第十五章 轴对称（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级上册

第十五章 轴对称复习讲义 教学目标 1. 理解轴对称、轴对称图形、线段垂直平分线的概念； 2. 掌握成轴对称的两个图形的性质，能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形； 3. 掌握简单平面图形的轴对称性质； 4. 掌握线段垂直平分线的性质及判定； 5. 掌握尺规作图：做一条线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线； 6. 了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆命题； 7. 理解等腰三角形及等边三角形的概念； 8. 掌握等腰三角形的性质定理与判定定理，并能运用性质定理及判定定理解决问题； 9. 掌握等边三角形的性质定理与判定定理，并能运用性质定理及判定定理解决问题． 教学重难点 1. 重点 （1）简单平面图形的轴对称性质； （2）线段垂直平分线的性质及判定； （3）尺规作图：做一条线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线； （4）掌握等腰三角形及等边三角形的性质定理与判定定理． 2. 难点 （1）运用等腰三角形及等边三角形的性质定理与判定定理解决问题； （2）运用轴对称图形的性质解决问题． 知识点01 轴对称图形 1．轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 注意： ①对称轴是一条直线，而不是线段或射线． ②一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． ③轴对称图形是对于一个图形而言的，反映的是其自身的对称性，它被对称轴分成的两部分能够互相重合． 2．常见轴对称图形及其对称轴 名称 图形及其对称轴 对称轴的条数 对称轴 角 1 角平分线所在的直线 线段 1 过线段的中点与线段垂直的直线 等腰三角形 1 底边上的高（底边上的中线或顶角平分线）所在的直线 等边三角形 3 各边上的高（各边上的中线或各内角平分线）所在的直线 等腰梯形 1 过上、下底中点的直线 长方形 2 分别过两组对边中点的直线 正方形 4 ①对角线所在的直线； ②过对边中点的直线 正五边形 5 过顶点与对边中点的直线 正六边形 6 ①过相对的顶点的直线； ②过相对边中点的直线 圆 无数条 过圆心的直线 知识点02 轴对称 1．两个图形成轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称．这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2．轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区 别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量不同 只有一条对称轴 不一定只有一条对称轴 联系 ①沿对称轴折叠，两个图形重合； ②如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 ①沿对称轴折叠，图形的两部分重合； ②如果把轴对称图形的两部分当作两个图形，那么这两个图形成轴对称 知识点03 线段的垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2．线段垂直平分线性质及判定 类别 性质 判定 图示 内容 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 几何语言 ∵，于点C，点P在l上， ∴ ∵， ∴点P在线段的垂直平分线上 应用 证明线段相等 （1）确定点在线段的垂直平分线上； （2）确定某直线是线段的垂直平分线 3．线段垂直平分线的尺规作图 已知：线段． 求作：线段的垂直平分线． 作法：如图所示． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点． （2）作直线．就是所求作的直线． 知识点04 轴对称和轴对称图形的性质 1．两个图形成轴对称的性质 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 2．轴对称图形的性质 在轴对称图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 知识点05 对称轴的画法 1．画对称轴的步骤 （1）找：找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点； （2）连：连接这对对应点； （3）作：作出对应点所连线段的垂直平分线． 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 知识点06 原命题、逆命题、互逆命题 1．原命题与逆命题 两个命题的题设、结论正好相反．我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题． 2．互逆命题 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理． 注意： 每一个命题都有逆命题，而每一个定理不一定都有逆定理．因为一个真命题的逆命题不一定是真命题，所以说并不是每一个定理都有逆定理． 知识点07 用尺规过直线外一点作已知直线的垂线 已知：直线l和l外一点P． 求作：l的垂线，使它经过点P． 作法：如下表． 作法 图形 ①以点P为圆心，以适当长为半径作弧，交直线l于点A和点B ②分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F ③作直线，直线就是所要求作的直线 知识点08 画轴对称的图形 几何图形都可以看作由点组成，对于一些规则的几何图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，按原图形的顺序依次连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形． 1．画轴对称的图形的依据 连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分． 2．画轴对称的图形的步骤 （1）找——在原图形上找特殊点； （2）定——确定各个特殊点关于对称轴的对称点； （3）连——按原图形的顺序依次连接各对称点． 知识点09 平面直角坐标系中的轴对称 1．关于坐标轴对称的点的坐标特征 点关于x轴对称的点的坐标是； 点关于y轴对称的点的坐标是． 关于谁对称谁不变，即关于x轴对称，则横坐标x的值不变；关于y轴对称，则横坐标y的值不变． 2．在平面直角坐标系中画轴对称的图形的步骤 （1）计算——计算对称点的坐标； （2）描点——根据对称点的坐标描点； （3）连接——依次连接所描各点得到轴对称图形． 知识点10 等腰三角形的概念 1. 等腰三角形的概念： 有两边相等的三角形是等腰三角形． 2. 等腰三角形的相关概念： 在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，剩余的一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． 如图，在中，，是腰，是底边，是顶角，，是底角． 注意： ①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是，两边之和大于第三边等； ②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点，又是研究它的重要方法； ③对于等腰三角形问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和产生错误的地方； ④等腰三角形的顶角可以是直角、钝角、锐角，而底角只能是锐角． 知识点11 等腰三角形的性质 1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 应用模式： 在中， ∵， ∴． 注意： ①这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法．它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便； ②应用这个性质时，必须在一个三角形中． 2．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 应用模式：如图，在中， ①∵，平分， ∴，； ②∵，， ∴，； ③∵，， ∴，． 注意： ①应用“三线合一”性质的前提条件必须是等腰三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合，若是一腰上的高与中线就不一定重合； ②等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴． 知识点12 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法有两个： ①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形． ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 注意： “等角对等边”也是我们今后证明两条线段相等常用的方法． 知识点13 等边三角形的概念及其性质 1. 等边三角形的概念： 三边都相等的三角形是等边三角形．． 2．等边三角形的性质 ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于； ②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； ③等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 注意： ①等边三角形又叫正三角形； ②等边三角形任意一边上的中线、高和该边所对角的平分线都互相重合． 知识点14 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法有三种： ①定义法：三条边都相等； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 注意： 若已知三边关系，一般选用①；若已知三角关系，一般选用②；若已知该三角形是等腰三角形，则选用③． 知识点15 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 符号语言： 在中， ∵，， ∴． 注意： ①该性质是含有角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用； ②这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系； ③该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切； ④在有些题目中，若给出的角是角时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将的角转化为的角后，再利用这个性质解决问题． 题型01 轴对称图形的相关概念 【典例1】下列交通标志图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不是轴对称图形，故不符合题意； B．是轴对称图形，故符合题意； C．不是轴对称图形，故不符合题意； D．不是轴对称图形，故不符合题意． 【典例2】如图所示的都是某个汉字的一半，它们依次是________． 【答案】林、共、品、吉、来 【详解】解：第一个图形的一半，对称后组成“林”字； 第二个图形的一半，对称后组成“共”字； 第三个图形的一半，对称后组成“品”字； 第四个图形的一半，对称后组成“吉”字； 第五个图形的一半，对称后组成“来”字． 【变式1】下列图形中为轴对称图形的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（3）（4） 【答案】B 【详解】由轴对称的定义可知：（1）（4）可找到一条竖直直线，沿直线对折后左右两部分完全重合，是轴对称图形；（2）（3）找不到对称轴，不是轴对称图形． 【变式2】观察如图所示的图形符号，找出他们蕴含的内在规律．根据发现的规律，横线上应填______． 【答案】 【详解】解：从图中可以发现所有的图形都是轴对称图形，而且图形从左到右分别是1-4的数字的轴对称， 即：右边都是原数字，左边是与原数字成轴对称的数字， ∴填上的图形：画一个轴对称图形且数字为4即可，即． 题型02 成轴对称的两个图形的识别 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图 B．若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴 C．所有直角三角形都不是轴对称图形 D．两个内角相等的三角形不是轴对称图形 【答案】A 【详解】解：A．成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图，正确，故本选项符合题意； B．若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴，说法错误，对称轴是直线而不是线段，故本选项不符合题意； C．所有直角三角形都不是轴对称图形，说法错误，等腰直角三角形是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．两个内角相等的三角形不是轴对称图形，说法错误，两个内角相等的三角形是等腰三角形，是轴对称图形，故本选项不符合题意． 【典例2】下列两个电子数字成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B．两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C．两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D．两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 【变式1】下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 【答案】①②④ 【详解】解：①②④中的图形沿着一条直线对折能够重合，因此成轴对称，③中的伞柄不对称， 综上，成轴对称的为①②④． 【变式2】经过轴对称变换后得到的图形与原图形相比：形状_______改变，大小_______改变（填“有”或“没有”）． 【答案】没有，没有 【详解】解：经过轴对称变换后得到的图形与原图形相比：形状没有改变，大小没有改变． 题型03 线段垂直平分线的性质的应用 【典例1】 如图，在中，点E是边上的点，垂直平分，若与的周长之差为10，则的长为（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵与的周长之差为10， ∴， ∴， ∴． 【典例2】 如图，在中，，，平分，交于点D，，交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接，则下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，故C不符合题意； 如图，过点E作于点H， ∴， 显然， ∵， ∴，故D符合题意． 【变式1】如图，在中，是的垂直平分线，连接，若的周长为，的周长为，则的长为________． 【答案】3 【详解】解：根据题意，得，，设， ∵的周长为，的周长为， ∴， ， ∴ 解得． 【变式2】 如图是一风筝的骨架图，是的垂直平分线，E为垂足．若，，则四边形的周长是________． 【答案】14 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴． 题型04 线段垂直平分线的判定的应用 【典例1】 如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 【答案】B 【详解】解：连接，交于点O， ∵，， ∴，， ∴B正确，A，C，D错误． 【典例2】如图，是的角平分线，，分别是，的高，连接，则下列结论错误的是（    ） A． B．垂直平分 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的角平分线，，分别是，的高， ∴，， A．在和中， ， ∴， ∴，故原选项结论正确，不符合题意； B．∵，， ∴垂直平分，故原选项结论正确，不符合题意； C．∵，，， ∴， 而题目没有给出， ∴不一定等于，故原选项错误，符合题意； D．由选项C知：，故原选项结论正确，不符合题意． 【变式1】 如图，四边形的对角线、相交于点O，，下列结论：①；②；③；④垂直平分，其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴，故①正确，符合题意； ∵四边形的对角线、相交于点O， ∴， 在和中， ， ∴，故③正确，符合题意； ∴，故②正确，符合题意； ∵与不一定相等， ∴不一定垂直平分， 故④不正确，不符合题意． 【变式2】 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为，，，_______． 【答案】1 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 题型05 原命题、逆命题、互逆定理 【典例1】下列命题中，真命题是（    ） A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．对顶角相等有逆定理 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．“如果，那么”的逆命题是“如果，那么” 【答案】A 【详解】解：真命题的逆命题不一定是真命题，例如，对顶角相等是真命题，其逆命题为相等的角是对顶角是假命题，故A是真命题； 对顶角相等的逆命题不成立，即没有逆定理，故B是假命题； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C是假命题； “如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，故D是假命题． 【典例2】命题：若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 【答案】若，则，假 【详解】解：原命题若，则中，条件为，结论为． 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则． 取反例，当，时，满足，但，说明逆命题不成立，因此逆命题是假命题． 【典例3】以下结论中：①命题一定有逆命题，②真命题一定是定理，③真命题的逆命题一定是真命题，④假命题的逆命题一定是假命题．正确的结论共有__________个． 【答案】1 【详解】解：因为逆命题是交换原命题的条件和结论得到的，每个命题都有条件和结论， 所以命题一定有逆命题，故①正确． 因为定理是经过证明的真命题，但真命题不一定经过证明（如未被证明的真命题）， 所以真命题不一定是定理，故②错误． 因为原命题“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题， 所以真命题的逆命题不一定是真命题，故③错误． 因为原命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”是假命题，其逆命题“如果两个角是对顶角，那么它们相等”是真命题， 所以假命题的逆命题不一定是假命题，故④错误． 综上，正确的结论有1个． 【变式1】下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】C 【详解】解：∵A的逆命题内错角相等，两直线平行为真命题， ∴A有逆定理，不符合题意； ∵B的逆命题对应边相等的三角形全等为真命题， ∴B有逆定理，不符合题意； ∵C的逆命题相等的角是对顶角为假命题， ∴C没有逆定理，符合题意； ∵D的逆命题两个锐角互余的三角形是直角三角形为真命题， ∴D有逆定理，不符合题意． 【变式2】下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（    ） A．全等三角形的对应角相等 B．若，则 C．直角三角形的两个锐角互余 D．若，则 【答案】C 【详解】解：选项A：原命题“全等三角形的对应角相等”是真命题，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，是假命题，不符合要求； 选项B：原命题“若，则”是真命题，逆命题为“若，则”，是假命题，例如，时但，不符合要求； 选项C：原命题“直角三角形的两个锐角互余”是真命题，逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，符合要求； 选项D：原命题“若，则”是假命题，时也可以是，不符合要求． 【变式3】命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是______，结论是______．该命题的逆命题是______，这个逆命题是______命题． 【答案】两个三角形周长相等，它们的面积相等．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等，假 【详解】解：命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是：两个三角形周长相等； 结论是：它们的面积相等； 该命题的逆命题是：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等； 这个逆命题是假命题． 题型06 尺规作图（作垂线及垂直平分线） 【典例1】已知，线段，线段，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图①，②，③所示（图②中O为外任一点），则不一定正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．①②③均正确 【答案】B 【详解】解：图①：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线，图中的尺规作图是标准的作角平分线的操作，得到的直线就是的对称轴，作图正确； 图②：线段的对称轴是的垂直平分线，正确的尺规作法需要分别以P、Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧分别相交，过两个交点的直线才是的垂直平分线。但图中O是外任意一点，作图过程没有保证得到的直线垂直平分，因此这条直线不一定是的对称轴，作图不一定正确； 图③：该尺规作图是标准的作线段垂直平分线的操作，得到的直线就是的对称轴，作图正确； 因此不一定正确的是②． 【典例2】 如图，在中，，．根据尺规作图的痕迹可知，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在直角三角形中，，， ∴， 由作图方法可得平分，， ∴，， ∴． 【典例3】尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）在已知的内部求作一点O，使得点O到三角形三个顶点的距离相等； （2）在已知边上求作一点D，使点D到的距离等于的长． 【答案】作图见解析 【详解】解：（1）如图，点O即为所求， （2）如图，点D即为所求， 作，交的延长线于E，作的平分线，交于点D， 则点D是求作的点． 【变式1】 如图，小红分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于点D；又分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于点E，连接，，若的面积为2，则的面积是_______． 【答案】8 【详解】解：根据作图可知：点D为的中点，点E为的中点， ∵点E为的中点， ∴， ∵点D为的中点， ∴． 【变式2】如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 【答案】 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由作图可知是的平分线， ∴， 由作图可知是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】解答以下问题 （1）尺规作图，在中，，作点C关于斜边的对称点D，连接，，．(保留作图痕迹，不写作法) （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）作图见解析；（2） 【详解】（1）如图所示：点D是点C关于斜边的对称点，，，为所求作线段． 证明：由作图可知：，， 故点A和点B都在的垂直平分线上，即垂直平分， ∴点D是点C关于斜边的对称点； （2）解：由作图可知：，， 又∵， ∴， ∴四边形的面积等于的面积的2倍， ∴四边形的面积为：． 题型07 画已知图形的轴对称图形 【典例1】如图，在正方形网格中找线段（E，F在格点上），使它与线段，组成轴对称图形，线段的位置有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：线段如图所示： ①② ∴线段的位置共有2个． 【典例2】如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形________．   【答案】见解析（答案不唯一） 【详解】根据轴对称图形的性质画出图形即可：    【典例3】在正方形网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． （1）作出的边上的高； （2）作出关于直线m对称的． 【答案】作图见解析 【详解】（1）解：如图所示即为所作． （2）解：如图所示即为所作． 【变式1】如图，点A，B，C都在格点上，请再找一个格点D，使点A，B，C，D组成一个轴对称图形，这样的格点D有______个． 【答案】4 【详解】解：由题意，满足题意的点D，如图所示： 满足题意的点D，共有4个． 【变式2】如图，已知与直线l，用数学工具作图． （1）画边上的高线； （2）作关于直线l的对称图形． 【答案】作图见解析 【详解】（1）如图，高线即为所求： （2）如图，即为所求， 题型08 关于坐标轴对称的点的坐标特征的应用 【典例1】 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________，点P关于y轴对称的点在第________象限，点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是________． 【答案】，四， 【详解】解：点P的坐标为， 关于x轴对称，对称点为； 关于y轴对称，对称点为． 由于横坐标，纵坐标，因此该点在第四象限． 关于直线对称：设对称点坐标为，根据对称性质，有，故对称点为． 【典例2】已知点A与点B关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 【答案】1 【详解】解：∵点与点B关于x轴对称 ∴点， ∵点与点C关于y轴对称 ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 【典例3】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； （2）写出，，三点的坐标：______，______，______； （3）平面内一点关于y轴对称的点的坐标为______，点关于x轴对称的点的坐标为______． 【答案】（1）作图见解析；（2），，；（3）， 【详解】解：（1）如图，即为所求； （2）解：由图可知，，，； （3）解：点关于y轴对称的点的坐标为；点关于x轴对称的点的坐标为． 【变式1】在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，且点在第三象限，则m的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴点的坐标为， ∵点在第三象限， ∴，解得． 【变式2】 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）①画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． ②画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． （2）点P为内部一点，若点P关于y轴对称的点的坐标为，则点P关于x轴对称的点的坐标为________． 【答案】（1）①作图见解析，点的坐标为；②作图见解析，点的坐标为；（2） 【详解】解：（1）①如图所示，即为所求； 由图象可知，点的坐标为． ②如图所示，即为所求； 由图象可知，点的坐标为． （2）解：由题意知，点P关于y轴对称的点的坐标为，且点P在内部， ∴点P的坐标为， 又∵点与点P关于x轴对称， ∴点的坐标为． 题型09 等腰三角形中的分类讨论问题 【典例1】已知等腰三角形的一个内角等于，则顶角等于___________． 【答案】或65 【详解】解：①当的内角为底角时， ∵等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为， ∴顶角的度数为； ②当的内角为顶角时，顶角的度数为； 综上，顶角等于或． 【典例2】等腰三角形的一边上的高与一腰的夹角是，则底角为_________． 【答案】或或 【详解】解：如图1，高为底边上的高时， ∵， ∴顶角， ∴； 高为腰上的高时，如图2，若三角形是锐角三角形， ∵， ∴顶角， ∴， 如图3，若三角形是钝角三角形，    ∵， ∴， ∴， 综上所述，底角的度数为或或． 【变式1】在中，，与相邻的外角为，则________；若等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角为________． 【答案】；或 【详解】解：在中，， ∴， ∵与相邻的外角为， ∴， ∵， ∴； 等腰三角形一个外角等于，分两种情况讨论： ①若该外角为顶角的邻补角，则顶角为， ②若该外角为底角的邻补角，则底角为，顶角为， 故答案为；或． 【变式2】如图，在中，，，点D在线段上运动(D不与B，C重合)，连接，作，交线段于E． （1）当时，_____；点D从B向C运动时，逐渐变_____(填“大”或“小”)； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由． 【答案】（1）10，小；（2）理由见解析；（3）可以，或 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴； ∴． 点D从B向C运动时，逐渐变小； （2）当时，， 理由：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， 即当时，． （3）当的度数为或时，的形状是等腰三角形， ∵时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的形状是等腰三角形； ∵当的度数为时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的形状是等腰三角形． 题型10 等腰三角形判定及性质的综合应用 【典例1】 如图，在中，以，为腰作等腰直角和等腰直角，其中，连接，为边上的高，延长交于点N．有下列结论： ①；②；③N为中点；④若为的中线（D，B，N三点共线），则．其中正确的有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵以，为腰作等腰直角和等腰直角，， ∴，， ∵为边上的高，延长交于点N， ∴，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； 同理，， 如图，作于G，的延长线于H， ∵ ，，， ∴， ∴，， 同理，，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴N为中点，③正确，故符合要求； ∴，②正确，故符合要求； 若为的中线， 则垂直平分， ∴， 又∵，， ∴， 由③可知，N为中点， ∴，故④正确，故符合要求． 【典例2】如图，点B在上，，，，连接． （1）求证：，； （2）过点A作，交的延长线于点M，若，求证：平分． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【变式1】如图，在中，，，M是边的中点，，交于点D，交于点E，则_______．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 如图，过点C作，交的延长线于点F， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵M是边的中点， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式2】 如图，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，若，延长交线段于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】 （1）证明：∵，，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴． （2）解：如图，在上截取，连接． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型11 含30°角的直角三角形性质的应用 【典例1】如图，在中，，．的垂直平分线交，于点D，E，的垂直平分线交，于点F，H．若，则的长度是（     ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接，， ∵中，，， ∴． ∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 在中， ∵，， ∴， ∴． 【典例2】 如图，在中，、分别是、边上的垂直平分线，、交于点O，连接、、，已知，，若，则的长为________． 【答案】6 【详解】解：∵、分别是、边上的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，在中，，，交的延长线于点D，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】 如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则的长为_____． 【答案】4 【详解】解：如图所示，过点P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型12 等边三角形的性质和判定的综合应用 【典例1】 如图，在等边三角形中，是边上的高，，则与相等的线段条数为（     ） A．2 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】解：在等边三角形中， ∵是边上的高， ∴，，， ∵， ∴， ∴，为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，， 综上所述，与相等的线段条数为7． 【典例2】 如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】①②③④ 【详解】∵是等边三角形，是中线， ∴平分；；故①②正确； ∵， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，故③④正确， 综上其中正确的是①②③④． 【变式1】已知：如图，点C为线段上一点，、是等边三角形．下列说法：①；②；③平分；④；⑤，正确的有几个？（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 即， ∵点C为线段上一点， 且， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴，故⑤正确； ∴，，， ∵，且， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故②正确； 过点C作于点P，于点Q，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴点C在的角平分线上， ∴平分，故③正确； 无法证明，故④错误； 综上，正确的是①②③⑤共4个． 【变式2】如图，已知，点C是内部的一点，且，点D、E分别是、上的动点，则周长的最小值等于_____． O 【答案】3 【详解】解：如图，作点C关于的对称点，作点C关于的对称点，连接交于点D，交于点E，连接，， O 由对称性可得，，，，，，， ∴周长，此时周长最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴周长的最小值为3． 题型13 轴对称综合应用 【典例1】如图，，，，在，上分别找一点M、N，当的周长最小时，的度数是______． 【答案】 【详解】解：如图，延长至点E，使得，延长至点F，使得，连接、、， ∵，， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴当E、M、N、F四点共线时，最小，即周长最小，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】已知点P在内． （1）如图①，点P关于射线的对称点是点G，点P关于射线的对称点是点H，连接，，． （Ⅰ）若，则________； （Ⅱ）若，连接，请说明当为多少度时，． （2）如图②，若，A，B分别是射线，上的任意一点，当的周长最小时，请直接写出的度数． 【答案】（1）（Ⅰ）；（Ⅱ）；（2） 【详解】（1）解：（Ⅰ）∵点P与点G关于射线对称，点P与点H关于射线对称， ∴，， ∴，， ∴； （Ⅱ）当时，，理由如下： 由轴对称的性质可得，， 同理（1）可得，当时，， ∴点G，O，H在同一直线上， ∴． （2）解：如图，分别作点P关于，的对称点，，连接，，，，交，于点A，B，连接，， ∴，，此时的周长最小，且等于的长， 由对称性可得，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 1．下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．该选项图形不是轴对称图形； B．该选项图形是轴对称图形； C．该选项图形不是轴对称图形； D．该选项图形不是轴对称图形． 2．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项不一定正确． 3．如图，下列尺规作图中，分别表示的中线、高线、角平分线的是（     ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 【答案】D 【详解】解：由作图过程可得：③中线段是的中线； ②中线段是的高线； ①中线段是的角平分线． 4．如图，在中，，，垂直平分，交于点D，点P为直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．14 B．16 C．18 D．12 【答案】A 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值是14． 5．如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．已知：如图，在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论： ①；②；③；④；⑤平分． 其中结论正确的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴和是等腰直角三角形，，故④正确， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，，故①正确， ∴，，故②正确， ∴，平分，故⑤正确， ∴，故③正确． 7．如图，在中，，，，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：设， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如图，中，平分，，若与互补，，，则的长为________． 【答案】10 【详解】解：延长交的延长线于点E， ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴ ∴，， ∵与互补， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．如图，在中，，，D是边的中点，过点D作于点E，若，则的长为______． 【答案】18 【详解】解：如图：连接， ∵在中，，，D是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．如图，在的正方形网格中，点A，B都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点C也在格点处，则点C所处的位置个数为_____． 【答案】6 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有6个． 11．如图，，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若，，则的周长最小值是______． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴要使的周长最小，即要使最小， ∴当B、D、G三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∵， ∴的周长最小值是． 12．已知，在中，，于点H． （1）求证：； （2）点D为外一点，，若平分，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（     ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：①根据等边三角形三线合一可以得：，，故①正确； ②∵垂直平分， ∴， ∵等边，等边， ∴，，， ∴；故②正确； ③∵， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的大小不会随着点D的移动而变化，③说法错误； ④连接并延长，作A点关于直线的对称点M，连接交直线于，可知，连接，，，    ∵， ∴点E在射线上移动； ∵A、M关于直线对称， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 周长最小，则最小； ∵直线为的垂直平分线， ∴， ， 在中，， 所以当E与重合时最小，即为的长， 此时，，故④说法错误； 故正确结论序号为①②． 2．在中，，，以为一边画等腰三角形，P在边上，则的度数为________． 【答案】或或 【详解】解：∵三角形为等腰三角形， ①当时，如图： ∵， ∴， ∴； ②当时，如图： ∵， ∴， ∴； ③当时，如图： ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 3．完成以下探究问题 （1）【基础巩固】如图1，在与中，，，，求证：； （2）【尝试应用】如图2，在与中，，，，B，D，E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点． ①求的大小； ②，求的面积； （3）【拓展提高】如图3，与中，，，，与交于点F，若，，的面积为18，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②；（3）的长为6 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ∴， ∵点F为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， ∵， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 即的长为6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称复习讲义 教学目标 1. 理解轴对称、轴对称图形、线段垂直平分线的概念； 2. 掌握成轴对称的两个图形的性质，能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形； 3. 掌握简单平面图形的轴对称性质； 4. 掌握线段垂直平分线的性质及判定； 5. 掌握尺规作图：做一条线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线； 6. 了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆命题； 7. 理解等腰三角形及等边三角形的概念； 8. 掌握等腰三角形的性质定理与判定定理，并能运用性质定理及判定定理解决问题； 9. 掌握等边三角形的性质定理与判定定理，并能运用性质定理及判定定理解决问题． 教学重难点 1. 重点 （1）简单平面图形的轴对称性质； （2）线段垂直平分线的性质及判定； （3）尺规作图：做一条线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线； （4）掌握等腰三角形及等边三角形的性质定理与判定定理． 2. 难点 （1）运用等腰三角形及等边三角形的性质定理与判定定理解决问题； （2）运用轴对称图形的性质解决问题． 知识点01 轴对称图形 1．轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 注意： ①对称轴是一条直线，而不是线段或射线． ②一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． ③轴对称图形是对于一个图形而言的，反映的是其自身的对称性，它被对称轴分成的两部分能够互相重合． 2．常见轴对称图形及其对称轴 名称 图形及其对称轴 对称轴的条数 对称轴 角 1 角平分线所在的直线 线段 1 过线段的中点与线段垂直的直线 等腰三角形 1 底边上的高（底边上的中线或顶角平分线）所在的直线 等边三角形 3 各边上的高（各边上的中线或各内角平分线）所在的直线 等腰梯形 1 过上、下底中点的直线 长方形 2 分别过两组对边中点的直线 正方形 4 ①对角线所在的直线； ②过对边中点的直线 正五边形 5 过顶点与对边中点的直线 正六边形 6 ①过相对的顶点的直线； ②过相对边中点的直线 圆 无数条 过圆心的直线 知识点02 轴对称 1．两个图形成轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称．这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2．轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区 别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量不同 只有一条对称轴 不一定只有一条对称轴 联系 ①沿对称轴折叠，两个图形重合； ②如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 ①沿对称轴折叠，图形的两部分重合； ②如果把轴对称图形的两部分当作两个图形，那么这两个图形成轴对称 知识点03 线段的垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2．线段垂直平分线性质及判定 类别 性质 判定 图示 内容 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 几何语言 ∵，于点C，点P在l上， ∴ ∵， ∴点P在线段的垂直平分线上 应用 证明线段相等 （1）确定点在线段的垂直平分线上； （2）确定某直线是线段的垂直平分线 3．线段垂直平分线的尺规作图 已知：线段． 求作：线段的垂直平分线． 作法：如图所示． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点． （2）作直线．就是所求作的直线． 知识点04 轴对称和轴对称图形的性质 1．两个图形成轴对称的性质 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 2．轴对称图形的性质 在轴对称图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 知识点05 对称轴的画法 1．画对称轴的步骤 （1）找：找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点； （2）连：连接这对对应点； （3）作：作出对应点所连线段的垂直平分线． 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 知识点06 原命题、逆命题、互逆命题 1．原命题与逆命题 两个命题的题设、结论正好相反．我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题． 2．互逆命题 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理． 注意： 每一个命题都有逆命题，而每一个定理不一定都有逆定理．因为一个真命题的逆命题不一定是真命题，所以说并不是每一个定理都有逆定理． 知识点07 用尺规过直线外一点作已知直线的垂线 已知：直线l和l外一点P． 求作：l的垂线，使它经过点P． 作法：如下表． 作法 图形 ①以点P为圆心，以适当长为半径作弧，交直线l于点A和点B ②分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F ③作直线，直线就是所要求作的直线 知识点08 画轴对称的图形 几何图形都可以看作由点组成，对于一些规则的几何图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，按原图形的顺序依次连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形． 1．画轴对称的图形的依据 连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分． 2．画轴对称的图形的步骤 （1）找——在原图形上找特殊点； （2）定——确定各个特殊点关于对称轴的对称点； （3）连——按原图形的顺序依次连接各对称点． 知识点09 平面直角坐标系中的轴对称 1．关于坐标轴对称的点的坐标特征 点关于x轴对称的点的坐标是； 点关于y轴对称的点的坐标是． 关于谁对称谁不变，即关于x轴对称，则横坐标x的值不变；关于y轴对称，则横坐标y的值不变． 2．在平面直角坐标系中画轴对称的图形的步骤 （1）计算——计算对称点的坐标； （2）描点——根据对称点的坐标描点； （3）连接——依次连接所描各点得到轴对称图形． 知识点10 等腰三角形的概念 1. 等腰三角形的概念： 有两边相等的三角形是等腰三角形． 2. 等腰三角形的相关概念： 在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，剩余的一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． 如图，在中，，是腰，是底边，是顶角，，是底角． 注意： ①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是，两边之和大于第三边等； ②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点，又是研究它的重要方法； ③对于等腰三角形问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和产生错误的地方； ④等腰三角形的顶角可以是直角、钝角、锐角，而底角只能是锐角． 知识点11 等腰三角形的性质 1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 应用模式： 在中， ∵， ∴． 注意： ①这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法．它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便； ②应用这个性质时，必须在一个三角形中． 2．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 应用模式：如图，在中， ①∵，平分， ∴，； ②∵，， ∴，； ③∵，， ∴，． 注意： ①应用“三线合一”性质的前提条件必须是等腰三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合，若是一腰上的高与中线就不一定重合； ②等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴． 知识点12 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法有两个： ①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形． ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 注意： “等角对等边”也是我们今后证明两条线段相等常用的方法． 知识点13 等边三角形的概念及其性质 1. 等边三角形的概念： 三边都相等的三角形是等边三角形．． 2．等边三角形的性质 ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于； ②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； ③等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 注意： ①等边三角形又叫正三角形； ②等边三角形任意一边上的中线、高和该边所对角的平分线都互相重合． 知识点14 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法有三种： ①定义法：三条边都相等； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 注意： 若已知三边关系，一般选用①；若已知三角关系，一般选用②；若已知该三角形是等腰三角形，则选用③． 知识点15 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 符号语言： 在中， ∵，， ∴． 注意： ①该性质是含有角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用； ②这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系； ③该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切； ④在有些题目中，若给出的角是角时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将的角转化为的角后，再利用这个性质解决问题． 题型01 轴对称图形的相关概念 【典例1】下列交通标志图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图所示的都是某个汉字的一半，它们依次是________． 【变式1】下列图形中为轴对称图形的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（3）（4） 【变式2】观察如图所示的图形符号，找出他们蕴含的内在规律．根据发现的规律，横线上应填______． 题型02 成轴对称的两个图形的识别 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图 B．若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴 C．所有直角三角形都不是轴对称图形 D．两个内角相等的三角形不是轴对称图形 【典例2】下列两个电子数字成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 【变式2】经过轴对称变换后得到的图形与原图形相比：形状_______改变，大小_______改变（填“有”或“没有”）． 题型03 线段垂直平分线的性质的应用 【典例1】 如图，在中，点E是边上的点，垂直平分，若与的周长之差为10，则的长为（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 【典例2】 如图，在中，，，平分，交于点D，，交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接，则下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，是的垂直平分线，连接，若的周长为，的周长为，则的长为________． 【变式2】 如图是一风筝的骨架图，是的垂直平分线，E为垂足．若，，则四边形的周长是________． 题型04 线段垂直平分线的判定的应用 【典例1】 如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 【典例2】如图，是的角平分线，，分别是，的高，连接，则下列结论错误的是（    ） A． B．垂直平分 C． D． 【变式1】 如图，四边形的对角线、相交于点O，，下列结论：①；②；③；④垂直平分，其中正确结论的序号是______． 【变式2】 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为，，，_______． 题型05 原命题、逆命题、互逆定理 【典例1】下列命题中，真命题是（    ） A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．对顶角相等有逆定理 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．“如果，那么”的逆命题是“如果，那么” 【典例2】命题：若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 【典例3】以下结论中：①命题一定有逆命题，②真命题一定是定理，③真命题的逆命题一定是真命题，④假命题的逆命题一定是假命题．正确的结论共有__________个． 【变式1】下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【变式2】下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（    ） A．全等三角形的对应角相等 B．若，则 C．直角三角形的两个锐角互余 D．若，则 【变式3】命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是______，结论是______．该命题的逆命题是______，这个逆命题是______命题． 题型06 尺规作图（作垂线及垂直平分线） 【典例1】已知，线段，线段，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图①，②，③所示（图②中O为外任一点），则不一定正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．①②③均正确 【典例2】 如图，在中，，．根据尺规作图的痕迹可知，的度数为（     ） A． B． C． D． 【典例3】尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）在已知的内部求作一点O，使得点O到三角形三个顶点的距离相等； （2）在已知边上求作一点D，使点D到的距离等于的长． 【变式1】 如图，小红分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于点D；又分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于点E，连接，，若的面积为2，则的面积是_______． 【变式2】如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 【变式3】解答以下问题 （1）尺规作图，在中，，作点C关于斜边的对称点D，连接，，．(保留作图痕迹，不写作法) （2）若，，求四边形的面积． 题型07 画已知图形的轴对称图形 【典例1】如图，在正方形网格中找线段（E，F在格点上），使它与线段，组成轴对称图形，线段的位置有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形________．   【典例3】在正方形网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． （1）作出的边上的高； （2）作出关于直线m对称的． 【变式1】如图，点A，B，C都在格点上，请再找一个格点D，使点A，B，C，D组成一个轴对称图形，这样的格点D有______个． 【变式2】如图，已知与直线l，用数学工具作图． （1）画边上的高线； （2）作关于直线l的对称图形． 题型08 关于坐标轴对称的点的坐标特征的应用 【典例1】 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________，点P关于y轴对称的点在第________象限，点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是________． 【典例2】已知点A与点B关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 【典例3】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； （2）写出，，三点的坐标：______，______，______； （3）平面内一点关于y轴对称的点的坐标为______，点关于x轴对称的点的坐标为______． 【变式1】在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，且点在第三象限，则m的取值范围是________． 【变式2】 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）①画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． ②画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． （2）点P为内部一点，若点P关于y轴对称的点的坐标为，则点P关于x轴对称的点的坐标为________． 题型09 等腰三角形中的分类讨论问题 【典例1】已知等腰三角形的一个内角等于，则顶角等于___________． 【典例2】等腰三角形的一边上的高与一腰的夹角是，则底角为_________． 【变式1】在中，，与相邻的外角为，则________；若等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角为________． 【变式2】如图，在中，，，点D在线段上运动(D不与B，C重合)，连接，作，交线段于E． （1）当时，_____；点D从B向C运动时，逐渐变_____(填“大”或“小”)； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由． 题型10 等腰三角形判定及性质的综合应用 【典例1】 如图，在中，以，为腰作等腰直角和等腰直角，其中，连接，为边上的高，延长交于点N．有下列结论： ①；②；③N为中点；④若为的中线（D，B，N三点共线），则．其中正确的有（     ）个． A． B． C． D． 【典例2】如图，点B在上，，，，连接． （1）求证：，； （2）过点A作，交的延长线于点M，若，求证：平分． 【变式1】如图，在中，，，M是边的中点，，交于点D，交于点E，则_______．（用含的代数式表示） 【变式2】 如图，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，若，延长交线段于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 题型11 含30°角的直角三角形性质的应用 【典例1】如图，在中，，．的垂直平分线交，于点D，E，的垂直平分线交，于点F，H．若，则的长度是（     ） A．3 B．2 C． D．4 【典例2】 如图，在中，、分别是、边上的垂直平分线，、交于点O，连接、、，已知，，若，则的长为________． 【变式1】如图，在中，，，交的延长线于点D，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】 如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则的长为_____． 题型12 等边三角形的性质和判定的综合应用 【典例1】 如图，在等边三角形中，是边上的高，，则与相等的线段条数为（     ） A．2 B．5 C．7 D．9 【典例2】 如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 【变式1】已知：如图，点C为线段上一点，、是等边三角形．下列说法：①；②；③平分；④；⑤，正确的有几个？（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】如图，已知，点C是内部的一点，且，点D、E分别是、上的动点，则周长的最小值等于_____． O 题型13 轴对称综合应用 【典例1】如图，，，，在，上分别找一点M、N，当的周长最小时，的度数是______． 【变式1】已知点P在内． （1）如图①，点P关于射线的对称点是点G，点P关于射线的对称点是点H，连接，，． （Ⅰ）若，则________； （Ⅱ）若，连接，请说明当为多少度时，． （2）如图②，若，A，B分别是射线，上的任意一点，当的周长最小时，请直接写出的度数． 1．下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，下列尺规作图中，分别表示的中线、高线、角平分线的是（     ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 4．如图，在中，，，垂直平分，交于点D，点P为直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．14 B．16 C．18 D．12 5．如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．已知：如图，在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论： ①；②；③；④；⑤平分． 其中结论正确的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．如图，在中，，，，则的度数为______． 8．如图，中，平分，，若与互补，，，则的长为________． 9．如图，在中，，，D是边的中点，过点D作于点E，若，则的长为______． 10．如图，在的正方形网格中，点A，B都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点C也在格点处，则点C所处的位置个数为_____． 11．如图，，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若，，则的周长最小值是______． 12．已知，在中，，于点H． （1）求证：； （2）点D为外一点，，若平分，求证：． 1．如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（     ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 2．在中，，，以为一边画等腰三角形，P在边上，则的度数为________． 3．完成以下探究问题 （1）【基础巩固】如图1，在与中，，，，求证：； （2）【尝试应用】如图2，在与中，，，，B，D，E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点． ①求的大小； ②，求的面积； （3）【拓展提高】如图3，与中，，，，与交于点F，若，，的面积为18，直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 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