精品解析：上海市竹园中学（五四制）2023-2024学年八年级上学期第一次单元练习数学试题

初二年级数学学科单元练习一 一、选择题． 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 3. 下列各式中互为有理化因式的是（ ）． A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 下列二次根式中，不是同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 11或13 6. 设的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题． 7. 化简：（x＞0）=_____． 8. 当________时，有意义． 9. 已知 ，则的值为________． 10. 比较大小：________（填“>”、“”、“<”）． 11. 如果，则x的取值范围是 _____． 12. 如果 ，那么 ________． 13. 方程 的根是________． 14. 若与是同类二次根式，则的最小正整数是________． 15. 若，则_______． 16. 当_____时，关于x的方程m-3x=是一元二次方程。 17. 定义新运算“※”，规则： ，如，．若的两根分别为，则______． 18. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则 ，记，，…，，则 ________． 三、简答题． 19. 计算. 20. 计算： 21. 计算：． 22. 用公式法解方程： ． 23. 解方程： 24. 用配方法解方程： 四、解答题． 25. 已知，，求的值． 26. 先化简,后求值：，其中a=,b=. 27. 已知一元二次方程 有一个根为零，求m的值和方程的另一根． 五、能力题． 28. 阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足 ，，且 ，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级数学学科单元练习一 一、选择题． 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，逐一判断． 【详解】A、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误； B、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误； C、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误； D、正确． 故选D． 【点睛】此题考查二次根式的意义和性质．解题关键在于掌握式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答. 一元二次方程必须满足四个条件:  未知数的最高次数是 2;  二次项系数不为 0;  是整式方程;  含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案. 【详解】因为当a=0时ax2=1不是一元二次方程，所以A错误； 因为符合一元二次方程的定义，所以B正确； 因为不是整式方程，所以C错误； 因为的未知数的最高次数是 1，所以D错误. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义. 3. 下列各式中互为有理化因式的是（ ）． A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据有理化因式的定义解题，即两个含有根式的代数式相乘，若乘积不含有根式，则两个代数式互为有理化因式，计算各选项中两个代数式的乘积，判断乘积是否含有根式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，乘积仍含有根式，因此A不符合题意； 对选项B， ，乘积是不含根式的整式，因此B符合题意； 对选项C，，乘积仍含有根式，因此C不符合题意； 对选项D，，乘积仍含有根式，因此D不符合题意． 4. 下列二次根式中，不是同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】将每个选项中的二次根式化为最简二次根式，比较被开方数，找出被开方数不同的一组即可． 【详解】解：A选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； B选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； C选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； D选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数分别为和，不相同，不是同类二次根式． 5. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 11或13 【答案】C 【解析】 【分析】先求解一元二次方程得到第三边的两个可能取值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边长度，最后计算三角形周长． 【详解】解：， 因式分解得 ， ∴ ， 解得 或 ． 根据三角形三边关系，可得第三边的取值范围为 ， 即 ． ∵ 不满足 ，不能构成三角形，舍去， 满足 ，可以构成三角形． ∴三角形的周长为 ． 6. 设的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先估算的范围，得到的取值范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子化简计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，则， ∴，即， ∴的整数部分，小数部分为， ∴ ． 二、填空题． 7. 化简：（x＞0）=_____． 【答案】3x 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可. 【详解】==3x， 故答案为3x 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键． 8. 当________时，有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，列出不等式组，求解不等式组即可． 【详解】∵有意义， ∴ 由①得 ， 由②得 ， ∴不等式组的解集为． 9. 已知 ，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将 代入，化简各个二次根式，再合并同类项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 10. 比较大小：________（填“>”、“”、“<”）． 【答案】 < 【解析】 【分析】两个数均为负数，先对两个数做分子有理化变形，再比较绝对值的大小，根据两个负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，即可得出结论． 【详解】解：由题意得 ， ， 对两个数变形得：， ， ， ， ， ． 11. 如果，则x的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据，两边同除以需要改变不等号方向，然后再将所得式子化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴的取值范围是x， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，和二次根式的化简，关键是判断出0． 12. 如果 ，那么 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的非负性求出的值，再代入式子求出的值，最后即可求解． 【详解】∵ ， ∴据题意可得，，解得：， ∴ ， ∴，解得： ， ∴． 13. 方程 的根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】先移项将方程化为一边为0的形式，再提取公因式因式分解，令每个因式为0即可求出方程的根． 【详解】解：移项得 ， 提取公因式得 ， 则或 解得，． 14. 若与是同类二次根式，则的最小正整数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，设（为正整数），整理得，从的最小正整数开始依次代入找到的最小正整数即可． 【详解】∵与是同类二次根式， ∴设（为正整数）， 整理得， 当 时，，不是正整数，不符合要求， 当 时， ，是正整数，符合要求， ∴的最小正整数是． 15. 若，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：． 设．则原方程转化为关于t的一元二次方程 ，即；然后解关于t的方程即可． 【详解】解：设，则 ， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 故． 故答案为：6． 16. 当_____时，关于x的方程m-3x=是一元二次方程。 【答案】m≠1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程即可求解． 【详解】∵关于x的方程m-3x=是一元二次方程， ∴（m-1）+（m-3）x-2=0 ∴m-1≠0，解得m≠1 故答案为：m≠1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 17. 定义新运算“※”，规则： ，如，．若的两根分别为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】先通过因式分解法解方程，求出，根据新定义的运算规则，的值为和中较大的那个数，由此可解． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 解得：或， 则或． 故答案为：3． 【点睛】本题考查新定义运算和解一元二次方程，读懂题意，理解新定义的运算规则是解题的关键． 18. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则 ，记，，…，，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的计算推出 ，即可求出的值． 【详解】∵， ∴ ， ， …… ， …… ， ∴ ， ∴． 三、简答题． 19. 计算. 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化简，再进行加减计算. 【详解】解：原式= 【点睛】本题考查二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质进行化简是解题的关键. 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先化简，再根据二次根式乘除法法则计算即可得答案. 【详解】 =4a÷a· =4· = 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键. 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】将原式变形为平方差公式的标准形式，先利用平方差公式计算，再通过完全平方公式展开化简，结合二次根式的运算规则求解． 【详解】解：原式   ． 22. 用公式法解方程： ． 【答案】 ， 【解析】 【分析】找准方程各项系数，正确计算判别式后代入求根公式求解即可； 【详解】解：在 中，，， ， ∴ ， ∴代入求根公式得， ∴，． 23. 解方程： 【答案】x1=0.4，x2=4 【解析】 【分析】先移项，再将方程左边利用平方差公式分解后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解： ， ， 解得：， 故答案为. 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 24. 用配方法解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先将二次项系数化为1，然后根据配方法，可即答案. 【详解】解： 故答案为 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 四、解答题． 25. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据，判断的取值范围，再化简，最后代入、的值即可． 【详解】解：∵， ∴，或，， ∵， ∴，， ∵ ， 将，代入， 原式． 26. 先化简,后求值：，其中a=,b=. 【答案】，. 【解析】 【分析】先将分子进行因式分解，再约分化简，最后代入数据求值. 【详解】解：原式= = = 当a=,b=时， 原式= 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键. 27. 已知一元二次方程 有一个根为零，求m的值和方程的另一根． 【答案】 ；方程的另一根为 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程得到关于的方程，结合一元二次方程二次项系数不为0，舍去不符合条件的值，再将符合条件的代入原方程，求解得到方程的另一根． 【详解】解：一元二次方程 有一个根为， 将代入方程得 ， 因式分解得 ， 解得 ， 原方程是一元二次方程，二次项系数不为， ，即，  ， 将代入原方程得  ， 整理得 ， 提取公因式得 ， 解得， 方程的另一根为． 五、能力题． 28. 阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足 ，，且 ，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出 ，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将、可以看作方程的两个根，即得出 ，从而可求出 ，即或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个根为， ． 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两个根分别为， ， ． 【小问3详解】 解：∵实数满足 ， ∴可以看作方程的两个根， ， ， 或， 当时，， 当时，， 综上可知，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $