第三章 图形的相似（单元自测卷·四川成都专用）数学新教材北师大版九年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（四川成都专用） 第三章图形的相似（参考答案) A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1 2 6 7 8 D D B D D 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9.-7 10.911.9m 48 12.2+513.6 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14.【详解】解：(1)设2x=3y=5z=30k,则x=15k,y=10k,z=6k, x15k15k15 .y+z10k+6k16k16,4分 飞2)设8-5，则a=3k+”64+2,c5+32 .a+b+c=66, .3k+1+4k+2+5k+3=66, 解得k=5, .a=3×5+1=16,b=4×5+2=22,c=5×5+3=28.8分 15.【详解】(1)如图，△DEF即为所求. 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：点B的坐标为 -2,1) 点C(-34) ,△ABC按l:2放大得到△DEF, 点B的对应点E的坐标为： （4,2):点C的对应点F的坐标为： （-6,8) 故答案为： （-4,2)（-6,8) 8分 16.【详解】(1)解：如图，分别过点B,C作点A所在水平线的垂线，垂足分别为E,F, F A 北 E 西 →东 南 D AB=40N6,∠ABE=45°，∠AEB=∠AFC=90°，∠ACF=30° 根据题意得： .BE⊥BD,CF⊥BD BE∥CF, :EF∥BD, ∴四边形BCFE是平行四边形， .∠AEB=90° ∴四边形BCFE是矩形， 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BE=CF,EF=BC AE=AB-sin LABE=406x40 在Rt△ABE中， 2 (海里)， .BE=AE=403 (海里)， 在Rt△ACF中， AF-CF.n LACF-40x 3 40 (海里)， EF=4B-AF=40(3-)29(海里)， :BC=EF=40(3-≈29（海里）： (2)解：过点A作AH⊥BD,垂足为H, A 北 西 →东 南 H D 根据题意得：∠DAH=75°， .∠ABE=45°，∠EBH=90° ∠ABH=45°， ∠AHB=90°， ∠BAH=45°， CF⊥BD,AH⊥BD ∴.∠CAH=∠ACF=30° .∠BAC=∠BAH-∠CAH=15°， ∠D=180°-∠ABD-∠BAD=15°， .∠D=∠BAC, :∠ABD=∠ABD, 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABC∽△DBA, BC AC=AB AB AD BD· :AC=2AF=80, 40(3-1）80_406 40√6 AD BD, :AD=120W2+40V6BD=120W3+120 .CD=BD-BC=80W3+160 则(805+160÷[1202+40v6)÷30]=56+15V2) (海里/小时) 答：巡逻船的航行速度5,6+152 海里/小时.8分 17.【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .∠ABD=∠FDE=45,∠BAD=90° ,EF⊥BD, ∴.∠DFE=∠BAD=90°， .△ABD∽△FDE: (2)解：如图，连接AC交BD于点P, :四边形ABCD是正方形，边长为4， :AP⊥BD,AC=BD=VAB2+AD=4V2PA=BP=2√2 .EF⊥BD, .∠EFB=90°， .∠AFE=150°， 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AFP=∠AFE-∠EFB=60°， .∠PAF=90°-∠AFP=30°， ∴.AF=2PF, 由勾股定理得：AF2-PF2=PA, 。26 .、3PA 3 3， BF=BP+PF=2216 3.10分 18.【详解】(1)证明：四边形ABCD是矩形， .∠ADC=∠DCB=90°」 .∠ADH+∠CDB=90°， ,AE⊥BD, .∠AHD=90°， .∠ADH+∠DAE=90° .∠DAE=∠CDB, .△ADE∽△DCB.2分 (2)解：四边形ABCD是矩形，AD=4,CD=8, .BC=AD=4,AB=CD=8,∠DCB=90°. 在RtADCB中，DB=VDC2+BC2=V82+4=64+16=4W5 由(1)可知，△ADE∽△DCB AD DE 4 DE ∴Dc=BC,即8=4， 片DE=44=2 8 ,AE⊥BD, ∴.∠EHD=90°， .∠EHD=∠DCB=90°， .'∠HDE=∠CDB, 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△HIDEACDB, BC DB 445 .HEDE,即HE=2, HB=4×22V5 4V55.5分 (3)解：如图，过点F作FT⊥DC于点T,则∠FTE=90°， .EF=CF, .TCC 四边形ABCD是矩形，AD=4, .∠ADC=90°，BC=AD=4. ∴.∠ADC=∠FTE, .∠AED=∠FET, ∴.△ADE∽△FTE, 由(I)可知，△ADE∽△DCB AD DE AFTE∽△DCB,DCBC: EF ET ·BDBC,DCDE=AD·BC=16, .·EF=CF三2BD LBD ET=EF-25D 1 BC-BD-BD-2' 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方c=4=2 ∴.EC=2ET=4, .DC=DE+EC=DE+4, .DC·DE=16, :(DE+4纱DE=16 :DE+4DE+4=16+4,即(DE+2=20, :DE+2=t2V5 :DE=25-2DE=-2W5-2 ”或 (舍去).12分 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 836 19.∠B=∠D(答案不唯-）2030mm 214N2-42.45 23.3或17 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24.【详解】(1)证明：四边形ABCD是矩形， DC⊥BC,AB⊥BC,AB=DC, .FH⊥EF, .DC∥EF, .△HFE∽ADCE, HF EF DC CE' BE=CF, BF=CE, HF EF AB BF' ,∠ABF=∠HFE=90° 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABF∽aHFE; (2)解：由(1)知BF=CE, AB 1 BF-3 AB=CD=x FH=y .BF=3x=CE」 .EF BF+BE=3x+1. .·△HFE∽ADCE HF EF y3x+1 DCCE,即x=3x, y=x+! .8分 25.【详解】(1)解：在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC=BC2-AB2=4 AP=CO=tcm,PC=(4-t)cm 由题意得， 当△ABC∽△POC时， CP CO 有CACB, 4-1 1 即45 解得：120 9 当△ABC-△QPC时， CP CO 有CBCA· 4-t_t 即54' 解得：116 9 2016 .当t为g或g时，AABC与△P0C相似；3分 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：存在， 如图，作PD⊥BC于点D, A ◆入 D O .∠C=∠C∠PDC=∠A=90° ∴.ACPD∽aCAB PD CP .ABCB· PD 4-1 即35， 解得：PD=12-3 5, 1 1 ∴Sm=)×C0xPD=)×1x 2-3=-3+1 2 2 510+5 S0rc:S网边形AB0P=1:4 ∴.SoPC:SABc=1:5 :Se4B4Ac=x3x4=6m)】 .1 2 -3+54=x6 1055 解得：t=2, 当=2时， SOPC:S四边形AB0p=1:4 6分 (3)解：存在，当C0=CP时， .4-1=1, .t=2, 当PO=PC时，作PD⊥BC于点D, 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B SC .∠C=∠C∠PDC=∠A=90° ∴.△CPDACAB CD CP .CA CB, CD 4-t 即45 CD=16-4H 5 P9=PC,PD⊥BC ∴.CQ=2CD 1=2x16-4 5, 32 解得：1=3： 当P0=QC时， 作QE L AC于点E, E C :∠QEC=∠A=90° .QE∥AB CE CO ∴CACB, 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CEt 即45 4 ∴.CE= 5, PQ=QC,QE⊥AC. ∴.CP=2CE 4-1=2g 解得：1=20 13· 3220 .当f=2或13或13时，△PQC为等腰三角形.10分 26.【详解】(1)证明：∠ACB=90°， .∠BCD+∠ACE=90°， AE⊥CE, :∠AEC=90°， .∠ACE+∠CAE=90°， .∠BCD=∠CAE BD⊥DE, .∠BDC=90°， .∠BDC=∠AEC. △BDC∽△CEA.3分 (2)解：如图，过点E作EF⊥BC于点F, E B D 由(I)易得△EDF∽△DAC, .DE DF ”ADAC: 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·DE4 AD5·AC=20: DE 4 DF AD520, .DF=16. .BE=DE, .BF=DF, .BD=2DF=32 6分 (3)解：如图，过点A作AM⊥BC于点M,过点D作DN⊥BC,交BC的延长线于点N, A D B M E 'N.:∠AMB=∠DNC=90 四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD, .∠B=∠DCN :在△ABM和△DCN中， [∠AMB=∠DNC ∠B=∠DCN AB=CD ∴.△ABM≌ADCN(AAS) .BM=CN,AM=DN. :AB=AE,AM⊥BC, ∴.BM=ME, BE A 'EC3, ∴.设BE=4a,EC=3a, .BM=ME CN=2a,EN =5a, ∠AED=90°， 由(1)易得△AEM∽△EDN, 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM ME EN ND, AM2a 5a AM' .AM DN =10a :CD=4 ∴.(2a)2+(W10a)2=14 ∴.a=1或-1（不合题意，舍去）， .AM=10 BC=BE+EC=7a=7 小平行四边形MBCD BC×AM=7V10 面积为 12分 13/13 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(四川成都专用) 第三章 图形的相似 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例中项的概念可得a：b＝b：c，则可求得b：c值． 【详解】解：∵a：b＝3：2，b是a和c的比例中项， 即a：b＝b：c， ∴b：c＝3：2． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例中项的概念．解题关键是明确在线段a，b，c中，若b2＝ac，则b是a，c的比例中项． 2．如图，，若，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和运用平行线分线段成比例定理是解决本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，列式计算即可求解． 【详解】， ， ，， ， 解得． 故选：D． 3．已知两个相似三角形的周长比为，则它们的对应角平分线比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对相似三角形性质的理解，属于简单题，熟悉相似三角形的性质是解题关键． 根据相似三角形的性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应角平分线之比为， 故选：B． 4．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的定义，对于按顺序排列的四条线段、、、，如果，则它们成比例．计算每组中前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等，即可得解． 【详解】解：A、，，，不成比例； B、，，，不成比例； C、，，，成比例； D、，，，不成比例． 故选：C． 5．下列各组图形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】此题考查了相似多边形的判定，菱形，矩形和等边三角形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形，据此求解即可． 【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形，故D符合题意． ∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故A，B，C不符合题意； 故选：D． 6．如图，在中，，，，则的长是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据可得，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 7．如图，点D、E、F分别在等边的三边、、上，且，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定定理逐项判断即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． A、∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴，则此项不符合题意； B、在和中， ， ∴，则此项不符合题意； C、对应的夹角是和，因为由已知条件无法得出，所以此项不能判定和相似，符合题意； D、在和中，， ∴，则此项不符合题意； 故选：C． 8．如图，在矩形中，，，点E在边上，以为边作正方形，点F在边的延长线上，连接，，且，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形的边长为x，则、，通过证明，则，据此列出方程，求出的值，从而求出长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 设，则，， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，可设，（其中），再代入所求表达式计算． 【详解】解：， ∴可设，（其中）， ∴ 故答案为 ． 10．如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 _______． 【答案】9 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质—面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，相似比为， ∴与的面积之比为， ∵的面积为4， ∴的面积是9， 故答案为：9． 11．如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 若，则，代入相关长度，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线上一点，则， 若， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 12．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点．如图所示的五角星中，，且C，D两点都是AB的黄金分割点，若，则的长是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割点，在C，D两点中任意选一个黄金分割点，选C为黄金分割点时，根据黄金分割点的定义得出，设，则，列出关于x的一元二次方程求解x，进而即可求出． 【详解】解：根据题意得： ∵C点是的黄金分割点， ∴, 即， ∵， ∴设，则， ∴， 整理得：， 解得：, ∴，（舍去）． ∴. 故答案为：． 13．如图，若，，则的长为_____． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（）若，且，求的值． （）若，且满足，求、、的值． 【答案】（）；（） 【分析】本题考查了比例的基本性质，分式的化简求值，掌握比例的基本性质是解题的关键． （）设，则，，，再代入分式计算即可； （）设，则，，，再代入中求出的值即可求解； 【详解】解：（）设，则，，， ∴； （）设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． 15．网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． (1)以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． (2)点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2)； 【分析】（1）位似中心为点，根据位似比，连接，，，并反向延长一倍，在轴的左侧，即可求解； （2）根据题意求出点，的坐标，再根据位似比，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵点的坐标为， ∴点， ∵按放大得到， ∴点的对应点的坐标为：；点的对应点的坐标为：． 故答案为：；． 16．我国一艘巡逻船在某海域B处进行巡逻时，发现在东北方向海里的A处有一外国舰艇正在侦察我国海域，我方巡逻船立刻与其交涉文明劝返，当巡逻船沿着正东方向航行一段距离到达C处时，发现外国舰艇在位于北偏东方向A处原地不动． (1)求此时巡逻船航行的距离的长；（保留整数，参考数据：，，） (2)我方巡逻船立刻对其喊话驱离，外国舰艇立即以30海里/小时的速度沿着南偏东方向逃窜，此刻我方巡逻船同时从C处立即沿着正东方向在D处将其截获，求巡逻船的航行速度（结果保留根号） 【答案】(1)29 (2)巡逻船的航行速度海里/小时． 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，方位角的问题，相似三角形的判定与性质． （1）分别过点B，C作点A所在水平线的垂线，垂足分别为，根据题意得：，证明四边形是矩形，解直角三角形求出，即可解答； （2）过点作，垂足为，证明，求，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，分别过点B，C作点A所在水平线的垂线，垂足分别为， 根据题意得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，（海里）， （海里）， 在中，（海里）， （海里）， （海里）； （2）解：过点作，垂足为， 根据题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 则（海里/小时） 答：巡逻船的航行速度海里/小时． 17．如图，在正方形中，点E是边上的任意一点，作于F． (1)求证：； (2)已知正方形的边长，连接，当时，求的长．（结果保留根号） 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由正方形的性质易证； （2）连接交于点P，则，，由已知得，则可求得，从而由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点P， ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，含30度角直角三角形的性质及勾股定理等知识，掌握这些知识是关键． 18．如图，在矩形中，连接，过作于．交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)点为线段延长线上．连接，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）由四边形是矩形，可得，，再由，可得，则，即可证明结论； （2）由四边形是矩形，，，可得，由，可得，再证明，即可求解； （3）过点作于点，证明，可得，，则，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， 在中，， 由（1）可知，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：如图，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴或（舍去）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 20．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，且，交于点，则的长度为_____． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比．设，则，可得是的高，证明四边形是矩形，得到，从而得，根据相似三角形的性质得到，代入即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵，是高， ∴，即是的高， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 即，的长度为． 故答案为：． 21．如图，已知矩形，，，E，F分别为边上的动点，且，将四边形沿翻折到四边形，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】延长交于点，则，那么，在中，由勾股定理得，在中，由三边关系即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接 由沿翻折可知直线经过点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 由翻折得到：， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键 22．如下图，在中，平分交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接，若，则_____． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，结合三角形外角的性质，角的和差关系可得出，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵平分交于点， ∴， ∵的垂直平分线交的延长线于点， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 23．如图，在中，，，，点、分别是边，边上的点（、不与端点重合），且，将沿直线折叠，点的对应点为点，延长交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，求的长_______． 【答案】或 【分析】连接并延长，交于点，的延长线交于点，根据轴对称的性质得垂直平分，，，由得，所以；利用勾股定理解得，然后利用面积法解得，再分两种情况讨论：①，且，可推导出，，则有，进而可得；②，且，可推导出，则有，进而可得． 【详解】解：连接并延长，交于点，的延长线交于点， ∵将沿直线折叠，点的对应点为点， ∴垂直平分，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， 即， ∴， 分两种情况讨论， ①当，且时，如图1， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴； ②当，且时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的性质、全等三角形的性质、三角函数的应用等知识，综合性强，难度较大，解题关键是正确作出辅助线并运用分类讨论的思想分析问题． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，已知矩形，点E在的延长线上，点F在的延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，． (1)求证：． (2)若，，，求y关于x的函数表达式． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质得出，进而得出，结合题意可得，再结合即可求证； （2）先表示出，，再由得出，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 25．已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当或时，与相似 (2)存在，当时， (3)存在，当或或时，为等腰三角形 【分析】（1）由勾股定理求出，再分为当时及当时，两种情况求解即可； （2）作于点，首先证明，可表示出，由，可得，代入面积公式即可列出方程，从而得出答案； （3）分，，三种情形，分别画出图形，进行计算即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得： ， 由题意得，， 当时， 有， 即， 解得：， 当时， 有， 即， 解得：， 当t为或时，与相似； （2）解：存在， 如图，作于点， ，， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ∵ ， 解得：， 当时，； （3）解：存在，当时， ， ， 当时，作于点， ，， ， ， 即， ， ∵， ， ， 解得：； 当时， 作于点， ， ， ， 即， ， ∵，， ， ， 解得：， 当或或时，为等腰三角形． 26．【基础巩固】 (1)如图①，在中，，直线过点，分别过、两点作，，垂足分别为点、．求证：； 【尝试应用】 (2)如图②，在中，，是上一点，过点作的垂线交于点．若，，，求的长； 【拓展提高】 (3)如图③，在平行四边形中，在上取点，使得，若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． (2) (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等推导等角，结合垂直得到两组对应角相等，证明两个三角形相似； （2）过点作于点，利用相似比求出线段长，结合等腰三角形三线合一，求得； （3）过点作于点，过点作，先证，结合等腰三角形三线合一设参数，利用相似得到线段关系，再根据勾股定理求出、，最后用底乘高计算平行四边形面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 由（1）易得， ， ，， ， ， ， ， ． （3）解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ∴设，， ，， ， 由（1）易得， ， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， ，， 平行四边形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(四川成都专用) 第三章 图形的相似 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，，若，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 3．已知两个相似三角形的周长比为，则它们的对应角平分线比为（    ） A． B． C． D． 4．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 5．下列各组图形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 6．如图，在中，，，，则的长是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图，点D、E、F分别在等边的三边、、上，且，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，点E在边上，以为边作正方形，点F在边的延长线上，连接，，且，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如果，那么_________． 10．如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 _______． 11．如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 12．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点．如图所示的五角星中，，且C，D两点都是AB的黄金分割点，若，则的长是________． 13．如图，若，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（）若，且，求的值． （）若，且满足，求、、的值． 15．网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． (1)以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． (2)点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 16．我国一艘巡逻船在某海域B处进行巡逻时，发现在东北方向海里的A处有一外国舰艇正在侦察我国海域，我方巡逻船立刻与其交涉文明劝返，当巡逻船沿着正东方向航行一段距离到达C处时，发现外国舰艇在位于北偏东方向A处原地不动． (1)求此时巡逻船航行的距离的长；（保留整数，参考数据：，，） (2)我方巡逻船立刻对其喊话驱离，外国舰艇立即以30海里/小时的速度沿着南偏东方向逃窜，此刻我方巡逻船同时从C处立即沿着正东方向在D处将其截获，求巡逻船的航行速度（结果保留根号） 17．如图，在正方形中，点E是边上的任意一点，作于F． (1)求证：； (2)已知正方形的边长，连接，当时，求的长．（结果保留根号） 18．如图，在矩形中，连接，过作于．交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)点为线段延长线上．连接，若，求的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 20．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，且，交于点，则的长度为_____． 21．如图，已知矩形，，，E，F分别为边上的动点，且，将四边形沿翻折到四边形，则的最小值为______． 22．如下图，在中，平分交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接，若，则_____． 23．如图，在中，，，，点、分别是边，边上的点（、不与端点重合），且，将沿直线折叠，点的对应点为点，延长交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，求的长_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，已知矩形，点E在的延长线上，点F在的延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，． (1)求证：． (2)若，，，求y关于x的函数表达式． 25．已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 26．【基础巩固】 (1)如图①，在中，，直线过点，分别过、两点作，，垂足分别为点、．求证：； 【尝试应用】 (2)如图②，在中，，是上一点，过点作的垂线交于点．若，，，求的长； 【拓展提高】 (3)如图③，在平行四边形中，在上取点，使得，若，，，求平行四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(四川成都专用) 第三章 图形的相似 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，，若，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 3．已知两个相似三角形的周长比为，则它们的对应角平分线比为（    ） A． B． C． D． 4．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 5．下列各组图形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 6．如图，在中，，，，则的长是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图，点D、E、F分别在等边的三边、、上，且，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，点E在边上，以为边作正方形，点F在边的延长线上，连接，，且，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如果，那么_________． 10．如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 _______． 11．如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 12．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点．如图所示的五角星中，，且C，D两点都是AB的黄金分割点，若，则的长是________． 13．如图，若，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（）若，且，求的值． （）若，且满足，求、、的值． 15．网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． (1)以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． (2)点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 16．我国一艘巡逻船在某海域B处进行巡逻时，发现在东北方向海里的A处有一外国舰艇正在侦察我国海域，我方巡逻船立刻与其交涉文明劝返，当巡逻船沿着正东方向航行一段距离到达C处时，发现外国舰艇在位于北偏东方向A处原地不动． (1)求此时巡逻船航行的距离的长；（保留整数，参考数据：，，） (2)我方巡逻船立刻对其喊话驱离，外国舰艇立即以30海里/小时的速度沿着南偏东方向逃窜，此刻我方巡逻船同时从C处立即沿着正东方向在D处将其截获，求巡逻船的航行速度（结果保留根号） 17．如图，在正方形中，点E是边上的任意一点，作于F． (1)求证：； (2)已知正方形的边长，连接，当时，求的长．（结果保留根号） 18．如图，在矩形中，连接，过作于．交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)点为线段延长线上．连接，若，求的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 20．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，且，交于点，则的长度为_____． 21．如图，已知矩形，，，E，F分别为边上的动点，且，将四边形沿翻折到四边形，则的最小值为______． 22．如下图，在中，平分交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接，若，则_____． 23．如图，在中，，，，点、分别是边，边上的点（、不与端点重合），且，将沿直线折叠，点的对应点为点，延长交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，求的长_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，已知矩形，点E在的延长线上，点F在的延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，． (1)求证：． (2)若，，，求y关于x的函数表达式． 25．已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 26．【基础巩固】 (1)如图①，在中，，直线过点，分别过、两点作，，垂足分别为点、．求证：； 【尝试应用】 (2)如图②，在中，，是上一点，过点作的垂线交于点．若，，，求的长； 【拓展提高】 (3)如图③，在平行四边形中，在上取点，使得，若，，，求平行四边形的面积． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $