辽宁省大连市第八中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

数学试题 满分：150分考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.18×17×…×4可表示为排列数() A.A B.A造 C.Ae D.Ais 2.直线：ax+2少-1=0，直线l2:x+y+1=0,若l1/儿2，则两直线间的距离为() A.v2 B.? 4 C. D.5 3.已知R、乃是椭圆+若=1(a>b>0)的左、右焦点，经过R的直线与椭圆相交于 A,B两点，若AF2引=6，AB引=8，BF2=10,则椭圆的离心率为() A.0 10 B. c.号 p.号 4.已知椭圆C:号+背=1的左、右焦点分别为R,R2,P为椭圆C上一点，若LRPR2=骨 5 则△F1PF2的面积为() A.图 B.y C.13 D 5 3 3 3 5.双曲线的渐近线方程是y=±2x,虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（) A2-若=1碳2-兰=1 B.x2-2=1或若-x2=1 4 4 c-=1成-若=1 D.42-苦=1若-苦=1 试卷第1页，共6页 对流只 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 6.已知AC,BD为圆0：x2+y2=4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1,√②，则四边形 ABCD面积的最大值为() A.4 B、5 C.10 D.15 7.如图，已知圆锥CO的轴截面CAB是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在B上，且 ∠AOD=2LBOD,则异面直线AD与BC所成角的余弦值为() 3 A. 4 B. 3 2 D. 8.已知0为坐标原点，过抛物线)2=2px(p>0)的焦点F作直线I交抛物线于A,B两 点，若O0丽=-48，则-的最小值为（） A. 1 3 B.12 c D. 18 二、多选题：本题共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分。 9.已知焦点在y轴上的等轴双曲线C(对称中心为坐标原点0)的实轴长与圆0的半径相 等，C与圆0在第一、二、三、四象限分别交于P,Q,M,N四点，且PQ=√6，则(） AC的渐近线方程为y=土x B.C的焦距为V2 C.IPNI=V10 D.四边形PQMN的面积为2V15 试卷第2页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 10.将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（) A、若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案 B.若每人分得2本，则有90种方案 C.若三人分得书本数互不相同，则有360种方案 D.共有450种分配方案 11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点， 则下列选项正确的是() D :566 E B A.D1D⊥AF B.直线A1G待EF所成角的余弦值为 10 C.三棱锥G-AEF的体积为号 D存在实数、μ使得AG=A下+A正 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分 12.已知点(3,4)到抛物线C:x2=2pyp>0)的准线的距离为号，则p=一 13.如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构 成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B,C处可自由活动，当机械臂处于AB⊥BC, BC⊥CD,AB,CD所在直线所成角为60°的位置时，A,D两点之间距离为 米 (忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算) 试卷第3页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 14.已知双曲线后-若=1的左右顶点分别为A、8,点P是圆0：2+y=8上不同于A、 B两点的一动点，直线PB与双曲线交于点Q,若直线PA斜率的取值范围是[4,5)，则QA的 斜率的取值范围是一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法. (1)甲必须在排头： (2)甲不在排头也不在排尾； (3)甲不在排头，乙不在排尾， 16.已知双曲线C:x2-芳=1（>0)的左顶点为M,高心率为3A,B是C上的两 点 ()求C的标准方程； 2)若线段AB的中点为(》 求直线AB的方程， 试卷第4页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 17.已知点F(-子0），动点Q在直线x=牡，过Q且垂直于y抽的直线与线段QP的垂直 平分线交于点P,记点P的轨迹为曲线C (1)求C的方程. (2)已知经过点(-1,0)的直线1与C交于A,B两点 ①求A,B纵坐标的乘积； ②若△ABF的面积为 ,求的斜率 18.如图，四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC/AD,CD⊥ AD,PC=AD =2DC =2CB =2. (I)若点E为线段PD的中点， i).证明：CE/面PAB; (i)求点E与平面PAB间的距离； 2)若点E为线段PD上的动点，当直线CE与底面ABCD所成角的正弦值取最大值时；求三 棱锥E一ACD的体积， 试卷第5页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 19.已知椭圆的标准方程为号+y2=1,定点A(-2,0),直线1与椭圆交于P,Q两点且不 过原点， (1)求椭圆的焦点坐标，并且指出椭圆上的任意一点到椭圆右焦点的距离的取值范围（直 接写出结果，可以不用证明)： (2)若AP⊥AQ,求证：直线1经过定点，并求出定点的坐标： (3)若直线0P,PQ,OQ的斜率分别为k1,k2,k3,且k经=k1k3,求△0PQ面积的取值范围」 试卷第6页，共6页 觉巯识 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 《2025-2026学年度高二数学12月月考卷》参考答案 题号 1 5 6 7 9 10 答案 A C D D B A C ACD ABC 题号 11 答案 BCD 12.5 13.√2或2 14.【5-3 15.(1)先排甲，有1种排法，再排其他5人，有A种排法，所以共有1×A=120(种) 排法。 (2)方法一：特殊元素法：先排甲，有4种排法，再排其他5人，有A种排法， 所以共有C×A=480(种)排法。 方法二：特殊位置法：先排排头和排尾，有A种排法，再排其他4个位置，有A4种排法， 所以共有A号×A4=480(种)排法 (3)对甲进行分类，第一类，甲在排尾，有A=120(种)排法： 第二类，甲不在排尾，有A4×A4×A=384(种)排法， 所以共有384+120=504（种）排法 16.D因为a=1,e==、+祭=V1+=3,得62=8， 所以双曲线C的方程为x2-兰 =1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题x1≠x2: 好-且=1 则 8 ,两式相减得x子-x经-竖=0，即4=兰=+ x好-2=1 x1-x2y1+y2 8 又x+=号为+h=9所以k8=路=%=1， x1-x2 y1+y2 所以直线AB的方程为y-号=x-月即y=x+1, 将y=x+1代入双曲线方程x2-号=1，消去y,得7x2-2x-9=0, △=4+4×7×9>0，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为y= x+1. 答案第1页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 17.(1)由题意，得P到F(（-,0)的距离等于P到直线x=的距离， 所以C是以F为焦点，直线x=为准线的抛物线，故C的方程为y2=-3x: (2)①易得的斜率不为0，设：x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2), 2,y+3y-3e0. （△=9m2+12>0 y1+y2=-3m,故A,B纵坐标的乘积为-3. y1y2=-3 ②由SAABF=×(1-)×以-y2l=君×√GM+y2)2-4y=君×V9m2+1五=2 所以m2=等则m=±子故的斜率为=± 18.(1)(i)证明：如图，取PA的中点F,连接EF,BF, D 因为E,F为PD,PA的中点，所以EFI∥AD,且EF=三AD, 因为BC/IAD,BC=二AD,所以EF/IBC,EF=BC, 所以四边形BCEF是平行四边形，所以CE/BF,且CE￠平面PAB,BFc平面PAB, 所以CEI∥平面PAB: (i)取AD中点O,连接0P,OB 因为PA=PD,LAPD=90°，所以AD1P0,P0=AD=1, 因为BC/IAD,BC=OD=CD=1,CD⊥OD, 答案第2页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 所以四边形BCD0是正方形，所以AD⊥OB,OB=1, 因为P0nB0=0,P0,B0c平面PB0,所以AD⊥平面PB0 因为ADC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PBO, 在平面PB0内作直线B0的垂线0z, 则0z⊥平面ABCD,有0z⊥0B,Oz⊥0D, 以O为坐标原点，分别以OB,OD,Oz所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为BC/∥AD,所以BC⊥平面PBO,因为BPC平面PBO,所以BC⊥BP, 由PC=2,CB=1,知BP=3, 由cos∠B0P=P2P==-克可得LB0P=号 20P-0B 211 从而P(←0,9)，40，-1,0，B(1,0.0.c1,10).D(0,10,所以PA=（G-1,-9）,AB= (1,1,0), 设平面PAB的一个法向量为m=(x,y,z), 电mm=x-y-92=0 取x=1,则y=-1,z=V3,所以m=(1,-1,V3, m.AB=x+y=0 因为CE/面PAB,所以C到平面PAB的距离即为直线CE与平面PAB间的距离， 又BC=(01,0),所以C到平面PAB的距离d=lmC=-=1+0= 灯 V1+1+3 所以直线CE与平面PAB间的距离为号 (2)由条件知D丽=(（←-1，)，c而=（←-10,0）.设D正=0=（←九-元2）， 所以cE=c而+D呢=(-10,0)+(-，-22)=(-1-，-22) 取平面ABCD的一个法向量为元=(0,0,1)，设直线CE与平面ABCD所成角为0 所sin9=leos(CE,训= c正列三 a Tul 11+)+2+2 V1+1+212 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 当λ=0时，sin0=0: 当≠0时，sin0= 网 当入=-2时，sin0有最大值，此时DE=(1,2,-V3 所以E到平面ABGD的距离为d=4=目-V3,且SacD=2:1=1, 所以三棱锥E一ACD的体积为E-AcD=}=}1·V5=号 19.(1)椭圆方程为号+y2=1, a2=4,b2=1, ·c2=a2-b2=4-1=3,则c=3, 焦点坐标为(-V3,0),(3,0) :椭圆的长半轴为a=√4=2， 椭圆上的任意一点到椭圆右焦点的距离d∈[a-c,a+c]=2-√3,2+V3. (2) ~直线1与椭圆交于P,Q两点且不过原点，设直线的方程为y= kx+m,m≠0， 联立椭圆方程得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 设点P(x1,y1),Q(x2y2), “名+名=一0x2= 1+4k2 AP1AQ,AP=(x1+2,y1),A0=(x2+2,y2), Ap.A0=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(1+k2)x1x2+(km+2)x1+x2)+4+m2=0, 即1+k3-(km+2)+4+m2=0,整理得5m2+12k2-16km=0, 即(5m-6k)(m-2k)=0, 若m=2k,则直线方程为y=kx+2k,过点A(-2,0),与P,Q与A不重合矛盾，舍去： 若m=华，则直线方程为y=kx+悠，过定点(-，0)】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap