上海市进才中学2026-2027学年高二上学期10月素养测试数学试卷

上海市进才中学10月素养测试卷 高二数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 注：解答题用空间向量和等体积法解决问题，不给过程分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 2. 若复数（i为虚数单位），则______. 3. 一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为______. 4. “两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的__________条件． 5. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______cm． 6. 已知三条两两平行直线可确定个平面，则过定点__________. 7. 已知数列的前项和满足，则的通项公式为________. 8. 设，则的最小值为_________． 9. 在平面直角坐标系中，已知点，沿x轴把坐标系折成的二面角，则此时线段的长度为________． 10. 如图，矩形ABCD的长AB=2，宽AD=x，若PA⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q,使得PQ⊥BQ，则x的范围是____________． 11. 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 12. 在棱长为2的正方体中，从点A发出的光线经侧面内部（不含边界）一点S反射后投射到侧面内部（不含边界），则满足条件的点S所组成区域的面积是____________. 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16每题5分） 13. 若函数在处的切线斜率为2，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知l、m是两条互异的直线，、是两个互异的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若且，则 15. 若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、5、6的直线，给出下列三个结论： ①存在使得是直角三角形； ②存在使得是等边三角形； ③三条直线上存在四点使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体，其中，所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且． （1）求证：、、、四点共面； （2）若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 18. 已知向量与的夹角为，且，，若，. （1）当时，求实数的值； （2）求的最小值. 19. 在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，为的中点，分别是的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小． 20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点，分别为棱，的中点，点在线段上． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）设直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，求的最大值． 21. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数使得，则称为“极值差比函数”，常数为的“极值差比系数”． （1）若函数为“极值差比函数”且在上严格增，试判断是否为“极值差比函数”，并说明理由； （2）是否存在使的“极值差比系数”为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）对于（2）中的函数，若，求：的“极值差比系数”的取值范围． 上海市进才中学10月素养测试卷 高二数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 注：解答题用空间向量和等体积法解决问题，不给过程分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】1 【4题答案】 【答案】必要不充分 【5题答案】 【答案】8 【6题答案】 【答案】或 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】4 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】0<x≤1 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16每题5分） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 【17题答案】 【答案】（1） 如图，连接， 因为、分别是、的中点，所以，又， 所以，所以， 所以、、、四点共面； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）证明: 如下图所示，连接， 因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）． 【20题答案】 【答案】（1）连接，取的中点，连接， 因为底面为菱形，且，则， 所以、为等边三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1）是“极值差比函数”，理由见解析 （2）不存在，理由见解析 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $