第二章一元二次方程 单元练习题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 单元练习题 （2026—2027学年 北师大版 九年级数学上册） 考试时间：60分钟 满分：100分 命题范围：第二章 一元二次方程 注意事项：本卷共三大题，22小题。解答题需写出完整的解题过程或演算步骤。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A．x² + 2y = 1 B．x³ - 2x = 3 C．x² + (1/x) = 5 D．2x² - 5x = 0 2．将一元二次方程 3x(x-2) = 4(x+1) 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．3，-10，-4 B．3，-6，4 C．3，10，-4 D．3，-10，4 3．用配方法解方程 x² - 6x - 5 = 0时，配方结果正确的是（ ） A．(x-3)² = 14 B．(x-3)² = 4 C．(x+3)² = 14 D．(x-6)² = 41 4．一元二次方程 2x² - 3x + 1 = 0 的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．用因式分解法解方程 x² - 5x + 6 = 0，下列分解正确的是（ ） A．(x-2)(x-3)=0 B．(x+2)(x+3)=0 C．(x-1)(x-6)=0 D．(x+1)(x+6)=0 6．已知x=2是一元二次方程 x² - mx + 2 = 0 的一个根，则m的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若一元二次方程 x² - 4x + k = 0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．k < 4 B．k ≤ 4 C．k > 4 D．k ≥ 4 8．设x₁、x₂是方程 x² - 3x - 1 = 0 的两个根，则x₁ + x₂的值为（ ） A．3 B．-3 C．1 D．-1 9．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为（ ） A．10% B．15% C．20% D．25% 10．用一块长为40 cm、宽为30 cm的矩形铁片，在四个角上各剪去一个边长为x cm的小正方形，再把四周折起来做成一个无盖的长方体盒子。若盒子的底面积为600 cm²，则根据题意列方程正确的是（ ） A．(40-x)(30-x) = 600 B．(40-2x)(30-2x) = 600 C．40×30 - 4x² = 600 D．(40-2x)(30-x) = 600 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．一元二次方程 2x² = 3x - 1 的一般形式为________________。 12．方程 x² = 16 的根是________。 13．若关于x的方程 (m-1)x^(m²+1) + 2x - 3 = 0 是一元二次方程，则m的值为________。 14．已知一元二次方程 x² - 5x + c = 0 的一个根是2，则另一个根是________，c的值是________。 15．一个两位数，十位数字比个位数字大3，且这两个数字之积等于这个两位数的 (2/7)。若设个位数字为x，则根据题意列方程为________________。 16．已知三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程 x² - 13x + 40 = 0 的根，则该三角形的周长为________。 三、解答题（本大题共6小题，共46分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分8分）解下列一元二次方程： （1）x² - 7x + 10 = 0（因式分解法）；（4分） （2）2x² - 4x - 1 = 0（公式法）。（4分） 18．（本题满分6分）用配方法解方程：3x² - 6x - 1 = 0。 19．（本题满分8分）已知关于x的一元二次方程 x² - (2k+1)x + k² + k = 0。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（4分） （2）若△ABC的两边AB、AC的长恰好是这个方程的两个根，且第三边BC=5。当△ABC是等腰三角形时，求k的值。（4分） 20．（本题满分8分）某花卉种植基地培育一种新品月季，经过试验发现：每盆植入3株时，平均每株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元。要使每盆的盈利达到10元，且尽可能减少种植成本，每盆应该植多少株？ 21．（本题满分8分）如图，在一块长为22 m、宽为17 m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300 m²。若设道路宽为x m。 （1）用含x的代数式表示草坪的总面积；（3分） （2）求道路的宽。（5分） 22．（本题满分8分）阅读材料：如果一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根为x₁、x₂，那么x₁+x₂ = -b/a，x₁·x₂ = c/a。这就是著名的韦达定理。 请根据韦达定理，解决下列问题： 已知关于x的方程 x² - (k+2)x + 2k = 0。 （1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（3分） （2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。（5分） 参考答案与解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．D 【解析】一元二次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③整式方程。A选项含两个未知数x和y；B选项最高次数为3；C选项是分式方程；只有D选项符合一元二次方程的定义。故选D。 2．A 【解析】先展开并整理为一般形式：3x² - 6x = 4x + 4，移项得3x² - 10x - 4 = 0。二次项系数为3，一次项系数为-10，常数项为-4。故选A。 3．A 【解析】配方法步骤：移项得x² - 6x = 5，两边加一次项系数一半的平方，即加9，得x² - 6x + 9 = 5 + 9，即(x-3)² = 14。故选A。 4．B 【解析】计算判别式Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4×2×1 = 9 - 8 = 1 > 0，所以方程有两个不相等的实数根。故选B。 5．A 【解析】因式分解：需要找到两个数，乘积为6，和为5。这两个数是2和3，所以x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3)。故选A。 6．B 【解析】将x=2代入方程：2² - m×2 + 2 = 0，即4 - 2m + 2 = 0，解得2m = 6，m = 3。故选B。 7．A 【解析】方程有两个不相等的实数根，则Δ > 0。Δ = (-4)² - 4×1×k = 16 - 4k > 0，解得k < 4。故选A。 8．A 【解析】根据韦达定理，x₁ + x₂ = -b/a = -(-3)/1 = 3。故选A。 9．C 【解析】设平均每次降价的百分率为x。根据题意列方程：100(1-x)² = 64，解得(1-x)² = 0.64，1-x = 0.8（舍去1-x=-0.8），所以x = 0.2 = 20%。故选C。 10．B 【解析】四个角各剪去边长为x的正方形后，盒子底面的长为(40-2x) cm，宽为(30-2x) cm。底面积 = 长×宽 = (40-2x)(30-2x) = 600。故选B。 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．2x² - 3x + 1 = 0 【解析】移项，将右边的3x-1移到左边，注意变号：2x² - 3x + 1 = 0。二次项系数为正，各项按降幂排列。 12．x₁=4，x₂=-4 【解析】直接开平方：x = ±√16 = ±4。所以x₁=4，x₂=-4。注意不要漏掉负根。 13．m = -1 【解析】一元二次方程需满足：①未知数最高次数为2，即m²+1 = 2，解得m = ±1；②二次项系数不为0，即m-1 ≠ 0，所以m ≠ 1。综合得m = -1。 14．另一个根是3，c = 6 【解析】方法一：将x=2代入方程，得2² - 5×2 + c = 0，解得c = 6。方程为x² - 5x + 6 = 0，因式分解得(x-2)(x-3)=0，另一个根是3。方法二：根据韦达定理，两根之和=5，所以另一个根=5-2=3；两根之积=c，所以c=2×3=6。 15．x(x+3) = (2/7)[10(x+3)+x] 【解析】设个位数字为x，则十位数字为x+3。这个两位数为10(x+3)+x = 11x+30。两个数字之积为x(x+3)。根据题意，积等于两位数的2/7，列方程得x(x+3) = (2/7)(11x+30)。 16．12 【解析】解方程x² - 13x + 40 = 0，因式分解得(x-5)(x-8)=0，所以x=5或x=8。根据三角形三边关系：两边之和大于第三边。若第三边为8，则3+4=7<8，不能构成三角形，舍去；若第三边为5，则3+4>5，可以构成三角形。所以周长=3+4+5=12。 三、解答题（共46分） 17．（本题满分8分） 解：（1）x² - 7x + 10 = 0 因式分解，找两个数乘积为10、和为7，这两个数是2和5， ……1分 得(x-2)(x-5) = 0， ……2分 所以x-2=0或x-5=0， ……3分 解得x₁ = 2，x₂ = 5。 ……4分 （2）2x² - 4x - 1 = 0 这里a=2，b=-4，c=-1， ……1分 Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4×2×(-1) = 16 + 8 = 24 > 0， ……2分 x = [-b ± √Δ] / (2a) = [4 ± √24] / 4 = [4 ± 2√6] / 4， ……3分 化简得x₁ = (2+√6)/2，x₂ = (2-√6)/2。 ……4分 18．（本题满分6分） 解：3x² - 6x - 1 = 0 两边除以3，将二次项系数化为1：x² - 2x - 1/3 = 0， ……1分 移项：x² - 2x = 1/3， ……2分 两边加一次项系数一半的平方，即加1：x² - 2x + 1 = 1/3 + 1， ……3分 即(x-1)² = 4/3， ……4分 开平方：x - 1 = ±√(4/3) = ±(2√3)/3， ……5分 所以x₁ = 1 + (2√3)/3，x₂ = 1 - (2√3)/3。 ……6分 19．（本题满分8分） （1）证明：Δ = [-(2k+1)]² - 4×1×(k²+k) ……1分 = 4k² + 4k + 1 - 4k² - 4k ……2分 = 1 > 0， ……3分 所以无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根。 ……4分 （2）解：由（1）知方程有两个不相等的实数根，而△ABC是等腰三角形， 则必有一边等于腰。又AB、AC是方程的两个不相等的根， ……1分 所以第三边BC=5必等于其中一个根，即x=5是方程的根。 ……2分 将x=5代入方程：5² - (2k+1)×5 + k² + k = 0， 即25 - 10k - 5 + k² + k = 0， 整理得k² - 9k + 20 = 0， ……3分 因式分解得(k-4)(k-5)=0，解得k=4或k=5。 ……4分 验证：当k=4时，方程为x²-9x+20=0，根为4和5，三边为4、5、5，符合三角形三边关系； 当k=5时，方程为x²-11x+30=0，根为5和6，三边为5、5、6，也符合。所以k=4或k=5。 20．（本题满分8分） 解：设每盆增加x株，则每盆有(x+3)株，平均单株盈利为(3-0.5x)元。 ……1分 根据题意，每盆盈利 = 株数 × 单株盈利，列方程： ……2分 (x+3)(3-0.5x) = 10， ……3分 展开得：3x - 0.5x² + 9 - 1.5x = 10， 整理得：-0.5x² + 1.5x - 1 = 0， 两边乘以-2：x² - 3x + 2 = 0， ……4分 因式分解得(x-1)(x-2)=0， ……5分 解得x₁ = 1，x₂ = 2。 ……6分 当x=1时，每盆植3+1=4株； 当x=2时，每盆植3+2=5株。 ……7分 题目要求尽可能减少种植成本，即株数越少越好，所以取x=1。 答：每盆应该植4株。 ……8分 21．（本题满分8分） 解：（1）将两条道路平移到矩形的边上，草坪部分可以拼成一个新的矩形， ……1分 新矩形的长为(22-x) m，宽为(17-x) m， ……2分 所以草坪面积 = (22-x)(17-x) m²。 ……3分 （2）根据题意列方程： ……1分 (22-x)(17-x) = 300， ……2分 展开得：374 - 22x - 17x + x² = 300， 整理得：x² - 39x + 74 = 0， ……3分 因式分解得(x-2)(x-37)=0， ……4分 解得x₁ = 2，x₂ = 37。 因为道路宽不可能为37 m（超过矩形的宽17 m），所以舍去x=37。 ……5分 答：道路的宽为2 m。 22．（本题满分8分） （1）证明：Δ = [-(k+2)]² - 4×1×2k ……1分 = k² + 4k + 4 - 8k = k² - 4k + 4 ……2分 = (k-2)² ≥ 0， ……3分 所以无论k取何实数值，方程总有实数根。 （2）解：解方程x² - (k+2)x + 2k = 0， 因式分解得(x-2)(x-k) = 0， 所以x₁ = 2，x₂ = k。 ……1分 即等腰三角形的两边长为2和k，第三边为a=1。 分两种情况讨论： ……2分 ①若腰长为1，底边长为2，则三边长为1、1、2。 因为1+1=2，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），不能构成三角形，舍去。 ……3分 ②若腰长为2，底边长为1，则三边长为2、2、1。 此时k=2，满足三角形三边关系（2+1>2），可以构成三角形。 ……4分 所以△ABC的周长 = 2 + 2 + 1 = 5。 ……5分 学科网（北京）股份有限公司 $