精品解析：江苏连云港市赣榆实验中学2026-2027学年九年级上学期10月第一次素养评价数学试题

九年级第一次素养评价 数学试题 （本卷满分150分，共4页，考试时间100分钟） 注意：请将所有答案填写在答题卡规定区域，字迹工整，在其他区域答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数的图像经过点，则k的值是（ ） A. B. C. D. 3. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）． A. 点，均在其图象上 B. 函数图象在第二、四象限 C. 若，则x的取值范围是 D. 该函数图象上有两点，，若，则 4. 若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，则图中的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 5 8. 《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x，宽为的长方形纸片（面积均为14）拼成一个大正方形，得到大正方形的面积为：，边长，可依据求得是方程的一个正数解．小明按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形，如图2，已知正方形的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 把一元二次方程化为一般形式，结果是______． 10. 若是反比例函数，则的值为_________． 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 12. 已知点是一次函数与反比例函数的交点，则代数式的值是_________． 13. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则每个支干长出___________个小分支． 14. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，若四边形的面积为5，则_____． 15. 若实数满足，则的结果为_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则________． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明） 17. 用适当方法解下列方程． （1） （2）（配方法） （3） （4）（公式法） 18. 已知y－2与x成反比例，当x=3时，y=3，求y与x之间的函数关系式. 19. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求的值． 20. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． （1）求关于的函数解析式． （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 21. 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； （2）从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 22. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是______； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 23. 如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点，直线与反比例函数交于另一点． （1）直接写出：点坐标______；直线的函数解析式______． （2）请结合图像回答，时，的取值范围______． （3）如图若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． 24. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． （1）用含的式子表示：；； （2）当的面积为时，求运动时间； （3）四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． （4）阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是． 解决问题：运动时间为何值时，四边形的面积最小？ 25. 综合与实践 函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程： （1）初步感知：函数的自变量x的取值范围是_____． （2）作出图象步骤如下： ①列表： x … 1 2 n 4 … y … m 2 3 5 0 … 填空：_____，_____． ②描点：以表中各组x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 连线：如图，将图中y轴两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来，请画出图象． （3）研究性质： 小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数的图象通过某种平移转化而来的．已知反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为点，结合小明的分析，可知函数的图象的对称中心为点______． （4）若直线与函数的图象相交于P，Q两点，点P的横坐标是p，点Q的纵坐标是q，直接写出的值． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数图象交y轴于点，与反比例函数图象交于，B两点（点A在点B的右侧）． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图（1），点P是反比例函数第三象限图象上一点，且点P位于点B的下方，连接，，若，求的长； （3）点Q是反比例函数图象上一动点，直线交x轴于点D，连接，当时，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次素养评价 数学试题 （本卷满分150分，共4页，考试时间100分钟） 注意：请将所有答案填写在答题卡规定区域，字迹工整，在其他区域答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，要求二次项系数不为0， ∵选项A中未说明，当时不是一元二次方程，∴A错误； ∵选项B中方程是分式方程，不是整式方程，∴B错误； ∵选项C中方程含有和两个未知数，不是一元方程，∴C错误； ∵选项D中方程，是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数为，∴D符合一元二次方程的定义． 2. 已知反比例函数的图像经过点，则k的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：把代入，得 ， 解得． 3. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）． A. 点，均在其图象上 B. 函数图象在第二、四象限 C. 若，则x的取值范围是 D. 该函数图象上有两点，，若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐个判断各选项的说法，即可得到答案． 【详解】解：A选项：将代入，得，所以点在图象上；将代入，得，所以点也在图象上，A说法正确，不符合题意； B选项：因为，所以反比例函数图象位于第二、四象限，B说法正确，不符合题意； C选项：令，代入得，解得，因为，在第四象限内随增大而增大，所以当时，的取值范围是，C说法正确，不符合题意； D选项：反比例函数仅在每个象限内满足随增大而增大，若两点不在同一象限，结论不成立，例如取，，满足，此时，，有，不满足，D说法错误，符合题意． 4. 若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 同理可得：，， ∵， ∴． 5. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象，根据一次函数与反比例函数的图象特点进行判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限．故选项D的图象符合． 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限．故各选项的图象均不符合； 故选：D 6. 在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】根据的值即为该气体的质量即可求解． 【详解】解：由题意得：的值即为该气体的质量， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种气体的质量相同， ∵描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方， ∴甲气体的质量最小，丙气体的质量最大． 7. 如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，则图中的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，难度适中．通过平行线的性质利用面积法找出面积相等的三角形是关键．根据等边三角形的性质可得，从而得到，进而得到，过点B作于点E，则，由反比例函数系数k的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选B． 8. 《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x，宽为的长方形纸片（面积均为14）拼成一个大正方形，得到大正方形的面积为：，边长，可依据求得是方程的一个正数解．小明按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形，如图2，已知正方形的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，，得出，则所以原方程为，求得大正方形的面积为，边长为，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程，则， ∴， ∴，， 即，即 所以原方程为， ∴大正方形的面积为 ∴边长为 ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，二次根式的性质，理解题意是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 把一元二次方程化为一般形式，结果是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：利用平方差公式展开方程左侧， 得， 将所有项移到方程左侧，整理得： ． 10. 若是反比例函数，则的值为_________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，得到的指数为，且系数不为，据此列条件求解即可. 【详解】解：∵是反比例函数，反比例函数的一般形式为， ∴满足两个条件：且， 解方程，得，即或， ∵，得， ∴. 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 12. 已知点是一次函数与反比例函数的交点，则代数式的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据交点坐标满足两个函数解析式，得到的关系式，将所求代数式通分变形后，整体代入求值即可． 【详解】解： 点是一次函数与反比例函数的交点， 将代入两个函数解析式，得，， 整理得 ，， 对所求代数式变形，得， 将，代入，得． 13. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则每个支干长出___________个小分支． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； 设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出个小分支， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以每个支干长出6个小分支， 故答案为：6． 14. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，若四边形的面积为5，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义得到，，然后利用四边形的面积进行计算． 【详解】解：轴，轴， ，， 四边形的面积． 解得． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即． 15. 若实数满足，则的结果为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】设，则原方程转化为关于t的一元二次次方程，通过解方程求得t的值，即的值．本题主要考查了换元法，因式分解法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换． 【详解】解：设 则原式等于， 整理 得 解得（舍弃）， 即． 故答案为：1． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、的横纵坐标，从而得到每次变化为一个循环组依次循环，用除以，根据商的情况确定出即可． 【详解】当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， ， 由上可知，，，，，，，个为一组依次循环， ∵， ∴． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明） 17. 用适当方法解下列方程． （1） （2）（配方法） （3） （4）（公式法） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： ∴； 【小问3详解】 解： 或 ∴； 【小问4详解】 解： 整理得 ∴． 18. 已知y－2与x成反比例，当x=3时，y=3，求y与x之间的函数关系式. 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：由题意变量y-2与x成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解． ∵变量y－2与x成反比例，∴可设. ∵x=2时，y=4，∴k=2×2=4. ∴y与x之间的函数关系式是. 考点：待定系数法求反比例函数解析式． 19. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求的值． 【答案】（1）证明：在方程中， ，，. ∴ ． ∵无论取何实数，，即. ∴方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； 利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 详解见答案． 【小问2详解】 解：该方程的两个实数根为，， 则， ，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为 ， ， 解得或， 当时，，不合题意，舍去， ， 答：的值为． 20. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． （1）求关于的函数解析式． （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】（1） （2）小孔到蜡烛的距离为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）把代入（1）中的解析式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，设函数解析式为， 把，代入，得， 关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，则， 解得， 小孔到蜡烛的距离为． 21. 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； （2）从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据题干条件列出一元二次方程，取符合题意的值即可； （2）设该款徽章降价元，根据5月销售利润达8400元，列出一元二次方程，取符合题意的值即可． 【小问1详解】 设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，可得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 设该款徽章降价元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，5月销售利润达8400元． 22. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是______； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【小问1详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； 【小问2详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； 【小问3详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 23. 如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点，直线与反比例函数交于另一点． （1）直接写出：点坐标______；直线的函数解析式______． （2）请结合图像回答，时，的取值范围______． （3）如图若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的图象与性质及一次函数的性质进行计算即可； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题； （3）根据三角形的面积公式，求出的长，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：由题知， ∵点和点关于坐标原点对称， ∴点的坐标为． 将点代入反比例函数得，， ∴反比例函数的解析式为． 将点代入得，， ∴点坐标为． 将点和代入一次函数得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知， 当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即， ∴时，的取值范围是或． 【小问3详解】 解：∵的面积为， ∴， 解得， ∴点坐标为或． 24. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． （1）用含的式子表示：；； （2）当的面积为时，求运动时间； （3）四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． （4）阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是． 解决问题：运动时间为何值时，四边形的面积最小？ 【答案】（1）；； （2）或； （3）四边形的面积不能等于；理由见解析； （4）运动时间时，四边形的面积最小． 【解析】 【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可得解； （2）根据，求出，即可得解； （3）根据，求出；再根据，即可得解； （4）将四边形面积变形得，根据即可求解． 【小问1详解】 解：设运动时间为， 由题意可知：，， 到用时：，到用时：，所以 ． ， ． ， ； 【小问2详解】 解：令； 解得：，，和都满足 ． 运动时间为或． 【小问3详解】 解：四边形的面积不能等于；理由如下： 由（1）得，， 当四边形的面积等于，， 解得：，（舍）， ， 四边形的面积不能等于； 【小问4详解】 解：， ， ， 运动时间时，四边形的面积最小． 【点睛】本题是直角三角形背景下的动点+二次函数综合题，是初中数学经典题型．核心思路：以运动时间为自变量，用含的代数式表示动点线段长度，再结合面积公式建立二次函数模型，把几何动态问题转化为代数方程、函数问题求解．易错关键点：必须先确定自变量x的取值范围 ．解方程得到根之后，一定要检验根是否在有效范围之内，超出范围的解要舍去，这是动点题最容易丢分的地方．方法迁移：第（4）问考查配方法，利用平方的非负性求代数式最值，这是二次函数求最值的基础方法，题干给出阅读材料，要学会模仿材料的配方步骤．面积转化技巧：不规则四边形不方便直接求面积，采用大三角形面积减去小三角形面积的割补法，简化计算． 25. 综合与实践 函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程： （1）初步感知：函数的自变量x的取值范围是_____． （2）作出图象步骤如下： ①列表： x … 1 2 n 4 … y … m 2 3 5 0 … 填空：_____，_____． ②描点：以表中各组x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 连线：如图，将图中y轴两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来，请画出图象． （3）研究性质： 小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数的图象通过某种平移转化而来的．已知反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为点，结合小明的分析，可知函数的图象的对称中心为点______． （4）若直线与函数的图象相交于P，Q两点，点P的横坐标是p，点Q的纵坐标是q，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①；3；②画出函数图象如图： ； （3） （4）． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，正确记忆修改知识点是解题关键． （1）根据分母不能为0，即可解决问题； （2）①求得时的函数值，求得时的x的值，即可求得m、n的值； ②描点、连线画出图形即可； （3）根据平移的性质，可得结论； （4）求得直线函数的图象中心对称点，结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴函数的自变量x的取值范围是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：①时，， ∴， 当时，则，解得， ∴， 故答案为：；3； ②略 【小问3详解】 解：观察图象发现，函数的图象的对称中心为点为； 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵， 则直线过定点， ∵函数的图象关于点中心对称， ∴则两函数交点P，Q关于对称， ∵点P的横坐标是p， ∴点Q的横坐标是， 又Q的纵坐标为q， ∴， 将代入， ∴， 整理得． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数图象交y轴于点，与反比例函数图象交于，B两点（点A在点B的右侧）． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图（1），点P是反比例函数第三象限图象上一点，且点P位于点B的下方，连接，，若，求的长； （3）点Q是反比例函数图象上一动点，直线交x轴于点D，连接，当时，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合，函数和几何图形的结合，解一元二次方程，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上函数的性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴，交于点N，联立解析式求出交点坐标，然后根据三角形面积公式列出方程求解，最后根据勾股定理求线段长度即可； （3）根据一次函数和反比例函数的图象和性质，结合几何图形的性质，证明全等三角形得出相等的边，求出点的坐标，求出相关函数的解析式，然后分两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：过点， ， ∴， 又过点， ， ∴，代入得， ， ∴； 【小问2详解】 解：作轴，交于点N， 设， ， 联立， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ， 解得：，（舍）， ∴由勾股定理得； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由，可得，， ， 又 ， 又， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， 又∵，根据的内角和为得： ， 过点O作， ∴，则点Q，D落在直线上， 过点A作轴于点E，轴于点F， ，， 又， ， ， ∴， 又， ∴， ， 假设直线的解析式为，将和代入解析式得， 解得， ， 联立解析式， ， 解得或（舍去） ， 当时，， ∴， 又，，，根据轴对称得， ， 同理，利用待定系数法可得， ， 联立解析式得， ， 解得或（舍去）， ， ，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $