精品解析：上海市交大二附中实验学校2024-2025学年八年级上学期第一次学情自测数学试题

2024学年第一学期初二数学限时作业 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据形如的方程是一元二次方程，判断解答即可. 【详解】解：对选项A．∵ 展开等式左边得，右边得，移项合并得，最高次数为1， ∴ 不是一元二次方程. 对选项B．∵ 方程含，是分式方程， ∴ 不是一元二次方程. 对选项C．∵ 未明确，若则方程最高次数不为2， ∴ 不一定是一元二次方程. 对选项D．∵ 方程是整式方程，只含未知数，二次项系数为，最高次数为2， ∴ 一定是一元二次方程. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 与互为倒数 B. 若则 C. 若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可． 【详解】A.，不是互为倒数，选项错误； B.若，由于，则，选项错误； C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确； D.由可得，结合可得，，则，选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键． 3. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ） A. 6 B. 16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2， 三个小正方形的边长分别为、、． 由题图知：大正方形的边长为：． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，用小正方形的边长表示出大正方形的边长是解决本题的关键． 4. 关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根 C. 无实数根 D. 由于不知道m的值，无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等实数根， 故选A． 5. 已知，是关于的方程的两个实数根，，，…，，……，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 0 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】将代入所求式，整理后利用方程根的定义计算． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴ ． 6. 定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据的定义分区间讨论，去掉取整符号后转化为一元二次方程求解，验证解的有效性． 【详解】解：，，即， 又， ． 当时，，方程化为，解得，符合要求． 当时，，方程化为，解得（负根舍去），符合区间要求． 当时，，方程化为，解得（负根舍去），符合要求． 当时，，且，，即，方程无解． 综上，方程共有3个解． 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 比较大小：______ 【答案】< 【解析】 【分析】根据无理数的大小比较方法解答 【详解】，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的大小比较，掌握无理数的大小比较方法是解题的关键． 8. 当x满足_____时，在实数范围内有意义． 【答案】x＞1 【解析】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件可得x﹣1＞0，再解即可． 【详解】解：由题意得：x﹣1＞0， 解得：x＞1， 故答案为：x＞1． 【点睛】本题考查分式和二次根式有意义的条件：分式的分母不能为0；二次根式的被开方数不能为负数；熟记条件是解题关键． 9. 若y＝－，则＝___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，得的值，即而得到的值，求出的值． 【详解】∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的定义与性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 10. 化简二次根式：=________________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断b的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键． 11. 在实数范围内分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为完全平方，再根据平方差公式，即可求解． 【详解】解： ． 12. 已知y1＝x2－2x－3，y2＝x＋7，能使y1＝y2成立的x的取值为______． 【答案】 【解析】 【详解】首先根据题意得到方程x2-2x-3=x+7，然后移项合并同类项，再把方程的左边分解因式，即可解出方程的解． 解：∵y1=y2， ∴x2-2x-3=x+7， x2-2x-3-x-7=0， x2-3x-10=0， ∴（x-5）（x+2）=0， x1=5，x2=-2． 故答案为5或-2． 13. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为________． 【答案】0或12 【解析】 【分析】根据一元二次方程由两个相等实数根得到判别式△=b²-4ac=0，由此即可求解． 【详解】解：由题意可知：a=3，b=-k，c=k， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴△=b²-4ac=k²-12k=0， 解出：k1=0，k2=12， 故答案为：0或12． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式△=b²-4ac与根的个数问题：当△=b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b²-4ac<0时，方程没有实数根． 14. 某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的售价为元，则第二次降价后的售价为元，据此列出方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得，， 故答案为：． 15. 设，是方程的两个根，___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子变形后代入计算即可． 【详解】解：∵ ，是方程的两个根， ∴，， ∴． 16. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则____________． 【答案】或##或1 【解析】 【分析】依题意的两根为，结合题意，通过求解方程，即可得到答案； 【详解】解：∵关于x的方程的参数同时满足和， ∴方程的两根为， ∵， ∴， ∵与互为“同伴方程”， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程方程的解的定义，求得的两根为是解题的关键． 17. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术，即已知三角形的三边长，求它的面积．用符号表示即为：（其中，，为三角形的三边长，为面积）．则，，时的三角形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据a、b、c的值得出a2、b2、c2，再代入公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ，，， 三角形的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题关键． 18. 若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，则m的取值范围：　　． 【答案】＜m≤1 【解析】 【分析】首先根据题意得出方程的一个根为1，然后设另一个一元二次方程的两个根为a和b，根据根的判别式△=4﹣4m≥0和三角形三边的关系得出m的取值范围． 【详解】解：∵（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0， ∴x﹣1=0或x2﹣2x+m=0， ∴原方程的一个根为1， 设x2﹣2x+m=0的两根为a、b， 则△=4﹣4m≥0，解得m≤1， ∵a+b=2，ab=m， 又∴|a﹣b|=＜1， ∴4﹣4m＜1， 解得m＞， ∴＜m≤1． 故答案为＜m≤1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及三角形的三边关系等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 三、解答题：（本大题共11题，19-24题每题5分，25-27题每题6分，28-29题每题8分，满分64分） 19. 计算： ； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的乘法法则计算，同时化成最简二次根式，再根据二次根式加减法则计算． 【详解】原式 ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后算加减法即可． 【详解】解： ． 21. 计算：（）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式乘除法和性质，先根据二次根式的乘除法运算法则计算，再利用性质化简即可求解．掌握二次根式的运算法则是解答的关键． 【详解】解： ． 22. 解方程: （配方法） 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解决此题的关键． 利用配方法解方程即可得解． 【详解】解： ． 23. 解方程：(x－3)2＝2x(x－3) 【答案】x1＝3，x2＝－3 【解析】 【详解】试题解析：∵(x－3)2＝2x(x－3) ∴(x－3)2-2x(x－3) ＝0 (x－3)[ (x－3)-2x]=0 (x－3) (x+3)=0 x－3=0，x+3=0 解得：x1＝3，x2＝－3 24. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，由于系数含有无理数且不易因式分解，故采用求根公式求解，先将方程中的分数系数化为整数，再计算判别式并求解． 【详解】解：， ∴， 在这里，，，， ， ∴ ∴， ． 25. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【详解】解： 当，时， ∴，， 原式． 26. 已知关于的方程总有实数根，求的取值范围． 【答案】的取值范围为． 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当方程为一元一次方程；当时，根据一元二次方程根的判别式，即可解出m的取值范围． 【详解】解：（1）当，即时，方程为一元一次方程，方程有实根； （2）当，即时，方程为一元二次方程， 其中，，，方程有实根，则必有： ， 可解得且； 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，对于形如的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算． 27. 利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件． （1）若降价8元，则平均每天销售数量为__________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）36 （2）每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件，可得若降价8元，则平均每天可多售出件，即平均每天销售数量为件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：若降价8元，则平均每天销售数量为件． 故答案为：36； 【小问2详解】 解：设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得， 整理，得， 解得：． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴应舍去， 解得：． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程． 28. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是否为“差1方程”？ （2）已知关于x的方程（m是常数）是“差1方程”，求m的值； （3）若关于x的方程（是常数，）是“差1方程”，设，求t的最大值． 【答案】（1）不是 （2）或 （3）9 【解析】 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【小问1详解】 解：， ， 或， ∵ 不是“差1方程”； 【小问2详解】 解： ， ， 或， 方程是常数）是“差1方程”， 或， 或； 【小问3详解】 解：由题可得： ∴解方程得， 关于的方程、是常数，是“差1方程”， ， ， ， ， ， 时，的最大值为9． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义，本题属于中等题型． 29. （1）问题背景 如图1，中，，，的平分线交直线于，过点作，交直线于．请探究线段与的数量关系．（事实上，我们可以延长与直线相交，通过三角形的全等等知识解决问题． 结论：线段与的数量关系是 （请直接写出结论）； （2）类比探索 在（1）中，如果把改为的外角的平分线，其他条件均不变（如图，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）拓展延伸 在（2）中，如果，且，其他条件均不变（如图，请你直接写出与的数量关系． 结论： （用含n的代数式表示）． 【答案】（1）； （2）结论仍然成立．理由如下： 如图2，延长、交于点． ，，， ， 又，， ， ， ． ， ， 又， ， ， ， ； 故答案为：； （3） 【解析】 【分析】（1）延长、交于点，先证明是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得，然后证明可得，进而证出； （2）延长、交于点，先利用证明，得出，则，再证明，根据相似三角形对应边的比相等及即可得出； （3）同（2），延长、交于点，先利用证明，得出，则，再证明，根据相似三角形对应边的比相等及即可得出． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长、交于点． ，交直线于， ． 平分， ， ， ， ， ． 中，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （2）略 （3）．理由如下： 如图3，延长、交于点． ，，， ， 又，， ， ， ． ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期初二数学限时作业 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 与互为倒数 B. 若则 C. 若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D. 若，则 3. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ） A. 6 B. 16 C. D. 4. 关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根 C. 无实数根 D. 由于不知道m的值，无法确定 5. 已知，是关于的方程的两个实数根，，，…，，……，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 0 D. 2024 6. 定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 比较大小：______ 8. 当x满足_____时，在实数范围内有意义． 9. 若y＝－，则＝___________． 10. 化简二次根式：=________________． 11. 在实数范围内分解因式：___________． 12. 已知y1＝x2－2x－3，y2＝x＋7，能使y1＝y2成立的x的取值为______． 13. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为________． 14. 某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程__________． 15. 设，是方程的两个根，___________． 16. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则____________． 17. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术，即已知三角形的三边长，求它的面积．用符号表示即为：（其中，，为三角形的三边长，为面积）．则，，时的三角形的面积为________． 18. 若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，则m的取值范围：　　． 三、解答题：（本大题共11题，19-24题每题5分，25-27题每题6分，28-29题每题8分，满分64分） 19. 计算： ； 20. 计算：． 21. 计算：（）． 22. 解方程: （配方法） 23. 解方程：(x－3)2＝2x(x－3) 24. 解方程： 25. 先化简，再求值：，其中，． 26. 已知关于的方程总有实数根，求的取值范围． 27. 利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件． （1）若降价8元，则平均每天销售数量为__________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 28. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是否为“差1方程”？ （2）已知关于x的方程（m是常数）是“差1方程”，求m的值； （3）若关于x的方程（是常数，）是“差1方程”，设，求t的最大值． 29. （1）问题背景 如图1，中，，，的平分线交直线于，过点作，交直线于．请探究线段与的数量关系．（事实上，我们可以延长与直线相交，通过三角形的全等等知识解决问题． 结论：线段与的数量关系是 （请直接写出结论）； （2）类比探索 在（1）中，如果把改为的外角的平分线，其他条件均不变（如图，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）拓展延伸 在（2）中，如果，且，其他条件均不变（如图，请你直接写出与的数量关系． 结论： （用含n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $