专题08 期中重难点压轴题型突破（期中专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

专题08 期中重难点压轴 提升·进阶突破 题型1. 全等三角形截长补短证明题 题型2. 全等三角形倍长中线模型题 题型3. 全等三角形动点综合压轴题 题型4. 将军饮马最短路径压轴题 题型5. 分式方程含参问题 题型6. 全等+轴对称几何综合大题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 全等三角形截长补短证明题 【模型】线段和差证明模型，在长线段截取或延长短线段，构造全等转化线段。 【步骤】截长 / 补短作辅助线，证一组全等，代换线段，推导出目标和差关系。 【易错】辅助线描述不规范，混淆线段等量关系，忽略证明全等所需条件。 1．如图，在中，，，，是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转至，使，连接，则线段长度的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上截取，利用全等三角形的判定和性质，可得，，当时，的长度最小，此时的长度最小，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，进行解答，即可． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，的长度最小，此时的长度最小， ∵，， ∴． ∴． 2．如图，在中，，，是的角平分线，点在内部，连接、、，，，，则线段的长度为__________． 【答案】 3 【分析】在上截取，连接，利用证明和全等，得出及，再结合已知角度关系推导出，再由全等证明，最后通过线段的和差关系求解． 【详解】解：在上截取，连接，过点作于点， 是的角平分线 在和中 ， ，， 又 ， ∵， ∴ ∵ ∴ ， ． 3．【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请求的度数． 【答案】(1) (2)解：（1）中结论仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长到，使， ，， ， 在和中， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得； （2）延长到，使，可证，，根据全等三角形的性质可证（1）中结论仍然成立； （3）在的延长线上取一点，使，可证、，根据全等三角形的性质求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如下图所示，在的延长线上取一点，使， 则， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， 在和中， ， ． 4．综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）证明∶小明∶过点作的延长线于点， ∵平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴； 小丽∶延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 【分析】（1）根据题干所给证明方法完善证明过程即可得解； （2）①由得，由，，根据同角的余角相等即可得解；②过作交的延长线于点，则，进而得，证明，得，，再证明得，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，中点定义，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 题型2 全等三角形倍长中线模型题 【模型】延长中线至等长，构造对顶全等三角形，转移边与角。。 【步骤】倍长中线连端点，证三角形全等，转化线段、角，完成推导。 【易错】延长中线叙述出错，误用 SSA 证明全等，忽略线段位置关系。 1．如图，在四边形中，，点E为的中点，，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，延长到K，使得，连接，，过点K作交延长线于点Q，再证明，利用割补法可得答案． 【详解】解：如图，延长到K，使得，连接，，过点K作交延长线于点Q， ∴， ∵点E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，已知D点为中点，，过点C作，垂足为点F，若，则______． 【答案】 【分析】延长到点，使，连接，证明，进而可得，证明，可得，即，即可解答． 【详解】解：延长到点，使，连接， 点为中点， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ． 3．（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）； （2）证明：如图，延长至点E，使得， 同（1）理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】本题考查“全等三角形的判定与性质”，灵活运用中点构造出全等三角形进行线段转换和计算是解题关键． （1）延长，构造全等三角形，将，，放在同一个三角形的三边中，利用三角形三边关系即可找出的范围； （2）先延长，构造全等三角形，再借助这个全等三角形，得到与全等的三角形，从而得到与的关系； （3）延长到，使，同（1）可证，得出，，利用角的和差关系及外角性质得出，利用证明，即可得． 【详解】（1）解：如图，延长至点E，使得， ∵是的中线， ∴， 又， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可知，， ∴，即， ∵， ∴； （2）略 （3）如图，延长到，使， ∵，， ∴， ∴， 同（1）可证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 方法②：证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． (3)与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 【分析】（1）方法①：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；方法②：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，即可得出，设与交于点H，由，即可得出，等量代换可得出，由三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：略； 题型3 全等三角形动点综合压轴题 【模型】点沿线段运动，分时间段讨论，寻找满足全等条件的动态位置。 【步骤】设运动时间，表示线段长度，分类列等式，验证全等条件 【易错】漏写运动分类情况，忽略动点到达端点停止运动的限制条件。 1．如图，在四边形中，是上的动点，过点作，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；延长至点，使，连接证明 ，根据全等三角形的性质以及线段的和的关系，可得，即可求解． 【详解】如图，延长至点，使，连接 ， ， 故选：C． 2．如图，已知为等腰直角三角形，，，点D为射线上的一个动点．连接，过点C作交直线于点E，直线，相交于点F．当时，线段的长为________． 【答案】5或11 【分析】分两种情况，证明，得到，进行求解即可. 【详解】解：当点在线段上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， 同理可得：. 综上：线段的长为5或11. 3．如图，等腰中，，E点为射线上一动点，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若，点E为中点； (3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，则＝ ． 【答案】(1)∵，，， ∴， ∴，， ∴． 在和中，​， ． (2)过作交于，则， ∴， 由（1）知，， ∴． ∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ， 即为中点． (3) 【分析】（1）由垂直定义可得，由余角性质得．结合 可得． （2）过作交于，由（1）中三角形全等得．结合，得，得．，结合，，得，即得为中点． （3）过作交延长线于G，由（1）（2）中的三角形全等得，可得，由，得，得，即得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过作交延长线于G， 由（1）（2）知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，使． (1)当点在线段上时，如图1，请判断与的位置关系，并说明理由； (2)当点在线段的延长线上时，如图2，判断三条线段数量关系，并说明理由； (3)当点在线段的延长线上时，直接判断与的位置关系，并直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)解：， 理由：， ， ， 在与中， ， ， ∵是等腰直角三角形，且， ， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)解：， 理由：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) ． 【分析】（1）根据“”即可证明，再根据等腰直角的性质即可说明； （2）同（1）的方法判断出，得出，再根据，可得出结论； （3）同（2）的方法可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 理由：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴． 题型4 将军饮马最短路径压轴题 【模型】两定一动，作定点关于直线的对称点，连线转化折线段为直线段求最短。 【步骤】作对称点，连接对称点与另一定点，找交点，利用两点之间线段最短求解。 【易错】对称点找错，混淆动点所在直线，不会求角度或线段长。 1．如图，在正五边形中，F是边的中点，的延长线交于点N，P是上的动点，M是上的动点，当的值最小时，（   ） A．30° B．36° C．40° D．56° 【答案】B 【分析】连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后求即可． 【详解】解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， ， 即． 2．如图，在中，，，是边上的高，点E，F分别是边，上的动点，且，当的值最小时，则的度数是__________°． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．过作，使得，连接，构造全等三角形，依据，即可得到，进而得出的最小值等于的长，再根据是等腰直角三角形，即可得到，进而得出结论． 【详解】解：如图，过作，使得，连接， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当，，三点共线时，的最小值等于的长， 此时，，，即是等腰直角三角形， ， 又在直角三角形中，， ， ， 故答案为：． 3．【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B 关于直线l的对称点，连接与直线l交于点 C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明流程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，， 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ______，______ _______ 在中，， 即最小． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在 中，直线m是边 的垂直平分线，点P 是直线 m 上的动点． 若，，，则周长的最小值为 ． 【模型拓展】1．如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当 的周长取最小值时，的大小是为 度． 2．如图⑥，边长为的等边 中，是上的中线且，点 D在上，连接，在的右侧作等边连接，则 周长的最小值是多少？此时为多少度？ 【答案】模型解决：，，，模型应用：9；模型拓展1：100；2：， 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知轴对称的性质是解题的关键． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：1：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 2：因为，所以当最小时，周长取得最小值，由此作出轴对称图形，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，， 模型应用：如图，设直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，，的周长， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展1：分别作点P关于、的对称点，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：100； 2：连接并延长，作点关于射线的对称点，连接，，连接交的延长线于点，连接，如下图： 和是等边三角形， ，，， ，即， ， ， ，是上的中线， 且平分， ， ，即点在射线上运动， 点和点关于射线对称， ，，， ， 是等边三角形， ， ∴和是两个全等的等边三角形， 同理可得， ， ， 又， 当最小时（此时点E与点N重合），的周长取得最小值， ∵的最小值为， ， 此时． 4．综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 【答案】活动一：B； 活动二： ①； ②如图所示，点F即为所求； 的最小值为4； 活动三：的最小值为． 【分析】活动一：根据两点之间，线段最短求解即可； 活动二：①根据三线合一得到，，即可得到； ②连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【详解】活动一：示例1中所经含的数学原理是两点之间，线段最短 故选：B； 活动二：①∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； ②如图所示， ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型5 分式方程含参问题 【模型】含参数分式方程，根据解的正负、无解、增根条件求参数取值。 【步骤】去分母化为整式方程，用参数表示未知数，结合增根、解的限制列不等式。。 【易错】只考虑解的范围，忘记排除让分母为 0 的增根。 1．关于x的分式方程无解，则m的取值范围（     ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【分析】分式方程无解分两种情况，一是去分母得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，结合增根定义分类讨论即可求出的值． 【详解】解：给原方程两边同乘去分母得， 整理化简得， 移项整理得， 分两种情况讨论： 情况1：整式方程无解： ∵一次项系数为0，常数项不为0时整式方程无解， ∴且， 解得，符合要求； 情况2：整式方程有解，但解为原分式方程的增根， 原分式方程公分母为，增根满足，即或， 将代入，得，即，等式不成立，舍去； 将代入，得，解得，符合要求； 综上，或． 2．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】求解含参数的分式方程，根据解为正数得到关于的不等式，同时结合分式有意义的条件，排除增根对应的参数值，最终得到的取值范围． 【详解】解： 去分母得， 展开得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∵方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， ∴，且， 由解得， 由得， 解得且， ∵已排除， ∴的取值范围是且． 3．已知关于x的方程的两个解是；又已知关于x的方程的两个解是，，又已知关于x的方程的两个解是．小晰认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于x的方程的两个解是．并且小晰在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小晰非常高兴，向其他同学提出了以下几个问题： (1)关于x的方程的解为 ； (2)关于x的方程的两个解分别为m，n，求的值； (3)关于x的方程的两个解是，若是正整数，求满足条件的整数k的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查分式方程的解，掌握题干中方程的特征和方程的解是解题的关键： （1）根据题干方法求方程的解即可； （2）由题意可知：，利用完全平方公式变形计算即可； （3）将方程变形为，得到，进而得到，再根据是正整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴关于x的方程的解为，； （2）由题意可知：， ∴； （3）， ， ∵关于x的方程的两个解是， ∴， ∴， ∴， ∵是正整数， ∴是正整数， ∴或，是5的约数， ∴或， ∵为整数， ∴或． 4．给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可． （3）根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③错误； 故答案为：①； （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； （3）解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 题型6 全等+轴对称几何综合大题 【模型】利用轴对称得到边角等量，结合全等进行线段、角度转化的几何综合模型。 【步骤】由轴对称找相等线段与角，选定三角形证明全等，代换推导所求边角。 【易错】遗漏轴对称隐含条件，全等判定条件找不全，图形多情况讨论不全。 1．[背景]角的平分线是常见的几何模型，利用轴对称构造三角形全等可解决有关问题． [问题]在四边形ABDE中，C是BD边的中点． (1)如图1，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案） (2)如图2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，若∠ACE＝120°，AB＝4，DE＝9，BD＝12，则AE的最大值是______．（直接写出答案） 【答案】(1)AE=AB+DE (2)AE=AB+DE+BD (3) 【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论； （3）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，进而得出结论； （3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．根据两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】（1）AE=AB+DE； 理由：在AE上取一点F，使AF=AB， ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC=∠FAC． 在△ACB和△ACF中， ， ∴△ACB≌△ACF（SAS）， ∴BC=FC，∠ACB=∠ACF． ∵C是BD边的中点． ∴BC=CD， ∴CF=CD． ∵∠ACE=90°， ∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90° ∴∠ECF=∠ECD． 在△CEF和△CED中， ， ∴△CEF≌△CED（SAS）， ∴EF=ED． ∵AE=AF+EF， ∴AE=AB+DE， 故答案为：AE=AB+DE； （2）猜想：AE=AB+DE+BD． 证明：在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG． ∵C是BD边的中点， ∴CB=CD=BD． ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC=∠FAC． 在△ACB和△ACF中， ∴△ACB≌△ACF（SAS）， ∴CF=CB， ∴∠BCA=∠FCA． 同理可证：CD=CG， ∴∠DCE=∠GCE． ∵CB=CD， ∴CG=CF ∵∠ACE=120°， ∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°． ∴∠FCA+∠GCE=60°． ∴∠FCG=60°． ∴△FGC是等边三角形． ∴FG=FC=BD． ∵AE=AF+EG+FG． ∴AE=AB+DE+BD． （3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG，如图所示： ∵C是BD边的中点， ∴CB=CD=BD=， ∵△ACB≌△ACF（SAS）， ∴CF=CB=， ∴∠BCA=∠FCA， 同理可证：CD=CG=， ∴∠DCE=∠GCE， ∵CB=CD， ∴CG=CF， ∵∠ACE=120°， ∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°， ∴∠FCA+∠GCE=60°， ∴∠FCG=60°， ∴△FGC是等边三角形， ∴FC=CG=FG=， ∵AE≤AF+FG+EG， ∴当A、F、G、E共线时AE的值最大，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键． 2．【活动初探】 在学习等十三章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点．求证：． 【变式再探】 （2）如图，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为的中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点，重合），，连接． ①如图，当点在点上方，猜想并证明，，的数量关系； ②若，，，请直接写出______（用含，的代数式表示）． 【答案】 （1）证明∶∵，点为中点， ∴平分． ∵，， ∴； （2）证明∶∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为的中点； （3）①猜想∶，理由如下： 如图，过点作于，过点作，交延长线于点， ∴， ∵，点为中点， ∴，平分． ∵ ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中， ∴ ∴， 同理∶， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴． ②或 【分析】（1）根据三线合一得平分，从而利用角平分线的性质即可得解； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得，，于是证明垂直平分，即可得证； （3）①过点作于，过点作，交延长线于点，证，得，进而得．在中，，，，，进而得，在中，由，得，从而即可得解；②当在线段上时，和当在到中点间的线段上时，两种情况，利用全等三角形及角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）①略 ②或 过点作于， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴点在点和的中点构成的线段上， 当在线段上时，过点作，于、，连接，如图， ∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当在到中点间的线段上时，过点作，于、，连接，如图， ∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，度直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，度直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 3．如图1，射线射线，点在上，将沿作轴对称得，射线与交于． (1)求证：为等腰三角形． (2)如图2，当点在之间时，延长与交于点，连接． ①若为等边三觕形，则与们比值为______． ②若点落在线段的中垂线上，则与的面积比为______． (3)如图3，当点在之间时，任上取一点使得，求证：是直角三角形． 【答案】(1) 证明：， ， 将沿作轴对称得， ， ， ， 为等腰三角形． (2)；； (3) 证明：过点作，交的延长线于点，交于点， ， ， ， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， 即为直角三角形． 【分析】（1）由轴对称的性质得出，证出，则可得出结论； （2）由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案；由等边三角形的性质及轴对称的性质可得出答案； （3）过点作，交的延长线于点，交于点，证明，得出，由（1）可知，证出，则可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：是等边三角形， ， ， ， ， 设，则， ， 故答案为：． 点落在线段的中垂线上， ， 将沿作轴对称得， ，， ， 为等边三角形， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， 与的面积比， 故答案为：． （3）略 【点睛】本题是几何变换综合题，本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 4．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC．D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G． （1）写出与BG相等的线段，并证明． （2）若点D为线段BC的中点，其余条件不变，连接DF．根据题意，先在图2中补全图形，再证明：∠BDF＝∠CDE． （3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE，DE，AD三者之间的数量关系． 【答案】（1）与BG相等的线段为CD，证明见解析；（2）补全图形，证明见解析；（3）线段CE，DE，AD三者之间的数量关系为． 【分析】（1）证明，可得． （2）证明，推出，由，推出，可得． （3）结论：．如图3中，在上取一点，使得，连接，过点作于，于．想办法证明，，再利用全等三角形的性质可得． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）如图2示，点D为线段BC的中点，连接DF， 证明：是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （3）解：结论：． 理由：如图3中，在上取一点，使得，连接，过点作于，于． ，关于对称， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键． $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08期中重难点压轴 题型图谱导航总览 题型1.全等三角形截长补短证明题 题型2.全等三角形倍长中线模型题 题型3.全等三角形动点综合压轴题 提升·进阶突破 题型4.将军饮马最短路径压轴题 题型5.分式方程含参问题 题型6.全等+轴对称几何综合大题 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1全等三角形截长补短证明题 【模型】线段和差证明模型，在长线段截取或延长短线段，构造全等转化线段。 【步骤】截长/补短作辅助线，证一组全等，代换线段，推导出目标和差关系。 【易错】辅助线描述不规范，混淆线段等量关系，忽略证明全等所需条件。 1.如图，在△ABC中，AB=8,AC=14,∠C=30°，P是BC上的任意一点，连接AP,将AP绕点A按 顺时针方向旋转至A犯，使∠PA犯=∠BAC,连接BO,则线段BO长度的最小值为() 1/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4v5 A.2 B.3 C.3 D.4 2.如图，在△ABC中，AB=I0,AC=7,AD是∠BAC的角平分线，点D在△ABC内部，连接AD、BD、 CD,∠ADB=150°，∠DBC=30°，∠ABC+∠ADC=180°，则线段CD的长度为 3.【初步探索】 G D D B F A B E B E 图1 图2 图3 (1如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,探究图中∠BAE,∠FAD,∠EAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是：延长 FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌aAGF,可得出结论，他的 结论应是· 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由. ” 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【拓展延伸】 3)已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=I8O°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的延 长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,若∠C=68°，请求∠EAF的度数. 4.综合与探究 B E E B 图(1) 图(2) [问题情境」 (1)数学活动课上，老师出示了一个问题，如图(1)，在四边形ABDF中，AD平分∠BAF,DE⊥AB 于点E,且BD=DF. 求证：AE=AF+BE 小明是这样思考的：因为AD平分∠BAF,DE上AB,根据角平分线的性质， 所以过点D作DC⊥AF的延长线于点C,先证明△FCD≌aBED,再证明△ACD≌△AED,即可证出 AE=AF+BE, 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长AF至C,使AC=AE,连接DC,先证明 △ACD≌△AED,再证明△FCD≌aBED,即可证出AE=AF+BE.请你帮助小明或小丽完成证明过程， [实践探究] (2)老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程. 老师又出示了一个问题.如图(2)，在△ABC中∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB,点E为BC的中点， CN⊥AE交AB于N ①求证：∠BCN=∠CAE: ②求证：AE=CW+EW, 题型2全等三角形倍长中线模型题 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型】延长中线至等长，构造对顶全等三角形，转移边与角。。 【步骤】倍长中线连端点，证三角形全等，转化线段、角，完成推导。 【易错】延长中线叙述出错，误用SSA证明全等，忽略线段位置关系。 1.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=150°，点E为AB的中点，AD=4,BC=6,则 SAADE +SARCE -SACDE= () D A.6 B.8 C.9 D.10 2.如图，已知D点为BC中点，∠BED=∠CAD,过点C作CF⊥AD,垂足为点F,若AF=5,EF=3, 则DF= 3.(1)如图1，AD是△ABC的中线，己知AB=6,AC=4,则AD的取值范围为一. (2)如图2，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB,点卫在BC的延长线上，C=AB,求证： A0=2AD (3)如图3，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段CB上，连接AD,EA⊥AD, ∠ACE=∠ABD.若点F为CD中点，AF交BE于点G,求BE和AF的数量关系. 4/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 4.阅读以下材料，完成以下两个问题. 【阅读材料】已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D作DF∥BA交AE 于点P,DF=AC.求证：AE平分LBAC, 结合此题，DE=EC,点E是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转 移边和角.有两种考虑方法：①考虑倍长FE,如图(1)所示：②考虑倍长AE,如图(2)所示 B- D B E G B D 图(1) 图(2) 图(3) (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明. (2)根据上述材料，完成下列问题： 己知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形， ∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB,AC=AF,证明：AD⊥EF: (3)△ABC与△AEF面积之间的关系，并说明理由. 题型3全等三角形动点综合压轴题 【模型】点沿线段运动，分时间段讨论，寻找满足全等条件的动态位置。 【步骤】设运动时间，表示线段长度，分类列等式，验证全等条件 【易错】漏写运动分类情况，忽略动点到达端点停止运动的限制条件。 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ADC+∠ABC=180°，E是BC上的动点，过点E作 ∠EAF=),∠BAD,则下列说法正确的是（） 2 E A.AE=AF B.∠C=∠EAF C.EF=BE+DF D.∠AFE=∠AEB 2.如图，己知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=8,∠BAC=90°，点D为射线CA上的一个动点.连接 BD,过点C作CE⊥BD交直线BD于点E,直线BA,CE相交于点F.当AD=3时，线段BF的长为 3.如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC,E点为射线CB上一动点，作AF⊥AE且AF=AE, 图1 图2 ⊙ 图3 (1)如图1，过F点作FG L AC交AC于G点，求证：△AGF≌aECA; (2)如图2，连接BF交AC于D点，若AD=3CD,点E为BC中点： 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC5AD (3)如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若BE3,则CD=-· 4.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰 直角△ADE,使∠DAE=90°，AD=AE C D 图1 图2 备用图 (1)当点D在线段BC上时，如图1，请判断CE与BC的位置关系，并说明理由： (2)当点D在线段BC的延长线上时，如图2，判断BC,CD,CE三条线段数量关系，并说明理由： (3)当点D在线段CB的延长线上时，直接判断CE与BC的位置关系，并直接写出BC,CD,CE三条线段的数 量关系。 题型4将军饮马最短路径压轴题 【模型】两定一动，作定点关于直线的对称点，连线转化折线段为直线段求最短。 【步骤】作对称点，连接对称点与另一定点，找交点，利用两点之间线段最短求解。 【易错】对称点找错，混淆动点所在直线，不会求角度或线段长。 1.如图，在正五边形ABCDE中，F是边CD的中点，AF,BC的延长线交于点N,P是AN上的动点，M 是BN上的动点，当PB+PM的值最小时，∠BPM=() 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30 B.36 C.40° D.56 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=62°，BD是AC边上的高，点E,F分别是边AB,BD上的动 点，且AE=BF,当AF+CE的值最小时，则∠AFB的度数是 3.【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将 军从A地出发，到一条笔直的河边1饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”· 【模型解决】如图①，小明将A,B两地抽象为两个点，将河1抽象为一条直线.如图②，小明作点B关 于直线I的对称点B，,连接AB与直线1交于点C,点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的， 小明对此进行了说明，以下是说明流程： 如图③，在直线I上另取任意一点C(与点C不重合)，连接AC,BC',B'C', 点B与点B关于直线I对称， ∴直线1是BB的垂直平分线。 :.CB=,CB=_ :.AC+CB=AC+_=_ 在△ACB中，AB<AC'+C'B, AC+CB<AC'+CB,即AC+CB最小. 请你完成上面填空。 B 图① 图② 图③ 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型应用】如图④，在△ABC中，直线m是边BC的垂直平分线，点P是直线m上的动点.若 AB=5,AC=4,BC=7,则△APC周长的最小值为_· m B P B D A M B 图④ 图⑤ 图⑥ 【模型拓展】1.如图⑤，己知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A,ON上有一点B, 当△PAB的周长取最小值时，∠APB的大小是为_度. 2.如图⑥，边长为O的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b,点D在BF上，连接AD,在AD 的右侧作等边△ADE;连接EF,则△AEF周长的最小值是多少？此时∠CFE为多少度？ 4.综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂 线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课。 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题.如图①，用直线！表示河岸，将军 从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后回到点B宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ P ③ B 图1 作法是：如图1②，作点B关于直线I的对称点B,连接AB与直线I交于点C,则点C即为饮马的地方， 此时将军从点A走到点C,再回到点B所走的总路程最短 示例2，如图1③，要在河岸1上建一座水泵房Q,修建引水渠P0,使得Q到村庄P的跑离最短.施工人 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 员的做法是：过点P作P吧1I于点2，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力. 示例1中所经含的数学原理是() A.两点之间，线段最短 B.垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形ABC中，AD是△ABC的中线， ①直接写出BD与AB的数量关系！ ②若AD=4.点E为AB边的中点，点F为AD上一点，当BF+EF的值最小时，在图2上标注点F的位 置，并求出BF+EF的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在Rt△ABC中，∠B=30°，点D在斜边BC上，且BC=4CD=4,AE是△BAC的角平分线，点F, 点G分别为AC,AE上一点，求DG+FG的最小值： D B E 图2 图3 题型5分式方程含参问题 【模型】含参数分式方程，根据解的正负、无解、增根条件求参数取值。 【步骤】去分母化为整式方程，用参数表示未知数，结合增根、解的限制列不等式。。 【易错】只考虑解的范围，忘记排除让分母为0的增根。 -2x 1,关于x的分式方程r23m 2x-2无解，则m的取值范围() 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.m>-2 3 8.m<2 3 Cm=2 2 3且m=0 D.m= 3或m=0 X a-2 2.关于x的分式方程x+3十-91的解为正数，则a的取值范围是 2 3 3.已知关于x的方程x+1+2的两个解是x=1,x=2;又已知关于x的方程x+=1+3的两个解是 与=1，飞=3，又已知关于的方程x-2+3的两个解是写=25=3.小斯认真分折和究上述方 程的特征，提出了如下的猜想：关于x的方程x+ ,b=a+b的两个解是5=4，=b.并且小晰在老师的帮 助下完成了严谨的证明（证明过程略）·小晰非常高兴，向其他同学提出了以下几个问题： 10 (1)关于x的方程x+=7的解为： 5 (2)关于x的方程x-支5的两个解分别为孤，儿，求m+m的值： 3x-6-k-k2 龙 =2k-1 (3)关于x的方程3x+2 的两个解是，x(,<),若为是正整数，求满足条件的整数k的值. 4.给出定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程x 口-b=k的解是。6成立，邪么我们就把实 数a,b组成的数对(ab陈为关于x的分式方程b=人的一个乐相关系数” 例如：当a=36=2时，使得关于5的分式方程是2=1的解是=2中1成立，所以数对（2)游为 11 关于x的分式方程是b=的一个“1相关系数”。 11 (1)在数对0(1,0)：@(2，-3)：③(22)中， a-b=k (只填序号)是关于x的分式方程x 的“1相关 系数”： 2若数对(-2,2+)是关于x的分式方程：b=k的一个“1相关系数”，求：的值： 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)若数对(c+d,d)(c≠士1且c≠0)是关于x的分式方程x b=k的一个“1相关系数”，且关于y的方 程少-c+1=0有整数解，直接写出整数c的值. 题型6全等轴对称几何综合大题 【模型】利用轴对称得到边角等量，结合全等进行线段、角度转化的几何综合模型。 【步骤】由轴对称找相等线段与角，选定三角形证明全等，代换推导所求边角。 【易错】遗漏轴对称隐含条件，全等判定条件找不全，图形多情况讨论不全。 1.[背景]角的平分线是常见的几何模型，利用轴对称构造三角形全等可解决有关问题. [问题]在四边形ABDE中，C是BD边的中点， E 120° 120° B C D B C D C D 图1 图1 图3 (1)如图1，若AC平分∠BAE,∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为一；（直 接写出答案) (2)如图2，AC平分∠BAE,EC平分∠AED,若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样 的数量关系？写出结论并证明： (3)如图3，若∠ACE=120°，AB=4,DE=9,BD=12,则AE的最大值是 (直接写出答案) 2.【活动初探】 在学习等十三章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等 的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系， (1)如图1，在△ABC中，AB=AC,点D为BC中点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证： DE=DF 12/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R G D B D 图1 图2 【变式再探】 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC，△CFA和△BEA分别为等边三角形，CF与BE相交于点G,连接 AG并延长，交BC于点D,求证：点D为BC的中点. B D 图3 备用图 【类比深探】 (3)在△ABC中，AB=AC,点D为BC中点，∠ABC=30°，点F为直线AD上一动点，点E为射线CA 上一动点（点E不与点A,C重合），FB=FE,连接BE, ①如图3，当点F在点A上方，猜想并证明AC,AE,DF的数量关系： ②若AC=m,AE=n,m>2n,请直接写出DF=_一（用含m,n的代数式表示）· 3.如图1，射线AB‖射线CD,AC⊥CD,点E在CD上，将△ACE沿AE作轴对称得△AFE,射线EF与 AB交于G M —B -B -D ch 图1 图2 图3 (1)求证：△AGE为等腰三角形. (2)如图2，当点F在AB,CD之间时，延长AF与CD交于点H,连接CF. 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若△AGE为等边三觕形，则CE与EG们比值为一一一· ②若点F落在线段AC的中垂线上，则△CFH与△AEH的面积比为_. B如图3，当点F在B,CD 之间时，任B上取一点M使得》 得S,=SwE,求证：△MBM是直角三角形 4.如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC.D是BC上任意一点（点D与点B,C都 不重合)，连接AD,CF⊥AD,交AD于点E,交AB于点F,BG⊥BC交CF的延长线于点G. C G 图1 图2 (备用图) (1)写出与BG相等的线段，并证明. (2)若点D为线段BC的中点，其余条件不变，连接DF.根据题意，先在图2中补全图形，再证明： ∠BDF=∠CDE. (3)当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE,DE,AD三者之间的数量关系. 14/14