湖南省桃源县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次模块考试数学试题

绝密★启用前 2026年下学期桃源一中高二年级第一次模块考试数学试题 时量：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，是虚数单位，若复数是纯虚数，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．在长方体中，，，点，分别是，的中点，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 5．过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知，，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 7．已知点，，若直线：与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A．直线必过点 B．直线与圆必相交 C．圆：与圆有3条公切线 D．当时，直线被图截得的弦长为 10．如图，在正四棱锥中，为，的交点，为侧棱的中点，为侧棱上一点（异于、两点），若，且，则（ ） A． B．存在点，使得平面 C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成角的余弦值的最大值为 11．京剧脸谱艺术深受广大戏曲爱好者喜爱，是中国传统文化的标志之一．某校戏曲社团在研究中发现，如图的“脸谱”图形可近似地看作由半圆和半椭圆组成的曲线．其中，半圆的方程为（），半椭圆的方程为（），则下列说法正确的是（ ） A．曲线内部（不含边界）有12个整点（横、纵坐标均为整数） B．曲线上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为6 C．若点，在曲线上，且，则面积的最大值为3 D．若，，是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线，为垂足，则的中点所在曲线的方程为_____________． 13．已知直线：与直线：，若直线与直线的夹角是，则的值为__________． 14．已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）15．已知点圆：． （1）设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程． 16．（本题满分15分）已知，其中，，． （1）求的周期和对称中心； （2）求在上的值域． 17．（本题满分15分）如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． （1）证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值． 18．（本题满分17分）在中，内角，，的对边分别为，，．若． （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围． 19．（本题满分17分）已知圆：，圆：（）． （1）证明圆与有公共点； （2）求两圆公共点的轨迹的方程； （3）设为坐标原点，过点的直线与轨迹交于，两点（、不在轴上），若，延长交轨迹于点．求四边形的面积取得最大值时直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $