精品解析：湖南师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月校内检测数学试题

2026年下学期高二10月校内检测 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 圆：与圆：的位置关系为（ ） A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 内切 3. 如图，正方体中，直线和所成角的大小为（　　） A. B. C. D. 4. 在四面体中，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为（） A. B. C. D. 7. 现有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，甲队胜2场且乙队胜2场的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数；②若、、均是增函数，则、、均是增函数，下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两条直线的方程分别为与，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则两条平行直线之间的距离为 C. 直线过定点 D. 若，则 10. 已知圆：，是圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为，半径为 B. 的最大值为 C. （）的取值范围是 D. 的取值范围是 11. 在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点．已知太阳光线与地面的夹角为，如图，球的一条直径，、为、在地面的影子，点在线段上，当时，篮球的影子为一椭圆，线段为椭圆的长轴，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 该椭圆的离心率为 C. 恰好为椭圆的一个焦点 D. 设、为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，则内切圆半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的焦点到其准线的距离为______． 13. 已知双曲线（，）焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________________． 14. 已知向量，，且向量满足，则的最小值为________________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C的圆心在直线上，且经过点和. （1）求圆C的标准方程； （2）过点的直线与圆C相切，求直线的方程. 16. 设的内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，，且 ，求的面积. 17. 如图，在四棱锥 中，底面，四边形为平行四边形，E为侧棱上动点(不含点 D，P). . （1）若 E 为 中点，证明平面; （2）若平面与平面夹角的余弦值为 求与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，且直线不与轴重合． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）点关于原点的对称点为，连接，设为原点到直线的距离，求的取值范围． 19. 已知对于定义在集合上的三个函数 设为集合的一个无重复数字的排列即将排成一列，如等，共有6种情况).若对任意，都同时满足 且 ，则称排列是关于这三个函数的一个“排列”.记使得该条件成立的排列的个数为. （1）若，判断与是否为排列，并说明理由； （2）设 其中且. （i）若，讨论的值; （ii）求正实数的取值范围，满足当区间时，存在，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期高二10月校内检测 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程得出斜率，根据斜率和倾斜角的关系可得答案. 【详解】因为直线的方程为，故直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，又，即. 2. 圆：与圆：的位置关系为（ ） A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 3. 如图，正方体中，直线和所成角的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连结，，则，是异面直线与所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线与所成角的大小． 【详解】解：连结，， 在正方体中，且，所以四边形为平行四边形， ，是异面直线与所成角（或所成角的补角）， ， ， 异面直线与所成角的大小是． 故选：C． 4. 在四面体中，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 是的中点，故， 故． 5. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用双曲线定义得出，，再应用余弦定理计算求解即可. 【详解】因为，， 由双曲线的定义可知，得， 又因为， 在中，， 所以. 故选：B． 6. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程，进而求解的焦距. 【详解】由题可知与有相同的渐近线， 故设的方程为：， 点代入得：， 把代入所设方程得： ， ，，因此，即，双曲线的焦距为. 7. 现有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，甲队胜2场且乙队胜2场的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据甲队胜2场分3种情况，甲胜乙丙，甲胜乙丁，甲胜丙丁，讨论求解. 【详解】甲队胜2场且乙队胜2场，分下面3种情况： 若甲胜乙丙，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜乙丁，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜丙丁，乙胜丙丁，甲平乙或甲胜丙丁，乙胜甲丙或甲胜丙丁，乙胜甲丁， 其概率为， 所以甲队胜2场且乙队胜2场的概率为. 故选：C. 8. 设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数；②若、、均是增函数，则、、均是增函数，下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】C 【解析】 【分析】命题①：令可以求解出、、判断；命题②举反例即可. 【详解】对于命题①：令,则， 由于、、均是以为周期的函数， 即，，， 所以， 所以函数是周期为的周期函数，同理可知、均是以为周期的函数，所以命题①为真命题； 对于命题②，设，，， 则，，均为增函数， 而、、不全是增函数，故命题②为假命题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两条直线的方程分别为与，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则两条平行直线之间的距离为 C. 直线过定点 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由两直线平行的斜率关系可得A正确；利用平行直线之间的距离公式计算可得B错误，将代入直线方程可求得定点，即可判断C；由垂直关系的斜率表示可得D错误. 【详解】∵，， 选项A：若，则，解得， 此时，，显然平行，故A正确； 选项B：由A知，若，则 ， 此时，即，， ∴两条平行直线之间的距离为，故B错误； 选项C：，令，， 直线恒过定点，故C正确； 选项D：若 ，则，∴，故D错误. 10. 已知圆：，是圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为，半径为 B. 的最大值为 C. （）的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由圆的标准方程即可求解；对于B，设，代入圆的方程中，得关于的一元二次方程，根据方程有实数解，判别式大于等于0，可列出关于的不等式，即可求解；对于C，利用斜率的几何意义，将所求式子范围转化为两点的斜率的范围，利用直线与圆有交点，则圆心到直线的距离，即可列出关于斜率的不等式，即可求解；对于D，根据几何意义，将所求式子转化为向量与向量的夹角的余弦值的两倍，求出圆的过原点的两条切线方程，得到与向量的夹角的范围，进而求得式子的取值范围. 【详解】对于A，因为圆的方程为， 所以圆心为，半径为，故A正确； 对于B，设，则， 将其代入圆的方程中得：， 即， 因为有实数解，所以判别式， 即， 化简得：， 解得：， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，（）的几何意义是圆上点与原点连线的斜率， 设，则直线方程为，即， 直线与圆有公共点，因此圆心到直线的距离， 即，所以，解得或， 因此（）的取值范围是，故C错误. 对于D，式子的几何意义是： 向量与向量的夹角的余弦值的两倍， 过原点作圆的切线，设方程为， 圆心到切线的距离，解得， 所以两条切线方程为和，且两切线的倾斜角分别为， 射线介于这两条切线之间， 所以与向量的夹角，则， 所以，故D正确. 11. 在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点．已知太阳光线与地面的夹角为，如图，球的一条直径，、为、在地面的影子，点在线段上，当时，篮球的影子为一椭圆，线段为椭圆的长轴，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 该椭圆的离心率为 C. 恰好为椭圆的一个焦点 D. 设、为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，则内切圆半径的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据太阳光平行投影的几何关系，求出影子椭圆的长半轴、短半轴；再利用椭圆的关系式计算半焦距；依次检验 A、B、C：判断长轴长度、计算离心率、验证H到椭圆中心距离等于半焦距，判断焦点位置。最后利用椭圆上点纵坐标的最大值，结合三角形面积与内切圆半径公式，推导内切圆半径最大值，完成 D 选项判断，选出全部正确选项即可. 【详解】由已知得：球直径，太阳光线与地面夹角为，影子为椭圆， 为椭圆长轴，球心到地面距离， 由平行投影得：椭圆长半轴 ，短半轴 ， 则焦半距：， 选项A：椭圆长轴长 ，A错误； 选项B：离心率，B正确； 选项C：为椭圆中心，，，， 则，所以， 点在长轴上，到椭圆中心距离等于半焦距，故是椭圆一个焦点，C正确； 选项D：设的内切圆半径为， 所以，化简：， 所以椭圆上点纵坐标最大值 ， 代入得：，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的焦点到其准线的距离为______． 【答案】8 【解析】 【详解】，所以抛物线的焦点到其准线的距离为8. 13. 已知双曲线（，）焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，得到渐近线的倾斜角范围，进而得到关于，的不等式，利用，进而得到关于，的不等式，可求得离心率的取值范围. 【详解】因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点， 所以双曲线经过第一象限的渐近线的倾斜角不小于， 即， 所以， 所以离心率， 即. 14. 已知向量，，且向量满足，则的最小值为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】设，可得，记向量的起点为原点，由可得其终点为圆上一点，设的中点为，则为圆上一点，进而得到，设，，再结合两点间的距离公式得到，进而转化问题为，进而求解即可. 【详解】设，则， 记向量的起点为原点，由，得向量的终点为圆上一点， 设的中点为，则为圆上一点， 则，即， 设，则，， 即， 取定点，则，故， 因此， 当且仅当三点共线、且落在线段上时等号成立， 检验：此时均在圆外， 而直线的斜率为，则直线的方程为，即， 则圆的圆心到直线的距离为， 则直线与圆相交，因此这样的点存在， 综上所述，的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C的圆心在直线上，且经过点和. （1）求圆C的标准方程； （2）过点的直线与圆C相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆的几何性质进行求解； （2）分直线的斜率存在和不存在进行求解． 【小问1详解】 设圆心，半径为r， 则由题意可得解得； 所以圆C的标准方程为：. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，不合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 则直线的方程为：，即. 由相切条件可得， 化简得：.解得：或. 直线的方程为或. 综上，直线的方程为：或． 16. 设的内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，，且 ，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形的内角和公式，可求得角； （2）首先明确点的位置，利用向量法表示，结合余弦定理，可求得的值，再利用三角形的面积公式求面积即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 所以且在中， 所以， 且，所以， 从而，且，所以. 【小问2详解】 由（1）知，又， 由余弦定理可得， 因为，所以为中点，所以， 两边平方可得， 结合解得， 从而的面积为. 17. 如图，在四棱锥 中，底面，四边形为平行四边形，E为侧棱上动点(不含点 D，P). . （1）若 E 为 中点，证明平面; （2）若平面与平面夹角的余弦值为 求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）如图，连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，且点F、E分别为和中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）利用空间向量，根据平面与平面夹角的余弦值可确定点的位置，再求直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可得在底面中，， 由余弦定理， 所以， 于是，所以， 以点A为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 取平面的法向量为 设平面的法向量为，则， 因为， 所以 令，得到， 又因为平面与平面夹角的余弦值为 ， 所以， 化简得到， 又因为，所以， 所以， 设与平面所成角为，， 则. 18. 已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，且直线不与轴重合． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）点关于原点的对称点为，连接，设为原点到直线的距离，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）或；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据左焦点可知，结合离心率可得，即可得椭圆方程； （2）（i）设直线的方程为，，，联立方程可得韦达定理，由题意可得，结合韦达定理运算求解；（ii）分析可知，，进而可得，换元运算求解即可. 【小问1详解】 由题意知：， 因为离心率，则，可得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 （i）由题意可知：直线过点，斜率不为0，且直线与椭圆必相交， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去得， 则，， 可得， 整理得：，即， 因为，则，解得， 所以直线的方程为或，即或； （ii）由（i）可知：， 因为为中点，故， 又因为点关于原点对称的点为， 则， 则， 令，则，可得， 因为，则，， 可得，即，则， 所以原点到动直线的距离的取值范围为． 19. 已知对于定义在集合上的三个函数 设为集合的一个无重复数字的排列即将排成一列，如等，共有6种情况).若对任意，都同时满足 且 ，则称排列是关于这三个函数的一个“排列”.记使得该条件成立的排列的个数为. （1）若，判断与是否为排列，并说明理由； （2）设 其中且. （i）若，讨论的值; （ii）求正实数的取值范围，满足当区间时，存在，使得. 【答案】（1）是排列,不是排列 （2）（i）当时，；当时，； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据“排列”定义逐个分析即可； （2）先在一般区间上分别判断两两之间恒成立的大小关系，再逐个判断个排列成立的条件.（i）取计数；（ii）令，根据反推与的关系. 【小问1详解】 根据定义可知： 若对任意，都同时满足 且 ， 则称排列是关于这三个函数的一个“排列”. 对于，则，，故； ， 故，所以是排列; 对于，则， ， 当时，， 故不是排列. 【小问2详解】 （i）设一般区间为，其中 在上： 不可能对整个恒成立， 因为可取充分小的使，此时； 不可能对整个恒成立，因为当时，； 又因为且，所以 结合排列的等价条件“且”， 六个排列的成立条件分别为： 当时，，因此除外，其余排列均不成立. 若且，则不成立，所以； 若，则成立，所以 （ii）令 若，由上面的条件可知，最多只有排列成立，因此不可能有 若： 当时，成立的排列恰为与，所以； 当时，与一定成立，而成立当且仅当 因此 存在这样的，当且仅当 例如可取此时 所以正实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $