精品解析：江苏宿迁市沭阳县实验初级中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026～2027学年度第一学期阶段性检测卷 九年级数学 （测试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A. B. C. D. 4. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 若y＝（5+m）x2+n是反比例函数，则m、n的取值是（　　） A. m＝﹣5，n＝﹣3 B. m≠﹣5，n＝﹣3 C. m≠﹣5，n＝3 D. m≠﹣5，n＝﹣4 6. 如图，已知点是线段的黄金分割点，，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，（）在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③④⑤ D. ①②③ 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 如果和成反比例关系，当时，，那么当时，_____． 10. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是______． 11. 已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则的取值范围是__________． 12. 定义新运算，对于任意实数m、n满足．若，当时，则x的值是______． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 14. 如图，过反比例函数上一点A作y轴的垂线，交y轴于点B，点C，D在x轴上，满足四边形是平行四边形，若的面积为6，则k的值是_____． 15. 如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为______． 16. 如果，那么的值为______． 17. 如图，直线与双曲线交于，两点，则的值为________. 18. 如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知 与x成反比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，，求代数式的值． 21. 阅读材料，解答问题： 已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道：与的和，与的积．根据上述材料，解决以下问题： （1）材料理解：___________，___________． （2）类比应用：已知实数满足：且，求的值． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程有两个实数根； （2）若方程的两根均小于0，求的取值范围． 23. 在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上． （1）确定反比例函数的关系式； （2）现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点的对应点的坐标． 24. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出箱，每箱利润元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每降价元，平均每天可多售出箱． （1）若降价元，每天能售出______箱饮料，若降价元（），每天能售出______箱饮料； （2）若要使每天销售该饮料获利元，为了扩大销售，则每箱应降价多少元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 26. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒，（）． （1）当为何值时，点在的垂直平分线上？ （2）当为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 27. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为，求出该方程的衍生点M的坐标； （2）若关于x的一元二次方程为的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图像上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 28. 为迎接校园艺术节，某班级计划制作一个面积为的矩形宣传展板（如图1）．展板一边固定在墙上（墙足够长），另外三边用装饰木条围边，木条总长度为米． 【问题提出】 同学们提出：若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？ 【问题探究】 小明的分析方法：设米，米． 由展板面积知，则可视为反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；由木条总长知，则可视为一次函数的图象在第一象限内点的坐标． 同时满足这两个条件的就是两个函数的交点坐标． 如图2，双曲线与直线的交点坐标为和 ，因此，木条总长10m时，能制作出两种不同尺寸的矩形宣传展板，其尺寸可以是：或______m，______m． （1）根据小明的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？请仿照小明的方法，在图2中画出一次函数的图象，并说明理由． 【问题延伸】 （3）小颖从以上探究中发现“能否围成矩形宣传展板问题”可以转化为“双曲线与直线在第一象限内交点的存在问题”．若矩形宣传展板只能制作出一种尺寸，请求出此时木条总长的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期阶段性检测卷 九年级数学 （测试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 2. 反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数  的性质，由  的正负确定图象所在的象限 【详解】解：反比例函数  中   该函数图象位于第一、三象限 观察选项， 只有A选项图象位于第一、三象限. 3. 用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 4. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 5. 若y＝（5+m）x2+n是反比例函数，则m、n的取值是（　　） A. m＝﹣5，n＝﹣3 B. m≠﹣5，n＝﹣3 C. m≠﹣5，n＝3 D. m≠﹣5，n＝﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】让反比例函数中未知数的次数为﹣1，系数不为0列式求解即可． 【详解】∵y＝（5+m）x2+n是反比例函数，∴，解得：m≠﹣5，n＝﹣3． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式也可以为y＝kx﹣1（k≠0），注意未知数的系数和次数的取值范围． 6. 如图，已知点是线段的黄金分割点，，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，，且， ∴． 7. 若点，，（）在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将点A，B，C的横坐标分别代入，得，，． ∵， ∴，， ∴． 8. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③④⑤ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确的变形是解题的关键．根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：∵若，则是方程的根，此时判别式，当方程有两个相等的实数根时，；当方程有两个不同的实根时，， ∴判别式，故①正确； ∵方程有两个不等实根，则其判别式，即， ∴方程的判别式，故②正确； ∵若c是方程的根，则，即，当时，不一定为0，故③错误； ∵是方程的根，则，， ，故④正确； ∵存在实数使，如取，则需，取即可(若，取，)，故⑤正确． 综上，正确的是①②④⑤． 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 如果和成反比例关系，当时，，那么当时，_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例的意义及识别．根据反比例关系的定义，两个变量的乘积为常数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵和成反比例关系，当时，， ∴， 故当时，， 故答案为：6 10. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】已知是一元二次方程的一个根，将根代入原方程即可求解的值． 【详解】解：把代入方程，得，解得． 11. 已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象所在象限可得比例系数小于0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、第四象限， ∴， 解得． 12. 定义新运算，对于任意实数m、n满足．若，当时，则x的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据新运算定义将原式转化为一元二次方程，求解后结合的条件得到的值． 【详解】解：根据新运算， 将代入得， 解得或， ∵， ∴． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 【详解】由题意可知：， ∴， ∵， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 14. 如图，过反比例函数上一点A作y轴的垂线，交y轴于点B，点C，D在x轴上，满足四边形是平行四边形，若的面积为6，则k的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为，通过平行四边形面积与矩形面积的关系求出的值，再结合反比例函数图象所在象限确定k的正负，进而求出k的值． 【详解】解：如图，作轴，垂足为点E，则四边形是矩形， 由条件可知：， 又∵反比例函数图象在第二象限， ∴． 15. 如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】直接利用图象法进行求解即可. 【详解】解：∵反比例函数在第一象限， ∴的图象过一、三象限， 观察可知，不等式的解集为或. 16. 如果，那么的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式得到，进而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：3． 17. 如图，直线与双曲线交于，两点，则的值为________. 【答案】-10 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出A、B两点坐标的关系和反比例函数图象上点的坐标特点求得，，再代入计算即可． 【详解】∵直线与双曲线交于，两点， ∴，，，， ∴，， ∴. 故答案是：-10. 【点睛】考查了反比例函数的性质，反比例函数是中心对称图形，对称中心是原点，则过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称，理解这一性质是关键． 18. 如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】过A作于E，作轴于F，延长交x轴于G，根据三角形的面积可求出，根据三角形内角和定理、等角对等边等得出，根据平行四边形的性质、平行线的性质以及可证明，得出，则可设，则，从而得出，即可求解． 【详解】解：过A作交的延长线于E，作轴于F，延长交x轴于G， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵与x轴平行， ∴， ∴， ∵与y轴平行，x轴轴， ∴轴， 又与x轴平行， ∴， 又轴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为， 设，则， ∵反比例函数的图像经过A、D两点， ∴， 解得， ∴． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 20. 已知 与x成反比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，，求代数式的值． 【答案】（1） （2）23 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据与x成反比例，设，再代入，进行计算，即可作答． （2）由（1）得，整理得，再代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵与x成反比例， ∴设， ∵当时， ∴， 解得； ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴当时，， 则， ∴， 则， ∴， 21. 阅读材料，解答问题： 已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道：与的和，与的积．根据上述材料，解决以下问题： （1）材料理解：___________，___________． （2）类比应用：已知实数满足：且，求的值． 【答案】（1）1； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意和熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可； （2）根据题意可得实数是方程的两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得，再根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵是方程的两个不相等的实数根， ∴，； 【小问2详解】 解：∵实数满足：且， ∴实数是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程有两个实数根； （2）若方程的两根均小于0，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：， 此方程有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得到，，据此可得不等式组，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：原方程的两个实数根为， ∴， ∵方程的两根均小于0， ∴， ． 23. 在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上． （1）确定反比例函数的关系式； （2）现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点的对应点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征．正确的作出辅助线是关键． （1）过点B作轴于点D，证明，可得，可求出点C的坐标，即可求解； （2）先求出时，可得此时点A移动了个单位长度，即C也移动了个单位长度，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作轴于点D， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点的坐标为，顶点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴设反比例函数的式为， 将代入得：， ∴反比例函数的关系式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得：， 当顶点A恰好落在该双曲线上时， 此时点A移动了个单位长度， ∴C也移动了个单位长度， ∵点的坐标为， ∴点C的对应点的坐标为． 24. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出箱，每箱利润元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每降价元，平均每天可多售出箱． （1）若降价元，每天能售出______箱饮料，若降价元（），每天能售出______箱饮料； （2）若要使每天销售该饮料获利元，为了扩大销售，则每箱应降价多少元？ 【答案】（1）； （2）元 【解析】 【分析】（1）根据等量关系填空即可； （2）根据等量关系列出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：每降价元，平均每天可多售出箱，加上原来每天可售出的箱可得（箱）； 每降价元，平均每天可多售出箱， 降价元（），多售出箱， 总共售出箱． 【小问2详解】 解：设每箱应降价元，根据题意得： 整理得， 解得，， 当时，销售量为箱，当时，销售量为箱， 要扩大销售，取 答：每箱应降价元 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据点在直线上，得到，继而根据待定系数法得到反比例函数的解析式，联立反比例函数和直线的解析式，得到点的坐标； （2）根据直线的解析式得到，进而得到，，设，进而得到表示面积的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 联立，得，解得，， ∵点位于第一象限， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵直线的解析式为， ∴当时，即，解得， ∴，， ∵， ∴，， ∵反比例函数的解析式为， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，或， ∴点的坐标为或． 26. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒，（）． （1）当为何值时，点在的垂直平分线上？ （2）当为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，得到，进而列出关于的方程，解方程即可． （2）根据矩形的性质得到，进而根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． （3）连接,列出表达面积的方程，解方程后即可得到答案． 【小问1详解】 解：当点在的垂直平分线上时，即， ∴解得：； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，整理得， ∴（不合题意，舍去）； 【小问3详解】 解：如图，连接, ∴，即， ∴解得：（不符合，故舍去）， ∴存在，． 27. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为，求出该方程的衍生点M的坐标； （2）若关于x的一元二次方程为的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图像上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）有，， 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论思想． （1）解方程，根据 判断得解； （2）用因式分解法解方程，可得，根据做分类讨论，分别计算即可判断得解； （3）依据题意，衍生点与的取值无关，直线过定点，故方程的衍生点M为，根据，由根与系数的关系求解． 【小问1详解】 解：解方程得， ， ， ， ， 该方程的衍生点M的坐标为； 【小问2详解】 方程为， ， ，或，， ①当，即时， 衍生点M的坐标为． ∵点M在直线上， 代入得， ∴，符合题意； ②当，即时， 衍生点M的坐标为， ∵点M在直线上， 代入得， ，与矛盾，故舍去； 综上，； 【小问3详解】 存在b，c满足条件，理由如下： ， 直线经过定点， ∴方程的衍生点M为， 即，， ，． 28. 为迎接校园艺术节，某班级计划制作一个面积为的矩形宣传展板（如图1）．展板一边固定在墙上（墙足够长），另外三边用装饰木条围边，木条总长度为米． 【问题提出】 同学们提出：若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？ 【问题探究】 小明的分析方法：设米，米． 由展板面积知，则可视为反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；由木条总长知，则可视为一次函数的图象在第一象限内点的坐标． 同时满足这两个条件的就是两个函数的交点坐标． 如图2，双曲线与直线的交点坐标为和 ，因此，木条总长10m时，能制作出两种不同尺寸的矩形宣传展板，其尺寸可以是：或______m，______m． （1）根据小明的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？请仿照小明的方法，在图2中画出一次函数的图象，并说明理由． 【问题延伸】 （3）小颖从以上探究中发现“能否围成矩形宣传展板问题”可以转化为“双曲线与直线在第一象限内交点的存在问题”．若矩形宣传展板只能制作出一种尺寸，请求出此时木条总长的值． 【答案】（1）；4；2； （2）不能围出； 当米时，直线的解析式为， 当时，；当时，； 描点，， 直线的图象，如图中所示： 与函数图象没有交点， 不能围出面积为的矩形． （3）的值为8． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用题，一次函数和二次函数图象的交点问题． （1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为； （2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出； （3）联立得，整理得，利用根的判别式求解即可． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线联立得 ， ， ， ，， 另一个交点坐标为， 为，为， ，． 故答案为：；4；2； （2）略 （3）令， 整理得，， 一次函数与反比例函数的图象有唯一交点， ， ， ． 即一次函数与反比例函数的图象有唯一交点时，的值为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $