江西赣州市定南中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

定南中学2026-2027学年度高二年级10月月考卷 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．是虚数单位，，则复数的实部是（ ） A． B．1 C．2 D．3 2．直线与间的距离是（ ） A．1 B． C．2 D． 3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知圆关于直线对称，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 5．如图，在正方体中，给出以下四个结论： ①平面②与平面相交 ③平面④平面平面 正确的结论的序号是（ ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 6．如图，在三棱锥中，，，两两垂直且相等，为中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．已知直线（为常数）与圆相离，是上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，．若，则（ ） A． B． C．1 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则（ ） A． B．是纯虚数 C． D．复数在复平面内的对应点位于第四象限 10．已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A．直线必过点 B．直线与圆必相交 C．圆：与圆有3条公切线 D．当时，直线被圆截得的弦长为 11．如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，则下列结论中正确的是（ ） A．平面 B．过，，三点的平面截四棱锥，截面是等腰梯形 C．为棱上动点，则最小值为 D．三棱锥与四棱锥体积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．复数的共轭复数为_________． 13．已知直线：，，圆：，则直线被圆截得的最短弦的长度为_________． 14．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．完成下列各题： （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）在复数集中解方程：； （3）若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16．分别求满足下列条件的直线方程： （1）过点且与直线垂直的直线方程； （2）过点且与直线平行的直线方程； （3）求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程． 17．已知圆． （1）过点作倾斜角为的直线，求被截得的弦长； （2）求过点的圆的切线方程． 18．过点的直线与圆：交于，两点，为圆与轴正半轴的交点． （1）若，求直线的方程； （2）证明：直线，的斜率之和为定值． 19．如图，在三棱柱中，点、分别为、的中点，平面与平面相交于． （1）求证： （2）已知，，，，， （i）求证：； （ii）若为中点，为上动点，求三棱锥的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2026-2027学年度高二数学10月月考卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B C B C D B B ACD ABC ABD 12． 13． 14． 15．（1）（2）（3） 【详解】（1）由，得或， 又，所以； （2）方程的判别式， 所以． （3）由复数在复平面上对应的点位于第二象限， 得，解得， 所以的取值范围是． 16．（1）（2）（3）或 【详解】（1）因为的斜率为3，所以所求直线的斜率为， 所以由点斜式方程可得，即． （2）因为的斜率为，所以所求直线的斜率为， 所以由点斜式方程可得，即． （3）①当截距为0时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即． ②当截距不为0时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线方程为，即． 综述：所求直线方程为或． 17．（1）（2）和． 【详解】（1）由已知得，圆心，半径为5，直线的方程为， 圆心到直线的距离， 故直线被圆截得的弦长为． （2）当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线存在斜率时，设直线方程为， 圆心到直线的距离，解得，则切线方程为， 综上，满足条件的切线方程为和． 18．（1）或 【详解】（1）①直线垂直于轴时，可得出直线为， 此时直线与圆的两交点距离为，满足题意； ②当直线不垂直轴时，设直线方程为， 因为，所以半弦长为，由勾股定理得弦心距， 又有点到直线的距离公式可得弦心距，解得， 此时直线方程为， 所以满足题设条件的直线的方程为或 （2）由题设容易得到点坐标， 设直线方程为，联立圆的方程，可得关于的一元二次方程：， 设点，，由根与系数的关系（韦达定理）可得，， 的斜率， 的斜率， 则 ， 所以与的斜率之和为定值，从而结论得证． 19．【详解】（1）如图，取的中点，连接，， 因，分别为、的中点．，则，， 又，，故，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面， 所以； （2）（i）因为，，， 所以平行四边形为正方形，即， 又，，，平面， 所以平面，即三棱柱为直三棱柱， 又因为，，，由，可得， 在直三棱柱中，因平面，平面，则， 又，，平面，故平面， 因平面，故； （ii）由（1）知， 所以，故， 又为中点，所以， 由（i），已得平面， 故， 所以 即三棱锥的体积为． 学科网（北京）股份有限公司 $