第十五章 轴对称（4核心+9题型+5难点+复习讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学讲义通过表格对比、要点速测等工具系统梳理轴对称知识体系，涵盖轴对称图形、线段垂直平分线、等腰三角形及等边三角形的定义、性质与判定，清晰呈现“性质应用-判定推理-综合解题”的逻辑脉络，突出轴对称性质、等腰三角形分类讨论等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的轴对称图形识别到综合的手拉手模型探究，配合“解题要点”指导如“线段等距转化”“分类讨论”，培养几何直观与推理意识。迁移练习和难点精练满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

第十五章 轴对称 复习要点 1. 理解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，能区分它们是对“一个图形”还是“两个图形”的描述。 2. 掌握轴对称的性质：对称轴是对应点所连线段的垂直平分线，对应线段相等、对应角相等，并能据此进行简单推理。 3. 理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与判定定理，能区分二者条件和结论的互逆关系。 4. 掌握点关于坐标轴对称的坐标规律，能区分关于x轴与y轴对称时横纵坐标变化的不同。 5. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定，能区分“等边对等角”与“等角对等边”的应用场景。 复习重难点 重点：轴对称的性质，线段垂直平分线的性质与判定，以及等腰三角形、等边三角形的性质与判定。 难点：灵活运用轴对称知识解决几何综合问题（如含30°角的直角三角形、最短路径），进行等腰三角形有关角度与边长的分类讨论。 知识点 轴对称图形 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3．轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 4．轴对称变换 一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 【注意】 （1）成轴对称的两个图形中，任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的． （2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的． 5．画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 要点速测 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，故是轴对称图形，符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，，，故A，C正确； ∴，故B正确； 根据已知条件无法得到，故D不一定正确． 知识点 线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 要点速测 3．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长，再由面积公式可求解． 【详解】解：连接，， 垂直平分， ， ， 当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长， 此时， ． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 知识点 等腰三角形 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 要点速测 5．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，，点、、分别是边、边、边上的动点，连接、、，使，若是等腰三角形，那么的度数为____________． 【答案】或或． 【分析】分三种情况：当时，再根据等边对等角得，进而求出，然后根据，可得；当时，当时，仿照上述解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 分三种情况：当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 所以的度数为或或． 6．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，点是的边的中点，且恰好在的平分线上，，，垂足分别为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分，，， ， 是的中点， ， ，， ， 在和中 ， ， ， 是等腰三角形． (2)9 【分析】（1）先利用角平分线性质得到垂线段，结合中点推出，证明两个直角三角形全等，得到，再依据等角对等边证出，从而证明是等腰三角形． （2）在中根据30°直角三角形性质求出长度并算出，结合第一问等腰结论判定为等边三角形，得到总长，最后用线段和差算出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，， ， ， 由（1）得，又， 是等边三角形， ， 为中点， ，即， ， ． 知识点 等边三角形 1．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 2．等边三角形的判定 （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 3．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 要点速测 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为2，，则线段的长为________． 【答案】 或 【分析】点在直线上，需分两种情况讨论，分别是点在线段的延长线和点在线段的延长线，过点作的垂线，利用等腰三角形三线合一，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质计算的长度． 【详解】解：当在线段的延长线上，在线段的延长线上时， 过作，垂足为点，则， ， 为的中点，即， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 则； 当在线段的延长线上，在线段的延长线上时， 过作，垂足为点，则， ， 为的中点，即， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 则， 综上，的值为或． 8．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（1）可证得是等边三角形，由，得到，，即可证得是等边三角形； （2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型1 轴对称图形的识别 ▌例1 （25-26七年级下·广东茂名·期末）中华文化博大精深，许多传统图案蕴含着对称之美．下列四幅剪纸图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、它是轴对称图形，故本选项符合题意； B、它不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、它不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、它不是轴对称图形，故本选项不合题意． 解题要点 1. 找对称轴法：沿某条直线对折，若直线两旁部分能完全重合，则该图形为轴对称图形。解题时尝试从不同方向画直线，寻找是否存在至少一条对称轴。 2. 排除与验证：常见图形如等腰三角形（1条）、等边三角形（3条）、正方形（4条）、圆（无数条）均为轴对称图形。对于组合图形，需验证整体对折后是否完全重合，不能只看局部。 ▌迁移练1-1（2026·湖南长沙·中考真题）“说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． ▌迁移练1-2（25-26七年级下·辽宁朝阳·期末）体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A.该图形是轴对称图形，符合题意； B. 该图形不是轴对称图形，不符合题意； C. 该图形不是轴对称图形，不符合题意； D. 该图形不是轴对称图形，不符合题意． ▌迁移练1-3（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）下面分别是某网站中特色农产品及食品加工、新材料、绿色环保以及生物制药的图案，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，符合题意． 题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断或求解 ▌例2 （25-26七年级下·山东济南·期末）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称的两个图形全等，对应点的连线被对称轴垂直平分，逐一判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，对应点的连线被对称轴垂直平分， ∴，，，故选项A，C，D正确； 与不一定平行，故选项B不正确． 解题要点 1. 对称轴为垂直平分线：成轴对称的两个图形中，对称轴垂直平分对应点所连线段。据此可求对称轴方程或验证两点是否关于某直线对称，对应点到对称轴距离相等。 2. 对应元素相等：轴对称图形中，对应边相等、对应角相等。利用此性质可将未知边、角转化为已知量，或判定线段相等、角相等，结合全等三角形进行综合求解。注意对应关系要准确。 ▌迁移练2-1（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，与关于直线l对称，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．直线l垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据轴对称的性质，逐一判断即可解答求解． 【详解】解：A、与关于直线l对称，，选项A正确，不符合题意； B、，，选项B正确，不符合题意； C、和关于直线对称，，不一定等于，选项C错误，符合题意； D、和△关于直线对称，垂直平分，选项D正确，不符合题意． 故选：C． ▌迁移练2-2（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．直线和直线的交点不一定在上 B． C．与面积相等 D．垂直平分， 【答案】A 【分析】本题考查成轴对称的性质，根据成轴对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任一点， ∴，与面积相等，垂直平分，， 故选项B，C，D均正确，不符合题意； 直线和直线关于直线对称，故两条直线的交点一定在上；故A错误，符合题意； 故选A． ▌迁移练2-3（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，中，，，点是上任意一点，点和点分别是点关于和的对称点，连接和，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用轴对称的性质，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵点和点分别是点关于和的对称点， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 题型3 利用垂直平分线的性质求解 ▌例3 （25-26七年级下·广东深圳·期末）如图是一风筝的骨架图，是的垂直平分线，为垂足．若，，则四边形的周长是________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴． 解题要点 1. 线段等距转化：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。遇垂直平分线时，常连接该点与线段端点，构造等腰三角形，将未知边长转化为已知边。 2. 与角度结合计算：利用垂直平分线可得垂直和中点，结合等腰三角形“三线合一”性质，可推角度相等。常与三角形内角和或外角定理联立求角度。注意区分垂直平分线与角平分线性质的不同。 ▌迁移练3-1（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】连接，由垂直平分线的性质得，推出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，P，C三点共线时，取得最小值，即的长度， ∵， ∴的最小值是． ▌迁移练3-2（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，为中点，，，交于，，，则的长为________ 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 连接、，过点E作交的延长线于点G，易证明是线段的垂直平分线，则，再证明是的平分线，根据角平分线的性质定理得到，利用“”的判定方法证明、，进而得到、，设、，利用和长列出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接、，过点E作交的延长线于点G， 为中点，， 是线段的垂直平分线， ， 、， ， 是的平分线， 、， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设、， 、， ， 解得：， ． ▌迁移练3-3（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，中，边的垂直平分线与的外角的角平分线交于点E，过点E作，垂足为H，则____． 【答案】 【分析】过点E作的垂线，垂足记为F，因为是的角平分线，根据角平分线的性质，所以可推出，且可证明，得到．因为是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，所以，结合已得的，可证明，得到．设的长度为x，用含x的式子分别表示和的长度，结合建立方程，求解得到的长度． 【详解】连接、，过作于． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵平分，，， ∴，且 在和中：， ∴， ∴． 在和中：， ∴， ∴． 设，则，是的延长线， ∴； 又， ∴， 解得， 即． 题型4 垂直平分线性质与判定的综合问题 ▌例4 （25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 解题要点 1. 性质求值与判定证线：已知垂直平分线时，用性质“到线段两端距离相等”求边长或转化条件；未知垂直平分线时，用判定“到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上”来证明某线是垂直平分线。 2. 结合等腰三角形：利用垂直平分线可得垂直和中点，常结合等腰三角形“三线合一”进行边角互推。注意证明垂直平分线需同时证明垂直和平分两个条件，或证两点都在该直线上。 ▌迁移练4-1（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和定理与角平分线的定义求解即可． （2）证明，，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ． （2）证明：平分，，， ， ， ， ， 垂直平分． ▌迁移练4-2（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）略 ▌迁移练4-3（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，点、分别是边、上一点，连接、、．过点作于点，已知平分、，． (1)若，求的长度； (2)求证：点在的垂直平分线上． 【答案】(1) (2) 证明：连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【分析】（1）证明，可得，即可求解； （2）连接，由（1）知，，易得，根据，求出，再根据，，推出，进而得到，结合，证明，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 题型5 利用等腰三角形的性质求解 ▌例5 （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，若，则的长为________． 【答案】6 【分析】由等角对等边得，根据等腰三角形三线合一得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 解题要点 1. 等边对等角求角度：由等腰三角形得两腰相等，则底角相等。已知顶角可求底角，或已知底角可求顶角，常结合三角形内角和定理或外角性质建立方程。 2. 三线合一求线段：底边上的中线、高线与顶角平分线三线合一。遇等腰常作底边中线或高，利用勾股定理求边长，或利用角平分线推角相等。注意分类讨论（腰与底边不确定时）。 ▌迁移练5-1（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，在中，，，边上的高为，则的度数为________． 【答案】/20度 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，根据三角形高的定义求出的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵边上的高为， ∴，即， ∵， ∴ ． ▌迁移练5-2（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，，，面积是10，的垂直平分线交于点，交于点，点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】7 【分析】连接，，由垂直平分线的性质可得，当、、三点共线时，周长最小为的长． 【详解】解：连接，， 是线段的垂直平分线，点在线段上， ， 周长， 当、、三点共线时，周长最小， 为边的中点，，， ，， ， ， 周长， 周长的最小值为7． ▌迁移练5-3（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，连接，点是边上一点，连接交于点．已知，，．那么的周长应该为___________． 【答案】 【分析】根据可得，结合已知即可证明是等腰三角形，，由此即可得出的周长. 【详解】解：如图： ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ， ∴的周长为. 题型6 利用等边三角形的性质求解 ▌例6 （25-26八年级下·内蒙古包头·期末）如图，，，，延长交于F，若，则________． 【答案】 【分析】由，得到是等边三角形，由等边三角形的性质和，推出，再由，推出，从而求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 解题要点 1. 边角固定求值：等边三角形三边相等、三角均为60°。已知一边可求周长、面积，或利用60°角结合三角函数、勾股定理求高、外接圆半径等。 2. 三线合一构直角：等边三角形每条边上的中线、高线与对应角平分线三线合一。求线段长时常作高构造含30°的直角三角形，利用30°角所对直角边为斜边一半的性质快速求解。注意分类讨论存在性。 ▌迁移练6-1（2026·四川成都·三模）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则长________． 【答案】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数，由作图痕迹得出，进而判定为等边三角形，即可得出的长． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，， 是等边三角形， ． ▌迁移练6-2（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】首先根据、，可证是等边三角形，再证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：∵、， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ▌迁移练6-3（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________． 【答案】/88度 【分析】先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 题型7 含30°的直角三角形性质的应用 ▌例7 （26-27八年级上·全国·开学考试）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【答案】3 【分析】过P作于点D，则，从而得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的“三线合一”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴． 解题要点 1. 边角互推求边长：含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。已知斜边可求对边，或已知对边可求斜边，结合勾股定理求第三边。 2. 与等边三角形结合：该性质常由等边三角形（或等腰三角形）作高得到。解题时需识别或构造30°角，常用在折叠、垂直平分线、三角函数问题中，注意60°的余角也隐含30°角。 ▌迁移练7-1（25-26八年级上·河北·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，，则的长度为______m． 【答案】8 【分析】利用等边对等角得出，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：，， ， ， 在中，， ， ． ▌迁移练7-2（25-26七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则_____________． 【答案】15 【分析】根据基本作图，得到，继而得到，根据直角三角形的性质，三角形面积性质求解即可； 【详解】解：在中，，， ， 根据基本作图，得到， ， ，， ， ， ， ； ▌迁移练7-3（2026·四川攀枝花·中考真题）在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】先根据中线定义求出长度，再过作构造含角的直角三角形，利用直角三角形性质求高，最后用三角形面积公式计算面积。 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， 过点作于， ∴， ∵，， ∴， ∴ 题型8 等腰三角形性质和判定的综合问题 ▌例8 （25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形得，结合，推出；再由对顶角相等，得，根据“等角对等边”得，从而证明结论． （2）过作，由（1）的结论，用“等腰三角形三线合一”得；再由及，推得；最后用证明，得，等量代换得结论． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ，， ． ， ， ， 是等腰三角形． （2）证明：如图，过点作于点． ， ． ，，， ， ． ，， ， ， ． 解题要点 1. 性质转化与分类讨论：已知等腰时，利用等边对等角、三线合一求角度或线段。注意腰与底边未定时需分类讨论，并检验三边能否构成三角形（两边之和大于第三边）。 2. 判定条件与图形构造：证等腰常用“等角对等边”或“两边相等”。常结合角平分线、平行线（产生等角）或垂直平分线（产生等距）构造等腰条件，综合运用性质与判定实现边角互推。 ▌迁移练8-1（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，中，，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点． (1)求证：为等腰三角形． (2)若E为的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由三线合一定理可得，再由同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行可证明，根据平行线的性质得出，，根据等腰三角形的判定即可得出结论； （2）过点A作，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，为边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）证明：过点A作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ▌迁移练8-2（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知中，，点P是上的一点，过点P作于点H． (1)如图1，___________ ．（用含α的式子表示） (2)如图2，是边上的高，点P为的角平分线与的交点，交于点Q． ①求证：； ②连接，求的度数． 【答案】(1)α (2) ①证明：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵点P为的角平分线与的交点，交于点Q， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ② 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再根据直角三角形的性质即可求解； （2）①根据三角形内角和定理推出，利用角的和差得到，根据角平分线的定义得到，得到，推出是等腰直角三角形，即可证明； ②在上截取，连接，先证明，得到，进而证出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵点P是上的一点，于点H， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：①略 ②如图2，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ▌迁移练8-3（25-26七年级上·山东威海·期末）在中，平分，，垂足为E，，垂足为F，，垂足为H，直线交于点G． (1)如图Ⅰ，若是锐角三角形： ①求证：是等腰三角形； ②探究线段间的数量关系，并写明理由； (2)如图Ⅱ，若是钝角三角形（为钝角）： ③将图形补画完整； ④线段间的数量关系会怎样？写出结论及理由． 【答案】(1) ①证明：过点G作，垂足为K． ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②；理由如下： ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) ③补图如下： ④，理由如下： 作交的延长线于点K． 同理可得：， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）①过点G作，垂足为K，利用角平分线的性质求得，再利用证明，推出，，得到，求得，据此即可证明结论成立； ②证明，，据此求解即可； （2）③根据题意补全图形即可；④同①和②的方法即可得解． 【详解】（1）①略 ②略 （2）③略 ④略 题型9 等边三角形性质和判定的综合问题 ▌例9 （25-26九年级下·北京·开学考试）如图，在四边形中，，，，．作的平分线，与的延长线交于点E，延长至点F，使得，延长，交于点G． (1)证明：为等边三角形； (2)判断与的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：解：在上取一点，使，连接，设，则，， ∵，， ∴由四边形内角和可得， ∴， ∵的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； (2) ，证明如下： ∵为等边三角形， ∴，， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质； （1）在上取一点，使，连接，设，则，，，再证明，得到，，即可得到，，再结合得到，，则，，即可根据证明为等边三角形； （2）由等边三角形得到，再证明，得到，证明，得到，根据，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 解题要点 1. 性质求值与转化：等边三角形三边相等、三角均为60°。利用三线合一构含30°直角三角形求边长；遇60°角常联想构造等边，结合旋转或全等进行边角代换。 2. 判定条件与证法：证等边可用三边相等、三角相等或有一个角是60°的等腰三角形。解题时优先找60°角或等腰条件，转化为判定依据。注意辅助线构造。 ▌迁移练9-1（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，是线段上一点，分别以、为边在同侧画等边和等边，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) 证明：和为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ； (2) 证明：连接， 由（1）知，   ， ，， 在和中 ， ， ， 是等边三角形． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定． (1)根据等边三角形的性质可以得到，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证； (2)根据可知，利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可证结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 ▌迁移练9-2（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，为等边三角形，点在边上，过点作，且． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)为等边三角形， 理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是等边三角形，得，，又，得，所以，然后通过“”证明即可； （）由，所以，，则，从而证明为等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 ▌迁移练9-3（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若，，求证：是等腰三角形； (2)以为边，在下方作等边三角形，连接． ①如图2，若，探究线段，，的数量关系，并说明理由； ②如图3，若，，求线段的取值范围． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； (2) ①，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②． 【分析】（1）由题意易证，利用三角形内角和定理即可求出，进而求出，再利用三角形外角的性质即可求出，得到，即可证明； （2）①先证明是等边三角形，易得，再证明，推出，即可得出结论；②过点作垂足分别为，证明，利用直角三角形的性质求出，进而得到，易证是的垂直平分线，得到，进而得到，由点与点重合时，有最小值，点与点重合时，有最大值，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②过点作垂足分别为， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点与点重合时，有最小值，点与点重合时，有最大值， ∴线段的取值范围为． 难点一 与等腰（等边）三角形有关的多解题 难点1：腰与底的模糊性分类 题目若只给出两边或两角相等，未指明腰或顶角，需按“谁为腰、谁为底”或“谁为顶角、谁为底角”分类讨论。难点在于穷举所有可能，并利用三角形内角和或三边关系排除不合理解，极易遗漏或重复情形。 难点2：等边三角形中的特殊多解 等边三角形具备高度对称性，当引入动点、垂直或分点等条件时，多条路径满足同一描述。难点在于结合旋转对称性分析点线位置关系，避免因对称造成的概念混淆而导致解集不完整。 难点精练 1．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，点是边上靠近点的三等分点，点是边上一个动点（不和B，C重合），将沿折叠得．当的一边与平行时，的度数为________． 【答案】或 【分析】由，可求得，分、、三种情况讨论，分别画出图形并运用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠得， ∴，． 分三种情况讨论： ①如图：当时， ∴， ∵， ∴，即， 在中，； ②如图：当时，； ③如图：当时，此时点F也在上，不能组成，不符合题意． 综上，当的一边与平行时，的度数为或． 2．（25-26七年级下·河南·期末）如图，在中，，点D在线段上，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接，当为以为腰的等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质．令，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用表示出三个内角的度数，再对等腰进行分类讨论即可． 【详解】解：，， ． 令， 和关于直线对称， ，， ． ，且平分， ． ，， ． 同理可得，， ． 当时，，即， ； 当时，． 综上所述，的度数为或． 3．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，将两个全等的等腰三角形和的顶角顶点重合，且．点、分别在的两侧，与交于点，分别与、交于点、．当为等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或 【分析】先得出，，再分三种情况：①，②和③，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在两个全等的等腰三角形和中，， ∴，， ①如图1，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴； ③如图3，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴，此时与重合，不符合题意，舍去； 综上，的度数为或． 难点二 与等腰（等边）三角形有关的多结论题 难点1：三线合一的条件触发 等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高线互相重合。多结论题中，学生易混淆“给一个条件推出另两个”与“需三个条件同时具备”的关系，判断时若忽视前提条件则误判。 难点2：等边三角形的对称派生 等边三角形具有三线合一、四心合一及旋转对称性，常派生多组等边、共线与共圆结论。难点在于理顺结论之间的推导层次，避免重复或跳跃。需兼顾多重对称性，确保每条结论均有独立的逻辑依据支撑。 难点精练 1．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的序号是__________． 【答案】①②③④ 【分析】作于M，于N，设交于O．证明，利用全等三角形的性质、角平分线的判定、等腰直角三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：如图，作于M，于N，设交于O． ∵， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴，，故①正确， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， 故④正确； 即正确的有①②③④． 2．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上，连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】过点作于点，证明，得出，说明，判断③正确；根据，得出，证明，判断①正确；证明，得出，判断④正确；证明，根据，得出，判断②正确． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ，， ，，， ， ， ， ， ， ，故③正确； 为边上的高， ， ， ， ， ， ，故①正确； 在和中， ， ， ，故④正确； ，， ， 平分， ， ，故②正确； 综上分析可知，①②③④正确． 3．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在直线AB的同一侧作和，和都是等边三角形，连接、交于点H，下列选项正确的序号是______． ①；②；③；④连接，则平分； 【答案】①②④ 【分析】根据和都是等边三角形，得出，可判断①②，根据和边上的高相等，可判断④． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故①正确； ， ， 又， ， 即，故②正确； 没有理由能证明，故③错误； ， 和边上的高相等，即点B到和边的距离相等， 平分，故④正确； 综上可知，正确的结论是①②④． 难点三 等腰（等边）三角形中的动点问题 难点1：位置变化引起的分类讨论 动点在边、延长线或外部运动时，等腰条件（如两腰相等、顶角固定）对应的线段表达式需分段表示。难点在于根据运动阶段准确分类，并确保每一情形下图形仍保持等腰结构，避免表达式错配。 难点2：等边三角形中的旋转联动 等边三角形内动点常伴随旋转全等或路径问题。难点在于结合60°旋转对称性，将动态条件转化为静态全等关系，同时追踪动点轨迹的临界位置，若忽略对称性则易错失特殊解法。 难点精练 1．（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图，在中，已知直线动点从点开始以每秒的速度运动到点，动点也同时从点开始沿射线方向以每秒的速度运动． (1)问动点运动多少秒时，并说明理由； (2)设动点运动时间为秒，请用含的代数式来表示的面积； (3)动点运动多少秒时，与的面积比为． 【答案】(1) 设动点运动秒时，． ， 是等腰直角三角形，． ， ， ， ． 动点的速度为，动点的速度为， ，，． 要使，需，即，解得． 验证：当时，，，且， ． 故动点运动2秒时，； (2) (3)动点运动秒时，与的面积比为 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形面积的计算及一元一次方程的应用，关键是结合动点运动速度表示线段长度，利用几何性质建立等量关系求解． （1）已知，结合等腰直角三角形性质可得，根据全等判定定理，只需，据此列方程求解运动时间； （2）先求出等腰直角三角形斜边上的高，再用含的式子表示的底边，利用三角形面积公式得出面积表达式； （3）先通过几何关系求出的面积表达式，再根据面积比为列方程求解运动时间． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于， 是等腰直角三角形，， ． ，， 的面积； （3）解：由（2）知， ， 的边上的高， 的面积． ， ，解得：． 答：动点运动秒时，与的面积比为． 2.（25-26八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ． ， 为等边三角形， ， ，即． ， ， ． 在和中， ， ； (2) (3)证明：过点作，交于， 是等边三角形，， ∴， ∴，即①． ②，③， 由①②③知，， ． ， ． (4)的长为或 【分析】（1） 利用等边与推出两个等边三角形，得到边、角相等，通过证； （2） 结合中点、等边、等腰三角形角度推导，证； （3） 作平行线构造小等边三角形，用证全等，推导出； （4） 分、两类讨论，结合等边边长与等腰性质计算长度． 【详解】（1）略 （2）解：为等边三角形，是中点， ， ， ． ， ． ． 为AC中点，， ． （3）略 （4）解：已知，为直角三角形，分情况讨论： ①当时，如图， 是的中线， ， 由（1）知，， ； ②当时，如图， ． ， ， 由（3）知，， ； 综上，的长为或． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1)①或；②不会发生变化， (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，一元一次方程动点问题，等腰三角形的判定，较为综合，根据题意分情况讨论是本题的关键． （1）①当是直角三角形时，分或时两种情况列方程，即可算出t的值；②根据证得，得到，根据三角形外角的性质得到，即可证明； （2）当是等腰三角形时，，然后即可证明，即可根据题意求出t的值． 【详解】（1）解：①∵等边的边长为3cm， ∴，， 根据题意得：，， ∵是直角三角形， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ， 解得． 当的值为1或2时，是直角三角形． ②不会发生变化，． 是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． ， ． 故不会发生变化，． （2）解：， 当是等腰三角形时，， ． ， ， ，即． ， ，解得． 故当的值为1时，是等腰三角形． 难点四 等腰（等边）三角形中共顶点手拉手模型 难点1：主动旋转全等三角形的判定 两个等腰（等边）三角形共顶点，且腰重合或夹角固定时，由边角边（SAS）可证明含公共顶点的一组三角形全等。难点在于找准两组对应边（即两腰）及它们的夹角，若顶点对应关系匹配错位，则全等模型无法成立。 难点2：全等派生结论的多元串联 手拉手全等可派生出第三边相等、对应角相等，进而推论共线、平行或夹角为定角。难点在于将多个派生结论按递进关系串联，并区分哪些是直接全等结论，哪些需结合外角或四点共圆二次推导，否则易逻辑混乱。 难点精练 1．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）根据题意解答下列问题． (1)【问题发现】如图1，和均为等边三角形，连接，，延长，交于点，则与之间的数量关系是_____，的度数是_____°； (2)【拓展探究】如图2，和均为等腰三角形，，，，点，，，在同一直线上，为的中线，连接，若，求的度数． 【答案】(1)，60 (2) 【分析】（1）根据“”，可得，即可得到，，再根据三角形外角的性质，可得，从而可得； （2）同（1）可得，，根据等量代换，得，再根据中线的定义，可得，从而，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，与相交于点， 和均为等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ， ； （2）解：如图，与相交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点，，，在同一直线上， ， ， ，， ， 为的中线， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， 则的度数为． 2．（25-26七年级下·广东茂名·期末）【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系． (1)求证： 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在与中， ， ， (2)． 证明：和为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， ∴， (3) 【分析】（1）先证明，进而证明 （2）证明，根据全等三角形的性质即可得证 （3）以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接，根据三角形的面积公式，求得，证明，得出则，证明，得出，即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：以为边向左上方作等边三角形，延长，交于点F，连接， 点M到的距离为1，的面积为3.6， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ，， 点M为的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ∴， ． 3．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）【思路梳理】 (1)等腰和等腰的位置如图1所示，分别连接、并延长交于点，，，． ①若，求的长； ②求的度数． 【问题解决】 (2)某种植基地内有一个形状为等腰的种植田（周围空地可利用），，米，现计划对该种植田进行扩建，在右侧找一点，连接、、，沿、、设置隔离栏（宽度忽略不计），在区域内种植土豆，，过点作于点，在上取一点，使得，连接，已知米，请你帮助该种植基地计算隔离栏的总长度（即的周长）． 【答案】(1)①；② (2)米 【分析】（1）①由得到，证明，即可得到； ②由等边对等角得到，由全等三角形的性质得到，从而根据三角形外角的性质与角的和差求出即可； （2）由垂直平分线的性质得到，因此，由，得到，从而根据三角形的内角和定理得到，即可证明，因此，从而可推出，进而可解答． 【详解】（1）解：①因为， 所以， 所以， ∵在和中， ， 所以， 所以． ②因为，， 所以， 因为， 所以， 因为 ， ． （2）解：因为，， 所以是线段的垂直平分线， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 即， 因为在和中， ∴， 所以， 因为米，， 所以米， 所以隔离栏的总长度为（米）． 难点五 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 难点1：新概念向等腰几何条件的等价转化 新定义常赋予“和谐点”“等距线”等非标准属性，需将其转化为“两边相等”或“特定角为60°”等常规条件。难点在于精准剥离去文字表象，结合等腰三角形分类（腰、底、顶角）建立可推导的几何约束。 难点2：新定义与对称性的兼容验证 探究结论时，需验证新定义在等腰或等边三角形的多种对称情形下是否恒成立。难点在于逆向推理时兼顾顶角与底角的角色互换，且分类讨论须穷举，否则易遗漏特殊位置下的成立条件。 难点精练 1．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”． (1)如图1，，，，请在图中画出“和谐分割线”，与一边交于点，则_________是等腰三角形，底角为______度． (2)如图2，在中，线段是的“和谐分割线”，若是等腰三角形，，求的度数． 【答案】(1)；； (2)的度数为或． 【分析】（1）作的平分线交于点，根据三角形内角和得到，可知的三个内角与的三个内角相等，根据可知是等腰三角形，则是“和谐分割线”； （2）分三种情况根据“和谐分割线”的定义计算即可． 【详解】（1）解：作的平分线交于点，图略； ，， ， ， 在中，， 的三个内角与的三个内角相等， ， ∴， 是等腰三角形， 是“和谐分割线”； （2）解：如图，分三种情况： ①当时，， ∵是的“和谐分割线”， ∴ ∴； ②当时， ∵， ∴， ∵是的“和谐分割线”， ∴， 则， ∴； ③当时，，则， 那么（舍去）， 故的度数为或． 2．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）【阅读材料】定义：如图1，在中，，等边在的左侧，连接，平分交于点F．则称等腰和互为“伴侣三角形”，称为“伴侣角”． (1)【解决问题】图2中，等边在的右侧，其它条件不变，若等腰和互为“伴侣三角形”，求“伴侣角”的度数； (2)【拓展延伸】在（1）的条件下，于点H，如图3，探究、，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2) ； 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质，得出，根据角平分线定义得出，根据三角形外角的性质得出； （2）根据等腰三角形的性质得出，，求出，根据直角三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 3．（25-26八年级下·河南郑州·期中）我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，那么我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要知识直接可得，这个知识是______(填序号)． ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并证明． (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，猜想、与的数量关系，并证明． 【答案】(1)③ (2)，理由如下： 如图2中，作交的延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) ， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，，, ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交的延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）略 （3）略 基础达标 一、单选题 1．（25-26七年级下·广东深圳·期末）交通标志是日常生活中常见的图形，许多标志设计蕴含对称之美．下列四个交通标志中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·山东枣庄·期末）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴在中，． 3．（25-26八年级下·山西晋中·期末）在中，，，垂直平分，垂足为点，交边于点，已知，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可知，根据等边对等角可知，根据三角形外角的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可知． 【详解】解：如下图所示，连接， 垂直平分， ， ， ， ， ． 4．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，点在线段上，以为边向上作，．以为底边作等腰，使，若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用可证明，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·山东泰安·期末）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点，点是上任一点，以为圆心，以同样长为半径画弧交于点，以为圆心，以长为半径画弧交前弧于点，作射线，然后以为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图步骤得到，，结合平行线判定及等腰三角形性质逐项判断即可 【详解】由作图过程可知，是作出的等于的角， ，故A选项结论正确； ， （同位角相等，两直线平行），故B选项结论正确； 由作图过程可知，， （等边对等角），故C选项结论正确； ， （两直线平行，内错角相等）， ， 即平分， ， 又， ，故D选项结论错误． 二、填空题 6．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，是的中线，，则的度数为_______． 【答案】/40度 【分析】根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴，即， ∵， ∴ 7．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，中，的垂直平分线分别交于点D、E，的垂直平分线分别交于点F、G，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，结合图形计算即可． 【详解】解：， ， 是的垂直平分线， ， ， 同理可得：， ， ， ． 8．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，，定点为内一点，在射线和上分别确定点，，使得的周长最小，则此时的度数为________． 【答案】 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接、交于，交于，的周长最小值等于的长，然后依据中，，即可得出结果． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接交于，交于，   ，，， 根据轴对称的性质可得，， 的周长的最小值， 由轴对称的性质可得， 中，， . 9．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，，为中点，点，分别是，上的动点，若的面积为12，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：，为中点， 垂直平分， ， 如图，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ， 即的最小值为． 10．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，已知，，点是射线上一动点（P与不重合），当以、、三点中某两点与点构成的三角形是等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论（1）是等腰三角形（2）是等腰三角形（3）是等腰三角形，在此基础上再分别讨论三角形三条边中哪两条边相等，留下符合题意的情况． 【详解】解：（1）是等腰三角形： （i）， 由外角性质可求得， ， 又点在射线上， 点与点重合，与题意不符故舍去； （ii），如图所示， ∴， 则； （iii），如图所示， ∴， 则； （2）是等腰三角形： 三点共线， 不可能构成三角形，故舍去； （3）是等腰三角形： ， 有角的等腰是等边三角形， ， ， 示意图如下： 综上所述，或或． 三、解答题 11．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，点D，E在边上，且． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， 在和中， ， ， ， ∴为等腰三角形； (2) 【分析】（1）先由等边对等角得到，再证明即可； （2）由等腰三角形的性质以及三角形的外角性质求出，然后由全等三角形的性质求出，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 12．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． ，，． 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， 是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据平行线的性质即可求出的度数； （2）根据垂线的性质得到，可知，进而得到，，，根据等边三角形的性质得到，证明，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， D是边的中点， ． ， ； （2）略． 13．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，过点分别作于点，于点，交于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，，且， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】（1）由角平分线的判定定理可得平分，再由角平分线的定义和平行线的性质可 证明，得到，则可证明是等腰三角形； （2）证明，得到，求出的度数，可得到，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 14．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，连接，是的中线，延长至点，连接，． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)解：，理由如下： 因为是的中线， 所以， 因为在和中， ， 所以， 所以， 因为是边的垂直平分线， 所以， 所以． (2) 【分析】（1）由三角形中线的定义得到，即可证明，得到，根据垂直平分线的性质得到，从而； （2）由垂直的定义得到，根据直角三角形两锐角互余求出，从而根据等边对等角得到，从而根据三角形外角的性质求出，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 由（1）知：， 所以， 所以， 因为， 所以． 15．（25-26八年级下·江西吉安·期末）如图，在等边中，，点在边上（点不与线段的端点重合），连接，过点作的垂线，交所在直线于点，并过点作的平行线，交于点． (1)当点在边上时，的取值范围是________； (2)当点在边上时，是否存在的情况？如果存在，求此时的度数，如果不存在，说明理由； (3)当点在的延长线上时，是否存在的情况，若存在，求的度数；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在， 【分析】（1）由题意，分析出的最小值与最大值情况即可得到答案； （2）设，根据平行性质、等边三角形性质及三角形内角和定理列式求解即可； （3）由等边三角形性质、平行线性质得到相关线段及角度关系，再由三角形全等的判定与性质得到，最后由等腰直角三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：当点在点时，有最小值，为； 当点在中点时，有最大值，如图所示： 最大值为， 综上所述，的取值范围是； （2）解：设， ， ，， 则， 在等边中，，则， ， ， 则，解得， 在中，，，则； （3）解：在等边中，，， ， ， ，，， 是等边三角形，即， 则， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形，则． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，是中点，点在的延长线上，过点作的垂线与的平分线交于点，与交于点，，垂足是．下列说法正确的是（     ） A． B．是的垂直平分线 C．当时， D． 【答案】D 【分析】过作延长线于，连接，，，根据角平分线的定义证得，证明得到，，再证明得到，，进而可判断选项D正确；假设是的垂直平分线，证明得到，则根据垂直平分线的判定可得点、、共线，这种情况不一定成立，故假设不成立，可判断选项B错误；假设，则，可证明得到，可得，与矛盾，可知选项C错误；现有的条件无法证明，可判断选项A错误，进而可得答案． 【详解】解：如图，过作延长线于，连接，，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵是中点，， ∴是的中垂线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，故选项D正确，符合题意； 对于选项B，假设是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上，即点、、共线， 由图知，这种情况不一定成立，故假设不成立，即选项B错误，不符合题意； 对于选项C，假设，则， ∴， ∵， ∴， ∴在中，这与矛盾，故选项C错误，不符合题意； 对于选项A，现有的条件无法证明，故选项A不符合题意． 2．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】只要证明，是等边三角形，垂直平分线段即可一一判断． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ，， 线段沿翻折，得到线段， ，，，故②正确， ，，故①，③正确， ，， ， ， 是等边三角形， ，故④正确， 综上所述，正确的个数有4个． 二、填空题 3．（25-26七年级下·贵州贵阳·期末）如图，，点是上一定点，点是上的一动点（不与重合），将沿翻折得到，直线与交于点，且点在点的右侧．若是等腰三角形，则的度数可以为____________． 【答案】或或 【分析】根据折叠的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，等边对等角，分4种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵折叠， ∴， 当是等腰三角形时，分4种情况： ①当点在下方，时，则， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在下方，时，则， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当点在下方，时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意，舍去； ④点在上方时，，则， ∴； 综上：的度数可以为或或. 4．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，已知C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作等腰和等腰，使，，．连接，交于点G，连接，分别交，于点F，H．下列结论： ①； ②若C是的中点，则； ③若，则； ④若，则． 正确的是________．（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】证明可得，据此可判断①；若C是的中点，则，则可证明，进而可证明得到，据此可判断②；若，则，可证明，进而可证明是等边三角形，得到，据此可判断③；若，则，可证明，据此可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即，故①正确； 若C是的中点，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； 若，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； 若，则， ∴， ∵，， ∴，故④错误． 综上所述，正确的有①②③． 三、解答题 5．（25-26七年级下·江西吉安·期末）综合与实践：在等边中，，点是直线上一动点（不与，重合），以为边在的右侧作等边，连接．探究图中与之间的数量关系． (1)特例研究：如图1，当点在线段上时， ①求证：； ②判断与有什么样的位置关系，并说明理由； (2)类比探究：在（1）的条件下，探究与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展延伸：当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 【答案】(1)①证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②；理由如下： 由①得：， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)； 证明如下：由（1）①得， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； (3)当点D在线段上时，；当点D在线段的延长线上时，；当点D在线段的反向延长线上时， 【分析】（1）①证明即可； ②；由①的证明得，从而，由平行线的判定即可得到； （2）；由（1）①得，结合等边三角形的性质及线段的和差关系即可证明； （3）分三种情况：点D在线段上；点D在线段的延长线上；点D在线段的反向延长线上；利用三角形全等的判定与性质即可求解． 【详解】（1）①证明：略； ② ；理由略； （2）解：；证明略； （3）解：当点D在线段上时； 由（2）知； 当点D在线段的延长线上时，如图2； ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点D在线段的反向延长线上时，如图3； 同理得， ∴， ∵， ∴； 综上，当点D在线段上时，；当点D在线段的延长线上时，；当点D在线段的反向延长线上时，． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【问题探究】 (1)与的位置如图所示，，，． ①与相等吗？为什么？ ②连接，若，，求的度数． 【问题解决】 (2)如图，某生态公园内有一块形状为四边形的池塘（周围空地可利用），点、分别在、边上，、、为池塘上方的廊桥，为方便游客，该公园计划建造游客观景区，延长至点，连接、，将规划为游客观景区，已知点在的垂直平分线上，，，，请你求出、，之间的数量关系，并说明理由．（廊桥的宽度忽略不计） 【答案】(1)①，理由如下：                                在和中， ， ，                                      ．     (2)，理由如下：                       点在的垂直平分线上， ， ，， ，                                               在和中， ， ，                                         ，，， ， ， ， ， ，                                           在和中， ， ，                                    ， ． 【分析】（1）①证明即可解答； ②根据等腰三角形的判定和性质即可解答； （2）先证明，可得，，，再证明，即可解答． 【详解】（1）略； ②解：，， ， ， ，                          ． （2）略 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十五章轴对称 复习目标 1.理解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，能区分它们是对“一个图形”还是“两 个图形”的描述。 2.掌握轴对称的性质：对称轴是对应点所连线段的垂直平分线，对应线段相等、对应角 相等，并能据此进行简单推理。 复习要点 3.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与判定定理，能区分二者条件和结论的 互逆关系。 4.掌握点关于坐标轴对称的坐标规律，能区分关于x轴与y轴对称时横纵坐标变化的不 同。 5.掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定，能区分“等边对等角”与“等角对等 边”的应用场景。 重点：轴对称的性质，线段垂直平分线的性质与判定，以及等腰三角形、等边三角形的 性质与判定。 复习重难点 难点：灵活运用轴对称知识解决几何综合问题（如含30°角的直角三角形、最短路径）， 进行等腰三角形有关角度与边长的分类讨论。 理脉络 知识体系构建 1/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 轴对称定义 对应点连线被对称轴垂直平分 轴对称性质 对应线段相等 对应角相等 定义 垂直平分线 性质 知识梳理 判定 性质 等腰三角形 判定 性质 等边三角形一 判定 轴对称 最短路径问题 轴对称与中心对称混淆 对称轴概念遗漏 易错点 垂直平分线性质误用 等腰三角形判定条件遗漏 学法指导 轴对称性质证明 垂直平分线应用 高频考点 等腰三角形性质与判定 最短路径作图 过主干 核心内容整合 知识点 轴对称图形 1.轴对称图形 (1)定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称 图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称， (2)判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合， 若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形. 【注意】 (1)对称轴是一条直线，而不是射线或线段 (2)一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条 (3)轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形 2.轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成 轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 轴对称 轴对称图形 关系 2/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 个图形 对称轴的 可能在两个图形的外部，也可能经过两个 区别 一定经过这个图形 位置不同 图形的内部或它们的公共边（点） 对称轴的 数量 只有一条 有一条或多条 联系 (1)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 (2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3.轴对称和轴对称图形的性质 (1)两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线。 (2)轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 (③)轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角 (对折后重合的角)相等. (4)成轴对称的两个图形全等：轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是 轴对称图形. 4.轴对称变换 一个图形与其关于直线1对称后的图形之间的关系 (1)由一个平面图形可以得到与它关于一条直线1对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同. (2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线1的对称点· (3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 【注意】 (1)成轴对称的两个图形中，任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的. (2)一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的. 5.画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对 称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形 画轴对称图形的方法： (1)找一一在原图形上找特殊点（如线段的端点）： (2)画一一画各个特殊点关于对称轴对称的点： (3)连 依次连接各对称点。 要点速测 1.(25-26八年级上·辽宁大连期末)下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴 对称图形的是() 3/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26七年级下陕西咸阳阶段检测)如图，△ABO和△CDO关于直线PO对称，下列结论不一定正确 的是() A,AC⊥P9 B.AC∥BD C.△ABO≌△CDO D.CO=AB 知识点 线段垂直平分线 1.线段垂直平分线的定义及其性质 (1)线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. (2)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.书写格式：如图所示，点P在线段 AB的垂直平分线上，则PA=PB. (③)判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.书写格式：如图所示，若 PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上. 口要点速测 3.(25-26七年级下河北张家口期末)如图，△1BC .BC 3 cm 的边的长为，面积为 2cm2,AB边的垂直 平分线EF交AC于点F,若D为BC边上的动点，M为线段EF上一个动点，则BM+DM的最小值为 cm 4/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26七年级下广东深圳期末)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作DE⊥AB交 AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,且AD平分∠BAC,连接EF. (I)证明：AD垂直平分EF; (2)若△ABC面积为36，BC=12,DE=4,求△ABC的周长. 知识点 等腰三角形 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）· 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）· 等腰三角形的其他性质： (1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等， (2)等腰三角形两底角的平分线相等. (3)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. (4)当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个 锐角都是45° 2.等腰三角形的判定 (1)定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）· 数学语言：在△ABC中，∠B=∠C,∴AB=AC(等角对等边)· 【注意】 (1)“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等，因为在 没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底 角”“腰”. (2)“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形 的性质：由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定. 5/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 口要点速测 5.(25-26七年级下辽宁辽阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D、E、F分别 是BC边、AB边、AC边上的动点，连接DE、EF、DF,使△BDE≌△FDE,若△AEF是等腰三角形， 那么∠BED的度数为」 B 6.(25-26八年级下广东深圳期末)如图，点D是△ABC的边BC的中点，且恰好在∠A的平分线上， DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F. (I)求证：△ABC是等腰三角形： (2)若∠EDB=30°，EB=3,求AE的长。 知识点 等边三角形 1.等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 【注意】 (1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴： (2)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 2.等边三角形的判定 (1)定义法：三边都相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形 (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， 3.含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半， 【注意】 (1)该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质， 更不能应用. 6/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系. (3)该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切， (4)在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15° 的角转化后，再利用这个性质解决问题. 要点速测 7.(25-26七年级下·四川成都期末)在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且 ED=EC.若△ABC的边长为2，AE=4,则线段CD的长为 8.(25-26八年级下陕西渭南期末)如图，在△ABC中，BA=BC,∠ABC=60°，点D是△ABC外一点， 连接AD、CD,DA=DC,过点D作DE∥BC分别交AB、AC于点E、F. (1)求证：△AEF是等边三角形： (2)连接BD交AC于点G,若AB=15,DE=10,求AE的长. 研题型 高频题型突破 题型1轴对称图形的识别 ■例1(25-26七年级下广东茂名·期末)中华文化博大精深，许多传统图案蕴含着对称之美.下列四幅 剪纸图案中，是轴对称图形的是( 募 7/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1. 找对称轴法：沿某条直线对折，若直线两旁部分能完全重合，则该图形为轴对称图形。解题时尝试 从不同方向画直线，寻找是否存在至少一条对称轴。 2.排除与验证：常见图形如等腰三角形(1条)、等边三角形(3条)、正方形(4条)、圆（无数 条)均为轴对称图形。对于组合图形，需验证整体对折后是否完全重合，不能只看局部。 ■迁移练1-1(2026湖南长沙中考真题)“说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴 对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是() 喜。爱。数 n学 ■迁移练1-2(25-26七年级下·辽宁朝阳·期末)体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育 运动的图标中是轴对称图形的是(》 央o%木 ☐迁移练1-3(25-26七年级下·甘肃兰州期末)下面分别是某网站中特色农产品及食品加工、新材料、绿 色环保以及生物制药的图案，其中是轴对称图形的是() B D 题型2根据成轴对称图形的特征进行判断或求解 【例2(25-26七年级下·山东济南期末)如图，若△ABC与△4B,G关于直线MN对称，BB交MN于点 O,则下列说法中不正确的是() 8/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C BO=BO AB‖AB, A. B C.44 LMN ∠ABC=∠AB,C D 解题要点 1.对称轴为垂直平分线：成轴对称的两个图形中，对称轴垂直平分对应点所连线段。据此可求对称轴 方程或验证两点是否关于某直线对称，对应点到对称轴距离相等。 2.对应元素相等：轴对称图形中，对应边相等、对应角相等。利用此性质可将未知边、角转化为已知 量， 或判定线段相等、角相等，结合全等三角形进行综合求解。注意对应关系要准确。 迁移练2-1(25-26八年级上河北廊坊期中)如图，△ABC与△AB'C关于直线1对称，则下列结论中错 误的是() B A.△ABC≌△AB'C B.∠BAC=∠B'AC C.AB=BB' D.直线I垂直平分CC I迁移练2-2(25-26八年级上黑龙江哈尔滨期中)如图，△ABC与△4A'B'C关于直线MN对称，P为MN 上任一点，下列结论中错误的是() A.直线AB和直线AB'的交点不一定在MN上 9/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.AP=A'P C.△ABC与△A'B'C'面积相等 D.MN垂直平分AM,CC 迁移练2-3(25-26七年级下·宁夏银川期末)如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=50°，点D是BC上任意 一点，点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，连接AE和AF,则∠EAF的度数是() 60° 50°入 C A.140° B.135 C.120° D.100° 题型3利用垂直平分线的性质求解 I例3(25-26七年级下广东深圳期末)如图是一风筝的骨架图，AC是BD的垂直平分线，E为垂足. 若AB=2,CD=5,则四边形ABCD的周长是 解题要点 1. 线段等距转化：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。遇垂直平分线时，常连接该点与线段端 点，构造等腰三角形，将未知边长转化为己知边。 2.与角度结合计算：利用垂直平分线可得垂直和中点，结合等腰三角形“三线合一”性质，可推角度 相等。常与三角形内角和或外角定理联立求角度。注意区分垂直平分线与角平分线性质的不同。 迁移练3-1(25-26七年级下陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，AB=5,AC=6,BC=7,EF垂直 10/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平分边BC,P是直线EF上一点，则AP+BP的最小值为 E ■迁移练3-2(25-26七年级下·福建福州期末)如图，在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB, ∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC交BC于F,AC=3.2,BC=4.6,则BF的长为 B D ■迁移练3-3(25-26七年级下江苏准安期末)如图，△ABC中，AC=7Cm,BC=10cm,AB边的垂直平 分线DE与△ABC的外角∠BCG的角平分线交于点E,过点E作EH⊥AC,垂足为H,则CH=Cm. 题型4垂直平分线性质与判定的综合问题 例4(25-26七年级下广东深圳期末)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作 DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,且AD平分∠BAC,连接EF. 11/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)证明：AD垂直平分EF: (2)若△ABC面积为36，BC=12,DE=4,求△ABC的周长. 解题要点 1.性质求值与判定证线：已知垂直平分线时，用性质“到线段两端距离相等”求边长或转化条件；未 知垂直平分线时，用判定“到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上”来证明某线是垂直平分线。 2.结合等腰三角形：利用垂直平分线可得垂直和中点，常结合等腰三角形“三线合一”进行边角互推 注意证明垂直平分线需同时证明垂直和平分两个条件，或证两点都在该直线上。 I迁移练41(25-26八年级下·甘肃白银期中)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交 AB于点D,过点D作DE⊥AC于点E,连接BE交CD于点F. D (1)若∠BAC=40°，求∠BDC的度数： (2)求证：CD垂直平分BE, I迁移练42(25-26八年级下·广东佛山阶段检测)如图，在△ABC中，直线I垂直平分边BC,分别交 AC,BC D.E BD 于点 ，连接 12/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若AB=8,△ABD的周长为19，则AC的长为 (2)已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC,试判断点P是否在边AB的垂直平 分线上，并说明理由， 迁移练43(25-26八年级下陕西咸阳阶段检测)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，点E、G分别 是边AB、AD上一点，连接DE、CG、AC.过点C作CF⊥AD于点F,己知AC平分∠BAD、 AE=AG,2DF+AE=AD. 6 G (1)若BC=3,求CF的长度： (2)求证：点C在DE的垂直平分线上. 题型5利用等腰三角形的性质求解 I例5(25-26八年级下陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，∠B=∠C,AD⊥BC,若BD=3,则 BC的长为 解题要点 1.等边对等角求角度：由等腰三角形得两腰相等，则底角相等。已知顶角可求底角，或已知底角可求 顶角，常结合三角形内角和定理或外角性质建立方程。 2.三线合一求线段：底边上的中线、高线与顶角平分线三线合一。遇等腰常作底边中线或高，利用勾 股定理求边长，或利用角平分线推角相等。注意分类讨论（腰与底边不确定时）。 ■迁移练5-1(25-26八年级下·四川泸州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，AC边上的高 为BD,则∠CBD的度数为 13/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练5-2(25-26七年级下宁夏银川期末)如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,面积是10，AB 的垂直平分线ED交AB于点D,交AC于点E,点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则 △PBF周长的最小值为一 ■迁移练5-3(25-26七年级下广东深圳期末)如图，在四边形ABCD中，连接AC、BD,点G是边AB 上一点，连接DG交AC于点H.已知∠ACB=∠ADB,AB=AC=5,BG=DG.那么△AGH的周长应该 为 题型6利用等边三角形的性质求解 I例6(25-26八年级下内蒙古包头期末)如图，AB=AC,AE=EC=CD,∠A=60°，延长DE交 14/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M于R若EF=5,则DF= D 解题要点 1. 边角固定求值：等边三角形三边相等、三角均为60°。己知一边可求周长、面积，或利用60°角 结合三角函数、勾股定理求高、外接圆半径等。 2.三线合一构直角：等边三角形每条边上的中线、高线与对应角平分线三线合一。求线段长时常作高 构造含30°的直角三角形，利用30°角所对直角边为斜边一半的性质快速求解。注意分类讨论存在性。 迁移练61(2026四川成都三模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=5,以点C为 圆心，CB长为半径作弧交AB于点D,分别以DB为圆心，大于2DB长为半径作弧，两弧相交于点E, 作射线CE交AB于点F,则BD长 D I迁移练6-2(25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6,BC=DC, ∠BAD=60 ,连接4C、BD相交T点G,点E在边1D上，连接CE交BDT点F, CE BD F CEllAB CE=4 .若 则EF的长为 F 15/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 迁移练6-3(25-26八年级下山东烟台期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BC上的一点， ∠BAD=32° 在0的右侧作4D6,使的1E=D.∠D1E=∠B1C,达接CE, A CEDE六AC 交 于点，若 CE AB ∠DOC ,则 的度数为 题型7含30°的直角三角形性质的应用 ■例7(26-27八年级上全国开学考试)如图，己知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8,点M,N 在边OB上，PM=PN.若MN=2,则OM的长是. y 0460 M N B 解题要点 1. 边角互推求边长：含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。己知斜边可求对 边，或已知对边可求斜边，结合勾股定理求第三边。 2.与等边三角形结合：该性质常由等边三角形（或等腰三角形）作高得到。解题时需识别或构造30° 角，常用在折叠、垂直平分线、三角函数问题中，注意60°的余角也隐含30°角。 ■迁移练7-1(25-26八年级上河北期末)如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD, AB=BD,∠ABD=120°，BC=4m,则AB的长度为m. 16/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 迁移练7-2(25-26七年级下山东东营期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心， 任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M,N为圆心，大于2MN的长为半径画弧， 两弧交于点P,连接4P并延长交BC于点D,若S S.ACD=5= ,则 D B ■迁移练7-3(2026四川攀枝花中考真题)在△ABC中，AD是BC边上的中线， AB=2,BC=6,∠B=30°，则△ABD的面积为 1309 B 题型8等腰三角形性质和判定的综合问题 ■例8(25-26八年级下江西九江阶段检测)如图，在△ABC中，AB=BC,点D在AB的延长线上， 过点D作DE⊥AC于点E,交BC于点F. 17/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△BDF是等腰三角形. 1 (2)若BD=7AB,求证：EF= DF 2 2 解题要点 1.性质转化与分类讨论：已知等腰时，利用等边对等角、三线合一求角度或线段。注意腰与底边未定 时需分类讨论，并检验三边能否构成三角形（两边之和大于第三边）。 2.判定条件与图形构造：证等腰常用“等角对等边”或“两边相等”。常结合角平分线、平行线（产 生等角)或垂直平分线（产生等距）构造等腰条件，综合运用性质与判定实现边角互推。 I迁移练8-1(25-26八年级下四川成都期中)如图，△ABC中，AB=AC,D为BC边的中点，F为CA 的延长线上一点，过点F作FGL BC于点G,并交AB于点E. GD (I)求证：△AFE为等腰三角形. (2)若E为AB的中点，求证：EF=2EG I迁移练8-2(25-26八年级上福建泉州期末)已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=2a,点P是AB上的一 点，过点P作PH⊥BC于点H, 图1 图2 (1)如图1，∠BPH= (用含a的式子表示) (2)如图2，CD是AB边上的高，点P为∠ACD的角平分线与AB的交点，PH交CD于点O. ①求证：PH=HC: ②连接DH,求∠HDC的度数. 18/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练8-3(25-26七年级上山东威海期末)在△ABC中，BD平分∠ABC,DE⊥BC,垂足为E, EF⊥AB,垂足为F,DH⊥EF,垂足为H,直线EF,BD交于点G. B 图1 图Ⅱ (I)如图I,若△ABC是锐角三角形： ①求证：aDEG是等腰三角形； ②探究线段BF,DH,BE间的数量关系，并写明理由： (2)如图IⅡ，若△ABC是钝角三角形（∠ABC为钝角）： ③将图形补画完整： ④线段BF,DH,BE间的数量关系会怎样？写出结论及理由， 题型9等边三角形性质和判定的综合问题 ■例9(25-26九年级下北京开学考试)如图，在四边形ABCD中，AB≠CB,AD=CD, ∠ABC=60°，∠ADC=120°.作∠ADC的平分线，与CB的延长线交于点E,延长AB至点F,使得 AF=CE,延长EF,DC交于点G. D G B (1)证明：△DEG为等边三角形： (2)判断FG与DC的数量关系，并证明. 19/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1. 性质求值与转化：等边三角形三边相等、三角均为60°。利用三线合一构含30°直角三角形求边 长；遇60°角常联想构造等边，结合旋转或全等进行边角代换。 2.判定条件与证法：证等边可用三边相等、三角相等或有一个角是60°的等腰三角形。解题时优先找 60°角或等腰条件，转化为判定依据。注意辅助线构造。 ■迁移练9-1(25-26八年级上江苏宿迁·期末)如图，O是线段AB上一点，分别以OA、OB为边在AB同 侧画等边aOAC和等边△OBD,连接AD交OC于点E,连接BC交OD于点F,连接EF. B 0 (I)求证：AD=BC: (2)求证：△OEF是等边三角形. ■迁移练9-2(25-26八年级上山东聊城期末)如图，△ABC为等边三角形，点D在BC边上，过点B作 BEAC BE=CD ,且 D (I)求证：△ABE≌△ACD: (2)判断△ADE的形状，并说明理由. I迁移练9-3(25-26八年级上福建厦门·期末)在△ABC中，AB=BC,点D是边AB上一点，连接CD. 20/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 (I)如图1，若∠ABC=40°，∠BCD=15°，求证：△ADC是等腰三角形； (②)以CD为边，在CD下方作等边三角形aDEC,连接BE, ①如图2，若AC=BC,探究线段BD,BC,BE的数量关系，并说明理由： ②如图3，若∠ABC=30°，AB=6,求线段BE的取值范围. 破难点 方法聚焦透析 难点一与等腰（等边）三角形有关的多解题 难点1：腰与底的模糊性分类 题目若只给出两边或两角相等，未指明腰或顶角，需按“谁为腰、谁为底”或“谁为顶角、谁为底角”分 类讨论。难点在于穷举所有可能，并利用三角形内角和或三边关系排除不合理解，极易遗漏或重复情形。 难点2：等边三角形中的特殊多解 等边三角形具备高度对称性，当引入动点、垂直或分点等条件时，多条路径满足同一描述。难点在于结合 旋转对称性分析点线位置关系，避免因对称造成的概念混淆而导致解集不完整。 难点精练 1.(25-26七年级下·河南郑州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，点D是AB边上靠近点 A的三等分点，点E是BC边上一个动点（不和B,C重合），将△DEB沿DE折叠得△DEF.当△DEF的 一边与AC平行时，∠BED的度数为 21/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26七年级下·河南期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130°，点D在线段BC上，△AFD 和△ABD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G,连接FG,当△DFG为以DG为腰的等腰三角 形时，∠FDG的度数为. 3.(25-26七年级下·山东青岛期末)如图，将两个全等的等腰三角形△ABC和△ADE的顶角顶点A重合， 且∠BAC=∠DAE=120°.点A、D分别在BC的两侧，AD与BC交于点M,DE分别与BC、AC交于点 O、V.当△DOM为等腰三角形时，∠BAD的度数为一· B D 难点二与等腰（等边）三角形有关的多结论题 难点1：三线合一的条件触发 等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高线互相重合。多结论题中，学生易混淆“给一个条件推出另两 个”与“需三个条件同时具备”的关系，判断时若忽视前提条件则误判。 难点2：等边三角形的对称派生 等边三角形具有三线合一、四心合一及旋转对称性，常派生多组等边、共线与共圆结论。难点在于理顺结 论之间的推导层次，避免重复或跳跃。需兼顾多重对称性，确保每条结论均有独立的逻辑依据支撑。 22/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 口口难点精练 1.(25-26七年级下·山东济南期末)如图所示，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，连接BD,CE交于点F,连接AF.下列结论：①BD=CE:②AF平分∠BFE:③ BF⊥CF:④∠DAF=∠DEF,其中正确结论的序号是 E 2.(25-26八年级上山东聊城阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,BD为AC边上的高，BE平分 ∠ABD,点F在BD上，连接EF并延长交BC于点G,若BG=EG,∠A=2LDEF,有下列结论：① ∠DEF=∠CBD:②LABE+∠CBD=45°：③EGLBC:④BF=CE.其中正确的结论有一.（填 序号) A E D B 3.(25-26八年级下·广东梅州期中)如图，在直线AB的同一侧作△ABD和△BCE,△ABD和△BCE都是 等边三角形，连接AE、CD交于点H,下列选项正确的序号是 ①AE=DC;②∠DHA=6O°：③DH=HC:④连接HB,则HB平分∠AHC: B 23/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 难点三等腰（等边）三角形中的动点问题 难点1：位置变化引起的分类讨论 动点在边、延长线或外部运动时，等腰条件（如两腰相等、顶角固定）对应的线段表达式需分段表示。难 点在于根据运动阶段准确分类，并确保每一情形下图形仍保持等腰结构，避免表达式错配。 难点2：等边三角形中的旋转联动 等边三角形内动点常伴随旋转全等或路径问题。难点在于结合60°旋转对称性，将动态条件转化为静态全 等关系，同时追踪动点轨迹的临界位置，若忽略对称性则易错失特殊解法。 难点精练 1.(25-26八年级上：广西柳州期末)如图，在△ABC中，己知AB=AC,∠BAC=90°，BC=6cm,直线 CM⊥BC, D 2cm R CM 动点从点开始以每秒 的速度运动到点，动点也同时从点开始沿射线方向以 每秒lcm的速度运动. M E B D (I)问动点D运动多少秒时，△ABD≌△ACE,并说明理由： (2)设动点D运动时间为x秒，请用含x的代数式来表示△ABD的面积S: (3)动点D运动多少秒时，△ABD与△ACE的面积比为3：1. 2.(25-26八年级上山西吕梁·期末)综合与探究 问题情境：在等边三角形ABC中，E是折线B-A-C上的动点，D为射线BC上任意一点，且ED=EB, ② 备用图 (I)初步探究：如图①，当动点E在边BA上时，连接CE,AD,求证：△AED≌△CDE: 24/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图②，当动点E是边AC的中点时，则AE CD(选填“>”，“=”或“<”)： (3)深入探究：如图③，当动点E在边AC上时，求证：AE=CD (4)连接AD,若AB=12cm,△BAD是直角三角形，直接写出AE的长. 3.(25-26八年级上·全国单元测试)（综合探究）点P是边长为3cm的等边△ABC的边AB上的动点，点 P从点A出发，沿线段AB向点B运动， 图1 图2 (1)如图1，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，动点P,Q都以lcm/s的速度同时出发，设 运动时间为)，连接40，CP交于点M,连接P。 ①当1为何值时，△PB0是直角三角形？ ②在P,Q运动的过程中，∠CMQ,会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于点D,动点P,Q都以 lcm/s的速度同时出发，设运动时间为 (s ,连接PC,当'为何值时，△DC是等腰三角形？ 难点四等腰（等边）三角形中共顶点手拉手模型 难点1：主动旋转全等三角形的判定 两个等腰（等边）三角形共顶点，且腰重合或夹角固定时，由边角边(SAS)可证明含公共顶点的一组三 角形全等。难点在于找准两组对应边（即两腰）及它们的夹角，若顶点对应关系匹配错位，则全等模型无 法成立。 难点2：全等派生结论的多元串联 25/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 手拉手全等可派生出第三边相等、对应角相等，进而推论共线、平行或夹角为定角。难点在于将多个派生 结论按递进关系串联，并区分哪些是直接全等结论，哪些需结合外角或四点共圆二次推导，否则易逻辑混 乱。 一难点精练 1.(25-26八年级下·贵州毕节·期末)根据题意解答下列问题. 图1 图2 (I)【问题发现】如图1，△ABC和△AEF均为等边三角形，连接BE,CF,延长BE,交CF于点D,则 BE与CF之间的数量关系是，∠BDC的度数是°： (2)【拓展探究】如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE,点A, D,M,E在同一直线上，CM为△DCE的中线，连接BE,若AE=BE+2CM,求∠AEB的度数. 2.(25-26七年级下·广东茂名·期末)【模型构建】 如图①，两个等腰△ABC和△ADE中，AB=AC,，AD=AE,∠BAC=∠DAE,点A为公共顶点，连接 BD,CE.可探究BD和CE的数量关系. 图① 图② 图③ (I)求证：△ABD≌△ACE 【深入探究】 (2)如图②，△ABC和△ADE为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，判断BD、EC的数量关系并证明： 【拓展应用】 (3)如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，点M为BC的中点，以BC为边在下方构造等边△BCD,连接AM、 26/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD、MD.已知点M到AD的距离为1，△AMD的面积为3.6，求AM的值. 3.(25-26七年级下陕西汉中·期末)【思路梳理】 E 图1 图2 (I)等腰△ABC和等腰△ADE的位置如图1所示，分别连接BD、EC并延长交于点F,AB=AC, AD=AE,∠BAC=∠DAE=130° ①若BD=7,求EC的长： ②求∠F的度数. 【问题解决】 (2)某种植基地内有一个形状为等腰△ABC的种植田（周围空地可利用），AB=AC,BC=160米，现计划 对该种植田进行扩建，在AC右侧找一点D,连接BD、AD、CD,沿BD、CD、BC设置隔离栏（宽度 忽略不计)，在△BDC区域内种植土豆，∠ADB=∠ACB,过点A作AE⊥BD于点E,在BE上取一点G, 使得EG=ED,连接AG,己知BE=1O0米，请你帮助该种植基地计算隔离栏的总长度（即△BDC的周 长). 难点五与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 难点1：新概念向等腰几何条件的等价转化 新定义常赋予“和谐点”“等距线”等非标准属性，需将其转化为“两边相等”或“特定角为60°”等常 规条件。难点在于精准剥离去文字表象，结合等腰三角形分类（腰、底、顶角）建立可推导的几何约束。 难点2：新定义与对称性的兼容验证 探究结论时，需验证新定义在等腰或等边三角形的多种对称情形下是否恒成立。难点在于逆向推理时兼顾 顶角与底角的角色互换，且分类讨论须穷举，否则易遗漏特殊位置下的成立条件。 口难点精练 1.(25-26七年级下山东枣庄·期末)定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形， 如果其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么把这条线段定 27/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 义为原三角形的“和谐分割线”· B 图1 图2 (1)如图1，Rt△ABC,∠C=90°，∠B=30°，请在图中画出“和谐分割线”，与Rt△ABC一边交于点D, 则 是等腰三角形，底角为度， (2)如图2，在△ABC中，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，若△ACD是等腰三角形，∠A=42°，求∠B 的度数。 2.(25-26八年级上黑龙江牡丹江·期末)【阅读材料】定义：如图1，在△ABC中， AB=AC,∠BAC=90° △ABD AB CDAF ∠CAD CD ,等边 在的左侧，连接， 平分 交于点F.则称等腰 Rt△ABC和△ACD互为“伴侣三角形”，∠AEB称为“伴侣角”· B E D D 图1 图2 图3 (I)【解决问题】图2中，等边△ABD在AB的右侧，其它条件不变，若等腰Rt△ABC和△ACD互为“伴侣 三角形”，求“伴侣角”∠AEB的度数； (2)【拓展延伸】在(I)的条件下，AH⊥BC于点H,如图3，探究AF、EF,EH之间的数量关系，并 加以证明. 3.(25-26八年级下河南郑州期中)我们定义：如图1，在四边形ABCD中，如果∠A=a, ∠C=180°-α，对角线BD平分∠ABC,那么我们称这种四边形为“分角对补四边形”· (图1) (图2) (图3) (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形”ABCD中，当=9O°时，根据教材中一个重要知识直接可得 28/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DA=DC,这个知识是 (填序号). ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理. (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想DA与DC的数量关系，并证明、 3)探究应用：如图3，在等腰△ABC中，∠A=100°，BD平分∠ABC,猜想AD、BC与BD的数量关系， 并证明. 验成果 综合达标检测 基础达标 一、单选题 1.(25-26七年级下·广东深圳期末)交通标志是日常生活中常见的图形，许多标志设计蕴含对称之美. 下列四个交通标志中，不是轴对称图形的是() A B 2.(25-26八年级下·山东枣庄期末)景区正殿梁架（如图1)，其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记 为等腰三角形ABC(如图2)，若AB=AC=26,AD⊥BC于点D,∠ABC=30°，则AD的长为() 图1 图2 A.12 B.13 C.14 D.15 3.(25-26八年级下山西晋中期末)在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB,垂足为点E, 交BC边于点D,己知BD=6,则AC的长是() E 29/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 3V3 c.3v2 D.25 4.(25-26七年级下山东威海·期末)如图，点C在线段AB上，以AC为边向上作Rt△ACD,∠A=90° F为底边作等腰△8CE,使CE=BE,若DC=CE,HDC=∠B,BC=25则D等于() D B.2 C.1+5 D.1 5.(25-26七年级下·山东泰安·期末)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学 的作法如图所示，以O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA,OB于点C、D,点E是OA上任一点，以 E为圆心，以同样长为半径画弧交OA于点F,以F为圆心，以CD长为半径画弧交前弧于点G,作射线 EG,然后以E为圆心，以OE长为半径画弧交EG于点P,连接OP,OP即为∠AOB的角平分线.根据 作图过程，下列结论错误的是() A.∠AEP=∠AOB B.EP∥OB C.∠EOP=∠EPO D.∠AEP=∠POB 二、填空题 6.(25-26七年级下·甘肃白银期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的中线，∠BAD=50°， 则∠B的度数为 30/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26七年级下·宁夏银川期末)如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D、E,AC 的垂直平分线分别交AC,BC于点F、G,若∠BAC=120°，则∠EAG的度数为 D 8.(25-26七年级下·广东深圳期末)如图，∠AOB=50°，定点P为∠AOB内一点，在射线OA和OB上分 别确定点M,N,使得△PMN的周长最小，则此时∠MPN的度数为°. A M B N 9.(25-26七年级下辽宁本溪期末)如图，在△ABC中，AB=AC=5,D为BC中点，点P,D分别是 AD AC 上的动点，若△ABC CP+PO 的面积为12，则 的最小值为 B D 10.(25-26七年级下·江西吉安期末)如图，己知∠A0B=30°，∠ABM=60°，点P是射线OM上一动点 (P与B不重合)，当以A、O、B三点中某两点与P点构成的三角形是等腰三角形时，∠OAP的度数为- 31/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26八年级下河南平顶山期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,B在边BC上，且 BD=CE (I)求证：△ADE为等腰三角形； (2)若∠ADE=60°，BD=AD,求∠BAC的度数 12.(25-26八年级下陕西咸阳期末)如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，BE⊥BC,且 AE∥BD,CE交BD于点F (1)求∠BAE的度数： (2)求证：△BEF是等边三角形 13.(25-26八年级下·陕西渭南期末)如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD,过点D分别 作DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,DG‖AC交AB于点G,且DE=DF. 32/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△ADG是等腰三角形： (2)若∠ADE=67.5°，求∠GDF的度数， 14.(25-26七年级下·陕西汉中期末)如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线DE分别交边BC、AB于 点D、E,连接CE,CF是△AEC的中线，延长CF至点G,连接AG,∠G=∠FCE. G D (1)判断AG与BE的数量关系，并说明理由； (2)已知AB1AC,∠ACB=68°，求∠GAF的度数. 15.(25-26八年级下江西吉安期末)如图，在等边△ABC中，AB=8,点P在边AB上（点P不与线段 AB的端点重合)，连接CP,过点P作CP的垂线，交CB所在直线于点E,并过点P作BC的平行线，交 AC于点D BE E B 图1 图2 (I)当点E在BC边上时，PE的取值范围是 (2)当点E在BC边上时，是否存在∠EPB=∠ECP的情况？如果存在，求此时∠PEB的度数，如果不存在， 说明理由： (3)当点E在CB的延长线上时，是否存在PD=BE的情况，若存在，求∠PEB的度数；若不存在，说明理 由. 能力进阶 一、 单选题 1.(25-26八年级下·山东烟台期末)如图，△ABC中，D是BC中点，点E在BA的延长线上，过点D作 BC的垂线与∠CAE的平分线交于点F,与AC交于点G,FH1AC,垂足是H.下列说法正确的是 33/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.AF=AG B.FH是AG的垂直平分线 C.当∠BAC=90°时，AG=FG D.AB+2AH=AC 2.(25-26八年级上广东江门阶段检测)如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,将线段AE沿AC翻 折，得到线段AM,连接EM交AC于点N,连接DM、CM,以下说法：①AD=AE=AM,② ∠ECA=∠MCA,③CM=BD,④AD=DM中，正确的说法个数是() B D E C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 3.(25-26七年级下·贵州贵阳期末)如图，∠A=28°，点B是AE上一定点，点P是AF上的一动点（不 与A重合)，将△ABP沿BP翻折得到△CBP,直线BC与AF交于点D,且点D在点P的右侧.若aPDC 是等腰三角形，则∠ABP的度数可以为， E B D 4.(25-26七年级下山东青岛期末)如图，已知C为线段AB上一点，分别以AC,BC为边在线段AB 同侧作等腰△ACD和等腰△BCE,使CD=CA,CE=CB,∠ACD=∠BCE.连接AE,交CD于点G,连 34/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 接BD,分别交AE,CE于点F,H下列结论： ①LFEC=∠FBC: ②若C是AB的中点，则CG=CH: ③若AD∥CE,则CD∥BE: ④若∠ACD=40°，则∠AFB=120° 正确的是 (填写序号) E 三、解答题 5.(25-26七年级下·江西吉安期末)综合与实践：在等边△ABC中，AB=6,点D是直线BC上一动点 (不与B,C重合)，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE,连接CE.探究图中CE与CD之间的数量关 系 B B B 备用图1 备用图2 (1)特例研究：如图1，当点D在线段BC上时， ①求证：CE=BD: ②判断CE与AB有什么样的位置关系，并说明理由； (②)类比探究：在(I)的条件下，探究CE与CD之间的数量关系，并证明你的结论： (3)拓展延伸：当点D在直线BC上运动时，请直接写出CE,CD之间的数量关系. 6.(25-26七年级下·陕西咸阳期末)【问题探究】 35/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G 图1 图2 (I)△ABC与△DEC的位置如图1所示，∠ABC=∠DEC,AB=DE,∠EDC=∠BAC. ①AC与CD相等吗？为什么？ ②连接AD,若∠BAC=70°，∠ADE=40°，求∠ACD的度数. 【问题解决】 (2)如图2，某生态公园内有一块形状为四边形ABCD的池塘（周围空地可利用），点E、F分别在BC、 CD边上，AE、AF、BF为池塘上方的廊桥，为方便游客，该公园计划建造游客观景区，延长BC至点 G,连接DG、AG,将△CDG规划为游客观景区，已知点A在BF的垂直平分线上， EABC+∠AEC=18O°，EB=∠ADF,ZGAD=2Z6AF,请你求出DG、BG'DF之间的数量关 并说明理由.（廊桥的宽度忽略不计） 36/36