第三章 图形的相似 单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级数学上册 第三章《图形的相似》单元测试卷 （满分 100 分 考试时间 90 分钟） 班级：____________ 姓名：____________ 成绩：____________ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项） 1．下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．两个直角三角形　　B．两个等腰三角形　　C．两个正方形　　D．两个矩形 2．已知线段 a、b、c、d 是成比例线段，其中 a＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，则 d 等于（　　） A．1 cm　　B．4 cm　　C．9 cm　　D．12 cm 3．已知 a/b＝c/d＝3/2（b＋d≠0），则 (a＋c)/(b＋d) 的值为（　　） A．2/3　　B．1　　C．2　　D．3/2 4．点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞BC，若 AB＝4，则 AC 等于（　　） A．2－2　　B．6－2　　C．－1　　D．4－2 5．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，AD∶DB＝2∶1，则 S△ADE∶S△ABC 等于（　　） A．2∶3　　B．2∶1　　C．4∶9　　D．4∶5 6．如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，∠ACD＝∠B，AD＝2，AC＝4，则 AB 的长为（　　） A．6　　B．8　　C．10　　D．16 7．两个相似三角形的相似比为 2∶3，若它们的周长之差为 5，则其中较小三角形的周长为（　　） A．10　　B．15　　C．25　　D．5 8．在平面直角坐标系中，以原点 O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的 2 倍，若点 A 的坐标为 (1, 2)，则点 A 的对应点 A′ 的坐标为（　　） A．(2, 4)　　B．(－2, 4)　　C．(2, －4)　　D．(2, 4) 或 (－2, －4) 9．如图，四边形 ABCD∽四边形 A′B′C′D′，它们的相似比为 3∶2，若四边形 ABCD 的周长为 18，则四边形 A′B′C′D′ 的周长为（　　） A．9　　B．12　　C．27　　D．6 10．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，若 AD＝4，BD＝1，则 CD 的长为（　　） A．2　　B．　　C．3　　D．4 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．若 a∶b＝3∶4，则 (a＋b)∶b＝____________． 12．如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 l4 与它们分别交于点 A、B、C，直线 l5 与它们分别交于点 D、E、F。若 AB＝2，BC＝3，DF＝10，则 EF＝____________． 13．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD＝2，AB＝5，DE＝3，则 BC＝____________． 14．同一时刻，身高 1.6 m 的小明在阳光下的影长为 2 m，旁边一棵树的影长为 10 m，则这棵树的高度为____________m． 15．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AP＞PB，若 AB＝10，则 AP≈____________（结果精确到 0.01）． 16．在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2, 1)、B(4, 1)、C(3, 3)。以原点 O 为位似中心，相似比为 1/2，将△ABC 缩小，则点 A 的对应点的坐标为____________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 52 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝6。 （1）求 EC 的长； （2）求 DE∶BC 的值． 18．（8 分）如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，∠ACD＝∠B。 （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）若 AD＝2，AB＝8，求 AC 的长． 19．（9 分）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，过点 E 作 EF∥AB 交 BC 于点 F，AD∶DB＝3∶2，BC＝20。 （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）求 DE 的长； （3）求 BF 的长． 20．（9 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(－2, 1)、B(－3, 3)、C(－1, 4)。 （1）以原点 O 为位似中心，在原点 O 的另一侧画出△ABC 的位似图形△A′B′C′，使它与△ABC 的相似比为 2∶1； （2）直接写出点 A 的对应点 A′ 的坐标，并求出线段 A′C′ 的长． 21．（8 分）如图，为测量一棵树 AB 的高度，小明在离树 8 m 的点 E 处水平放置一面平面镜，然后沿 BE 所在直线后退到点 C 处（C 为小明脚的位置），此时他恰好在镜中看到树顶 A。已知小明的眼睛到地面的高度 CD＝1.6 m，CE＝2 m，且 AB、CD 都垂直于地面，求树高 AB． 22．（10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm。动点 P 从点 A 出发，沿 AC 以 1 cm/s 的速度向点 C 运动；同时动点 Q 从点 C 出发，沿 CB 以 2 cm/s 的速度向点 B 运动。当一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为 t s（0 ≤t ≤4）。 （1）用含 t 的代数式分别表示线段 CP、CQ 的长； （2）当 t 为何值时，△CPQ 与△ABC 相似？ （3）设△CPQ 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数表达式，并求出当 t＝2 时 S 的值． 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．C　　2．B　　3．D　　4．A　　5．C　　6．B　　7．A　　8．D　　9．B　　10．A 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．7∶4　　12．6　　13．7.5　　14．8　　15．6.18　　16．(1, 0.5) 或 (－1, －0.5) 三、解答题（共 52 分） 17．（8 分） （1）∵ DE∥BC，∴ AD/DB＝AE/EC，即 4/2＝6/EC，解得 EC＝3．　…………（4 分） （2）∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC，∴ DE/BC＝AD/AB＝4/(4＋2)＝2/3．　…………（8 分） 【解析】由平行线分线段成比例及相似三角形的性质直接求解。 18．（8 分） （1）证明：∵ ∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴ △ACD∽△ABC．　…………（4 分） （2）∵ △ACD∽△ABC，∴ AC/AB＝AD/AC，即 AC²＝AD·AB＝2×8＝16，∴ AC＝4．　…………（8 分） 【解析】判定用“两角分别相等”，求值用“公共边成比例”，注意 AC 为比例中项。 19．（9 分） （1）证明：∵ DE∥BC，∴ ∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴ △ADE∽△ABC．　…………（3 分） （2）∵ △ADE∽△ABC，∴ DE/BC＝AD/AB．∵ AD∶DB＝3∶2，∴ AD∶AB＝3∶5，∴ DE＝(3/5)×20＝12．　…………（6 分） （3）∵ DE∥BC，EF∥AB，∴ 四边形 DBFE 是平行四边形，∴ BF＝DE＝12．　…………（9 分） 【解析】第（3）问先由两组对边平行判定平行四边形，再用对边相等求解。 20．（9 分） （1）如图所示（在原点的另一侧，相似比为 2∶1），△A′B′C′ 即为所求，此时 A′(4, －2)、B′(6, －6)、C′(2, －8)．　…………（6 分） （2）A′(4, －2)．∵ A′(4, －2)、C′(2, －8)，∴ A′C′＝√[(4－2)²＋(－2＋8)²]＝√(4＋36)＝2√10．　…………（9 分） 【解析】点 (x, y) 在以原点为位似中心、相似比为 k 且位于异侧时的对应点为 (－kx, －ky)。 21．（8 分） 解：∵ AB⊥BE，CD⊥CE，∴ ∠ABE＝∠DCE＝90°． 又由光的反射可知 ∠AEB＝∠DEC，∴ △ABE∽△DCE．　…………（4 分） ∴ AB/CD＝BE/CE，即 AB/1.6＝8/2，∴ AB＝6.4（m）． 答：树高 AB 为 6.4 m．　…………（8 分） 22．（10 分） （1）CP＝(6－t) cm，CQ＝2t cm．　…………（2 分） （2）∵ ∠C＝∠C，∴ 当 CP/CA＝CQ/CB 或 CP/CB＝CQ/CA 时，△CPQ 与△ABC 相似． ① (6－t)/6＝2t/8，解得 t＝2.4； ② (6－t)/8＝2t/6，解得 t＝18/11． ∵ 0≤t≤4，∴ 当 t＝2.4 或 t＝18/11 时，△CPQ 与△ABC 相似．　…………（7 分） （3）S＝(1/2)·CP·CQ＝(1/2)(6－t)·2t＝6t－t²（0≤t≤4）．当 t＝2 时，S＝6×2－2²＝8（cm²）．　…………（10 分） 【解析】两三角形有公共角 ∠C，需对“夹 ∠C 的两边”的对应关系分类讨论，勿漏解。 第 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $