精品解析：天津市静海区第一中学2026-2027学年高二上学期10月学生学业能力调研数学试题

静海一中2026—2027第一学期高二数学（10月） 学生学业能力调研试卷 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（120分）和第Ⅱ卷提高题（30分）两部分，含卷面分3分，共150分． 第Ⅰ卷 基础题（共120分） 一、选择题：（每小题5分，共45分）． 1. 已知直线的方程是，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由方程可得直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【详解】由，可得直线的斜率，设该直线的倾斜角为，， 所以，所以. 故选：B. 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据方向向量的定义解答即可． 【详解】直线可化成斜截式方程， 所以直线的斜率为， 由直线方向向量与斜率的关系，即直线的方向向量为,则斜率为, 所以选项中可以是直线的方向向量，即正确. 故选：. 3. 在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（ ） A. 轴对称 B. 平面对称 C. 轴对称 D. 平面对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点的坐标特征结合已知条件即可得答案. 【详解】因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数， 所以点和点关于轴对称. 故选：C 4. 直线与直线在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a的符号，分类讨论，利用数形结合思想和排除法能求出结果． 【详解】直线ax+y+a＝0与直线x+ay+a＝0不可能平行，故B错误； 当a＞0时，直线ax+y+a＝0是减函数，直线x+ay+a＝0是减函数，故A错误； 当a＜0时，直线ax+y+a＝0是增函数，与y轴交于正半轴，直线x+ay+a＝0是增函数，与y轴交于负半轴，故C错误．综上，正确答案是a＞0，直线ax+y+a＝0与直线x+ay+a＝0在同一坐标系中的图象可能是D． 故选D． 【点睛】本题考查函数图象的判断，考查直线的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，由题意， . 故选：A 6. 已知直线，，且，则与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】因为，则，解得，即直线的方程为，可化为， 故与的距离为. 7. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量求出点到直线距离. 【详解】依题意，，，则在的投影数量为：. 所以点到直线的距离为：. 故选：C 8. 如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 9. 已知实数，满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】的几何意义：点与定点连线的斜率，先求线段两个端点坐标，定点，分别计算斜率，点从移动到，连线的斜率逐渐减小，从而得到斜率最小值，从而得到的最小值. 【详解】的几何意义：点与定点连线的斜率， 因为，即且， 当，，端点， 当，，端点， 所以动点是线段上的点， ，， 因为直线单调递增，从增大到， 点从移动到，连线的斜率逐渐减小. 所以斜率最小值为. 二、填空题：（每小题5分，共25分）． 10. 在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 因为，所以， 若、、、四点共面，则, 所以. 故答案为：. 11. 已知两点到直线的距离相等，则实数a的值为________． 【答案】0或##或0 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即，解得或 故答案为：0或 12. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出和的坐标，再由在方向上的投影向量概念，写出计算公式，代入向量坐标计算即得. 【详解】依题意，, 因在方向上的投影向量为， 则由， 可知在方向上的投影向量的坐标为：. 故答案为：. 13. 在直棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量法即可求解异面直线的夹角. 【详解】如图，以 B 为原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴， 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则，, 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 14. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．对于任意，不等式恒成立，则最大值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根号内配方，转化为两点距离公式，利用对称求最短距离. 【详解】，， 则 表示为x轴上动点到点，点的距离之和， 不等式对任意实数恒成立，即， 最大值就是这个距离和的最小值， 作关于轴的对称点， ，所以， 根据两点之间线段最短，最小值就是线段的长度， ， 则最小值为，要使不等式恒成立， 则，所以的最大值是. 三、解答题：（本大题共3小题，共50分） 15. 根据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． （1）求经过点，且倾斜角为的直线方程； （2）已知点，．求线段的垂直平分线的方程； （3）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （4）求经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程； （5）求垂直于直线，且到点的距离为1的直线方程； （6）针对（3）问中“截距相等”的条件，可以设方程的哪几种形式？各自有什么局限？ 【答案】（1） （2） （3）或 （4） （5）或． （6）截距式或点斜式，设截距式注意截距为0需要单独讨论． 【解析】 【小问1详解】 由题意，倾斜角为，则直线的斜率为， 则所求直线方程为，即． 【小问2详解】 由，，其中点为，， 则线段的垂直平分线的斜率为， 因此，所求直线方程为，即． 【小问3详解】 设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过，. 当截距时，直线过，斜率为， 则直线的方程为，即； 当截距时，直线斜率为， 则直线的方程为，即． 综上所述，所求直线方程为或． 【小问4详解】 联立，得，， 即直线和的交点为， 设平行于直线的直线方程为， 代入点，得，得， 因此，所求直线方程为. 【小问5详解】 设垂直于直线的直线方程为， 则点到直线的距离为，解得或， 因此，所求直线方程为或． 【小问6详解】 略 16. 已知直线的方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值． （3）过点的直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】（1）由可得，， 令，所以直线过定点． （2），最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）将直线方程整理为关于参数的表达式，利用其对任意的恒成立的条件，即可证明直线过定点； （2）点到直线的距离，可看作是点到经过点的动直线的垂线段长度， 故当直线与线段垂直时，点到直线的距离达到最大，即可求解. （3）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然后求出对应三角形的周长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，直线恒过定点．点到直线的距离， 可以看作是点到经过点的动直线的垂线段长度， 根据几何性质，当直线与线段垂直时， 点到直线的距离达到最大，此时最大距离即为线段的长度． 则线段的斜率：， 因为直线与垂直，所以直线的斜率， 将直线的方程化为斜截式，其斜率为： 令， 即： 此时，点到直线的最大距离为，故. 【小问3详解】 由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为（）， 直线与轴、轴正半轴的交点分别为，， 令，得，令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 17. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若正方体的棱长为2，求点到平面的距离. 【答案】（1） ， 平面为平行四边形，， 平面，平面， 平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质，得出，再根据线面平行判定定理得出线面平行； （2）设正方体棱长为２，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用法向量求出线面角的正弦值； （3）利用向量法求出点到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设正方体边长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 设直线与平面所成角为，则． 【小问3详解】 正方体棱长为2，同（2）中假设， ，平面的法向量， 点到平面的距离． 第Ⅱ卷 提高题（共30分） 18. 已知直线：，：． （1）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （2）若，的边在直线上，的平分线所在直线为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对进行分类讨论，在的情况下，直接验证即可；在时，由直线不经过第二象限，得到直线斜率与纵截距的符号即可求解. （2）当时，求出两直线的交点坐标，求点关于直线的对称点，然后求出直线的方程，即可得出所求直线的方程. 【小问1详解】 当时，直线的方程为，符合题意； 当时，直线的方程为， 则，解得． 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 将代入，的直线方程为， 已知边在直线上，的平分线所在直线为：． 由对称性可知，直线与直线关于直线对称，即直线是直线关于直线的对称直线， 联立与的方程：， 解得交点的坐标为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 由对称性质可得：， 解得，，即， 直线经过点和点， 其斜率为：， 所以直线的方程为：， 化简得直线的方程为． 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为棱的中点． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）是棱上一点， （i）证明：平面平面； （ii）平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1） （2）（i）证明：由，，可得， 而，则， 又，可得，则，而， 所以，则，即， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，因此平面平面． （ii）或 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用面面角的空间向量公式求解即可； （2）（i）利用空间向量证明，由平面可得，进而得到平面，再根据面面垂直的判定定理求证即可； （ii）利用面面角的空间向量公式建立方程求解即可. 【小问1详解】 以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 易得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设，，而，，， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 又平面的法向量为， 所以， 化简整理得：，解得或，即或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海一中2026—2027第一学期高二数学（10月） 学生学业能力调研试卷 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（120分）和第Ⅱ卷提高题（30分）两部分，含卷面分3分，共150分． 第Ⅰ卷 基础题（共120分） 一、选择题：（每小题5分，共45分）． 1. 已知直线的方程是，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（ ） A. 轴对称 B. 平面对称 C. 轴对称 D. 平面对称 4. 直线与直线在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，，且，则与的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 8. 如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 已知实数，满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题：（每小题5分，共25分）． 10. 在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则_________． 11. 已知两点到直线的距离相等，则实数a的值为________． 12. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为__________. 13. 在直棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________. 14. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．对于任意，不等式恒成立，则最大值为__________． 三、解答题：（本大题共3小题，共50分） 15. 根据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． （1）求经过点，且倾斜角为的直线方程； （2）已知点，．求线段的垂直平分线的方程； （3）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （4）求经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程； （5）求垂直于直线，且到点的距离为1的直线方程； （6）针对（3）问中“截距相等”的条件，可以设方程的哪几种形式？各自有什么局限？ 16. 已知直线的方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值． （3）过点的直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 17. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若正方体的棱长为2，求点到平面的距离. 第Ⅱ卷 提高题（共30分） 18. 已知直线：，：． （1）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （2）若，的边在直线上，的平分线所在直线为，求直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为棱的中点． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）是棱上一点， （i）证明：平面平面； （ii）平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $