八年级数学上学期期中分层模拟·巩固培优卷（新教材青岛版八上1-3章：推理与证明+全等三角形+分式）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材青岛版八年级数学上册第1~3章。 5．难度系数：0.75 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的 1．若分式的值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 3．如图，，点C与点D是对应点，那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 4．下面由（、）改写的比例是（     ） A． B． C． D． 5．对于命题“若，则．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 6．下列从左到右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．平分 C． D．过线段的中点 8．如图，在中，，，点是边上任意一点，过点作交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 9．甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同．设乙每小时搬运件货物，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 12．要使分式有意义，则的取值范围是__________． 13．如图，于点P，，添加一个条件，能利用“”判定的条件是___________． 14．若，则________． 15．如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．(8分)解方程： (1)； (2)． 17． (6分)先化简，再求值：，其中． 18．(6分)如图，已知，，在图中用尺规作，并计算的值.（保留作图痕迹，不得使用量角器）    19．(9分)完成下面证明过程，并在括号内填写理由．如图，已知于，于，，求证：． 证明：延长，相交于点， ，（已知）， ，（垂线的定义）， （_______①__________）， （_______②___________）， __③_____（_________④________）． 又（已知）， ∴______⑤_______（等量代换）， （_______⑥__________）． 20．(10分)如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 21．(11分)某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 22．(12分)如图，已知在中，，D是AB上的一点，且． (1)如图①，求证：是直角三角形． (2)如图②，将沿所在直线翻折，点落在边上，记为点． ①若，则______； ②若，求的度数． 23．(13分)等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材青岛版八年级数学上册第1~3章。 5．难度系数：0.75 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的 1．若分式的值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 3．如图，，点C与点D是对应点，那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 4．下面由（、）改写的比例是（     ） A． B． C． D． 5．对于命题“若，则．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 6．下列从左到右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．平分 C． D．过线段的中点 8．如图，在中，，，点是边上任意一点，过点作交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 9．甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同．设乙每小时搬运件货物，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 12．要使分式有意义，则的取值范围是__________． 13．如图，于点P，，添加一个条件，能利用“”判定的条件是___________． 14．若，则________． 15．如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．(8分)解方程： (1)； (2)． 17． (6分)先化简，再求值：，其中． 18．(6分)如图，已知，，在图中用尺规作，并计算的值.（保留作图痕迹，不得使用量角器）    19．(9分)完成下面证明过程，并在括号内填写理由．如图，已知于，于，，求证：． 证明：延长，相交于点， ，（已知）， ，（垂线的定义）， （_______①__________）， （_______②___________）， __③_____（_________④________）． 又（已知）， ∴______⑤_______（等量代换）， （_______⑥__________）． 20．(10分)如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 21．(11分)某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 22．(12分)如图，已知在中，，D是AB上的一点，且． (1)如图①，求证：是直角三角形． (2)如图②，将沿所在直线翻折，点落在边上，记为点． ①若，则______； ②若，求的度数． 23．(13分)等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的 1．若分式的值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分式的值为， 且， ． 2．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 3．如图，，点C与点D是对应点，那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，根据对顶角的性质得出，再逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 根据对顶角性质得， 无法判断， 故选项D错误. 4．下面由（、）改写的比例是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的基本性质得到，进而把等积式改写成比例式． 【详解】解：， ， ． 5．对于命题“若，则．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】要说明命题“若，则”是假命题，只需找到满足条件，但不满足结论的的值即可． 【详解】解：选项A：∵，， ∴，，可得，满足命题条件，又，不满足命题结论， ∴可以说明该命题是假命题； 选项B：，，满足，也满足，不能说明命题是假命题； 选项C：，，满足，也满足，不能说明命题是假命题； 选项D：，，，不满足命题条件，不能说明命题是假命题． 6．下列从左到右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，a必定不为0，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．当时，此时无意义，故D不符合题意． 7．如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．平分 C． D．过线段的中点 【答案】D 【分析】证明，利用全等三角形的性质可得到答案． 【详解】解：∵平分，，， ∴，， 又， ∴， ∴，，，平分， 故选项A、B、C中结论成立，不符合题意， ∵现有条件和图形不能证明过线段的中点， 故选项D中结论不成立，符合题意． 8．如图，在中，，，点是边上任意一点，过点作交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质得出，再由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ， ， ． 9．甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同．设乙每小时搬运件货物，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设乙每小时搬运件货物，则甲每小时搬运件货物，根据甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同，建立方程即可． 【详解】解：设乙每小时搬运件货物，则甲每小时搬运件货物， 根据甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同，得． 10．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】找出原命题的题设与结论，明确“如果”后接题设，“那么”后接结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中，题设为两个角是同一个角的余角，结论为这两个角相等， 因此可得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 12．要使分式有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 13．如图，于点P，，添加一个条件，能利用“”判定的条件是___________． 【答案】 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定 ， 需添加斜边相等的条件，即 ． 14．若，则________． 【答案】 【分析】由，变形可得，代入所求代数式，化简即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴两边同乘以可得， 变形，得， ∴． 15．如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．(8分)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； （2）解：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 17．(6分)先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】先通分计算括号内式子，分解因式后约分化简，再代入求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 18．(6分)如图，已知，，在图中用尺规作，并计算的值.（保留作图痕迹，不得使用量角器）    【答案】 解：如图，当在内时， ，    如图，当在外时， ，    综上所述，或． 【分析】分两种情况：在内和在外进行作图解题即可． 【详解】略 【点睛】本题考查限定工具作图—尺规作一个角等于已知角，角的和差，掌握分类讨论是解题的关键． 19．(9分)完成下面证明过程，并在括号内填写理由．如图，已知于，于，，求证：． 证明：延长，相交于点， ，（已知）， ，（垂线的定义）， （_______①__________）， （_______②___________）， __③_____（_________④________）． 又（已知）， ∴______⑤_______（等量代换）， （_______⑥__________）． 【答案】①等量代换， ②同位角相等，两直线平行， ③， ④两直线平行，同位角相等， ⑤， ⑥内错角相等，两直线平行． 【分析】根据题意得到，由平行线的判定得，由平行线的性质得，等量代换得到，由此即可得解． 【详解】略 20．(10分)如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， 在和中， ， ， ． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，可证，再根据“”证，即可求证； （2）根据全等三角形的性质，可得，再根据外角的性质，计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ， ， ， 则的度数为． 21．(11分)某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 【答案】(1)每人每小时运送，包装 (2)运送的第一组有12人，包装的第二组有8人 【分析】（1）先求出工作时间，根据每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且每人每小时可采摘，6人采摘，8人运送，6人包装，刚好各项工作完成的时间相等，列式计算即可； （2）设负责包装的人数为y人，则负责运送人数为人，根据当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知采摘、运送、包装的人数为6、8、6. 设采摘了x小时，根据题意得： ， 解得：， 每人每小时包装：； 每人每小时运送：； （2）解：设负责包装的人数为y人，则负责运送的人数为人， 依题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， （人）， 答：运送的第一组有12人，包装的第二组有8人． 22．(12分)如图，已知在中，，D是AB上的一点，且． (1)如图①，求证：是直角三角形． (2)如图②，将沿所在直线翻折，点落在边上，记为点． ①若，则______； ②若，求的度数． 【答案】(1) 证明：， ． ， ，即 ， 是直角三角形． (2)①12；② 【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知角的等量关系，推导出中有一个角为，从而证明它是直角三角形； （2）①根据翻折的性质得到线段相等关系，再结合勾股定理，求出的长度； ②先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再结合翻折得到的角的等量关系，求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：①由翻折可知 设，则 在中： 由（1）知 在中： 在中： 解得（舍去） ②， ． 由题意，得， ． 【点睛】本题围绕直角三角形的性质与翻折变换展开，掌握利用直角三角形角的关系、翻折的性质进行推理计算是解题的关键． 23．(13分)等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 【答案】(1)． 证明：，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ． (2) (3)所有满足条件的的长为或或． 【分析】（1）由垂直定义得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得出，，因此； （2）根据，求出，则．过点作交延长线于点，同（1）思路证明，得到，根据求解即可； （3）根据得到，，根据的面积求出，根据同角的余角相等得到，若以点、、为顶点的三角形与全等，分点、均在点上方，和点、均在点下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：与均为等腰直角三角形，， ，， ，， ， ． 如图，过点作交延长线于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：，， ，， ，， ， 即， ． ， ， ， ， ． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点、均在点上方， , 或， 若，如图， 则, . 若，如图， 则, . ②若点、均在点下方， ， 或, 若，如图， 则， . 若，如图， 则， ． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D A A B D B A C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．两个角是同一个角的余角 这两个角相等 12． 13． 14． 15. 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．(8分 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； -----------------------------------4分 （2）解：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， -----------------------------------8分 故原方程的解为． 17．(6分 【详解】解： ． -----------------------------------5分 当时， 原式． -----------------------------------6分 18．(6分) 解：如图，当在内时， ，   -----------------------------------3分 如图，当在外时， ，   -----------------------------------6分 综上所述，或． 19．(9分)完成下面证明过程，并在括号内填写理由．如图，已知于，于，，求证：． 证明：延长，相交于点， ，（已知）， ，（垂线的定义）， （_______①__________）， （_______②___________）， __③_____（_________④________）． 又（已知）， ∴______⑤_______（等量代换）， （_______⑥__________）． 【答案】①等量代换， -----------------------------------2分 ②同位角相等，两直线平行， -----------------------------------3分 ③， -----------------------------------4分 ④两直线平行，同位角相等， -----------------------------------5分 ⑤， -----------------------------------7分 ⑥内错角相等，两直线平行． -----------------------------------9分 20．(10分) (1)证明：， ， 在和中， ， ， ． -----------------------------------5分 （2）解：由（1）可知， ， ， ， 则的度数为． ----------------------------------10分 21．(11分) 【详解】（1）解：由题意可知采摘、运送、包装的人数为6、8、6. 设采摘了x小时，根据题意得： ， 解得：， 每人每小时包装：； 每人每小时运送：； -----------------------------------5分 （2）解：设负责包装的人数为y人，则负责运送的人数为人， 依题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， （人）， 答：运送的第一组有12人，包装的第二组有8人． -----------------------------------11分 22．(12分) 证明：， ． ， ，即 ， 是直角三角形． -----------------------------------4分 （2）解：①由翻折可知 设，则 在中： 由（1）知 在中： 在中： 解得（舍去） -----------------------------------8分 ②， ． 由题意，得， ． -----------------------------------12分 【点睛】本题围绕直角三角形的性质与翻折变换展开，掌握利用直角三角形角的关系、翻折的性质进行推理计算是解题的关键． 23．(13分)等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 【答案】(1)． 证明：，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ．-----------------------------------4分 （2）解：与均为等腰直角三角形，， ，， ，， ， ． 如图，过点作交延长线于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ．-----------------------------------8分 （3）解：，， ，， ，， ， 即， ． ， ， ， ， ． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点、均在点上方， , 或， 若，如图， 则, . 若，如图， 则, . -----------------------------------10分 ②若点、均在点下方， ， 或, 若，如图， 则， . 若，如图， 则， ． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． -----------------------------------13分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $