精品解析：河北石家庄市第二十八中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

九年级数学 一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知线段，，线段c是a，b的比例中项，那么线段c为（ ） A. 3 B. 9 C. D. 3. 如图所示，四边形四边形，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的三个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 某文具店七月份销售碳素笔支，八、九两个月的销售量连续增长，九月份的销售量达到支，设月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（ ） A. B. C. D. 9. 某堤的横断面如图，堤高是，斜坡的坡度是，那么斜坡的长为（ ） A. B. C. D. 10. 将有一边相等的两个直角三角板按如图的方式放置，已知，，，与交于点E，则等于（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为18．阴影部分三角形的面积为8．若，则等于（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 6 12. 如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4． 若在边DC上有点P，使△PAD和△PBC相似，则这样的点P存在的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则________． 14. 如图，已知直线，如果，，那么线段的长是________． 15. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为_______________． 16. 有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为的边在上，第一层可以放______个，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有______个． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 计算： （1）解方程 （2）解方程 （3） （4） 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； （2）直接写出点的坐标______；与的周长比是______；与的面积比是______； （3）在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为（______，______）； 19. 如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． （1）求的长； （2）求的值． 20. 如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． （1）求证：． （2）若的面积为4，，求四边形的面积． 21. 如图，小华和小康想用标杆来测量校园中的一棵树的高，小康在处竖立了一根标杆，小华走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点、、在一条直线上，，，，根据以上测量数据，请你求出树的高度．． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为30元/个，试销售一段时间后发现，当售价为40元/个时，月销售量为600个．若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．设售价在40元/个的基础上涨价元，且． （1）月销售量为______个，每个头盔的利润是______元；（用含的代数式表示） （2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23. “游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为，求奇楼的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，） 24. 如图，在中，，，， 在边上，且．点是边上一点，作，使点落在折线上，且点与点在的同侧． （1）线段的长为________； （2）当点在边上时，求证：； （3）当点在边上时，连结，若 是直角三角形，则的长为________； （4）当、将分成一个四边形和两个三角形时，若两个三角形的面积比等于，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 2. 已知线段，，线段c是a，b的比例中项，那么线段c为（ ） A. 3 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合线段长度为正的特点，利用比例中项的性质求解． 【详解】解：∵线段是，的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∵线段长度为正数， ∴． 3. 如图所示，四边形四边形，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∵， ∴． 4. 如图，的三个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造直角三角形，利用正切定义求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点 ， 由网格可知 ，， 在 中，． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程为 ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 6. 观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知：A中，能判定相似，选项正确，故不符合题意； B中，即夹角相等，能判定相似，选项正确，故不符合题意； C中只有一组角相等，不能判定相似，故符合题意， D 中有一组角相等，且对顶角相等，故有两组角相等的三角形相似，选项正确，故不符合题意； 故选：C． 7. 某文具店七月份销售碳素笔支，八、九两个月的销售量连续增长，九月份的销售量达到支，设月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设月平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为，根据题意得． 8. 如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．通过证明，得出，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9. 某堤的横断面如图，堤高是，斜坡的坡度是，那么斜坡的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坡度定义、勾股定理，熟练掌握坡度定义和勾股定理是解题的关键． 根据坡度定义得到，进而求出的长，再利用勾股定理求解的长即可． 【详解】解：根据题意得， 即， 解得， 在中，由勾股定理得 ， 故选：A． 10. 将有一边相等的两个直角三角板按如图的方式放置，已知，，，与交于点E，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角函数，熟练掌握三角函数，特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据，可得，进而可得，，根据，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 11. 如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为18．阴影部分三角形的面积为8．若，则等于（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质可知，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方、相似三角形的中线比等于相似比可得：，从而可得：，从而可求的长度． 【详解】解：如下图所示， 根据平移的性质可知， ∴， 、， ， ∴ ∵是的边上的中线， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴是的边上的中线， ∵ ， ， ， 解得． 12. 如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4． 若在边DC上有点P，使△PAD和△PBC相似，则这样的点P存在的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知分两种情况△PAD∽△PBC或△PAD∽△BPC来进行分析，求得PD的长，从而确定P存在的个数． 【详解】∵AD∥BC，∠D=90° ∴∠C=∠D=90° ∵DC=7，AD=2，BC=4 设PD=x，则PC=7-x； ①若PD：PC=AD：BC，则△PAD∽△PBC ∴，解得： ②若PD：BC=AD：PC，则△PAD∽△BPC ∴ ，解得： ∴这样的点P存在的个数有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，一元二次方程的解法，难点在于分情况讨论． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质变形即可求解． 【详解】解：， 设，， ， 故答案为：． 14. 如图，已知直线，如果，，那么线段的长是________． 【答案】6 【解析】 【分析】由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键． 15. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为_______________． 【答案】12.36cm 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比为，即它的宽＝20•，然后进行近似计算即可． 【详解】解：∵书的宽与长之比为黄金比，长为20cm， ∴它的宽＝20•10（1）≈12.36（cm）． 故答案为：12.36cm． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍． 16. 有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为的边在上，第一层可以放______个，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有______个． 【答案】 ①. 2 ②. 6 【解析】 【分析】利用求得，然后求得，这样就可以计算得小长方形一共有4层，然后再次利用相似比，可求得每层可分割几个小长方形，最后确定小长方形的总数即可． 【详解】如图：当最上层的小长方形的一边与、交于点E、F时，， ∴， ∴，且，，， ∴， ∴， ∵小长方形的宽为， ∴能分割四层小长方形， 设最底层的上一层的靠近点A的边为x， 根据三角形相似可得：， 解得， 正好能分割两个小长方形，即第一层可以放2个， 再上一层靠近点A的边就会小于，因此只能分割一个小长方形，且最上层分割了一个小长方形， ∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 计算： （1）解方程 （2）解方程 （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ，即， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； （2）直接写出点的坐标______；与的周长比是______；与的面积比是______； （3）在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为（______，______）； 【答案】（1）如图，即为所求； （2）；； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据位似变换的性质解答即可； （2）根据相似三角形的性质，即可求解； （3）把点的横纵坐标都乘以即可得到点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得：点的坐标； ∵与的位似比为， ∴与的周长比是；与的面积比是； 【小问3详解】 解：在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为． 19. 如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦的定义，代入已知线段长求出的长； （2）先由勾股定理求出的长，再算出的长度，最后根据正切的定义求出的值． 【小问1详解】 解：，垂足为点， ， 在中，， ，， ； 【小问2详解】 解：在中， 由勾股定理得：， ，， ， 在中，， ． 20. 如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． （1）求证：． （2）若的面积为4，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，点E在的延长线上， ∴， ∴． （2）21 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，即可证得结论． （2）根据平行四边形的性质可证得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合可求得，进而根据面积和差关系即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，点E在的延长线上， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为4，，即， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 21. 如图，小华和小康想用标杆来测量校园中的一棵树的高，小康在处竖立了一根标杆，小华走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点、、在一条直线上，，，，根据以上测量数据，请你求出树的高度．． 【答案】树的高度为8.8米 【解析】 【分析】过作于，交于，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键． 【详解】解：过作于，交于， 则米，米， （米，（米， 由题意得，，， ， ， ， （米， 答：树的高度为米 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为30元/个，试销售一段时间后发现，当售价为40元/个时，月销售量为600个．若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．设售价在40元/个的基础上涨价元，且． （1）月销售量为______个，每个头盔的利润是______元；（用含的代数式表示） （2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）， （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 【解析】 【分析】（1）利用月销售量每个头盔降低的价格，可用含x的代数式表示出月销售量，利用每个头盔的利润=售价-进价，可求出每个头盔的利润； （2）利用月销售利润=每个的头盔的利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【小问1详解】 根据题意得：当售价在40元/个的基础上涨价x元时，月销售量为个，每个头盔的利润是元． 故答案为：，； 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴． 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出月销售量及每个头盔的利润；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23. “游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为，求奇楼的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】延长，交的延长线于点C，根据题意得出，，再由等腰直角三角形得出，然后解直角三角形即可． 【详解】解：延长，交的延长线于点C， 则 由题意得，，， 在中，， 则 ∴， 在中，， 解得， ∴奇楼的高度约为． 【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键． 24. 如图，在中，，，， 在边上，且．点是边上一点，作，使点落在折线上，且点与点在的同侧． （1）线段的长为________； （2）当点在边上时，求证：； （3）当点在边上时，连结，若 是直角三角形，则的长为________； （4）当、将分成一个四边形和两个三角形时，若两个三角形的面积比等于，直接写出的长． 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （3） （4）或． 【解析】 【分析】（1）根据特殊三角函数值反推出，结合，判断出是等腰直角三角形，用勾股定理算出； （2）根据相似三角形的判定定理进行证明； （3）分两类讨论，当时，作，垂足为D，容易证出，利用全等三角形的性质求出的长；当时，可证明此时无法满足，故舍去； （4）分两类讨论，当点在上时，结合（2）的，以及相似三角形的面积比与相似比的关系，求出的长；当点在上时，容易证出，使用相似三角形的性质计算出的长． 【小问1详解】 解：∵，且为锐角， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由勾股定理得，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时，如图，作，垂足为D， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴ ∴， ∴； ②当时，如图，作，垂足为F， 与①同理可得，是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ，与题干矛盾，故舍去； 综上所述，； 【小问4详解】 解： ①当点在边上时，如图，作，垂足为F， 当时，则， 由（2）可知，， ∴， 由（3）可知，，， ∴， 在直角中，， ∴； 当时， 同理，，， ∴， ∴， ∵，无法构成三角形，故舍去； ②当点在边上时， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时， 同理，， ， ∴， ∵，与题设矛盾，故舍去； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，特殊三角函数值，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $