第22章 相似形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦相似形单元核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合文化传承与生活实践情境，适配初中数学单元复习，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|比例线段（1）、相似判定（3）、位似（4）、黄金分割（10）|结合《孙子算经》古题（6），考查数学文化与应用| |填空题|4/20|相似条件组合（12）、矩形相似计算（13）、测量应用（14）|设置开放性问题（12），培养分类讨论思维| |解答题|9/90|位似作图（16）、矩形相似证明（17）、测量建模（19）、动态几何（22-23）|设计古塔测量（19）、油画欣赏（20）等真实情境，综合考查推理能力与模型意识|

第二十二章 相似形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D B B B C C C D 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11． 12． 3 13． 14． 9 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入计算可得，再利用，可求出，最后利用线段的和差可求出DE的长。 【答案】解：∵b∥c， ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵a∥c， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 16.【答案】（1）见详解；（2）P′（2m，2n） 【分析】（1）延长A′A和B′B相交于一点，则此点即为位似中心。（2）根据有两个角相等的两个三角形相似易证△POF∽△P′OE，根据相似三角形的对应边成比例可得位似比，进而求出相应边的长度，最后可以求得点P′的坐标。 【答案】（1）解： （2）解：如图建立直角坐标系，在线段AC上随机取一点P，连接OP并延长与线段A′C′的交点即为P′，作P′E⊥x轴，PF⊥x轴， ∵P′E⊥x轴，PF⊥x轴， ∴∠P′EO=∠PFO=90°， ∵∠POF=∠P′OE， ∴△POF∽△P′OE， ∴ = = ， ∵OA=6，O A′=12， ∴ = ， ∵△OAP与△OA′P′是关于点G为位似中心的位似图形， ∴ = = ， ∴ = = ， ∵PF=n，OF=－m， ∴P′E=2n，OE=－2m， ∴P′（2m，2n）. 17.【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）根据矩形性质可得∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠DEA＝90°，再根据角之间的关系可得∠BAM＝∠EDA，再根据相似三角形判定定理即可求出答案. （2）根据勾股定理可得AM，再根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案. 【详解】证明：（1）∵在矩形ABCD中，DE⊥AM于点E， ∴∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠DEA＝90°， ∴∠BAM+∠EAD＝90°，∠EDA+∠EAD＝90°， ∴∠BAM＝∠EDA， 在△ADE和△MAB中，∵∠AED＝∠B，∠EDA＝∠BAM， ∴△ADE∽△MAB； （2）∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点， ∴BM＝， ∴AM＝， 由（1）知，△ADE∽△MAB， ∴， ∴， 解得，DE＝． 18.【答案】（1）∠ABC＝135°；（2）见详解 【分析】(1)利用勾股定理分别计算出BC、AB、AC的长度，计算出三边的比例可得答案；(2)根据相似三角形作图可得． 【详解】（1）由勾股定理得BC＝ 、AB＝2、AC＝ ， ∴BC：AB：AC＝ ：2： ＝1： ： ， ∴△ABC是神奇三角形，∠ABC＝135°； （2） 19.【答案】22米 【分析】由题易知 ，，根据相似三角形的性质可得 ，，由，推出 ，代入数值解得AC=40m，再代入 即可求得AB的长. 【详解】解：由题意得：，， ∴，， ， ∴， ， （米）， ∵， ∴， （米）， 答：古塔的高度为22米． 20．【答案】（1）；（2）；（3）他应该远离墙壁． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出AB=BD，根据等腰三角形的性质得到所以∠ABD=2∠EAB，进而得出答案； （2）根据相似三角形的判定证得， 再根据相似三角形的对应边成比例解答即可求出结果． （3）当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，所以当油画底部处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，则人与油画的中心位置所夹的角也越来越小，进而小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁． 【详解】解：（1）连接BD，如图所示： ∵，AB∥MN， ∴∠CAB=90°， ∴∠PAD+∠DAB=90°， ∵BE⊥AD， ∴∠DAB+∠ABE=90°， ∴∠PAD=∠ABE， ∵点E是AD的中点， ∴AB=BD， ∴∠ABD=2∠EAB， ∵， ∴， 故答案为； （2）∵，， ∴， ∴， ∵=100cm，点E是AD的中点， ∴AE=50cm， ∴， ∴， ∴油画顶部到墙壁的距离是； （3）因为当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，所以当油画底部处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，则人与油画的中心位置所夹的角也越来越小，进而小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁． 21.【答案】（1）；（2）（3）见详解 【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长即可； （2）找出线段BC的中点即可得到答案； （3）设，则，再求出即可。 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：如图①中，点即为所求， 理由如下： 根据平行四边形对角线互相平分或平行线分线段成比例，确定出为的中点， 再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到； （3）解：如图②中，点即为所求， 理由如下： 根据与相交于，利用网格的特点得出两个三角形相似或平行线分线段成比例，建立等式， 例如：设， 则， 解得， 即点为所求． 22.【答案】（1）PQ=AD=1；（2）时 【分析】（1）根据补角可得∠APD+∠QPE=90°，再根据正方形性质可得∠A=90°，再根据角之间的关系可得∠A=∠Q=90°，由全等三角形判定定理可得△ADP≌△QPE（AAS），则PQ=AD=1，即可求出答案. （2）根据相似三角形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得△DAP∽△PBF，则，即，根据边之间的关系可得，即可求出答案. 【答案】（1）解：根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°， ∴∠APD+∠QPE=90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°. ∴∠ADP+∠APD=90°. ∴∠ADP=∠QPE. ∵EQ⊥AB， ∴∠A=∠Q=90°. 在△ADP和△QPE中， ∵ ∴△ADP≌△QPE（AAS）， ∴PQ=AD=1. （2）解：若△PFD∽△BFP，则 ∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A， ∴△DAP∽△PBF， ∴ ∴当时， 23.【答案】（1）PA＝PE；（2）见详解；（3）线段BF的长为 或 【分析】（1）过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于，根据正方形的性质，可证得PM=PN，∠APM＝∠EPN，即可证得△APM≌△EPN，得到PA＝PE； （2）过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，根据矩形的性质可证得∠APM＝∠EPN，再证明△APM∽△EPN，得到 再证明△BPM∽△BDA，△BPN∽△BDC，得到相似比 ， ，即可得出 ； （3）①当P在O的右上方时，由（2）得： ，得PA长度，再求出BD、AO长度，因为tan∠ABD＝ 可求得BO，利用勾股定理求得OP，即可求出BP，根据四边形APEF是矩形，可求出PF＝AE长度，QB、QA，证得点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，所以∠PBF＝90°，即可求得BF．②当P在O的左下方时，用同样的方法可求得AO、BO、OP、PF、BP，可得：点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，所以∠PBF＝90°，利用勾股定理即可求得BF． 【详解】（1）线段PA和PE的数量关系为：PA＝PE，理由如下： 过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC， ∴PM＝PN， ∴四边形MBNP是正方形， ∴∠MPN＝90°， ∵PE⊥AP， ∴∠APE＝90°， ∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°， ∴∠APM＝∠EPN， 在△APM和△EPN中， ， ∴△APM≌△EPN（ASA）， ∴PA＝PE， 故答案为：PA＝PE； （2）解：过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图2所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，CD＝AB，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ABC＝90°， ∴四边形MBNP是矩形， ∴∠MPN＝90°， ∵PE⊥AP， ∴∠APE＝90°， ∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°， ∴∠APM＝∠EPN， ∵∠AMP＝∠ENP＝90°， ∴△APM∽△EPN， ∴ ∵PM⊥AB，PN⊥BC，AD⊥AB，CD⊥BC， ∴PM∥AD，PN∥CD， ∴△BPM∽△BDA，△BPN∽△BDC， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ∴ （3）连接AE、PF交于Q，连接QB，过点A作AO⊥BD于O， ①当P在O的右上方时，如图3所示： 由（2）得： ∴PA＝ PE＝ ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝10，∠BAD＝90°， ∴BD＝ ∵AO⊥BD， ∵△ABD的面积＝ ∴ ∵tan∠ABD＝ ∴ 解得：BO＝ 由勾股定理得：OP＝ ∴BP＝BO+OP＝ ∵四边形APEF是矩形， ∴∠AEP＝90°，AE＝PE，QA＝QE＝QP＝QF， ∴PF＝AE＝ ∵∠ABE＝90°， ∴QB＝ AE＝QE， ∴QA＝QE＝QP＝QF＝QB， ∴点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径， ∴∠PBF＝90°， ∴BF＝ ②当P在O的左下方时，如图4所示： 同理可得：AO＝ ，BO＝ ，OP＝ ，PF＝ ， 则BP＝BO﹣OP＝ ， 同理可得：点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径， ∴∠PBF＝90°， ∴BF＝ 综上所述，当PE＝ 时，线段BF的长为 或 ． 故答案为： 或 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 相似形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知 ，则 的值为（　　）. A． B． C． D． 2．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（　　） A．a= b B．a=2 b C．a=2b D．a=4b 3．以下条件不可以判定△ABC与△A′B′C′相似的是（　　） A． = = B． = ，且∠A=∠A’ C．∠A=∠B’，∠B=∠C’ D． = ，且∠A=∠A’ 4．如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为（　　） A．15 B．12 C．9 D．6 5．如图，和都是等腰三角形，且，点B，C，D在同一条直线上，和的面积分别为16和25，则图中阴影部分的面积为（　　） A．18 B．20 C． D．22 6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有一题：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为（　　）． A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺 7．如图，正方形中，分别在边上，相交于点， 若，则的值是（ ） A． B． C． D． 8．路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是（　　） A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米 9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　） A．(6，5) B．(6，0) C．(6，4) D．(4，2) 10．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为，它被公认为是最能引起美感的比例，如图为世界名画蒙娜丽莎．如图，点是正方形的边上的黄金分割点，且，以为边作正方形，延长交于点，连结交于点，连结，则为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．如果的值是黄金分割数，那么的值为　 　． 12．在△ABC与△A'B'C'中，有下列条件： ①；②；③∠A=∠A'；④∠C=∠C'．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A'B'C'的共有　 　组． 13．如图，已知矩形ABCD∽矩形BCFE，AD=AE=1，则AB的长为　 　 14．如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为　 　m． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.如图， ，直线 ， 交于点 ，且分别与直线 ， ， 交于点 ， ， 和点 ， ， ，已知 ， ， ， ，求 的长度． 16.如图，图中小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点G为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上． （1）画出位似中心点G； （2）若点A、B在平面直角坐标系中的坐标分别为（﹣6，0），（-3，2），点P（m，n）是线段AC上任意一点，求点P在△A′B′C′上的对应点P′的坐标． 17.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E． （1）求证：△ADE∽△MAB； （2）求DE的长． 18.我们定义：三边之比为1： ： 的三角形叫神奇三角形． （1）如图一，△ABC是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证明△ABC是神奇三角形，并直接写出∠ABC的度数； （2）请你在下列2×5的正方形网格中(图二)分别画出一个与(1)中△ABC不全等的大小各不同的格点神奇三角形． 19.某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标B杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB． 20．我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面欣赏悬挂在墙壁上的油画（）的示意图，设油画与墙壁的夹角，此时小然的眼睛与油画底部处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置处，且与垂直．已知油画的长度为． （1）视线的度数为　 　；（用含的式子表示） （2）当小然到墙壁的距离时，求油画顶部点到墙壁的距离； （3）当油画底部处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁，还是不动或者远离墙壁？（直接回答即可） 21.图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图： （1）图①中，的长为　 　． （2）在图①中的BC边上确定一点P，使点P到三个顶点距离相等． （3）在图②中，在的边上确定一点M，使得． 22.如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q． （1）求线段PQ的长； （2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由． 23.矩形ABCD中，点P在对角线BD上（点P不与点B重合），连接AP，过点P作PE⊥AP交直线BC于点E． （1）如图1，当AB＝BC时，猜想线段PA和PE的数量关系：　 　； （2）如图2，当AB≠BC时．求证： （3）若AB＝8，BC＝10，以AP，PE为边作矩形APEF，连接BF，当PE＝ 时，直接写出线段BF的长． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 相似形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知 ，则 的值为（　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件5a=4b，用含b的代数式表示出a，将a代入代数式可求出此代数式的值. 【详解】解：∵5a=4b， ∴a= b， ∴ . 故答案为：D. 2．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（　　） A．a= b B．a=2 b C．a=2b D．a=4b 【答案】C 【分析】根据对折的性质可知：对折两次后的小长方形纸片的长为b，宽为 ，根据相似多边形的对应边成比例得出整理即可得出答案。 【详解】解：由题干可知，对折两次后的小长方形纸片的长为b，宽为 ，为了使小长方形与原长方形相似，由相似的性质有 化简整理得a=2b。 故答案为：C。 3．以下条件不可以判定△ABC与△A′B′C′相似的是（　　） A． = = B． = ，且∠A=∠A’ C．∠A=∠B’，∠B=∠C’ D． = ，且∠A=∠A’ 【答案】D 【分析】根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可对A进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对B、D进行判断；根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对C进行判断． 【详解】解：A、因为 = = ，所以△ABC∽△A′B′C′，即A选项可以判断△ABC与△A′B′C′相似； B、因为 = ，∠A=∠A′，所以△ABC∽△A′B′C′，即B选项可以判断△ABC与△A′B′C′相似； C、因为∠A=∠B′，∠B=∠C′，所以△ABC∽△B′C′A′，即C选项可以判断△ABC与△A′B′C′相似； D、因为 = ，∠C=∠C′，所以△ABC∽△A′B′C′，即D选项不可以判断△ABC与△A′B′C′相似． 故选D． 4．如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为（　　） A．15 B．12 C．9 D．6 【答案】B 【分析】因为位似是相似的特殊情况，所以根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解. 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似三角形， ∴， ∵面积是3， ∴， 解得：. 故答案为：B. 5．如图，和都是等腰三角形，且，点B，C，D在同一条直线上，和的面积分别为16和25，则图中阴影部分的面积为（　　） A．18 B．20 C． D．22 【答案】B 【分析】根据等腰三角形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，，再根据相似三角形性质可得，再由边上的高和边上的高相等，得到的比即可求出答案. 【详解】解：和是等腰三角形，且 ， 又， 边上的高和边上的高相等 ， ． 故答案为：B． 6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有一题：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为（　　）． A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺 【答案】B 【分析】设竹竿的长度为x尺，根据同一时刻的物高与影长成正比可得关于x的比例式求解. 【详解】解：设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺， ∴，解得：x=45（尺）. 故答案为：B. 7．如图，正方形中，分别在边上，相交于点， 若，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，交于N，交于M，根据正方形性质及矩形判定定理可得四边形是矩形，则，设，则再根据平行线分线段成比例性质即可求出答案. 【详解】解：如图，作，交于N，交于M． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， 设，则 ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：C 8．路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是（　　） A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米 【答案】C 【分析】延长FH交AB于点M，利用矩形性质得出BM，DF，然后易证△AMG∽△FDE，利用相似三角形的对应边成比例可得AM：MG=DF：DE，据此求出AM，则AB=AM+BM即可得解。 【详解】解：延长FH交AB于点M，则得∠AMG=90°，四边形BCMH是矩形。 ∵四边形CDFH是矩形 ∴BM=CH=DF=3，∠AMG=90° ∵AG∥FE ∴∠AGM=∠FED 又∵∠FDE=∠AMG=90° ∴△AMG∽△FDE ∴AM：MG=DF：DE 即AM：（5+2）=3：4 解得 AM=5.25 ∴AB=AM+BM=8.25(米) 故答案为：C。 9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　） A．(6，5) B．(6，0) C．(6，4) D．(4，2) 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定：对应边成比例及夹角相等的两个三角形相似；由此逐一分析即可得出答案. 【详解】解：∵A（1，7），B（1，1），C（4，1）， ∴AB=6，BC=3，∠ABC=90°， A.当E（6，5）时， ∵D（6，1），C（4，1）， ∴DE=4，CD=2，∠EDC=90°， ∴，∠ABC=∠EDC， ∴△ABC∽△EDC， B.当E（6，0）时， ∵D（6，1），C（4，1）， ∴DE=1，CD=2，∠CDE=90°， ∴，∠ABC=∠CDE， ∴△ABC∽△CDE， C.当E（6，4）时， ∵D（6，1），C（4，1）， ∴DE=3，CD=2，∠EDC=90°， ∴≠，∠ABC=∠EDC， ∴△ABC与△EDC不相似， D.当E（4，2）时， ∵D（6，1），C（4，1）， ∴CE=1，CD=2，∠ECD=90°， ∴，∠ABC=∠DCE， ∴△ABC∽△DCE， 故答案为：C. 10．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为，它被公认为是最能引起美感的比例，如图为世界名画蒙娜丽莎．如图，点是正方形的边上的黄金分割点，且，以为边作正方形，延长交于点，连结交于点，连结，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和黄金分割的比值得出，再证明，即可得到，求出，利用矩形的性质与判定得到，然后求出面积比解题． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是正方形的边上的黄金分割点，且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．如果的值是黄金分割数，那么的值为　 　． 【答案】 【分析】由黄金比得，再根据比例的性质求解． 【详解】解：∵的值是黄金分割数， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 12．在△ABC与△A'B'C'中，有下列条件： ①；②；③∠A=∠A'；④∠C=∠C'．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A'B'C'的共有　 　组． 【答案】3 【分析】根据相似三角形的判定定理：三组对应边的比相等的两个三角形相似、两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似，（1）（2）；（2）（4）；（3）（4）三种选法可判定. 【详解】解：，， ， ，， ， ，， ， ∴能判断的共有3组． 13．如图，已知矩形ABCD∽矩形BCFE，AD=AE=1，则AB的长为　 　 【答案】 【分析】设AB的长为x，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，解一元二次方程即可． 【详解】解：设AB的长为x，则FC=x﹣1， ∵矩形ABCD∽矩形BCFE， ∴ = ，即 = ， 整理得，x2﹣x﹣1=0， 解得，x1= ，x2= （舍去）， 故答案为： ． 14．如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为　 　m． 【答案】9 【分析】构建相似三角形△OCD、△OAB，再由对应边成比例即可求出，注意AB的对应边是OB，而不是BD. 【详解】∵OD=4m，BD=14m， ∴OB=OD+BD=18m， 由题意可知∠ODC=∠OBA，且∠O为公共角， ∴△OCD∽△OAB， ∴ = ，即 = ，解得AB=9， 即旗杆AB的高为9m． 故答案为：9． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.如图， ，直线 ， 交于点 ，且分别与直线 ， ， 交于点 ， ， 和点 ， ， ，已知 ， ， ， ，求 的长度． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入计算可得，再利用，可求出，最后利用线段的和差可求出DE的长。 【答案】解：∵b∥c， ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵a∥c， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 16.如图，图中小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点G为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上． （1）画出位似中心点G； （2）若点A、B在平面直角坐标系中的坐标分别为（﹣6，0），（-3，2），点P（m，n）是线段AC上任意一点，求点P在△A′B′C′上的对应点P′的坐标． 【答案】（1）见详解；（2）P′（2m，2n） 【分析】（1）延长A′A和B′B相交于一点，则此点即为位似中心。（2）根据有两个角相等的两个三角形相似易证△POF∽△P′OE，根据相似三角形的对应边成比例可得位似比，进而求出相应边的长度，最后可以求得点P′的坐标。 【答案】（1）解： （2）解：如图建立直角坐标系，在线段AC上随机取一点P，连接OP并延长与线段A′C′的交点即为P′，作P′E⊥x轴，PF⊥x轴， ∵P′E⊥x轴，PF⊥x轴， ∴∠P′EO=∠PFO=90°， ∵∠POF=∠P′OE， ∴△POF∽△P′OE， ∴ = = ， ∵OA=6，O A′=12， ∴ = ， ∵△OAP与△OA′P′是关于点G为位似中心的位似图形， ∴ = = ， ∴ = = ， ∵PF=n，OF=－m， ∴P′E=2n，OE=－2m， ∴P′（2m，2n）. 17.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E． （1）求证：△ADE∽△MAB； （2）求DE的长． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）根据矩形性质可得∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠DEA＝90°，再根据角之间的关系可得∠BAM＝∠EDA，再根据相似三角形判定定理即可求出答案. （2）根据勾股定理可得AM，再根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案. 【详解】证明：（1）∵在矩形ABCD中，DE⊥AM于点E， ∴∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠DEA＝90°， ∴∠BAM+∠EAD＝90°，∠EDA+∠EAD＝90°， ∴∠BAM＝∠EDA， 在△ADE和△MAB中，∵∠AED＝∠B，∠EDA＝∠BAM， ∴△ADE∽△MAB； （2）∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点， ∴BM＝， ∴AM＝， 由（1）知，△ADE∽△MAB， ∴， ∴， 解得，DE＝． 18.我们定义：三边之比为1： ： 的三角形叫神奇三角形． （1）如图一，△ABC是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证明△ABC是神奇三角形，并直接写出∠ABC的度数； （2）请你在下列2×5的正方形网格中(图二)分别画出一个与(1)中△ABC不全等的大小各不同的格点神奇三角形． 【答案】（1）∠ABC＝135°；（2）见详解 【分析】(1)利用勾股定理分别计算出BC、AB、AC的长度，计算出三边的比例可得答案；(2)根据相似三角形作图可得． 【详解】（1）由勾股定理得BC＝ 、AB＝2、AC＝ ， ∴BC：AB：AC＝ ：2： ＝1： ： ， ∴△ABC是神奇三角形，∠ABC＝135°； （2） 19.某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标B杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB． 【答案】22米 【分析】由题易知 ，，根据相似三角形的性质可得 ，，由，推出 ，代入数值解得AC=40m，再代入 即可求得AB的长. 【详解】解：由题意得：，， ∴，， ， ∴， ， （米）， ∵， ∴， （米）， 答：古塔的高度为22米． 20．我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面欣赏悬挂在墙壁上的油画（）的示意图，设油画与墙壁的夹角，此时小然的眼睛与油画底部处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置处，且与垂直．已知油画的长度为． （1）视线的度数为　 　；（用含的式子表示） （2）当小然到墙壁的距离时，求油画顶部点到墙壁的距离； （3）当油画底部处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁，还是不动或者远离墙壁？（直接回答即可） 【答案】（1）；（2）；（3）他应该远离墙壁． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出AB=BD，根据等腰三角形的性质得到所以∠ABD=2∠EAB，进而得出答案； （2）根据相似三角形的判定证得， 再根据相似三角形的对应边成比例解答即可求出结果． （3）当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，所以当油画底部处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，则人与油画的中心位置所夹的角也越来越小，进而小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁． 【详解】解：（1）连接BD，如图所示： ∵，AB∥MN， ∴∠CAB=90°， ∴∠PAD+∠DAB=90°， ∵BE⊥AD， ∴∠DAB+∠ABE=90°， ∴∠PAD=∠ABE， ∵点E是AD的中点， ∴AB=BD， ∴∠ABD=2∠EAB， ∵， ∴， 故答案为； （2）∵，， ∴， ∴， ∵=100cm，点E是AD的中点， ∴AE=50cm， ∴， ∴， ∴油画顶部到墙壁的距离是； （3）因为当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，所以当油画底部处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，则人与油画的中心位置所夹的角也越来越小，进而小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁． 21.图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图： （1）图①中，的长为　 　． （2）在图①中的BC边上确定一点P，使点P到三个顶点距离相等． （3）在图②中，在的边上确定一点M，使得． 【答案】（1）；（2）（3）见详解 【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长即可； （2）找出线段BC的中点即可得到答案； （3）设，则，再求出即可。 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：如图①中，点即为所求， 理由如下： 根据平行四边形对角线互相平分或平行线分线段成比例，确定出为的中点， 再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到； （3）解：如图②中，点即为所求， 理由如下： 根据与相交于，利用网格的特点得出两个三角形相似或平行线分线段成比例，建立等式， 例如：设， 则， 解得， 即点为所求． 22.如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q． （1）求线段PQ的长； （2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由． 【答案】（1）PQ=AD=1；（2）时 【分析】（1）根据补角可得∠APD+∠QPE=90°，再根据正方形性质可得∠A=90°，再根据角之间的关系可得∠A=∠Q=90°，由全等三角形判定定理可得△ADP≌△QPE（AAS），则PQ=AD=1，即可求出答案. （2）根据相似三角形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得△DAP∽△PBF，则，即，根据边之间的关系可得，即可求出答案. 【答案】（1）解：根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°， ∴∠APD+∠QPE=90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°. ∴∠ADP+∠APD=90°. ∴∠ADP=∠QPE. ∵EQ⊥AB， ∴∠A=∠Q=90°. 在△ADP和△QPE中， ∵ ∴△ADP≌△QPE（AAS）， ∴PQ=AD=1. （2）解：若△PFD∽△BFP，则 ∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A， ∴△DAP∽△PBF， ∴ ∴当时， 23.矩形ABCD中，点P在对角线BD上（点P不与点B重合），连接AP，过点P作PE⊥AP交直线BC于点E． （1）如图1，当AB＝BC时，猜想线段PA和PE的数量关系：　 　； （2）如图2，当AB≠BC时．求证： （3）若AB＝8，BC＝10，以AP，PE为边作矩形APEF，连接BF，当PE＝ 时，直接写出线段BF的长． 【答案】（1）PA＝PE；（2）见详解；（3）线段BF的长为 或 【分析】（1）过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于，根据正方形的性质，可证得PM=PN，∠APM＝∠EPN，即可证得△APM≌△EPN，得到PA＝PE； （2）过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，根据矩形的性质可证得∠APM＝∠EPN，再证明△APM∽△EPN，得到 再证明△BPM∽△BDA，△BPN∽△BDC，得到相似比 ， ，即可得出 ； （3）①当P在O的右上方时，由（2）得： ，得PA长度，再求出BD、AO长度，因为tan∠ABD＝ 可求得BO，利用勾股定理求得OP，即可求出BP，根据四边形APEF是矩形，可求出PF＝AE长度，QB、QA，证得点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，所以∠PBF＝90°，即可求得BF．②当P在O的左下方时，用同样的方法可求得AO、BO、OP、PF、BP，可得：点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，所以∠PBF＝90°，利用勾股定理即可求得BF． 【详解】（1）线段PA和PE的数量关系为：PA＝PE，理由如下： 过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC， ∴PM＝PN， ∴四边形MBNP是正方形， ∴∠MPN＝90°， ∵PE⊥AP， ∴∠APE＝90°， ∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°， ∴∠APM＝∠EPN， 在△APM和△EPN中， ， ∴△APM≌△EPN（ASA）， ∴PA＝PE， 故答案为：PA＝PE； （2）解：过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图2所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，CD＝AB，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ABC＝90°， ∴四边形MBNP是矩形， ∴∠MPN＝90°， ∵PE⊥AP， ∴∠APE＝90°， ∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°， ∴∠APM＝∠EPN， ∵∠AMP＝∠ENP＝90°， ∴△APM∽△EPN， ∴ ∵PM⊥AB，PN⊥BC，AD⊥AB，CD⊥BC， ∴PM∥AD，PN∥CD， ∴△BPM∽△BDA，△BPN∽△BDC， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ∴ （3）连接AE、PF交于Q，连接QB，过点A作AO⊥BD于O， ①当P在O的右上方时，如图3所示： 由（2）得： ∴PA＝ PE＝ ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝10，∠BAD＝90°， ∴BD＝ ∵AO⊥BD， ∵△ABD的面积＝ ∴ ∵tan∠ABD＝ ∴ 解得：BO＝ 由勾股定理得：OP＝ ∴BP＝BO+OP＝ ∵四边形APEF是矩形， ∴∠AEP＝90°，AE＝PE，QA＝QE＝QP＝QF， ∴PF＝AE＝ ∵∠ABE＝90°， ∴QB＝ AE＝QE， ∴QA＝QE＝QP＝QF＝QB， ∴点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径， ∴∠PBF＝90°， ∴BF＝ ②当P在O的左下方时，如图4所示： 同理可得：AO＝ ，BO＝ ，OP＝ ，PF＝ ， 则BP＝BO﹣OP＝ ， 同理可得：点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径， ∴∠PBF＝90°， ∴BF＝ 综上所述，当PE＝ 时，线段BF的长为 或 ． 故答案为： 或 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $