，结论为“是有理数”； 命题（2）的条件为“是有理数”，结论为“是整数”； ∴这两个命题是互逆命题． 提升·进阶突破 题型6 证明过程格式填空 【模型】依据已知、定义、定理，补齐推理语句并填写对应推理依据。 【步骤】观察前后推导关系，推出中间结论，匹配对应的定理或理由。 【易错】推理依据乱写，因果逻辑颠倒，理由和推导过程不匹配。 1．完成下面证明过程，并在括号内填写理由．如图，已知于，于，，求证：． 证明：延长，相交于点， ，（已知）， ，（垂线的定义）， （_______①__________）， （_______②___________）， __③_____（_________④________）． 又（已知）， ∴______⑤_______（等量代换）， （_______⑥__________）． 【答案】①等量代换， ②同位角相等，两直线平行， ③， ④两直线平行，同位角相等， ⑤， ⑥内错角相等，两直线平行． 【分析】根据题意得到，由平行线的判定得，由平行线的性质得，等量代换得到，由此即可得解． 【详解】略 2．如图，，，三点在一条直线上，，，．试说明：． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为（已知）， 所以① （内错角相等，两直线平行）． 因为（已知）， 所以② （③ ）， 所以（④ ）， 所以，． 又因为（已知）， 所以（⑤ ）． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；等量代换． 【分析】先由三个已知角关系证出两组平行，即，；再用平行传递得到；最后用等量代换证得即可． 【详解】略 3．补全下面证明过程． 如图，点在上，点在上，已知，，求证：． 证明：（已知）， （                    ）， （                    ）． ________（                    ）． ________（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （                    ）． ________（同位角相等，两直线平行）． （                    ）． 【答案】邻补角定义；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；；等量代换；；两直线平行，同位角相等 【分析】根据平行线的性质和判定方法求解即可． 【详解】略． 4．如图，已知：，．求证：． 将下面证明过程补充完整： 证明：（已知）， ∴____________________________（__________________）． 又∵（已知）， ∴____________________________（__________________）． （__________________）． 【答案】；； 同位角相等，两直线平行；；；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】先由，利用同位角相等，两直线平行得到；再结合已知，根据平行公理的推论得到；最后由两直线平行，内错角相等证得． 【详解】证明：（已知）， （同位角相等，两直线平行）． 又（已知）， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． （两直线平行，内错角相等）． 5．构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，平行线的本质作用是“移角（改变角的位置，不改变角的大小）”，具体来说，要转移角的位置，可以通过“过一点作已知直线的平行线”实现： 已知：如图1，直线，点在直线之间，试探究三者的数量关系． 分析：我们过点作的平行线．可以实现“移角”的功能． 解答过程： 解：过点作， ________．（依据是____________________________________） ， （依据是____________________________________）． _______．（依据是__________________________________） 又， _________． 【答案】；两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ；两直线平行，内错角相等；； 【分析】根据平行线的性质得到，再推得，由此，据此可得； 【详解】略 题型7 写出命题的已知、求证及证明过程 【模型】将文字几何命题转化为图形符号语言，依据定理逻辑推导结论。 【步骤】根据命题画图，用符号写出已知条件和求证结论，再分步书写推理证明。 【易错】已知条件写进求证，画图特殊化，证明跳步或缺少推理依据。 1．如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)3 (2)解：如图： 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（三选一即可） 【分析】（1）利用平行线的判定和性质，进行判定即可； （2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】（1）解：从①，②，③请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题，共可组成三个命题，均为真命题， 即正确的命题有3个； （2）略 2．要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【答案】 已知：如图，直线与相交于点， 求证：． 证明：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了证明几何命题，对顶角相等．根据证明几何命题的步骤画图，写出已知求值，再推理证明即可． 【详解】略 3．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2) 已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）略 4．如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【答案】 已知①②，求证∶③， 证明∶∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，再利用等量代换可得 【详解】略 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义、证明以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 5．证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 【答案】 已知：如图，直线中，，， 求证：． 证明：作直线的截线，交点分别为． ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， ∴． 【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型8 三角形内角与外角证明 【模型】借助平行线转移角，利用角的和差关系建立内角、外角之间的等量关系。 【步骤】结合图形标注角，通过作辅助线或角的代换，一步步推导角的数量关系。 【易错】混淆外角定义，误用外角性质，忽略外角是三角形一边延长线形成的角。 1．在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来拼成一个平角来度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为，，．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ____________．（________________________________________________） __________（________________________________________________） 即． (1)任务一：补全小颖的说理过程； (2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 【答案】(1)；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 (2)解：∵， ∴，， ∵，，共线， ∴， ∴． 【分析】（1）利用拼接得到等角，由内错角相等证两直线平行，再根据两直线平行得同旁内角互补，从而推导出三角形的内角和； （2）由平行线性质实现角的等量代换，结合平角定义，证明三角形内角和为． 【详解】（1）解：由操作可知，， ∵内错角相等，两直线平行， ∴， ∴第一个空答案为，对应的依据为：内错角相等，两直线平行， ∵两直线平行，同旁内角互补， ∴， ∴第二个空答案为，对应的依据为：两直线平行，同旁内角互补； （2）略． 2．学习完七年级下册第86页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过撕、拼的方法，而是在的顶点处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程． 如图，在中，过点作直线， 根据_____________________________ 得到_________，_________， 根据平角定义，___________________________， 因此，，即． 【答案】(1)如图所示，直线即为所求 (2)如图，在中，过点作直线， 根据两直线平行，内错角相等， 得到，， 根据平角定义，． 因此，，即 【分析】（1）根据作一个角等于已知角，作出辅助线即可； （2）利用平行线的性质及平角的定义可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 3．某木材零件如图所示，图纸要求，，零件样品生产出来后，经测量得到，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否符合规格，并说明理由． 【答案】该零件不符合要求，理由如下： 延长交于， 是的外角， ， 同理，是的外角， ， ， ， ∵符合标准的零件，， ∴符合标准的零件 ， ， ∴该零件不符合规格． 【分析】延长交于E，先根据三角形的外角性质求出，再根据三角形的外角性质计算，判断即可． 【详解】略 4．解答下列各题： 【任务解决】 如图①，点在的内部，且在线段BC的右侧． (1)求证：； (2)求证：． (3)【拓展延伸】 如图②，如果点在内部，且在线段的左侧，对于（2）中给出的4个角又会有怎样的结论？ 【答案】(1)证明：如图①，延长交于点． ，， ． (2)证明：延长交于点． ，， ． (3)． 【分析】（1）延长交于点，根据三角形的外角性质证明即可； （2）延长交于点，运用两次三角形的外角性质求解即可； （3）连接，运用两次三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图②，连接． ，， ， ． 题型9直角三角形的相关证明 【模型】借助直角三角形两锐角相加等于 90° 的关系，推导角相等或角的度数。 【步骤】找到直角得到两角和为 90°，结合等角的余角相等，逐步推导目标角关系。 【易错】混淆余角、补角概念，推导时不写明 “直角三角形两锐角互余” 依据。 1．如图，在中，，是边上的高，求的度数． 【答案】 【分析】根据以及三角形内角和定理可得，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 2．如图，直线，连接、交于点，点、分别在线段、上，连接并延长至点，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． (2) 【分析】（1）由得到，结合，得到，即可得证结论； （2）由垂直的定义得到，则，根据邻补角互补求出，从而根据平行线的性质求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 3．已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)； (3)证明：∵是的角平分线， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴． 【分析】根据题意可以求得，从而得到是直角三角形； 由直角三角形的性质可得，又是的角平分线，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解； 根据是的角平分线，则，然后通过，三角形的外角性质即可得出结论成立． 【详解】（1）略； （2）解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ； （3）略． 4．如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：在中， ， ． ， ． 是直角三角形． 【详解】根据已知条件证明，再由有两个角互余的三角形为直角三角形，即可判定是直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，利用两锐角互余的三角形为直角三角形是证明此题的关键． 题型10反证法证明 【模型】先否定结论，推出矛盾，从而证明原命题成立的间接推理证明模型。 【步骤】假设命题结论不成立，经过推理得出矛盾，判定假设错误，肯定原结论正确。 【易错】假设写错（没有对结论全盘否定），推出矛盾后不回证原命题，理由书写不规范。 1．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”是真命题时，第一步应假设（     ） A．四边形中最多有一个钝角或直角 B．四边形中四个角全部是钝角或直角 C．四边形中至少有一个是锐角 D．四边形中没有一个角是钝角或直角 【答案】D 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”是真命题时，第一步应假设四边形中没有一个角是钝角或直角． 2．关羽、张飞、刘备举行了一场赛马比赛，赛后关羽对众人说：“我第一，”张飞说：“我第二，”刘备说：“我不是第一，”他们中仅有一个说了谎，那么第二名是______． 【答案】刘备 【分析】本题运用假设法进行逻辑推理，依次假设三人中仅有一人说谎，其余两人说真话，验证推出的结果是否存在矛盾，排除矛盾情况即可得到正确结论． 【详解】解：分三种情况讨论： 假设关羽说谎，即关羽不是第一名，张飞、刘备说真话，则张飞是第二名，刘备不是第一名，此时没有选手获得第一名，推出矛盾，该假设不成立． 假设张飞说谎，即张飞不是第二名，关羽、刘备说真话，则关羽是第一名，刘备不是第一名，符合题意，此时张飞是第三名，刘备是第二名，该假设成立． 假设刘备说谎，即刘备是第一名，关羽、张飞说真话，则关羽是第一名，同时出现两个第一名，推出矛盾，该假设不成立． 综上，第二名是刘备． 3．完成下面的证明过程：用反证法证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 已知：如图，直线，．求证：． 证明：假设 ，则与相交，设与相交于点，由已知条件 ， 得，过点有两条直线平行于直线，这与“ ”矛盾，所以，假设“ ”不成立，故 ． 【答案】与不平行, ，，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，与不平行， 【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”进行论证即可． 【详解】略 4．用反证法证明命题：“若，且，则”． 【答案】证明：假设， 当时，， ∴与条件矛盾； 当时，， ∴与条件矛盾； ∴原假设不成立，原命题成立． 【分析】假设，分两种情况分析，当时，当时，分别验证即可． 【详解】略 5．在中，，，求证：．（用反证法证明） 【答案】 证明：假设， ∵， ∴， ∴， ∴，与相矛盾， ∴不成立， ∴． 【分析】假设，通过三角形内角和定理可得，所以，与相矛盾，从而求证． 【详解】 略 $